山东省泰安市东平县2025-2026学年高二下学期期末通关检测数学自编模拟卷

**基本信息** 涵盖集合、概率、函数导数等核心知识，解答题结合错题整理统计、袋中取球等实际情境，注重数学思维与数据分析能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|集合运算、二项式系数、散点图相关关系|基础概念与基本运算结合| |多选题|3|二项分布与超几何分布、函数极值与零点|多维度辨析，考查知识准确性| |填空题|3|切线方程、偶函数性质|综合应用导数与函数性质| |解答题|5|排列组合应用、统计案例（列联表与期望）、导数证明不等式|实际情境（如错题整理统计）与逻辑推理结合，体现数学语言表达现实世界|

山东省泰安市东平县2026年高二下学期期末通关检测模拟卷 一、选择题 1．已知全集,集合,,则为(   ) A. B. C. D. 2．展开式中的系数为(   ) A.15 B.20 C.30 D.35 3．某班一天上午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表,要求数学课排在上午,体育课排在下午,不同的排法种数是(      ) A.96 B.192 C.384 D.768 4．已知随机事件,,,,则(      ) A. B. C. D. 5．已知函数，则的值为(      ) A.24 B.4 C.12 D.8 6．在下列各散点图中,两个变量具有正相关关系的是(      ) A. B. C. D. 7．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则(      ) A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 8．设函数，若是函数的极大值点，则函数的极小值为(      ). A. B. C. D. 二、多项选择题 9．下列结论正确的是( ) A. B.若,则 C.若,则 D. 10．一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球的编号为1，2，3，4，5，6，4个白球的编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是(   ) A.若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球的个数X服从二项分布 B.若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球的个数Y服从超几何分布 C.若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为 D.若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为 11．对于函数，下列说法正确的是(   ). A.在处取得极大值 B.有两个不同的零点 C. D.若在上恒成立，则 三、填空题 12．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点,则____________. 13．已知,则_______. 14．已知偶函数在区间上单调递增,且满足,给出下列判断： ； 在上是增函数； 的图象关与直线对称； 函数在处取得最小值； 函数没有最大值, 其中判断正确的序号是_______________． 四、解答题 15．3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方法数. (1)全体站成一排,甲、乙不在两端； (2)全体站成一排,男生站在一起、女生站在一起； (3)全体站成一排,男生彼此不相邻. 16．已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)若关于x的不等式在上有解,求实数m的取值范围. 17．为了研究学生每天整理数学错题情况,某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况,并绘制了下列两个统计图表,图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀,将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”,少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中,经常整理错题的学生占70％.     数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理             不经常整理             合计             (1)求图1中m的值； (2)根据图1、图2中的数据,补全上方列联表,根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5％的前提下,可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？ (3)用频率估计概率,在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样,随机抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望. 附：,. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. （1）求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； （2）求第一次取出的是白球的概率； （3）求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率. 19．已知函数，直线是曲线的一条切线. （1）求a的值，并讨论函数的单调性； （2）若，其中，证明：. 参考答案 1．答案：C 解析：由题得,, 故选C. 2．答案：C 解析：因为, 则展开式中含的项为；展开式中含的项为, 故的系数为, 故选：C. 3．答案：B 解析：由题意,要求数学课排在上午,体育课排在下午,有种排法, 再排其余4节,有种排法, 根据乘法原理,共有种排法, 故选：B. 4．答案：C 解析：因为,,,所以, 由条件概率公式可得, 因此. 故选：C. 5．答案：A 解析：因为，所以， 又，所以. 故选：A. 6．答案：B 解析：对于A,散点的变化具有波动性,非正相关关系,A错误； 对于B,当x变大时,y的变化趋势也是逐渐增大,可知两个变量具有正相关关系,B正确； 对于C,当x变大时,y的变化趋势是逐渐减小,可知两个变量具有负相关关系,C错误； 对于D,两个变量的变化无规律,二者没有相关性,D错误. 故选：B. 7．答案：A 解析：由题可得. 故选：A 8．答案：A 解析：因为，所以. 因为是函数的极大值点，所以，解得， 则，故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，则当时，有极小值，且极小值为. 故选A. 9．答案：AB 解析：对于选项A,显然,故正确； 对于选项B,因为,所以或, 计算可得(舍去)或,故B正确； 对于选项C,由,计算可得, 所以(舍)或或,故C不正确； 对于选项D,,故D不正确. 故选：AB. 10．答案：ABD 解析：对于A，取出白球和取出黑球的概率分别为，，有放回地摸取4个球，则X服从二项分布，故A正确； 对于B，一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y的分布列为 ，，1，2，3，4，Y服从超几何分布，故B正确； 对于C，一次性地取4个球，则取到2个白球的概率，故C错误； 对于D，取出的白球个数为3和4，故所求概率，故D正确.选ABD. 11．答案：ACD 解析：A：由已知得，令得，令得， 故在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，A正确. B：令得，即，则只有1个零点，B不正确. C：函数在上单调递减，因为， 所以，故C正确. D：若在上恒成立，即在上恒成立， 设，则，令得， 令得，故在上单调递增，在单调递减，所以，，故D正确. 故选ACD. 12．答案：0或 解析：因为,所以, 所以当时,,即切线的斜率为2, 所以由点斜式得即, 联立整理得, 因为切线与曲线只有一个公共点, 所以方程只有一个根, 当时,方程为只有一个根,满足题意； 当时,,即,解得, 综上或, 故答案为:0或. 13．答案：2 解析： 14．答案：①④ 解析：由恒成立知,函数的图象关于点对称, 又是偶函数,由得, 则有,即,因此,是周期为4的周期函数, 对于①,在中,当时,,则,①正确； 对于②,是偶函数,且在上单调递增,则在上单调递减,而的图象关于点对称, 所以在上是减函数,②不正确； 对于③,函数的图象关于点对称,③不正确； 对于④,由①②的信息知,在上单调递减,由是偶函数知,在上单调递增, 由周期是4知,在上单调递增,在上单调递减, 所以函数在处取得最小值,④正确； 对于⑤,由④的信息知,函数在上单调递增,在上单调递减, 当时,函数取得最大值,⑤不正确. 故答案为：①④. 15．答案：(1)2400 (2)288 (3)1440 解析：(1)先在中间五个位置选两个位置安排甲,乙,然后剩余5个人在剩余五个位置全排列, 所以有种. (2)相邻问题,利用捆绑法,共有种. (3)即不相邻问题,先排好女生共有种排法,男生在5个空中安插,共有种排法, 所以共有种. 16．答案：(1)1 (2) 解析：(1)因为函数为偶函数,所以, 即, 所以,整理得恒成立, 所以,解得,所以,故. (2)由(1)可得,关于x的不等式在上有解, 令,,取, 则. 因为,所以,,,, 所以,,即, 所以在上单调递增, 又在定义域上单调递增,因此在上单调递增. 令,, 因为函数与函数在上均单调递增, 所以在上单调递增,且, 所以,故实数m的取值范围为. 17．答案：(1) (2)表格见解析,有 (3)分布列见解析,0.7 解析：(1)由题意可得, 解得； (2)数学成绩优秀的有人,不优秀的人人, 经常整理错题的有人,不经常整理错题的是人, 经常整理错题且成绩优秀的有人,则     数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关, 根据列联表中的数据,经计算得到可得, 由于,所以在犯错误的概率不超过5的前提下, 可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联； (3)由分层抽样知,随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人, 不经常整理错题的有2人,则X可能取为0,1,2, 经常整理错题的3名学生中,恰抽到k人记为事件, 则 参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件 则,,,, ,, , , , 故X的分布列如下： X 0 1 2 P 则可得X的数学期望为. 18．答案：（1）； （2）； （3） 解析：记“随机取到甲袋”为事件，“随机取到乙袋”为事件， “第一次取出的是白球”为事件B，“第二次取出的是白球”为事件C. （1）. 所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为. （2） 所以第一次取到白球的概率为. （3）. 所以. 所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为. 19．答案：（1）；在上单调递减，在上单调递增 （2）证明见解析 解析：（1）设直线与曲线相切于点， ，， 又， ，即. 设，则，在R上单调递增， 又，有唯一零点，，，解得， ，， 则当时，；当时，. 在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，. 当时，；当时，，. 要证，只需证. 在上单调递减，只需证， 又，则只需证对任意恒成立. 设， 则. 设， 则， 在上单调递减， ， 又当时，，，在上单调递增， ，即在时恒成立， 又，，故原不等式得证. 学科网（北京）股份有限公司 $