精品解析：2026年湖南省株洲市第二中学初中学业水平考试最后一卷-数学

2026年湖南省初中毕业考试学情监测最后一套 数学 温馨提示： （1）本学科试卷分为试题和答题卡两部分，考试时间为120分钟，满分为120分； （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； （3）请你在答题卡上作答，答在本试题处无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示实数，无理数的估算，由数轴可知，点表示的数在到之间，根据选项进行判断即可． 【详解】解：根据题意，可得点表示的数在到之间， 各选项中，，，， 故只有满足在到之间． 2. 据统计，2025年湖南省生产总值达到元．将用科学记数法表示应为（   　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定a和n的值即可． 【详解】解：对于用科学记数法表示，则，是的小数点向左移动12位得到的，即；故． 3. 年月日，汇聚了全球个知名汽车品牌的第二十一届中国（长沙）国际汽车博览会在长沙国际会展中心拉开帷幕，中国新能源汽车智能化发展进入全面加速期，各大车企以高阶智能技术抢占市场，并开始竞逐低空智慧交通新赛道．以下是款国产新能源汽车标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握相关定义是解答本题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D选项是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式乘法、积的乘方、二次根式的化简与乘法运算法则逐一计算判断即可。 【详解】解：选项A：， A错误. 选项B：二次根式有意义需，可得，， B错误. 选项C：根据积的乘方法则，， C错误. 选项D：二次根式有意义需，根据二次根式乘法法则，， D运算正确. 5. 如图1，陀螺是中国传统文化的重要组成部分，其历史可追溯至7000多年前的河姆渡遗址，是世界上现存最古老的玩具之一，如图2，陀螺的轮廓可以近似抽象成是由圆柱和圆锥组合而成，那么该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，因此该组合体的左视图为上方的矩形与下方的等腰三角形组合． 【详解】解：从左面观察该陀螺(圆柱与圆锥的组合体)，圆柱的左视图为矩形，圆锥的左视图为等腰三角形， ∴该几何体的左视图是上方为矩形、下方为等腰三角形． 故选；B． 6. 如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键． 过三角形的角顶点作直线的平行线是解决问题的关键，然后利用两直线平行，内错角相等即可求出． 【详解】解：如图，过三角形的角顶点A作直线n的平行线l， ∵， ∴ ∴,， ∴． 故选A． 7. 如图，为的直径，弦与交于点，若，，则的度数为（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出  的度数，再利用圆的半径相等得到 ，进而求出  的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 9. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】左右平移时自变量满足 “左加右减”的平移法则，据此求出平移后的函数解析式，再根据正比例函数的常数项为0计算m的值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移3个单位长度后的函数解析式为 ， ∵平移后的函数是正比例函数， ∴． 解得． 10. 我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（ ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义即可判断①②；若，且，则，，据此可判断③；根据可得原方程为，解得，但不能得到，据此可判断④． 【详解】解：①，原说法正确； ②，原说法正确； ③若，且，则，，，原说法正确； ④∵， ∴， ∴，而并不一定成立，原说法错误； ∴说法正确的有3个， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 13. 命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是______ 【答案】如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，找出已知命题的题设和结论，即可写出其逆命题． 【详解】解：“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的题设为：如图一个三角形是等腰三角形，结论为：那么它底边上的高线和中线互相重合 ∴该命题的逆命题为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形 故答案为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形． 【点睛】此题考查的是写一个命题的逆命题，掌握逆命题的定义是解决此题的关键． 14. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交于点D，E，若，则的度数是_________． 【答案】##84度 【解析】 【分析】由作图可知，为线段的垂直平分线，则，，由，得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和．解题的关键在于确定角度之间的数量关系． 15. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为正整数，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根，则，再结合为正整数求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得，又为正整数， 或． 16. 如图，四边形的边与y轴的正半轴重合，垂直于x轴，反比例函数的图象经过四边形的对角线，的交点． （1）若，则___________； （2）若的面积为2，则k的值为___________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，以及三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）作于点E，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出即可； （2）由，可求得，，进而得，根据，可证，从而，可得，然后根据k的几何意义即可求解． 【详解】解：（1）作于点E，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8个小题，72分） 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】先化简零次幂、绝对值、算术平方根、正切值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据负指数幂求得x的值，再根据分式的混合运算法则化简，然后将x的值代入计算即可． 【详解】解：， ． 当时，原式． 【点睛】掌握以及分式的混合运算法则是解题的关键． 19. 为了宣传“绿色生活，环保先行”，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学生中各随机抽取名学生的测评成绩（成绩用表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 八年级名学生的测评成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生测评成绩在B组的是：，，，，，． 八、九年级抽取的学生测评成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八 九 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若成绩不低于分为优秀，且该校八年级有名、九年级有名学生参加了此次知识普及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数． 【答案】（1），， （2） 八年级学生的测评成绩更好， 理由： ∵平均值相同，八年级的中位数大于九年级的中位数， ∴八年级学生的测评成绩更好． （3）该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数分别为人、人 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义求出的值，利用扇形统计图求出A、C、D组的人数，根据中位数的定义求出的值，求出A组所占百分比，即可求出的值； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可得答案． 【小问1详解】 解：∵八年级名学生的测评成绩中，出现次，出现的次数最多， ∴八年级名学生的测评成绩的众数是，即， ∵九年级名学生的测评成绩C组的人数为，D组的人数为，B组的人数为人，成绩为：，，，，，， ∴九年级名学生的测评成绩的中位数为，即， ∵九年级A组的人数为（人）， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵八年级名学生的测评成绩中，A组的人数为人， ∴， ∴（人）， ∵， ∴（人）， ∴（人）， 答：估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数为人． 20. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）支点C离桌面l的高度为 （2）当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，易得四边形为矩形，那么可得，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作，过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 答：支点C离桌面l的高度为； 【小问2详解】 解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵， ∴， 当时， ； 当时， ； ∴， 答：当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约． 21. 发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． （1）求这两种图书的单价； （2）现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元 （2）方案1：购买24本A种图书，46本B种图书；方案2：购买25本A种图书，45本B种图书 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元，根据购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即B种图书的单价），再将其代入中，即可求出A种图书的单价； （2）设购买y本A种图书，则购买本B种图书，根据“购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：A种图书的单价是35元，B种图书的单价是30元； 【小问2详解】 设购买y本A种图书，则购买本B种图书， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为24，25， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买24本A种图书，46本B种图书； 方案2：购买25本A种图书，45本B种图书． 22. 如图，是的直径，点C在的延长线上，点D在上，连接，，，已知． （1）求证：是的切线； （2）过点B作的切线，与的延长线交于点E，若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为，易证，再证，从而可证，最后根据切线的判定，即可求证； （2）先利用“”说明，从而可求，再根据切线的性质和切线长定理，可得，，设，最后利用勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ，， ，则， 是的切线，是的切线，与的延长线交于点E， ，， 设，则，， 在中，， ，解得， ． 23. 在矩形中，为直线上的点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点为线段上一点，连接和，与相交于点． （1）如图1，若，平分，求证：∽． （2）如图2，若，点与点重合，为的中点，则的值是_______，与的位置关系是________． （3）如图3，若，且，探究与的位置和数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）， （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质和角平分线的定义得到，然后根据三线合一得到，进而得到，证明相似即可； （2）先得到四边形是正方形，然后证明，，根据全等三角形的性质解答即可； （3）根据矩形的性质得到∽，即可得到，然后证明，根据全等三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 证明：∵是由绕点逆时针旋转得到的， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴平分． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：记与的交点为点E， ∵是矩形，， ∴是正方形， ∴，，， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 又∵点P是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：；； 【小问3详解】 解：． 理由：∵， ∴为等腰直角三角形． 如图，记与交于点， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴三点共线，垂直平分． ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 由（2）可得． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 24. 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线． （1）求、的值； （2）过点的直线与抛物线另交于点，与直线交于点． ①若，求的值； ②如图2，将直线向下平移个单位，得到直线，交轴于点，交直线于点，过点作于点，设，求的最小值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把代入，得出，进而得出，代入可求出，得出抛物线解析式，配方后，即可得出； （2）①过点作对称轴于，过点作对称轴于，则，可得，得出，根据得出，即可求出，代入即可求出值；②根据平移的性质可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的面积得出，把所求式子配方，根据二次函数的性质即可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴． 把代入得，， 解得：， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 【小问2详解】 解：①如图，过点作对称轴于，过点作对称轴于，则， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴ ∴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：． ②∵将直线向下平移个单位，得到直线， ∴， ∵直线与轴平行， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形的面积为， ∴， ∵， ∴最小为． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及相似三角形的判定与性质、二次函数的性质及平移的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省初中毕业考试学情监测最后一套 数学 温馨提示： （1）本学科试卷分为试题和答题卡两部分，考试时间为120分钟，满分为120分； （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； （3）请你在答题卡上作答，答在本试题处无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，2025年湖南省生产总值达到元．将用科学记数法表示应为（   　）． A. B. C. D. 3. 年月日，汇聚了全球个知名汽车品牌的第二十一届中国（长沙）国际汽车博览会在长沙国际会展中心拉开帷幕，中国新能源汽车智能化发展进入全面加速期，各大车企以高阶智能技术抢占市场，并开始竞逐低空智慧交通新赛道．以下是款国产新能源汽车标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，陀螺是中国传统文化的重要组成部分，其历史可追溯至7000多年前的河姆渡遗址，是世界上现存最古老的玩具之一，如图2，陀螺的轮廓可以近似抽象成是由圆柱和圆锥组合而成，那么该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，弦与交于点，若，，则的度数为（ 　） A. B. C. D. 8. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 10. 我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（ ）个． ①；②； ③若是大于且小于的有理数，且，则； ④方程的解为． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 12. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 13. 命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是______ 14. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交于点D，E，若，则的度数是_________． 15. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为正整数，则的值为______． 16. 如图，四边形的边与y轴的正半轴重合，垂直于x轴，反比例函数的图象经过四边形的对角线，的交点． （1）若，则___________； （2）若的面积为2，则k的值为___________． 三、解答题（共8个小题，72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为了宣传“绿色生活，环保先行”，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学生中各随机抽取名学生的测评成绩（成绩用表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 八年级名学生的测评成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生测评成绩在B组的是：，，，，，． 八、九年级抽取的学生测评成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八 九 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若成绩不低于分为优秀，且该校八年级有名、九年级有名学生参加了此次知识普及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数． 20. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 21. 发奋识遍天下字，立志读尽人间书．2025年4月23日是第30个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，已知购买1本A种图书比1本B种图书多5元；购买6本A种图书与购买7本B种图书的价格相同． （1）求这两种图书的单价； （2）现决定购买A，B两种图书共70本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过2225元．请问有哪几种购买方案？ 22. 如图，是的直径，点C在的延长线上，点D在上，连接，，，已知． （1）求证：是的切线； （2）过点B作的切线，与的延长线交于点E，若，，求的长． 23. 在矩形中，为直线上的点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点为线段上一点，连接和，与相交于点． （1）如图1，若，平分，求证：∽． （2）如图2，若，点与点重合，为的中点，则的值是_______，与的位置关系是________． （3）如图3，若，且，探究与的位置和数量关系，并说明理由． 24. 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线． （1）求、的值； （2）过点的直线与抛物线另交于点，与直线交于点． ①若，求的值； ②如图2，将直线向下平移个单位，得到直线，交轴于点，交直线于点，过点作于点，设，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $