精品解析：　江苏省泰州市靖江市靖江外国语学校2026年九年级中考考前测试数学试题

靖江外国语学校2026年春学期九年级数学限时训练2026.6 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 食品安全是健康所系，更是安心所托．食品安全的含义有三个层次：食品数量安全、食品质量安全以及食品可持续安全．下列是关于食品安全的图标，其文字上方的图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 有机食品 B. 冷冻食品 C. 绿色食品 D. 无公害农产品 2. 如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图为甲、乙两地2024年12月1日日这5天每天最高气温的折线图，下列说法正确的是（ ） A. 甲地5天最高气温的中位数是8 B. 甲地5天最高气温的众数是6 C. 乙地5天最高气温的平均数是6 D. 乙地5天最高气温的方差比较小 4. 如图，直线 ，，则（ ） A. B. C. D. 5. 牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．二人五个少十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若2人一组，每组5个杏，则少10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有 个，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，在下列某一函数的图像上，且，那么这个函数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 的倒数是______． 8. 分解因式：___________． 9. 2025年我国人工智能企业数量超过6000家，核心产业规模预计突破12000亿元，数据“12000亿”用科学记数法表示为______． 10. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 11. 抛一枚均匀的硬币8次，其中有3次正面朝上，那么第9次抛硬币时正面朝上的概率是______． 12. 如图，点O是 外接圆的圆心，点I是 的内心．若，则的度数为________． 13. 某河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡 的坡比是，则 的长为________m． 14. 如图是一块质量均匀的三角形纸板，当手指尖托在F点处时，纸板能保持平衡，若 ， ，则 ______． 15. 如图1，在正方形 中， ， 分别为边 ， 上的动点，且 ．设 ， 两点之间的距离为 ， 的面积为 ， 与 的函数关系图象如图 所示．已知点 的横坐标为 ，则点 的纵坐标为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为， ， ，点 为线段 上的一个动点，连接 ，过点P作交y轴于点Q，当点 在 上运动时，点Q随之运动，设点Q的坐标为，则 的取值范围是________． 三、解答题 17. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1） _______．扇形统计图中 _______．并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数； （3）若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有多少人？ 19. 国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． （1）甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率． 20. 绵阳中华大熊猫苑面向公众运营以来，以大熊猫为主题的文创产品备受青睐．某文创店第一次用元购进一种大熊猫玩偶钥匙扣，很快售完，第二次又花元购进这款钥匙扣．已知每个钥匙扣第二次购进的成本比第一次便宜了 元，且第二次购进的数量是第一次的 倍． （1）求该店两次购进这款钥匙扣各多少个？ （2）第二次购进这款文创品后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气原因，游览量减少，该店决定将剩下的钥匙扣打六折销售．若要使销售完两次购进的钥匙扣后的总利润不低于元；则第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为多少元? 21. 我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． （1）如图 ，已知 ， ，，过点 能作出 的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； （2）如图 ，若 是矩形 的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将 用含 的代数式表示为______； （3）如图 ，已知四边形 中， ，， ， ．作出四边形 的“紫金线” ． 22. 如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的 点（在同一水平线上）测得 点， 点的仰角分别为 和 ，从 点测得 点的仰角为 ． （1）求 的度数； （2）求建筑物 的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 23. 如图， 为 外接圆 的直径，点C为线段 上一点（不与D，O重合），点B为 的延长线上一点，连接 并延长至点M，满足． （1）求证： 平分 ； （2）证明：． 24. 如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接 ，且． （1）求k的值； （2）在反比例函数的图象上取一点E，且E在直线 的下方．设直线与直线 相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标． 25. 综合与实践： 已知菱形 的边长为2， ，将该菱形绕顶点 按顺时针方向在平面内旋转至菱形． （1）若旋转后与垂直如图1，则旋转角 为______ ； （2）将 旋转至与 重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图） （3）菱形 在旋转过程中如图3，连接，，，为等腰三角形时，请直接写出的长． 26. 如图①，已知抛物线与x轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接 并延长，交抛物线于点Q． （1）______； （2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线 ，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由； （4）若抛物线与抛物线（其中 ）交于点C，过点C作直线 ，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，______．（请用含a，，的代数式来表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖江外国语学校2026年春学期九年级数学限时训练2026.6 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 食品安全是健康所系，更是安心所托．食品安全的含义有三个层次：食品数量安全、食品质量安全以及食品可持续安全．下列是关于食品安全的图标，其文字上方的图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 有机食品 B. 冷冻食品 C. 绿色食品 D. 无公害农产品 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B、选项图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞从物体的三视图中即有圆形又有正方形的物体可以堵住空洞，然后对各选项的视图进行一一分析即可． 【详解】解：∵既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞， ∴从物体的三视图来看，三视图中具有圆形和方形的可以堵住带有圆形空洞和方形空洞的小木板， A．正方体的三视图都是正方形，没有圆形，不可以是选项A； B．圆柱形的直径与高相等时的正视图与左视图都是正方形，俯视图是圆形，具有圆形与正方形，可以是选项B， C．圆锥的正视图与左视图都是三角形，俯视图数圆形，没有方形，不可以是选项C； D．球体的三视图都是圆形，没有方形，不可以是选项D． 故选择B． 【点睛】本题考查物体能堵住圆形空洞和方形空洞，实际上是考查物体的视图，掌握物体三视图中找出具有圆形和方形的物体是解题关键． 3. 如图为甲、乙两地2024年12月1日日这5天每天最高气温的折线图，下列说法正确的是（ ） A. 甲地5天最高气温的中位数是8 B. 甲地5天最高气温的众数是6 C. 乙地5天最高气温的平均数是6 D. 乙地5天最高气温的方差比较小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、平均数，根据中位数、众数、方差、平均数的定义列式计算并逐项分析即可得解，熟练掌握中位数、众数、方差、平均数的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：甲地5天气温分别为：、 、、 、， 乙地5天气温分别为：、、、 、 ， 故甲地5天最高气温的中位数是，甲地5天最高气温的众数为 和，故AB错误； 甲地5天最高气温的平均数是， 乙地5天最高气温的平均数是，故C正确； 乙地5天最高气温的方差是， 甲地5天最高气温的方差是， 故乙地5天最高气温的方差比较大，故D错误； 故选：C． 4. 如图，直线 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得，进而可得的值，证明，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．二人五个少十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若2人一组，每组5个杏，则少10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有 个，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用牧童总人数不变的等量关系，分别根据两种分杏情况表示出总人数，即可列出正确方程． 【详解】解：设杏有 个，两种分法的牧童总人数相等． ∵第一种分法中，2人一组，每组5个杏，少10个杏， ∴满足分组共需要个杏，组数为，总人数为． ∵第二种分法中，4人一组，每组8个杏，多2个杏， ∴实际分掉个杏，组数为，总人数为． ∵总人数相等，因此可得方程． 6. 已知点，，在下列某一函数的图像上，且，那么这个函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不同函数的增减性质，结合题干给出的横坐标大小关系和纵坐标的大小要求，逐一排除不符合的选项，即可得到结果． 【详解】解：已知三个点横坐标满足，由，逐一分析选项： A选项，对于， 随 增大而增大， ， ，不符合要求，排除； B选项，对于，由 可知，函数图像开口向上， 当时，， 当时，， 当时，点离对称轴最远，函数值最大，即最大，不符合要求， 当时，点离对称轴最远，函数值最大，即最大，不符合要求，； C选项，对于，函数图象在第一、三象限， 若，则，不符合要求； 若或， 随 的增大而减小，即，不符合合要求； 若，，不符合合要求； D选项，对于，当时，满足， 前两个点在第二象限，第三个点在第四象限； ，第二象限内 随 增大而增大， ，且为正数，为负数， 因此满足，符合条件． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 的倒数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，由此可解． 【详解】解：， 的倒数是， 故答案为：． 8. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 9. 2025年我国人工智能企业数量超过6000家，核心产业规模预计突破12000亿元，数据“12000亿”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将12000亿元转化为以元为单位的数，再根据科学记数法的定义确定 和 的值即可得到结果． 【详解】解： 亿． 10. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】19 【解析】 【分析】由一元二次方程的解、根与系数的关系得，，再代入即可求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 11. 抛一枚均匀的硬币8次，其中有3次正面朝上，那么第9次抛硬币时正面朝上的概率是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】抛均匀硬币是独立随机事件，每次抛硬币的结果互不影响，均匀硬币抛出正面朝上和反面朝上是等可能事件，据此可求解概率． 【详解】解：∵硬币为均匀硬币，每次抛硬币的结果相互独立，前8次的抛掷结果不影响第9次的结果，抛均匀硬币共有2种等可能的结果，其中正面朝上的结果有1种， ∴第9次抛硬币正面朝上的概率为． 12. 如图，点O是 外接圆的圆心，点I是 的内心．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．连接 ，由点I是 的内心可得平分 ，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接 ， ∵点I是 的内心， ∴平分 ， ∵， ∴， ∵点O是 外接圆的圆心， ∴， ∵ ， ∴． 故答案为： ． 13. 某河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡 的坡比是，则 的长为________m． 【答案】 【解析】 【分析】先根据坡度的概念求出 ，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵迎水坡 的坡比是，， ∴， 由勾股定理得． 14. 如图是一块质量均匀的三角形纸板，当手指尖托在F点处时，纸板能保持平衡，若 ， ，则 ______． 【答案】2 【解析】 【分析】得到F点为 的重心，作出辅助线，结合直角三角形斜边中线定理以及重心的性质求解即可． 【详解】解：根据题意可知，F点为 的重心， 延长 交 于点E，如图， ∵F点为 的重心， ∴ 为 边的中线， ∵ ， ， ∴， ∴． 15. 如图1，在正方形 中， ， 分别为边 ， 上的动点，且 ．设 ， 两点之间的距离为 ， 的面积为 ， 与 的函数关系图象如图 所示．已知点 的横坐标为 ，则点 的纵坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、动点问题的函数图象等内容，数形结合是解题的关键．结合图 可知正方形边长为 ，然后根据 识别半角模型，利用旋转，构造全等证明，，可得 ，当 时，则，设，在 中，勾股定理求得，进而得出，即可求解． 【详解】解：由图 可知，当 时，， 此时点 与 重合，点 与 重合， ， 解得： ， 如下图所示，在 延长线上取一点 ，使， 四边形 是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 当 时，则， ， 设，则，， 在 中，， ， 解得：， ， ，即， 点 的纵坐标为， 故答案为： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为， ， ，点 为线段 上的一个动点，连接 ，过点P作交y轴于点Q，当点 在 上运动时，点Q随之运动，设点Q的坐标为，则 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①当点 在 之间时，当延长 交 轴于点 ，即过点 作，垂足为 ，根据已知条件证明，得到，设，则，，从而得到 与 的函数关系式，求出最值，从而求出 的最值即可； ②过点 作，延长 交 轴于点 ，连接 ，当点 运动到点 处时，根据已知条件求出 ， 两点坐标，再根据其它各点坐标求出 ， ， ， ， ，从而根据勾股定理求出 和 的平方和， 于 的平方和，列出方程求出 即可； ③过点 作轴于点 ，延长 交 轴于点 ，连接 ，当点 运动到点 时，根据已知条件求出 ， 两点坐标，再根据其它各点坐标求出 ， ， ， ，从而根据勾股定理求出 ， ， 和 的平方和， 于 的平方和，列出方程求出 即可． 【详解】解：①如图所示：当点 在 之间时，当延长 交 轴于点 ，即过点 作，垂足为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，其中，则，设， ， ， ，， 当时， 有最大值， ， 当时， 有最小值0， ， 的取值范围为：； ②如图1所示，过点 作，延长 交 轴于点 ，连接 ，当点 运动到点 时， ，， 轴， ， ，， ， ， 轴， ， ， ，，， ， ，， 轴轴， ， ， ， ， ， ， ， ； ③如图2所示，过点 作轴于点 ，延长 交 轴于点 ，连接 ，当点 运动到点 时， ，， 轴， ， ， ， ，， ，，， ， 轴， ， ， 轴， ， ，， ， ， ， 轴轴， ， ， ， ， 的取值范围是：， 综上可知：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用几何动点问题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，坐标与图形等知识，解题关键是根据已知条件求出有关点的坐标和有关线段． 三、解答题 17. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【分析】（1）根据分式的混合运算，先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分后得到结果； （2）通过配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由，移项可得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 18. 2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1） _______．扇形统计图中 _______．并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数； （3）若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有多少人？ 【答案】（1）200，30， 补全条形图如图： （2）参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数为 （3）估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有240人 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用的人数除以所占的比例，求出 的中，再用的人数除以总数，求出 的值，求出的人数，补全条形图即可； （2）用360度乘以的人数所占的比例，进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴ ； 的人数为：， 图略； 【小问2详解】 ； 答：参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数为 ； 【小问3详解】 （人）； 答：估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有240人． 19. 国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． （1）甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； （2）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“D．专家系统”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． 【小问1详解】 ∵共有4个主题， ∴甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是； 【小问2详解】 列表如下： 乙 甲 共有12中等可能结果，其中甲乙都没有选择“D．专家系统”的共有6种结果． 所以 （甲乙都没有选择“ ．专家系统”）． 20. 绵阳中华大熊猫苑面向公众运营以来，以大熊猫为主题的文创产品备受青睐．某文创店第一次用元购进一种大熊猫玩偶钥匙扣，很快售完，第二次又花元购进这款钥匙扣．已知每个钥匙扣第二次购进的成本比第一次便宜了 元，且第二次购进的数量是第一次的 倍． （1）求该店两次购进这款钥匙扣各多少个？ （2）第二次购进这款文创品后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气原因，游览量减少，该店决定将剩下的钥匙扣打六折销售．若要使销售完两次购进的钥匙扣后的总利润不低于元；则第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为多少元? 【答案】（1） 第一次购进 个，第二次购进 个 （2） 第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为 元 【解析】 【分析】（1）根据两次进价的差价关系列分式方程求解； （2）根据总利润不低于要求元列一元一次不等式求解最低售价． 【小问1详解】 解：设第一次购进这款钥匙扣 个，则第二次购进这款钥匙扣 个， 根据题意得， 去分母得，  解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ； 答：该店第一次购进这款钥匙扣 个，第二次购进这款钥匙扣 个； 【小问2详解】 解：设第一次销售时每个钥匙扣的售价为 元， 第二次按原价销售的数量为（个），打折销售的数量为（个）， 根据题意得：， 化简得 ， 解得． 答：第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为 元． 21. 我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． （1）如图 ，已知 ， ，，过点 能作出 的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； （2）如图 ，若 是矩形 的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将 用含 的代数式表示为______； （3）如图 ，已知四边形 中， ，， ， ．作出四边形 的“紫金线” ． 【答案】（1） 过点 不能作出 的“紫金线”， 理由：设过点 能作直线“紫金线”交 于点 ， 如图： 则点 为 中点，满足平分面积， ， ， 与 周长不相等， 故不能平分该图形周长， 不能作出 的“紫金线”； （2） （3）如图，直线 即为所求： 【解析】 【分析】（1）设过点 能作直线“紫金线”交 于点 ，证出，得出 与 周长不相等，则可得出结论； （2）由题意得平分 ，当 是矩形 的“紫金线”，则 是 的垂直平分线，证明，得出，则可得出结论； （3）作出 的中垂线，记直线 与 ， 分别交于点 、 ，连接，证明直线 平分该图形周长，也平分该图形面积，则可得出答案． 本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得平分 ，当 是矩形 的“紫金线”， 则 是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线， ，， 四边形 是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，左右两部分梯形面积也一样， 即平分周长也平分面积， 直线 是矩形 的“紫金线”， ，， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：记直线 与 ， 分别交于点 、 ，连接， ． 直线 是 的垂直平分线， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得： ， ， ， ， 直线 平分该图形周长， ， ， 直线 平分该图形面积， 直线 为四边形 的“紫金线”． 22. 如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的 点（在同一水平线上）测得 点， 点的仰角分别为 和 ，从 点测得 点的仰角为 ． （1）求 的度数； （2）求建筑物 的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点C作于H，则，利用三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点E作于T，则，求出，则可求出；解 得到，解得到，，则解可得，则，解可得；再证明四边形是矩形， 得到 ，则. 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作于H，则， 由题意得，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于T，则， ∴， ∴； 在 中，， 在中，， ， 在中，， ∴， 在中，； ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴； 答：建筑物 的高度为 23. 如图， 为 外接圆 的直径，点C为线段 上一点（不与D，O重合），点B为 的延长线上一点，连接 并延长至点M，满足． （1）求证： 平分 ； （2）证明：． 【答案】（1）证明：∵ 为 的直径， ∴ ， ∴，， ∵， ∴ ， ∴ 平分 ． （2）证明：连接 ， ∵ ， ∴， ∴， 由（1）可知， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）由 为 的直径，可得 ，则可得 ，即可得 平分 ； （2）连接 ，证明，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接 ，且． （1）求k的值； （2）在反比例函数的图象上取一点E，且E在直线 的下方．设直线与直线 相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）设线段 交 轴于点 ，得到，求出 的解析式为，求得，利用待定系数法即可求出答案； （2）设，，求出直线 的解析式为，分四种情况分别求出F的坐标，代入求解，进而取合适的值即可． 【小问1详解】 解：如图，设线段 交 轴于点 ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线 的解析式为 ，则： ， 解得， ∴， 代入点得， ∴， 解得 ， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：设，， 设直线 的解析式为， 由得 ， ∴直线 的解析式为， ①当点 在第三象限且点 是 的中点时， ∴，， ∴， ∴， ∵点F在直线上， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，为原分式方程的解， ∴； ②当点 在第三象限且时，如图，作轴交 轴于点M，作轴交 轴于点N， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵点F在直线上， ∴， 解得 （舍去）或， 经检验，为原分式方程的解， ∴； ③当点 在第一象限且时，如图，作轴交 轴于点P，作轴交 轴于点Q， ∴， 同②可得， ∴， ∴， ∵点F在直线上， ∴， 解得 或（舍去）， 经检验， 为原分式方程的解， ∴； ④当点 在第一象限且点 是 的中点时，同①可得， ∵点F在直线上， ∴， 解得（舍去）或， 经检验，为原分式方程的解， ∴，此时点E在直线 的上方，不符合题意，舍； 综上可知，或或． 25. 综合与实践： 已知菱形 的边长为2， ，将该菱形绕顶点 按顺时针方向在平面内旋转至菱形． （1）若旋转后与垂直如图1，则旋转角 为______ ； （2）将 旋转至与 重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图） （3）菱形 在旋转过程中如图3，连接，，，为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）330 （2） （3） 或或或 【解析】 【分析】（1）先根据菱形性质及已知角度，确定相关角的度数并设交点 ，再由旋转后垂直关系，利用四边形内角和求出，从而得 ； （2）先作辅助线，依据菱形性质求相关线段长与三角形面积，再利用旋转性质推出角度与边长关系，算出另一三角形面积，进而得重叠部分面积； （3）根据题图分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵四边形 是菱形， ， ∴ ， ， 设交点与交点为 ， ∵旋转后与垂直， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 解：如图： 连接 、 交于点 ，延长 至点，连接 ， 与交于点 ， ∵四边形 是菱形， ∴ 平分 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是菱形，四边形由四边形 旋转得到， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ， ． 【小问3详解】 解：本题分多种情况讨论： ①当，如图，连接 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， 是等腰三角形， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ； ②当，如图，延长 至点， 当在 左侧；连接、，设与交于 ， 在中， ∵ 四边形是菱形， ∴ 为、中点， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ； 当在 右侧，连接、，设与交于 ， 根据上一情况可得： ，， ， ∴， ∴； ③当时，如图， 由①可知 是等边三角形， ∵ 四边形由四边形 旋转得到， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵， ， ∴四边形 是菱形， ∴，交于点， ∴ ， ， ∵ ， ∴， ∴， 综上， 或或或． 26. 如图①，已知抛物线与x轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接 并延长，交抛物线于点Q． （1）______； （2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线 ，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由； （4）若抛物线与抛物线（其中 ）交于点C，过点C作直线 ，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，______．（请用含a，，的代数式来表示） 【答案】（1） （2）4 （3）是定值， （4） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线中先求解出c的值，再将点代入即可求解出b的值； （2）先求解出抛物线和抛物线的表达式，设出点P的坐标，求出直线 的函数表达式，联立直线 与抛物线求解出点Q的坐标，由此可求解； （3）先求解出点C的坐标，求出直线 的函数表达式，联立直线 与抛物线求解出点N的坐标，由此可求解； （4）先联立抛物线和表示出点C的坐标，求出直线 的函数表达式，联立直线 与抛物线求解出点N的坐标，由此可求解； 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于两点、， ∴，解得， 即 ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴抛物线， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴，即， ∵点P是抛物线在第四象限内一点， ∴设点，其中， ∵点， 设直线 的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线 的函数表达式为， 联立，即， 则有，即， 解得或， ∴点， ∴； 【小问3详解】 解：∵抛物线与抛物线交于点C， 联立，即， 解得，则， ∴点， ∵点M是抛物线上的一点，且设点M的横坐标为m， ∴点M的纵坐标为， ∴点， 设直线 的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线 的函数表达式为， 联立，即， 可得，且点N的横坐标为n， 则， ∵点C的横坐标为， ∴， ∴， 即为定值； 【小问4详解】 解：∵抛物线与抛物线（其中 ）交于点C， 联立，即， 可得，则， ∴点， ∵点M是抛物线上的一点，且设点M的横坐标为m， ∴点M的纵坐标为， ∴点， 设直线 的函数表达式为， ∴，解得， ∴直线 的函数表达式为， 联立， 即， 可得，且点N的横坐标为n， 则， ∵点C的横坐标为， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $