精品解析：2026年江苏盐城市部分学校中考考前模拟数学试题

2025—2026学年度三模考试初三数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 血小板是人体内最小的细胞碎片，负责止血和凝血．某人的血小板直径约微米，相当于米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 6. 已知直线，将一块直角三角板按如图方式放置，其中，，A点落在直线m上，B点落在直线n上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ） A. B. C. D. 8. 在一次1000米长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程y（米）随所用时间x（秒）变化的图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A. 乙比甲先到达终点 B. 两人相遇前，甲的速度小于乙的速度 C. 甲的速度随着时间的增加而变快 D. 出发后120秒，两人行程均为500米 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不得写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 16的平方根是________． 10. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 11. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击6次，两人射击成绩的平均数都是9环，甲的方差是a，乙的方差是b且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则a___b．（选填“”，“”或“”） 12. 已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 13. 将二次函数的图象向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为_____． 14. 设、是方程的两个根，则________． 15. 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为_____． 16. 如图是一张平行四边形纸片为对角线，点分别在上（不与端点重合），，把沿直线翻折得到，点恰好落在边上，和分别与交于点；若，，则的值为______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程成演算步骤） 17. 计算：． 18. 解分式方程： 19. 先化简：，再从的范围中选择一个合适的整数代入求值． 20. 某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在A位置的概率为          ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 21. 如图，，，点在边上，和相交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）观察图象，不等式的解集为 ． 23. 某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： （1）设商品售价x元，则一天可以卖出________件； （2）当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 24. 如图，是的直径，点在延长线上，点在圆上，连接，，，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 25. 如图1所示，在水平地面上，一辆皮卡车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2所示，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3所示，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计． （1）如图3，填空：____________度，____________度； （2）求的长； （3）求物体上升的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）． 26. 根据下面的数学探究活动单，完成下列任务． 研究内容 等腰三角形 提出概念 如图，在凸五边形中，，，，则称这样的五边形为“等腰五边形”． （1）理解概念：如图，在菱形中，点、分别在边、上，且，连接．求证：五边形是“等腰五边形”； （2）探究性质：如图，在等腰五边形中，，，．求证：； （3）特例探究：如图，在矩形纸片中，，，剪裁掉两个全等的小三角形，使裁剪后的纸片为“等腰五边形”，且该“等腰五边形”中至少有条边相等．请直接写出裁剪掉的小三角形的最长的边长． （4）解决问题：如图，有一个等腰五边形花园，，，．为了美观，工作人员计划在花园内用栅栏围一个三角形区域，在里面种植风景树，其余区域种植花卉．已知点，分别在，上，且．按照设计要求，试求当时，的长． 27. 【创设情境】定义：如图1，若在边的同侧存在异于的点，有且，则称点为关于的直等积点． （1）【概念理解】 ①若，，则 ； ②如图2，用直尺和圆规作出关于的一个直等积点 （点在点的右侧），并过和交点作一直线将四边形的面积平分（不写作法但要保留作图痕迹）． （2）【初步运用】如图，正比例函数与反比例函数的图像相交于、两点，点，求关于的直等积点 的坐标． （3）【拓展提高】如图，抛物线与轴相交于、两点，点，关于的直等积点 恰好在此抛物线上． ①求二次函数表达式； ②若点在抛物线对称轴的右侧，为线段上的一个动点，始终与线段垂直，且交轴于点，当点沿线段从运动到，点在轴随之运动，点走过的路径长为 ．（直接写出结论）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度三模考试初三数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 4. 血小板是人体内最小的细胞碎片，负责止血和凝血．某人的血小板直径约微米，相当于米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法表示绝对值小于1的数的形式为，要求满足，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：∵ 科学记数法要求，选项A的，不符合要求，直接排除， 又∵ 左起第一个非零数字为，前面共有个零， ∴ ． 5. 一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体， 根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选B． 6. 已知直线，将一块直角三角板按如图方式放置，其中，，A点落在直线m上，B点落在直线n上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可知，，计算求解即可 【详解】解：直线， ∴． 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过球心作于，延长交于，设球的半径为，根据垂径定理求出的长，根据平行线间的距离处处相等和切线的性质表示出的长，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，设球的半径为， ， ， 由题意，四边形是长方形， ，， 又， ∴， ， 球放在长方体纸盒内， 球与相切， ∵， ∴， ， 在中，， ，解得， 即球的半径长是． 8. 在一次1000米长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程y（米）随所用时间x（秒）变化的图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A. 乙比甲先到达终点 B. 两人相遇前，甲的速度小于乙的速度 C. 甲的速度随着时间的增加而变快 D. 出发后120秒，两人行程均为500米 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象，根据函数图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得甲比乙先到达终点，故A错误； 根据图象可得甲的速度一直是米/秒，故C错误； 两人相遇前，乙的速度先是米/秒，后变为米/秒，故两人相遇前，甲的速度不一定小于乙的速度，故B错误； 出发后120秒，甲的行程为米，乙的行程为米，故D正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不得写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 16的平方根是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴的平方根是. 10. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积(底面半径，母线长)，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键． 11. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击6次，两人射击成绩的平均数都是9环，甲的方差是a，乙的方差是b且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则a___b．（选填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，据此比较与的大小即可． 【详解】解：∵甲射击成绩比乙射击成绩更稳定， ∴甲的方差小于乙的方差，即． 12. 已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】将原命题的条件与结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 13. 将二次函数的图象向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”求解即可. 【详解】解：将二次函数的图象向下平移个单位长度， 根据平移规律可得平移后的函数表达式为． 14. 设、是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得 和. 【详解】如果方程的两个实数根是，那么，. 可知：，所以． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系. 15. 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 16. 如图是一张平行四边形纸片为对角线，点分别在上（不与端点重合），，把沿直线翻折得到，点恰好落在边上，和分别与交于点；若，，则的值为______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】过作于，连接交于，交于，根据，设，由折叠可得垂直平分，则，，设，则，，利用，解得，再由得到，求出，接着证明，得到，最后代入计算即可． 【详解】解：过作于，连接交于，交于， ， ， ， ∴， 设，则，， ∴， 由折叠可得垂直平分， ∴，， 设，则，， ∴， ∵平行四边形纸片， ∴到的距离为， ∵， ∴， 解得， ， ∴，即， ∴， ∴， ，即， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程成演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1，然后检验即可． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同时乘，得， 移项合并同类项，得， 解得， 经检验，当时，，因此是原分式方程的解． 19. 先化简：，再从的范围中选择一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时， 【解析】 【分析】先计算小括号内的减法，再计算除法，然后确定符合条件的的值再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴且且， 又∵， ∴当时，原式． 20. 某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在A位置的概率为          ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）用树状图法列出所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再结合概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：甲共有4个等可能选择的车位，停放在A位置的情况只有1种， 因此甲停放在A位置的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图列举所有情况如下： 综上，共有种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在相邻车位的结果有种， 因此甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 21. 如图，，，点在边上，和相交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得 ，从而得到答案； （2）先证明，，再利用可证得． 【小问1详解】 解：在和中， ∵，， ∴ ， 又∵，， ∴ . 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 由（1）知 ， 又∵， ∴ ， 即， 在和中， ， ∴． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）观察图象，不等式的解集为 ． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）35 （3）或 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出m的值，从而得到反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式中求出k和b的值即可得到一次函数的表达式； （2）求出点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到反比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为， 在中，当时，， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示， 在中，当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，不等式的解集为或． 23. 某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： （1）设商品售价x元，则一天可以卖出________件； （2）当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 【答案】（1） （2）当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元 【解析】 【分析】（1）设商品售价x元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件，据此列出代数式即可； （2）先求出，再根据题意列出日利润w的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可． 【小问1详解】 解：设商品售价x元，则由题意可得， 即一天可以卖出件； 【小问2详解】 解：由题意可得， 解得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线，x为正整数， ∴根据抛物线对称性可知，当或时，取得最大值， 此时最大值为, 即当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元． 24. 如图，是的直径，点在延长线上，点在圆上，连接，，，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用直径所对圆周角为直角、等边对等角和，等量代换推出，从而证明是切线； （2）设，，先用勾股定理求出，再证，最后利用相似比结合三角函数定义求出． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：， 设，，则， ， ， 由（1）得，， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ， ． 25. 如图1所示，在水平地面上，一辆皮卡车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2所示，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3所示，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计． （1）如图3，填空：____________度，____________度； （2）求的长； （3）求物体上升的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）． 【答案】（1）30；53 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可得到答案； （2）解直角三角形即可得到答案； （3）解直角三角形求出的长，进而求出的长，再求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴；； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， 答：的长为； 【小问3详解】 解：在中，， 在中，， ， 答：物体上升的高度约为． 26. 根据下面的数学探究活动单，完成下列任务． 研究内容 等腰三角形 提出概念 如图，在凸五边形中，，，，则称这样的五边形为“等腰五边形”． （1）理解概念：如图，在菱形中，点、分别在边、上，且，连接．求证：五边形是“等腰五边形”； （2）探究性质：如图，在等腰五边形中，，，．求证：； （3）特例探究：如图，在矩形纸片中，，，剪裁掉两个全等的小三角形，使裁剪后的纸片为“等腰五边形”，且该“等腰五边形”中至少有条边相等．请直接写出裁剪掉的小三角形的最长的边长． （4）解决问题：如图，有一个等腰五边形花园，，，．为了美观，工作人员计划在花园内用栅栏围一个三角形区域，在里面种植风景树，其余区域种植花卉．已知点，分别在，上，且．按照设计要求，试求当时，的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ，， ， ，即， 五边形是等腰五边形． （2）证明：如图所示，连接、， 在和中： ， ， ，， ， ，即． （3）或5或或6 （4） 【解析】 【分析】（1）只需证明3个条件：、、，利用菱形四边相等、对角相等，结合证明即可； （2）连接、，先证，得到、，再证明 ，即可推出 ； （3）分两大类：裁剪出的“等腰五边形”有3条边相等和有4条边相等，根据题意画出对应的示意图，讨论求解即可； （4）连接，证明是等边三角形，得到；过点A作于点T，连接，解直角三角形可得；证明四边形是矩形，得到；设交于点G，过点G作于点N，证明四边形是矩形，得到，，；可证明，解直角三角形得到，；设，则，，进而得到；将绕点D顺时针旋转120度得到，连接，过点作交的延长线于点Q，证明，得到；证明，则，，；由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图所示，当时， ∴， ∴， 又∵与全等， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴五边形是“等腰五边形”； ∵， ∴此时裁剪掉的小三角形的最长的边长为6； 如图所示，当， ∴， ∴， 同理可得，且五边形是“等腰五边形”， 在中，由勾股定理得， ∴此时裁剪掉的小三角形的最长的边长为； 如图所示，当时， ∴，即， ∵与全等， ∴； 同理可证明五边形是“等腰五边形”， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴此时裁剪掉的小三角形的最长的边长为； 如图所示，当时， 同理可证明，且五边形是“等腰五边形”， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴此时裁剪掉的小三角形的最长的边长为5； 综上所述，裁剪掉的小三角形的最长的边长为或5或或6； 【小问4详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， 由（1）（2）可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 如图所示，过点A作于点T，连接， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴； 如图所示，设交于点G，过点G作于点N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，； 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，， ； 设， 在中，，， ∴， ∴； 如图所示，将绕点D顺时针旋转120度得到，连接，过点作交的延长线于点Q， ∴，， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得 解得或（舍去）， ∴， ∴． 27. 【创设情境】定义：如图1，若在边的同侧存在异于的点，有且，则称点为关于的直等积点． （1）【概念理解】 ①若，，则 ； ②如图2，用直尺和圆规作出关于的一个直等积点 （点在点的右侧），并过和交点作一直线将四边形的面积平分（不写作法但要保留作图痕迹）． （2）【初步运用】如图，正比例函数与反比例函数的图像相交于、两点，点，求关于的直等积点 的坐标． （3）【拓展提高】如图，抛物线与轴相交于、两点，点，关于的直等积点 恰好在此抛物线上． ①求二次函数表达式； ②若点在抛物线对称轴的右侧，为线段上的一个动点，始终与线段垂直，且交轴于点，当点沿线段从运动到，点在轴随之运动，点走过的路径长为 ．（直接写出结论）． 【答案】（1） ① ②如图所示，直等积点 即为所求，点为中点，直线将四边形的面积平分； （2） 或 （3） ① ② 【解析】 【分析】（1）①由​且两点在同侧，得，可得与的关系由、，结合直角三角形性质推导角度； ②先过作的平行线，满足等积条件再以为直径作圆，与上述平行线的交点即为，满足直角条件利用中心对称图形过中心的直线平分面积，找到四边形对角线交点作直线即可； （2）联立正比例与反比例函数解析式，求解得、坐标，利用结论，设点坐标，利用，即，通过列方程进行求解； （3）①令抛物线，得、坐标的表达式由等积条件得的纵坐标，结合在抛物线上得坐标的表达式，利用列方程，求解得的值，确定函数表达式； ②设、点坐标，由得斜率乘积为的关系，求出点纵坐标的表达式，结合的坐标范围，计算的纵坐标的变化区间，差值即为路径长． 【小问1详解】 ①解：∵，， ∴、、、四点共圆，且以为直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； ②解：∵且， ∴，且点在以为直径的圆上， ∴点为以为直径的圆和过点平行于的直线的交点上，且点在点的右侧， 延长、交于点，连接，交于点， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， 即平分四边形的面积； 【小问2详解】 解：联立 解得， ∴，， ∴， ∴为中点， 由（1）②可得，， 且的解析式为， ∴设过点且平行于的解析式为， 代入点，得， ∴直线得解析式为， 设点, ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得，， ∴点 的坐标为或； 【小问3详解】 ①设， ∵在轴上， ∴轴， ∴点纵坐标为， 设，， ∴， ∵， ∴在利用射影定理可得， ∴， 整理得， 解得​， 代入得抛物线表达式； ②令， 即， 解得，， ∵点在抛物线对称轴的右侧， ∴， 由①得抛物线表达式， 令， 即， 解得，， ∴， ∵为直线， ∴设，过点作于点， ∵， ∴，,， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得， 这是关于的开口向上的二次函数，对称轴， 在区间内：当时， 当时， 当时​， 点运动路径长为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $