期末复习：带电粒子在组合场中的运动、带电粒子在叠加场中的运动 专项训练-2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

**基本信息** 以“方法提炼为纲、问题解决为目”，系统构建组合场分段处理与叠加场受力分析体系，强化运动与相互作用观念及模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |带电粒子在组合场中的运动|3例+3变式|分段拆分→速度衔接→磁场轨迹几何分析，电场用动能定理/运动分解，磁场用洛伦兹力提供向心力|从电场到磁场运动衔接，以速度为桥梁构建“直线/类平抛-圆周”运动链| |带电粒子在叠加场中的运动|3例+3变式|受力化简（重力/电场力/洛伦兹力平衡或分解）→极值问题动能定理应用|从受力分析到运动类型判断，建立“平衡-变速-圆周”运动模型，渗透科学推理|

期末复习：带电粒子在组合场中的运动、带电粒子在叠加场中的运动专项训练 期末复习：带电粒子在组合场中的运动、带电粒子在叠加场中的运动专项训练 考点目录 带电粒子在组合场中的运动 带电粒子在叠加场中的运动 考点一 带电粒子在组合场中的运动 解题技巧点拨 1. 分段拆分：粒子在每个场区独立运动，一段一段分析，互不干扰； 1. 第一段求速度 · 加速电场：动能定理 ，直接求出进入下一场的初速度； · 偏转电场（类平抛）：分解速度 ，合速度为进入磁场的入射速度； 1. 场区衔接关键 离开前一个场的合速度大小、方向 = 进入后一个场的初速度；速度是两段运动唯一桥梁； 1. 磁场圆周运动分析 画轨迹，找圆心：两条洛伦兹力垂线交点/弦中垂线； 几何三角形求半径，联立 解方程； 1. 总时间计算 电场段：匀变速直线/类平抛时间；磁场段：（ 轨迹圆心角），总时间分段相加。 例1．（25-26高二下·四川凉山·阶段检测）如图，在xOy直角坐标系中，有一质量m＝1.0×10－12kg，带电量q＝2.0×10－10C的带正电的粒子（不计重力），垂直x轴从A点以v=200m/s的初速度进入x轴上方的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度B＝1T。粒子经磁场偏转后又从B点垂直x轴进入第四象限，第四象限中有平行于x轴负方向的匀强电场E，粒子随后经过y轴负半轴上的C点，此时速度方向与y轴负半轴成60°。已知OB＝OA。求： (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r和在磁场中运动的时间t； (2)第四象限中场强E的大小。 【答案】(1)1m， (2)300V/m 【详解】（1）粒子运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 代入数据解得r=1m 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中做圆周运动的时间 （2）设粒子运动到C点时，沿x轴负向的分速度大小为v1，则有 由牛顿第二定律得qE=ma 由匀变速直线运动的速度位移公式得 因粒子是垂直于磁场边界进入的，所以从该边界射出时，仍垂直于边界，所以有xOB=r 代入数据得E=300V/m 例2．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）如图空间直角坐标系将的空间划分为四个区域，区域存在沿轴负方向的匀强电场，II、III区域存在沿轴负方向的匀强磁场。在平面内区域放置一足够大的吸收屏，吸收屏下方紧靠处有一粒子源可向轴负方向发射速率为质量为带电量为的粒子（重力不计）。粒子运动经过点。且刚好打在屏上点，粒子打在吸收屏上即被吸收且不影响空间电、磁场分布。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)求匀强磁场的磁感应强度太小； (3)调节IV区域中电场强度大小为（电场方向不变），求粒子能打在吸收屏上的取值范围和粒子在第一象限运动到吸收屏的运动时间。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据题意可知，粒子从P到Q做类平抛运动，沿轴负方向有 解得 沿轴负方向有， 联立解得 （2）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 设粒子到达Q点时，速度方向与x轴成角，则有 可得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，从Q点进入磁场，从M点离开磁场。设粒子圆周运动半径为，速度为，由洛伦兹力提供向心力有 又有 由几何关系有 联立解得 （3）调节IV区域中电场强度大小为，则有 设粒子从点进入磁场，再从点离开磁场，粒子到达点时，速度方向与轴成角，则有，， 又有， 联立解得 则粒子要进入I区域，打在吸收屏上，需满足 解得 由几何关系可得，粒子在第一象限运动到距离为 则粒子在第一象限运动到吸收屏的运动时间 例3．（25-26高二下·新疆阿克苏·期中）在国内顶尖肿瘤治疗领域，质子治疗因其精准杀伤肿瘤细胞、对正常组织损伤小的优势，成为恶性肿瘤治疗的重要手段。其核心原理是利用带电粒子在电场和磁场中受力的特点，控制质子的运动轨迹和能量，实现对肿瘤的精准照射。如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、四象限存在匀强磁场，方向如图所示，第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场。一带电量为，质量为m的粒子（不计重力）从x轴上的A点沿y轴正方向以初速度进入第二象限，经电场偏转后从y轴上的M点与y轴正方向成45°进入第一象限，然后从x轴上的N点进入第四象限。求： (1)匀强电场的场强大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小B。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，在竖直方向，有 在水平方向，有 根据牛顿第二定律，有 联立解得 （2）粒子运动轨迹如图所示 设带电粒子运动到M点时，水平分速度为，则有 设速度方向与x轴正方向的夹角为，则 合速度为             在磁场中，由几何关系，解得              根据牛顿第二定律，有，解得 变式1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）钍核发生衰变生成镭核并放出一个粒子。设该粒子的质量为m、电荷量为q，它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极和间电场时，其速度为，经电场加速后，沿Ox方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，Ox垂直平板电极，当粒子从P点离开磁场时，其速度方向与Ox方向的夹角，如图所示，整个装置处于真空中。 (1)写出钍核衰变方程； (2)求粒子进入磁场时的速度； (3)画出磁偏转的轨迹，同时计算粒子沿圆弧运动的轨道半径R。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由质量数与核电荷数守恒可知，钍核衰变方程式为 （2）设粒子离开电场时速度为v，对加速过程，由动能定理得 解得 （3）磁偏转的轨迹如图所示 粒子在磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得 变式2．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如图所示，平面直角坐标系中，第一象限存在竖直向下的匀强电场（未知），第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度。有一个质量为，电荷量为的带正电粒子从原点以初速度，与轴正半轴夹角斜向上进入电场。粒子第一次经过轴上的点，坐标为，之后进入磁场。不计粒子重力，求： (1)电场强度； (2)第二次通过轴的坐标； (3)粒子从点开始计时，第二次到达点经历的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从点到点做斜抛运动，用时为 水平方向   竖直方向   联立解得，   （2）从点进入磁场时速度与轴正方向夹角仍为，之后进入磁场中做圆周运动   解得 由几何关系   故第二次通过轴的坐标为   （3）每次在磁场中运动的时间   经分析每在电场和磁场中各运动一次，出射点向右平移 故需要5次周期性运动恰好第二次到达点，经历的时间 变式3．（24-25高二下·广西柳州·期中）如图所示，一个质量为、电荷量为的微粒，在点（0，3m）以初速度平行轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，点（6m，0）和点（8m，0）分别是微粒第一、二次经过轴上的点。已知该微粒的比荷为，微粒重力不计，求： (1)微粒在电场中加速度的大小及电场强度的大小； (2)微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角； (3)磁感应强度的大小及微粒从运动到的时间。 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）微粒平行于轴正方向射入电场区域，在电场中从到的过程做类平抛运动，其在轴方向上做的是匀速直线运动，则有 解得微粒从到的运动时间为 微粒在轴方向做从静止开始的匀加速直线运动，设其加速度为，则有 解得 由牛顿第二定律有 解得电场强度的大小为 （2）设微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角为，沿轴方向的速度为，则有， 联立解得 则有 所以微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角为。 （3）根据题意，画出微粒的运动轨迹，如图所示： 微粒进入磁场时的速度为 由几何关系可知，微粒在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由牛顿第二定律有 解得磁感应强度的大小为 微粒在磁场中做匀速圆周运动的周期为 由几何关系可知，微粒在磁场中做匀速圆周运动从P到Q转过的圆心角为，则微粒在磁场中从P到Q的运动时间为 所以微粒从运动到的时间为 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 解题技巧点拨 1. 判断粒子是否计重力（微观不计，宏观带电小球必计）； 1. 画出全部受力：重力 、电场力 、洛伦兹力 ； 1. 受力化简： · 若 与 等大反向，抵消，只剩洛伦兹力； · 三力矢量和为零，匀速直线； · 均不平衡，速度分解处理； 1. 结合几何、动能定理、牛顿定律列式求解； 1. 求极值：轨迹最高点、最低点，洛伦兹力垂直速度，用动能定理算速度最值。 例1．（25-26高二下·四川南充·期中）如图所示，质量为的小球，带有的负电荷，套在一根与水平方向成角的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为，杆所在空间有磁感应强度的匀强磁场，小球由静止开始下滑。求： (1)小球下滑的最大加速度大小； (2)小球下滑的最大速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球带负电，沿杆下滑的过程中受到的洛伦兹力大小 由左手定则可知，小球受到的洛伦兹力方向垂直绝缘杆斜向下；随着小球速度的增大，洛伦兹力逐渐增大，垂直于绝缘杆方向由受力平衡可知，小球受到的支持力满足 小球与杆之间的摩擦力 沿绝缘杆方向，由牛顿第二定律可知，小球下滑的加速度满足 代入数据解得 故随着小球速度的增大，小球的加速度逐渐减小，初始释放时刻，小球的加速度具有最大值，为 （2）由小问（1）分析可知，当小球下滑的速度最大时，加速度为0，之后小球将做减速运动，故将代入表达式 解得 例2．（25-26高二下·河南·期中）如图，在光滑绝缘的水平面区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场；区域内存在沿轴正方向的匀强电场。质量为、电荷量大小为的带负电粒子1从点以一定速度释放，沿直线从坐标原点进入磁场区域后，与静止在点、质量为的中性粒子2发生弹性正碰，且有一半电荷量转移给粒子2。此后两粒子的带电情况不再变化。不计碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的附加效应。 (1)求电场强度的大小，以及粒子1到达点时的速度大小； (2)求两粒子第一次碰撞后瞬间的速度大小、； (3)若两粒子第一次碰撞后立即撤去电场，从两粒子第一次碰撞开始计时，求两粒子每次碰撞的时刻。 【答案】(1)， (2)， (3)若n为奇数，有；若n为偶数，有 【详解】（1）粒子1从到做匀速圆周运动，根据几何关系可得轨道半径 洛伦兹力提供向心力 解得粒子1到达点的速度 粒子1从点到点做直线运动，可知 解得电场强度 （2）两粒子发生完全弹性碰撞，系统动量守恒 系统机械能守恒 联立解得碰撞后瞬间速度大小为， 其中粒子1速度反向，带电属性：粒子1的一半负电荷转移给中性粒子2，因此两粒子均带负电，电荷量均为 （3）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 得轨道半径公式 代入粒子1的质量、速度和电荷量，得轨道半径 代入粒子2的质量、速度和电荷量，得轨道半径 粒子做匀速圆周运动的周期公式 分别计算两粒子的周期， 两粒子再次相遇时，转过的圈数均为整数，取两周期的最小公倍数，得相遇时间间隔 两粒子发生完全弹性碰撞，系统动量守恒 系统机械能守恒 联立解得碰撞后瞬间速度大小为v3=v0，v4=0 即3m的小球静止，m的小球以逆时针运动一周再次碰撞，时间间隔为 之后两小球将重复之前的运动情况。从第一次碰撞后（将此次碰撞计为第0次）开始算： 第一次碰撞有 第二次碰撞有 第三次碰撞有 第四次碰撞有 ………………………… 第n次碰撞：若n为奇数，有 若n为偶数，有 例3．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示，直角坐标系位于竖直平面内，在第Ⅳ象限存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为、方向垂直于平面向外，电场平行于轴；在第Ⅲ象限存在沿轴正方向的匀强电场，已知场强、的大小相等。一可视为质点、比荷为的带正电的小球，从轴上的点以初速度水平向右抛出，经过轴上的点进入第Ⅳ象限，在第Ⅳ象限恰能做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加速度，。求： (1)小球从点抛出的初速度大小； (2)小球在第Ⅳ象限的运动的半径； (3)小球从点出发到第二次经过轴负半轴所用的总时间； 【答案】(1)2m/s (2) (3)0.914s 【详解】（1）小球在第I象限做平抛运动，由运动学规律，在水平方向，有 在竖直方向，有 可得， （2）设小球平抛到M点时的速度大小为v，方向与x轴正方向夹角为，竖直分速度为，则 解得 又有 解得 在第IV象限，洛伦兹力提供向心力，有 解得轨道半径 （3）小球第一次在第IV象限运动的时间为 接着，小球沿与y轴成夹角方向进入第III象限，由于电场力和重力大小相等，其合力恰与小球进入第III象限的初速度v方向相反，故小球在第III象限做类竖直上抛运动，则由牛顿第二定律可得 由运动规律可知 则小球从A点出发到第二次经过y轴负半轴所用的总时间为 变式1．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）如图所示，在竖直平面内有距离为的平行板电容器A、B，两板与水平面夹角，B板右侧存在垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向上大小为的匀强电场。现有一质量为、电荷量为带正电小球，以速度从A板边缘沿水平直线运动至右侧，恰好从B板边缘进入磁场区域，不考虑平行板电容器的边缘效应，重力加速度为。 (1)求AB板的电势差和小球进入磁场时的速度； (2)为使小球从右侧叠加场出来后再次能进入AB板，求右侧磁感应强度至少为多大？ 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）带电小球在平行板电容器中做直线运动，可知电场力和重力的合力水平向左，竖直方向根据平衡条件可得 解得 小球在平行板电容器中做直线运动过程中，由牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 根据运动学公式可得 解得小球进入磁场时的速度为 （2）小球在右侧叠加场中运动时，由于 可知小球在叠加场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得小球的轨迹半径 设小球从右侧叠加场出来后，恰好从A板右端边缘进入AB板，如图所示 小球从右侧叠加场出来后做平抛运动，根据几何关系可得， 联立解得 可知为使小球从右侧叠加场出来后再次能进入AB板，右侧磁感应强度至少为。 变式2．（25-26高二下·海南海口·期中）如图所示，在 xOy坐标平面的第一、四象限内有正交的匀强电场和匀强磁场Ⅰ，电场沿y轴负方向，磁场垂直于坐标平面向里，在第二、三象限内，以 为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小均为B，在磁场Ⅱ的边界上 点，若沿 PO₁方向射入一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子恰好从磁场Ⅱ边界上与圆心O₁等高的右切点 处垂直于 y轴的方向射出磁场Ⅱ，进入正交的电磁场。现仍将该粒子以大小相同的速度从P点以某一角度入射磁场Ⅱ，粒子经磁场Ⅱ偏转后从坐标原点O以垂直于 y轴的方向进入正交的电磁场，已知电场强度大小 不计粒子重力，求： (1)粒子沿PO₁方向射入时，粒子在磁场Ⅱ中运动的速度大小。 (2)粒子从 P点以大小相同的速度、不同角度入射后，从O点以垂直于y轴的方向进入正交的电磁场时在 P点的入射方向； (3)粒子在正交电磁场中运动过程中距x轴的最大距离； (4)粒子从O点进入正交电磁场后的运动轨迹与x轴相切点的横坐标。 【答案】(1) (2)斜向左上方与PO1夹角为 (3) (4) 【详解】（1）粒子沿PO₁方向射入时其轨迹如图所示， 由几何关系得轨道半径r=R。 由洛伦兹力提供向心力 得 （2）粒子速度大小不变，故轨迹半径仍为 设粒子入射速度与PO1夹角为，粒子的运动轨迹如下图所示 由几何关系得 解得 即入射速度方向斜向左上方与PO1夹角为 （3）粒子进入正交电磁场后，受电场力 可将粒子运动分解 其洛伦兹力 恰好抵消电场力 剩余速度 做匀速圆周运动，圆周半径 粒子在正交电磁场中运动过程中距x轴的最大距离 （4）若设粒子在正交电磁场中旋转的角速度，据前分析得 又粒子轨迹与x轴相切时 此时 得 坐标， 代入得 变式3．（25-26高二下·山东菏泽·期中）如图所示，在的区域，存在一个半径为的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里，该区域的圆心在（0，）；在的整个区域，存在磁感应强度大小为方向垂直于纸面向外的匀强磁场。在区域内存在电场强度大小为，方向沿轴正方向的匀强电场。在，区域内，有一束宽为的带电粒子，以平行轴正方向的相同速度射入圆形磁场后，都经过原点进入的区域。已知带电粒子的质量为，电荷量为，不计粒子重力和粒子间的相互作用。求： (1)带电粒子的速度大小； (2)若只考虑带电粒子第一次进入的区域，从直线上方返回粒子的运动不再考虑，回答下列问题： ①直线上，有自下而上粒子通过的线段的长度以及这些粒子在区域运动的最短时间； ②粒子在区域运动过程中，纵坐标的最大值。 【答案】(1) (2)①，；② 【详解】（1）在轴下方磁场中，带电粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 由题意可知轨迹半径为 联立解得 （2）①从点水平射向轴负方向的粒子，与交点在最左侧，由洛伦兹力提供向心力得 解得 则有   从点沿轴正方向进入区域的粒子，恰好与相切，此粒子在上的交点在最右侧，有 直线上有粒子通过的长度为 解得 粒子在运动的最短时间，对应最短的弦长，即从点正上方通过对应的弦长最短，由几何关系可知此时对应的轨迹圆心角为 则最短时间为 解得 ②粒子进入的区域后，其运动可以看作沿直线的匀速直线运动和平面内的匀速圆周运动的合成。其中沿直线的匀速直线运动的分速度满足 解得 沿轴正方向进入的粒子，其达到的值最大，对应在平面内的匀速圆周运动的分速度满足 方向与轴负方向的夹角满足 可得 由 解得 根据几何关系可知纵坐标的最大值为 解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：带电粒子在组合场中的运动、带电粒子在叠加场中的运动专项训练 期末复习：带电粒子在组合场中的运动、带电粒子在叠加场中的运动专项训练 考点目录 带电粒子在组合场中的运动 带电粒子在叠加场中的运动 考点一 带电粒子在组合场中的运动 解题技巧点拨 1. 分段拆分：粒子在每个场区独立运动，一段一段分析，互不干扰； 1. 第一段求速度 · 加速电场：动能定理 ，直接求出进入下一场的初速度； · 偏转电场（类平抛）：分解速度 ，合速度为进入磁场的入射速度； 1. 场区衔接关键 离开前一个场的合速度大小、方向 = 进入后一个场的初速度；速度是两段运动唯一桥梁； 1. 磁场圆周运动分析 画轨迹，找圆心：两条洛伦兹力垂线交点/弦中垂线； 几何三角形求半径，联立 解方程； 1. 总时间计算 电场段：匀变速直线/类平抛时间；磁场段：（ 轨迹圆心角），总时间分段相加。 例1．（25-26高二下·四川凉山·阶段检测）如图，在xOy直角坐标系中，有一质量m＝1.0×10－12kg，带电量q＝2.0×10－10C的带正电的粒子（不计重力），垂直x轴从A点以v=200m/s的初速度进入x轴上方的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度B＝1T。粒子经磁场偏转后又从B点垂直x轴进入第四象限，第四象限中有平行于x轴负方向的匀强电场E，粒子随后经过y轴负半轴上的C点，此时速度方向与y轴负半轴成60°。已知OB＝OA。求： (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r和在磁场中运动的时间t； (2)第四象限中场强E的大小。 例2．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）如图空间直角坐标系将的空间划分为四个区域，区域存在沿轴负方向的匀强电场，II、III区域存在沿轴负方向的匀强磁场。在平面内区域放置一足够大的吸收屏，吸收屏下方紧靠处有一粒子源可向轴负方向发射速率为质量为带电量为的粒子（重力不计）。粒子运动经过点。且刚好打在屏上点，粒子打在吸收屏上即被吸收且不影响空间电、磁场分布。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)求匀强磁场的磁感应强度太小； (3)调节IV区域中电场强度大小为（电场方向不变），求粒子能打在吸收屏上的取值范围和粒子在第一象限运动到吸收屏的运动时间。 例3．（25-26高二下·新疆阿克苏·期中）在国内顶尖肿瘤治疗领域，质子治疗因其精准杀伤肿瘤细胞、对正常组织损伤小的优势，成为恶性肿瘤治疗的重要手段。其核心原理是利用带电粒子在电场和磁场中受力的特点，控制质子的运动轨迹和能量，实现对肿瘤的精准照射。如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、四象限存在匀强磁场，方向如图所示，第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场。一带电量为，质量为m的粒子（不计重力）从x轴上的A点沿y轴正方向以初速度进入第二象限，经电场偏转后从y轴上的M点与y轴正方向成45°进入第一象限，然后从x轴上的N点进入第四象限。求： (1)匀强电场的场强大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小B。 变式1．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）钍核发生衰变生成镭核并放出一个粒子。设该粒子的质量为m、电荷量为q，它进入电势差为U的带窄缝的平行平板电极和间电场时，其速度为，经电场加速后，沿Ox方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，Ox垂直平板电极，当粒子从P点离开磁场时，其速度方向与Ox方向的夹角，如图所示，整个装置处于真空中。 (1)写出钍核衰变方程； (2)求粒子进入磁场时的速度； (3)画出磁偏转的轨迹，同时计算粒子沿圆弧运动的轨道半径R。 变式2．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如图所示，平面直角坐标系中，第一象限存在竖直向下的匀强电场（未知），第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度。有一个质量为，电荷量为的带正电粒子从原点以初速度，与轴正半轴夹角斜向上进入电场。粒子第一次经过轴上的点，坐标为，之后进入磁场。不计粒子重力，求： (1)电场强度； (2)第二次通过轴的坐标； (3)粒子从点开始计时，第二次到达点经历的时间。 变式3．（24-25高二下·广西柳州·期中）如图所示，一个质量为、电荷量为的微粒，在点（0，3m）以初速度平行轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，点（6m，0）和点（8m，0）分别是微粒第一、二次经过轴上的点。已知该微粒的比荷为，微粒重力不计，求： (1)微粒在电场中加速度的大小及电场强度的大小； (2)微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角； (3)磁感应强度的大小及微粒从运动到的时间。 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 解题技巧点拨 1. 判断粒子是否计重力（微观不计，宏观带电小球必计）； 1. 画出全部受力：重力 、电场力 、洛伦兹力 ； 1. 受力化简： · 若 与 等大反向，抵消，只剩洛伦兹力； · 三力矢量和为零，匀速直线； · 均不平衡，速度分解处理； 1. 结合几何、动能定理、牛顿定律列式求解； 1. 求极值：轨迹最高点、最低点，洛伦兹力垂直速度，用动能定理算速度最值。 例1．（25-26高二下·四川南充·期中）如图所示，质量为的小球，带有的负电荷，套在一根与水平方向成角的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为，杆所在空间有磁感应强度的匀强磁场，小球由静止开始下滑。求： (1)小球下滑的最大加速度大小； (2)小球下滑的最大速度。 例2．（25-26高二下·河南·期中）如图，在光滑绝缘的水平面区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场；区域内存在沿轴正方向的匀强电场。质量为、电荷量大小为的带负电粒子1从点以一定速度释放，沿直线从坐标原点进入磁场区域后，与静止在点、质量为的中性粒子2发生弹性正碰，且有一半电荷量转移给粒子2。此后两粒子的带电情况不再变化。不计碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的附加效应。 (1)求电场强度的大小，以及粒子1到达点时的速度大小； (2)求两粒子第一次碰撞后瞬间的速度大小、； (3)若两粒子第一次碰撞后立即撤去电场，从两粒子第一次碰撞开始计时，求两粒子每次碰撞的时刻。 例3．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示，直角坐标系位于竖直平面内，在第Ⅳ象限存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为、方向垂直于平面向外，电场平行于轴；在第Ⅲ象限存在沿轴正方向的匀强电场，已知场强、的大小相等。一可视为质点、比荷为的带正电的小球，从轴上的点以初速度水平向右抛出，经过轴上的点进入第Ⅳ象限，在第Ⅳ象限恰能做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加速度，。求： (1)小球从点抛出的初速度大小； (2)小球在第Ⅳ象限的运动的半径； (3)小球从点出发到第二次经过轴负半轴所用的总时间； 变式1．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）如图所示，在竖直平面内有距离为的平行板电容器A、B，两板与水平面夹角，B板右侧存在垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向上大小为的匀强电场。现有一质量为、电荷量为带正电小球，以速度从A板边缘沿水平直线运动至右侧，恰好从B板边缘进入磁场区域，不考虑平行板电容器的边缘效应，重力加速度为。 (1)求AB板的电势差和小球进入磁场时的速度； (2)为使小球从右侧叠加场出来后再次能进入AB板，求右侧磁感应强度至少为多大？ 变式2．（25-26高二下·海南海口·期中）如图所示，在 xOy坐标平面的第一、四象限内有正交的匀强电场和匀强磁场Ⅰ，电场沿y轴负方向，磁场垂直于坐标平面向里，在第二、三象限内，以 为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小均为B，在磁场Ⅱ的边界上 点，若沿 PO₁方向射入一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子恰好从磁场Ⅱ边界上与圆心O₁等高的右切点 处垂直于 y轴的方向射出磁场Ⅱ，进入正交的电磁场。现仍将该粒子以大小相同的速度从P点以某一角度入射磁场Ⅱ，粒子经磁场Ⅱ偏转后从坐标原点O以垂直于 y轴的方向进入正交的电磁场，已知电场强度大小 不计粒子重力，求： (1)粒子沿PO₁方向射入时，粒子在磁场Ⅱ中运动的速度大小。 (2)粒子从 P点以大小相同的速度、不同角度入射后，从O点以垂直于y轴的方向进入正交的电磁场时在 P点的入射方向； (3)粒子在正交电磁场中运动过程中距x轴的最大距离； (4)粒子从O点进入正交电磁场后的运动轨迹与x轴相切点的横坐标。 变式3．（25-26高二下·山东菏泽·期中）如图所示，在的区域，存在一个半径为的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里，该区域的圆心在（0，）；在的整个区域，存在磁感应强度大小为方向垂直于纸面向外的匀强磁场。在区域内存在电场强度大小为，方向沿轴正方向的匀强电场。在，区域内，有一束宽为的带电粒子，以平行轴正方向的相同速度射入圆形磁场后，都经过原点进入的区域。已知带电粒子的质量为，电荷量为，不计粒子重力和粒子间的相互作用。求： (1)带电粒子的速度大小； (2)若只考虑带电粒子第一次进入的区域，从直线上方返回粒子的运动不再考虑，回答下列问题： ①直线上，有自下而上粒子通过的线段的长度以及这些粒子在区域运动的最短时间； ②粒子在区域运动过程中，纵坐标的最大值。 2 学科网（北京）股份有限公司 $