精品解析：2026年山西省运城市夏县中考二模 数学试题

数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 山西省内海拔最高点是被誉为“华北屋脊”的五台山叶斗峰，其海拔约为3061米，最低点是运城市垣曲县黄河口，其海拔约为180米．某兴趣小组将太原市的平均海拔800米记作0米，若五台山叶斗峰海拔记作米，则运城市垣曲县黄河口海拔可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 180米 2. 以数学家名字命名的现象广泛存在于数学定理、公式、常数、猜想、学科分支及奖项中．以下是四个用数学家名字命名的数学图形，其中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 欧拉螺线 C. 科赫雪花 D. 笛卡儿叶形线 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 山西博物院是首批国家一级博物馆，也是山西最大的文物征集、收藏、保护、研究和展示中心．最新数据显示，山西博物院馆藏共计件（组）．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一把直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小明发现某十字路口的交通信号灯以固定的规律亮灯，其规律是红灯亮20秒，然后绿灯亮30秒，接着黄灯亮3秒，当小明下次随机出现在路口，交通信号灯恰好是绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，坐标为的点在第四象限，若该点到两条坐标轴的距离相等，则a的值为（） A. 4 B. C. D. 9. 如图，在线段的两侧分别作正五边形和正六边形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知一次函数和满足以下三个条件：①一元一次方程的解为；②当时，；③当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 二元一次方程组的解为 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 13. 某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了12位同学，得到如下数据．则这12位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是______小时． 时长/小时 6 7 8 9 10 人数 2 1 5 3 14. 如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 15. 如图，在中，，，分别是线段，上的点，与相交于点，过点作于点，若，，，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）解方程：； （2）化简：． 17. 如图，是的直径，C为上一点，，过点C与相切的直线交的延长线于点D，连接．请判断的形状，并说明理由． 18. 如图所示是我国自主研发的电动垂直起降航空器“盛世龙”，又被称为“空中出租车”，盛世龙预计在年实现载人飞行．小明搜集的相关资料显示，从太原到北京铁路里程约为，空中航线约为，“盛世龙”的平均飞行速度与高铁的平均行驶速度相同，若乘坐盛世龙从太原到北京，盛世龙需要在换电站更换一次电池，用时．若盛世龙从太原飞至北京总用时比乘坐高铁节约，则按照小明搜集的数据计算，盛世龙从太原飞至北京总共需要多长时间？ 19. 为贯彻落实《儿童青少年健康促进行动计划（年）》要求，切实推进儿童青少年健康体重防控工作，引导学生树立合理膳食、科学运动、吃动平衡的健康理念，某校综合与实践小组对甲、乙、丙三名同学连续日的饮食热量摄入与运动消耗情况进行整理、描述和分析． 下面给出了部分信息． 信息：热量差值是指每日实际摄入的热量与身体消耗的总热量之间的差额，摄入热量消耗热量时形成热量盈余，体重增加；摄入热量消耗热量相近的前提下，优先比较热量差值的稳定性，热量差值越稳定，说明每日能量剩余（或缺口）越稳定，身体内环境更平稳，健康状况更优． 信息：①甲、乙两名同学一起运动，每日身体消耗的总热量均为． ②如图，甲、乙、丙三名同学连续日每日实际摄入的热量（单位：）统计如下，其中乙同学每日实际摄入的热量分别为，，，，，，，，，． ③如图2，丙同学连续日实际摄入的热量和身体消耗的总热量统计如下． 信息3：甲、乙、丙三名同学热量差值的平均数、中位数、方差分析． 同学 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 （1）计算：______；______． （2）下列说法正确的是______．（多选，填序号） ①因为甲、乙每日身体消耗的总热量相同，所以甲、乙生活习惯一样健康； ②在连续10日的跟踪结束后，相对乙同学和丙同学，甲同学会明显长胖； ③乙同学在饮食方面控制得比甲同学好． （3）如果要选择一名吃动平衡示范生，应该选谁，并说明理由． 20. 图1所示是树龄约3000年的晋祠卧龙柏，由于它形似卧龙，树身向南倾斜，主体树干头枕树龄约1500年的撑天柏，形若游龙侧卧而得名．某综合与实践小组成立卧龙柏和撑天柏研究小组，小组调研时，结合部分测量数据和查阅资料获得的数据制作了如下研究报告． 项目课题 晋祠卧龙柏和撑天柏研究报告 调查方式 ①查阅资料；②实地测量；③专家咨询 数据整理 研究过程 示意图绘制 实地测量： ①卧龙柏和撑天柏均生长在高度为1.5米的台基上，即米； ②卧龙柏主体树干被撑天柏托住，其中，与的交点为M，F为的中点，垂直于水平面的支撑杆米； 查阅资料： ①卧龙柏主体树干顶端恰好经过圣母殿上檐翼角尖点B，点B距台基的高度为米，卧龙柏主体树干与水平面的夹角． （说明：为便于计算，图中所有涉及的点，均在同一竖直平面内） 工作人员评价 该小组同学在研究过程中，针对测量不到的数据主动查资料、抠细节、核数据，像真正的研究者一样，用证据说话，用逻辑求证，这才是做学问最珍贵的样子 …… …… 结合上述信息完成下列作答．（结果保留两位小数，参考数据：，，） （1）填空：结合研究报告计算______米； （2）工作人员提示，如图2，在主体树干上长出一根分枝，该分枝上最高点C也是卧龙柏的最高点，用一条虚线将整棵弯曲的卧龙柏的树根中心与树顶中心连接，即虚线，则虚线称为卧龙柏的整树等效中轴线，且卧龙柏的整树等效中轴线与水平面的夹角．若卧龙柏最高点在圣母殿上檐翼角尖点的正上方，求出卧龙柏最高点到地面的距离． （3）反思：研究小组在专业工作人员的指导下发现，不论是的长度还是卧龙柏的高度，计算结果与实际数据均有较大误差，请你结合上述信息分析产生误差的原因（写出一条即可）． 21. 阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 等径三角形 定义：若三角形中有一条边长等于该三角形外接圆的半径，则该三角形被称为等径三角形． 特例分析：如图1，是等径三角形，的外接圆半径． ①尺规作图：作的外接圆． ②结论：______（判断依据：____________）． 一般结论：如图2，是的弦，且等于的半径，C是上一动点．若记，，则： ①______； ②______． 问题解决： （1）尺规作图：在图1中，作的外接圆． （2）填空： ①“特例分析”中，______（判断依据：____________）． ②“一般结论”中，______；______． 22. 2026年山西省人民政府办公厅印发的《山西省加快能源绿色低碳转型发展实施方案》，文件明确提出：“立足就近接人、就近消纳，推动新能源与煤炭、交通、建筑、农业等多领域融合发展．有序推动风电、光伏发电项目改造升级，提升风光资源和土地利用效率．” 【数据收集】高平某农业园区积极响应政策，建成农光互补示范基地．以下是有关光伏板设置参数分析． 信息1：经实测，该地区大棚的每150平方米光伏板，在春秋两季，光伏板倾斜角x（单位：度）与日发电量y（单位：千瓦时）可近似满足下列函数关系： x/度 18 22 24 28 30 32 36 42 y/千瓦时 70 80 83.5 87.5 88 87.5 83.5 70 信息2：受季节变化影响，在春秋两季日发电量y的基础上： ①夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度； ②冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度． 【模型建立】 （1）求春秋两季时，日发电量y关于光伏板倾斜角x的函数解析式，分析题意，直接写出该园区光伏板夏季发电量最大时光伏板的倾斜角． （2）若园区预计升级新一代高效光伏组件，升级后的光伏板每150平方米的日发电量增加36千瓦时，直接写出该园区冬季升级后的光伏板日发电量与光伏板倾斜角x之间的函数解析式． 【问题解决】 （3）园区升级光伏板后，记夏季与冬季发电量差值为k，为保证全年发电量均衡，避免季节性发电波动明显． ①当发电量差值为0时，光伏板倾斜角x的度数为______； ②若要求每150平方米光伏板日发电量差值不超过5千瓦时，求光伏板倾斜角x的取值范围． 23. 综合与探究 【问题情境】图1是两张全等的直角三角形纸片，分别记为和，其中，，，老师将两张纸片拼接在一起，与在同一条直线上，连接，． 【猜想与证明】 （1）判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图2，将沿方向平移，当四边形是矩形时，取的中点O，如图3，将绕点O逆时针旋转，点D的对应点为，点E的对应点为，点F的对应点为． ①判断和的位置关系，并说明理由； ②当以B，C，为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出点到BC的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 山西省内海拔最高点是被誉为“华北屋脊”的五台山叶斗峰，其海拔约为3061米，最低点是运城市垣曲县黄河口，其海拔约为180米．某兴趣小组将太原市的平均海拔800米记作0米，若五台山叶斗峰海拔记作米，则运城市垣曲县黄河口海拔可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 180米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际意义，以800米为基准，高于基准记为正，低于基准记为负，计算黄河口海拔与基准的差值即可得到结果． 【详解】解：∵ 题目规定将太原市平均海拔800米记作0米，即基准为800米，高于基准记正，低于基准记负， 又∵ 运城市垣曲县黄河口实际海拔为180米， ∴ 米， 因此运城市垣曲县黄河口海拔可记作米． 2. 以数学家名字命名的现象广泛存在于数学定理、公式、常数、猜想、学科分支及奖项中．以下是四个用数学家名字命名的数学图形，其中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 欧拉螺线 C. 科赫雪花 D. 笛卡儿叶形线 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，是轴对称图形，故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，是轴对称图形，故不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式、同底数幂的运算法则逐一计算即可得出答案． 【详解】解：A.，计算错误，不符合题意； B.，计算正确，符合题意； C.，计算错误，不符合题意； D. ，计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 山西博物院是首批国家一级博物馆，也是山西最大的文物征集、收藏、保护、研究和展示中心．最新数据显示，山西博物院馆藏共计件（组）．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 5. 如图，将一把直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直尺两边平行，由“两直线平行，同位角相等”得到的同位角为，再结合直角三角尺的直角为，算出为． 【详解】解：如图， 直尺两条线互相平行， ， ， ． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 即不等式的解集为，在数轴上表示为 7. 小明发现某十字路口的交通信号灯以固定的规律亮灯，其规律是红灯亮20秒，然后绿灯亮30秒，接着黄灯亮3秒，当小明下次随机出现在路口，交通信号灯恰好是绿灯的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出交通信号灯一个完整亮灯周期的总时长，再用绿灯时长除以周期总时长，得到所求概率 【详解】解：首先计算一个完整亮灯周期的总时长， ∵红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒， ∴一个周期的总时长为 秒， 随机到达路口看到绿灯的概率为绿灯时长与总周期时长的比值， ∴所求概率为 8. 在平面直角坐标系中，坐标为的点在第四象限，若该点到两条坐标轴的距离相等，则a的值为（） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据第四象限内点的坐标特征得到横纵坐标的符号，再利用点到两坐标轴距离相等推出横纵坐标绝对值相等，去掉绝对值符号后列方程求解即可 【详解】解：∵点在第四象限 ∴， ∵点到两条坐标轴的距离相等 ∴ 得： 整理得 移项解得 9. 如图，在线段的两侧分别作正五边形和正六边形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】正多边形内角和公式，其中代表边数． 【详解】解：∵在线段的两侧分别作正五边形和正六边形， ∴，，， ∴， ∴． 10. 已知一次函数和满足以下三个条件：①一元一次方程的解为；②当时，；③当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 二元一次方程组的解为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件①②求出的和，再结合条件③逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴， ∵当时，， ∴时，，代入得， 把代入， 解得，故选项D错误； ∵当时，，整理不等式得， 解集为，不等号方向不变， ∴，即，故选项A错误； ∵时，说明时，两个一次函数交点的横坐标为， 把代入，得， ∴两个函数交点坐标为， 因此二元一次方程组的解为，故选项C正确； ∵当时，且， ∴当时，故选项B错误． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当时，此时的值即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ， 反比例函数的表达式为， 当时，， 解得：， 当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为． 13. 某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了12位同学，得到如下数据．则这12位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是______小时． 时长/小时 6 7 8 9 10 人数 2 1 5 3 【答案】8 【解析】 【分析】先根据总人数求出时长为10小时对应的人数，再根据平均数的计算公式计算即可 【详解】解：由题意得，总人数为，时长为10小时的人数为 ， 这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是：（小时） 14. 如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据皮带传动无滑动的特点，主动轮与从动轮转过的弧长相等，先计算主动轮转过的弧长，再利用弧长公式求出从动轮转动的圆心角． 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． 15. 如图，在中，，，分别是线段，上的点，与相交于点，过点作于点，若，，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交延长线于，根据直角三角形两锐角互余得出，根据及角的和差关系得出，根据角平分线的性质得出，利用证明得出，，利用“等积法”得出，设，则，，利用勾股定理列方程可求出，设，则，，利用勾股定理列方程可求出，根据线段的和差关系即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，（舍去），即， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）解方程：； （2）化简：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，是的直径，C为上一点，，过点C与相切的直线交的延长线于点D，连接．请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由如下： ∵是的直径，C为上一点，， ∴， ∵， ∴， ∵，分别是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵与相切于点C， ∴， ∵点D在的延长线上， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据弧与角的关系，平角的定义得到，根据圆周角定理得到，根据切线的性质、直角三角形两锐角互余得到，结合等腰三角形的定义即可求解． 【详解】略 18. 如图所示是我国自主研发的电动垂直起降航空器“盛世龙”，又被称为“空中出租车”，盛世龙预计在年实现载人飞行．小明搜集的相关资料显示，从太原到北京铁路里程约为，空中航线约为，“盛世龙”的平均飞行速度与高铁的平均行驶速度相同，若乘坐盛世龙从太原到北京，盛世龙需要在换电站更换一次电池，用时．若盛世龙从太原飞至北京总用时比乘坐高铁节约，则按照小明搜集的数据计算，盛世龙从太原飞至北京总共需要多长时间？ 【答案】 【解析】 【分析】设“盛世龙”从太原飞至北京总共需要，根据题意列分式方程，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设“盛世龙”从太原飞至北京总共需要， 根据题意得，． 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：盛世龙从太原飞至北京总共需要． 19. 为贯彻落实《儿童青少年健康促进行动计划（年）》要求，切实推进儿童青少年健康体重防控工作，引导学生树立合理膳食、科学运动、吃动平衡的健康理念，某校综合与实践小组对甲、乙、丙三名同学连续日的饮食热量摄入与运动消耗情况进行整理、描述和分析． 下面给出了部分信息． 信息：热量差值是指每日实际摄入的热量与身体消耗的总热量之间的差额，摄入热量消耗热量时形成热量盈余，体重增加；摄入热量消耗热量相近的前提下，优先比较热量差值的稳定性，热量差值越稳定，说明每日能量剩余（或缺口）越稳定，身体内环境更平稳，健康状况更优． 信息：①甲、乙两名同学一起运动，每日身体消耗的总热量均为． ②如图，甲、乙、丙三名同学连续日每日实际摄入的热量（单位：）统计如下，其中乙同学每日实际摄入的热量分别为，，，，，，，，，． ③如图2，丙同学连续日实际摄入的热量和身体消耗的总热量统计如下． 信息3：甲、乙、丙三名同学热量差值的平均数、中位数、方差分析． 同学 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 （1）计算：______；______． （2）下列说法正确的是______．（多选，填序号） ①因为甲、乙每日身体消耗的总热量相同，所以甲、乙生活习惯一样健康； ②在连续10日的跟踪结束后，相对乙同学和丙同学，甲同学会明显长胖； ③乙同学在饮食方面控制得比甲同学好． （3）如果要选择一名吃动平衡示范生，应该选谁，并说明理由． 【答案】（1）； （2）②③ （3）选择丙同学．理由如下： 甲同学热量差值平均数大于乙、丙同学，故排除甲同学；乙、丙同学热量差值平均数相同，但丙同学方差更小，热量差值更稳定，所以吃动平衡示范生应该选丙同学． 【解析】 【分析】（1）先根据乙同学每日摄入热量，计算热量差值并排序，用中位数定义求；再根据丙同学每日摄入与消耗热量，计算热量差值的平均数求 （2）结合热量盈余、平均数与方差的意义，对三个说法逐一判断． （3）根据吃动平衡的标准，结合热量差值的平均数、方差综合判断，选出最符合条件的同学． 【小问1详解】 解：乙同学每日摄入热量：，，，，，，，，，， 每日热量差值（摄入消耗，消耗为）： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将差值从小到大排序：，，，，，，，，，， ∴； 丙同学每日热量差值（摄入消耗）分别为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故， 【小问2详解】 解：①甲、乙每日消耗热量相同，但热量差值的平均数、方差不同，健康状况不同，故①错误； ②甲的热量差值平均数（）远大于乙（）、丙（），热量盈余更多，更容易长胖，故②正确； ③乙的方差（）小于甲的方差（），说明乙的热量差值比甲稳定，乙同学在饮食方面控制得比甲同学好，故③正确； 故正确的是． 【小问3详解】 略 20. 图1所示是树龄约3000年的晋祠卧龙柏，由于它形似卧龙，树身向南倾斜，主体树干头枕树龄约1500年的撑天柏，形若游龙侧卧而得名．某综合与实践小组成立卧龙柏和撑天柏研究小组，小组调研时，结合部分测量数据和查阅资料获得的数据制作了如下研究报告． 项目课题 晋祠卧龙柏和撑天柏研究报告 调查方式 ①查阅资料；②实地测量；③专家咨询 数据整理 研究过程 示意图绘制 实地测量： ①卧龙柏和撑天柏均生长在高度为1.5米的台基上，即米； ②卧龙柏主体树干被撑天柏托住，其中，与的交点为M，F为的中点，垂直于水平面的支撑杆米； 查阅资料： ①卧龙柏主体树干顶端恰好经过圣母殿上檐翼角尖点B，点B距台基的高度为米，卧龙柏主体树干与水平面的夹角． （说明：为便于计算，图中所有涉及的点，均在同一竖直平面内） 工作人员评价 该小组同学在研究过程中，针对测量不到的数据主动查资料、抠细节、核数据，像真正的研究者一样，用证据说话，用逻辑求证，这才是做学问最珍贵的样子 …… …… 结合上述信息完成下列作答．（结果保留两位小数，参考数据：，，） （1）填空：结合研究报告计算______米； （2）工作人员提示，如图2，在主体树干上长出一根分枝，该分枝上最高点C也是卧龙柏的最高点，用一条虚线将整棵弯曲的卧龙柏的树根中心与树顶中心连接，即虚线，则虚线称为卧龙柏的整树等效中轴线，且卧龙柏的整树等效中轴线与水平面的夹角．若卧龙柏最高点在圣母殿上檐翼角尖点的正上方，求出卧龙柏最高点到地面的距离． （3）反思：研究小组在专业工作人员的指导下发现，不论是的长度还是卧龙柏的高度，计算结果与实际数据均有较大误差，请你结合上述信息分析产生误差的原因（写出一条即可）． 【答案】（1） （2）卧龙柏最高点到地面的距离为22.77米． （3）解：示意图中树干直径忽略不计，而实际卧龙柏和撑天柏直径无法忽略不计；示意图中树干抽象为线段，而实际卧龙柏和撑天柏是蜿蜒的．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得米，解直角三角形求出，易证，利用相似三角形的性质即可求解； （2）解直角三角形求出，，即可解答； （3）结合实际解答即可． 【小问1详解】 解：在中，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点，即， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：在中，，，米， ∴． ∴（米）． 在中，，，米， ∴． ∴（米）， ∴（米）， 答：卧龙柏最高点到地面的距离为22.77米； 【小问3详解】 略 21. 阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 等径三角形 定义：若三角形中有一条边长等于该三角形外接圆的半径，则该三角形被称为等径三角形． 特例分析：如图1，是等径三角形，的外接圆半径． ①尺规作图：作的外接圆． ②结论：______（判断依据：____________）． 一般结论：如图2，是的弦，且等于的半径，C是上一动点．若记，，则： ①______； ②______． 问题解决： （1）尺规作图：在图1中，作的外接圆． （2）填空： ①“特例分析”中，______（判断依据：____________）． ②“一般结论”中，______；______． 【答案】（1） （2）①，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；②或， 【解析】 【分析】（1）在上截取，以为圆心为半径作圆，即可； （2）①根据题意可得是等边三角形，得出，根据圆周角定理，即可求解； ②分情况讨论，当在优弧和劣弧上，两种情况，根据含度角的直角三角形的性质求得边上的高，进而根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①连接， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴（同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半） ②当点在优弧上时，如图，过点作于点， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 当点在劣弧上时，如图， ∵是的内接四边形， ∴ 过点作 ∴ ∴ 综上所述，或； 22. 2026年山西省人民政府办公厅印发的《山西省加快能源绿色低碳转型发展实施方案》，文件明确提出：“立足就近接人、就近消纳，推动新能源与煤炭、交通、建筑、农业等多领域融合发展．有序推动风电、光伏发电项目改造升级，提升风光资源和土地利用效率．” 【数据收集】高平某农业园区积极响应政策，建成农光互补示范基地．以下是有关光伏板设置参数分析． 信息1：经实测，该地区大棚的每150平方米光伏板，在春秋两季，光伏板倾斜角x（单位：度）与日发电量y（单位：千瓦时）可近似满足下列函数关系： x/度 18 22 24 28 30 32 36 42 y/千瓦时 70 80 83.5 87.5 88 87.5 83.5 70 信息2：受季节变化影响，在春秋两季日发电量y的基础上： ①夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度； ②冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度． 【模型建立】 （1）求春秋两季时，日发电量y关于光伏板倾斜角x的函数解析式，分析题意，直接写出该园区光伏板夏季发电量最大时光伏板的倾斜角． （2）若园区预计升级新一代高效光伏组件，升级后的光伏板每150平方米的日发电量增加36千瓦时，直接写出该园区冬季升级后的光伏板日发电量与光伏板倾斜角x之间的函数解析式． 【问题解决】 （3）园区升级光伏板后，记夏季与冬季发电量差值为k，为保证全年发电量均衡，避免季节性发电波动明显． ①当发电量差值为0时，光伏板倾斜角x的度数为______； ②若要求每150平方米光伏板日发电量差值不超过5千瓦时，求光伏板倾斜角x的取值范围． 【答案】（1）春秋两季函数解析式为，夏季发电量最大时倾斜角为； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）观察表格数据可知，y是关于x的二次函数，且顶点坐标为，利用待定系数法即可求出春秋两季函数解析式，再根据夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度，可得顶点坐标，即可得到夏季发电量最大时光伏板的倾斜角； （2）根据题意，利用二次函数的平移规律即可解答； （3）先求出，①令，求解即可得出结果；②令求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：观察表格数据可知，y是关于x的二次函数，且顶点坐标为， 设函数解析式为 ， 代入点得​ 解得 ∴春秋两季函数解析式为， 夏季函数图象向左平移2个单位，顶点横坐标变为， 因此夏季发电量最大时倾斜角为； 【小问2详解】 解：冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度，再整体增加发电量36千瓦时（向上平移36个单位）， ∴； 【小问3详解】 解：同理（2）得升级后夏季函数解析式为， ①当差值，即时，则， 化简得， 解得， 则光伏板倾斜角x的度数为； ②由题意得，则， 即， 解得， 即光伏板倾斜角的取值范围为． 23. 综合与探究 【问题情境】图1是两张全等的直角三角形纸片，分别记为和，其中，，，老师将两张纸片拼接在一起，与在同一条直线上，连接，． 【猜想与证明】 （1）判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图2，将沿方向平移，当四边形是矩形时，取的中点O，如图3，将绕点O逆时针旋转，点D的对应点为，点E的对应点为，点F的对应点为． ①判断和的位置关系，并说明理由； ②当以B，C，为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出点到BC的距离． 【答案】（1）四边形是平行四边形． 理由如下：∵， ∴，． ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①． 理由如下：如图，连接，． ∵旋转前，四边形是矩形，O为的中点， ∴，． 由旋转可得，，，． ∴，． ∴≌， ∴． ∵，， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ②点到BC的距离为或或或 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质得出对应边与相等且平行，从而直接判定四边形为平行四边形； （2）①需抓住旋转前后图形的不变性，特别是矩形对角线交点到各顶点距离相等的性质，结合旋转全等关系证明，进而通过角度推导得出同旁内角互补，证得与平行；②解题关键在于运用轨迹思想与分类讨论，即点的运动轨迹是以为圆心的圆，需针对为等腰三角形的三种可能情形（、、），分别构建垂直平分线、等腰三角形等几何模型，利用勾股定理、相似三角形或面积法等工具，最终求出点到直线的距离． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ①略． ②解：当四边形为矩形时， 又 是的中点 由旋转性质可知 的轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示. 第一种情况：当时，在的垂直平分线上， 设的垂直平分线交于，交于 作于， 四边形为矩形 当时，到的距离等于或 第二种情况：当时，如下图， 在上取两点，使 作于，连结，，作于 则 到的距离为 同理到的距离为 当时，到的距离为 ③当时，如图在上取点，使，连接，，，设交于点 ， 在的垂直平分线上， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形、平行四边形与矩形的判定及性质，图形旋转的性质，以及分类讨论思想，解题的关键是熟练掌握几何图形的基本性质，并能灵活运用轨迹思想和分类讨论解决动点问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $