精品解析：2026年山西省运城市平陆县中考二模数学试题

数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列数中比小1的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出算式，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 即符合要求的数是． 2. 受力分析是研究力学的基础和关键．下列是简单的受力分析图，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，符合题意． 3. 山西坚定推进能源革命，加快构建新型能源体系．根据山西省政府工作报告，2026年计划安排风电光伏装机规模3000万千瓦，推动新能源产业规模化发展．数据3000万千瓦时用科学记数法表示为（ ） A. 千瓦时 B. 千瓦时 C. 千瓦时 D. 千瓦时 【答案】B 【解析】 【详解】解：3000万 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，，，计算错误； B、，计算错误. C、，计算错误； D、，计算正确． 5. 比例规，又称扇形圆规，由伽利略于1597年左右发明，是一种按比例放大或缩小线段、转绘与量测距离的简单工具．它由长度相等的两脚和交叉构成，交点处设有可滑动的指标旋钮，通过调节旋钮位置可改变两端脚针张距的比值．如图，当旋钮固定在刻度处（，）时，连接，．若的面积为，的面积为，则与的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 的面积为，的面积为， ∴． 6. 下列表格中列出的是一次性纸杯的高度y（单位：）与纸杯个数x的变化情况，则y与x满足的函数关系是（ ） 纸杯个数x 1 2 3 4 5 6 … 高度y/cm 8.5 9 9.5 10 10.5 11 … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察表格可知，y与x满足一次函数关系，再利用待定系数法求一次函数解析式即可得到答案． 【详解】解：观察表格可知，y与x满足一次函数关系， 设， 根据题意得：，解得：， ． 7. 如图，为的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用切线的性质结合三角形内角和定理得出，进而利用求出即可. 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 即：. 8. 山西老陈醋是中华老字号的瑰宝，其酿制技艺被列入国家级非物质文化遗产．为提升产能与品质，山西某知名醋企引进了国产先进的智能灌装生产线．已知该智能灌装生产线的灌装效率是一个工人人工灌装效率的倍．若该生产线灌装瓶老陈醋所用的时间，比一个工人手工灌装瓶所用的时间少小时，则该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋（ ） A. 15000瓶 B. 25000瓶 C. 30000瓶 D. 60000瓶 【答案】C 【解析】 【分析】设人工灌装生产线每小时可以灌装老陈醋瓶，则该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋瓶，根据题意，列出方程，即可 【详解】设人工灌装生产线每小时可以灌装老陈醋瓶，则该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋瓶，依题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋瓶 9. 2026年6月13日是“文化和自然遗产日”，某校为此举办“世遗守护人”选拔活动，准备了三张不同主题的“山西世遗”推荐卡：A．平遥古城，B．云冈石窟，C．五台山，这三张推荐卡除图案外，其他完全相同．参赛选手小明先从这三张卡中随机抽取一张进行模拟推介，记录下主题后不放回，再从剩下的两张卡中随机抽取一张作为补充素材．则小明抽取的两张推荐卡中，恰好有一张是“五台山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列表法得出所有等可能结果，统计符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 由表格可知，共有6种等可能的情况，其中恰好有一张是“五台山”的情况有4种， 则恰好有一张是“五台山”的概率是． 10. 如图，这是小林设计的一个图案，已知是边长为6的等边三角形，以三角形的三边分别为直径作半圆，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】交点分别记为点，，，并连接，，．过点作于点，证明是等边三角形，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，交点分别记为点，，，并连接，，．过点作于点， ， ． ∵由图可知，是弧的三等分点， ， 是等边三角形， ∵ ∴ ∴ ． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，将一副三角尺的直角顶点重合于点，，，，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 13. 下表记录了甲、乙两名射击爱好者连续5次射击的成绩（单位：环）．比较两人的成绩波动情况，成绩波动较大的是________． 选手 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 8 8 9 8 7 乙 7 10 9 8 6 【答案】乙 【解析】 【分析】判断成绩波动大小需计算两人成绩的方差，方差越大数据波动越大，计算并比较甲乙的方差大小即可得到结论。 【详解】解：首先计算甲的平均成绩：， 计算甲的方差：， 再计算乙的平均成绩：， 计算乙的方差：， ， 乙的成绩波动更大． 14. 我们来探究“雪花曲线”的相关问题：将第个图形中的正三角形的每条边三等分，以其居中的那一条线段为底边，向外作正三角形，然后以其两腰代替底边这样就得到第2个图形，再将第个图形中的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第个图形，……如此继续下去，则第个图形的边数是________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形找出规律即可. 【详解】解：观察规律可发现从第1个图形开始，每个图形的边数都是前一个图形边数的四倍， 即第个图形的边数为， 第个图形的边数为， 第个图形的边数为， 第个图形的边数为， 第个图形的边数为， ……， 第个图形的边数是． 15. 如图，在四边形中，对角线为，，，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，并且截取，连接，，勾股定理求得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，并且截取，连接，， 则是等腰直角三角形， ． 根据勾股定理得， ， ， 是直角三角形． 根据勾股定理得． ，， ，． ， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，再计算加减进行计算即可求解． （2）先计算完全平方公式，平方差公式进行计算，再根据多项式的除法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ， ∴当，时，原式． 17. 在临汾市某现代农业示范区，为高效完成春季“一喷三防”作业，农业服务队调用了A，B两种型号的北斗导航植保无人机．已知这两款无人机的药箱容量不同，作业效率也存在差异．2架A型无人机和3架B型无人机同时作业1小时，可完成165公顷小麦的喷洒任务；3架A型无人机同时作业1小时的喷洒面积，比2架B型无人机同时作业1小时的喷洒面积多20公顷．问1架A型无人机和1架B型无人机每小时各能完成多少公顷小麦的喷洒任务？ 【答案】1架A型无人机每小时能完成30公顷小麦的喷洒任务，1架B型无人机每小时能完成35公顷小麦的喷洒任务 【解析】 【详解】解：设1架A型无人机每小时能完成x公顷小麦的喷洒任务，1架B型无人机每小时能完成y公顷小麦的喷洒任务， 根据题意，可列二元一次方程组 解得 答：1架A型无人机每小时能完成30公顷小麦的喷洒任务，1架B型无人机每小时能完成35公顷小麦的喷洒任务． 18. 刀削面是山西面食代表，也是“中国十大面条”之一．某校举行了“家乡美食及烹饪常识”知识竞赛，现从该校八、九年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息． 八年级名学生的竞赛成绩是． 九年级名学生中，有名学生的竞赛成绩分别是 ． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出________． （2）该校八、九年级参加此次竞赛活动的学生人数分别为和，估计在本次竞赛中八、九年级成绩优秀（）的学生总人数． （3）分析上述信息，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对“家乡美食及烹饪常识”的知识掌握较好？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1） （2）人 （3）九年级学生对“家乡美食及烹饪常识”的知识掌握较好． 理由：∵九年级名学生的竞赛成绩从高到低排列第都是， ∴； 虽然八、九年级竞赛成绩的平均数相同，但是九年级的竞赛成绩的中位数、众数都比八年级的高， 因此九年级学生对“家乡美食及烹饪常识”的知识掌握较好． 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义即可解答； （2）根据样本分别计算出八九年级学生的优秀人数，先后利用优秀率计算公式计算出在本次竞赛中八、九年级成绩优秀总人数； （3）根据九年级的中位数和众数均高于八年级即可解答； 【小问1详解】 解：∵八年级名学生的竞赛成绩是，其中出现次数最多的成绩为：， ∴； 【小问2详解】 解：（人）； 答：估计在本次竞赛中八、九年级成绩优秀（）的学生共有人； 【小问3详解】 略. 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的对角顶点，． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点的坐标． （2）求平行四边形的面积． 【答案】（1）；点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）将，，代入，即可得出，，根据平行四边形的性质，以及平移的性质进而求得点的坐标； （2）连接并延长交轴于点，得出直线的解析式为，即可得出，求得，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过平行四边形的对角顶点，， ，， ， ，， 由题意知点是由点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的， 点的坐标为． 【小问2详解】 如图，连接并延长交轴于点， 设直线的解析式为， 由（1）可知：，， ， 解得 直线的解析式为． 当时，， ，， ， ． 20. 阅读与思考 下面是小云同学在复习“直角三角形”时，对“斜边中线”性质进行尺规作图探究的笔记片段．请认真阅读，并完成相应任务． 笔记内容 直角三角形斜边中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 为了证明这个定理，小云尝试了两种尺规作图的方法来证明． 方法一（构造矩形法）：如图2，在C中，，以点C为圆心，的长为半径画弧；再以点A为圆心，的长为半径画弧．两弧在上方交于点E，连接交于点D，则即所求． 思考与发现：通过观察上述作图过程，可以直观得出，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 方法一的证明过程：由作图可知，，四边形是平行四边形（依据）．，平行四边形是矩形，．，，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 方法二（平行线分线段成比例法）：如图3，在中，，是斜边上的中线，以点D为圆心，大于点D到距离的一半为半径画弧，交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的一半为圆心画弧，两弧交于点P，过作射线交于点E． 方法二的证明过程：由作图过程知，，又，，… 任务： （1）“方法一的证明过程”中“依据”处应填________． （2）利用尺规在图3中，按照所给的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （3）补全方法二的证明过程． 【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）补全图形如下图： （3）证明：由作图过程知， ， 又， ， ， 是斜边上的中线， ， ， 是边的中点， 是的垂直平分线， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）根据题意中的尺规作图补全图形即可； （2）由作图过程知，易证明，，再根据是斜边上的中线，求出是边的中点，进而得到是的垂直平分线，则，从而得出结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 21. 项目学习 项目背景：陶寺遗址古观象台是中国现存最早的古观象台遗址，由根夯土柱组成，呈半圆形排列．古人从观测点通过夯土柱夹缝观测塔尔山日出方位，确定季节、节气，安排农耕．综合实践小组的同学围绕“古观象台夯土柱高度的测量与计算”开展项目式学习活动，形成了如下活动报告： 项目主题 古观象台夯土柱高度的测量与计算 驱动问题 如何测量夯土柱的高度及太阳光在夹缝中的位置 活动内容 利用解直角三角形等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该遗址的实物图，图为测量方案示意图，观测点位于圆心，垂直于水平地面，夯土柱垂直于水平地面，为夯土柱上夹缝位置处的一点，点，，在同一竖直平面内．过观测点作交于点，则为观测点到夯土柱的水平距离，为观测点底座的高度．图中各点都在同一竖直平面内 数据测量 在观测点处测得夯土柱顶端的仰角为，测得夯土柱夹缝处的仰角为，观测点到夯土柱的水平距离为米，观测点底座高度为米 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算夯土柱的高度和太阳光在夯土柱夹缝中的位置到顶端的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，，） 【答案】太阳光在夯土柱夹缝中的位置到顶端的距离的长约为米，夯土柱高度的长约为米 【解析】 【分析】先在中求出，然后在中求出，则可求. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，和都是直角三角形， 米，米． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ， ， 答：太阳光在夯土柱夹缝中的位置到顶端的距离的长约为米，夯土柱高度的长约为米． 22. 综合与实践 问题情境： 当无人机悬停投放物资时，理想状态下物资的运动路径可近似用抛物线来描述．物资的运动可分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的自由落体运动．其中水平方向匀速直线运动的距离x（单位：m）满足：（v为水平初速度，t为时间，，）． 竖直方向物资运动时的竖直高度y（单位：m）满足：（h为无人机悬停投放物资时的高度，t为时间，，）． 联立两式消去时间t，可得物资运动时的竖直高度y（单位：m）与距投放点的水平距离x（单位：m）的函数关系式：． 实践探究： 两架无人机在同一铅垂线上不同高度处悬停，同时投放应急物资．如图，以投放点所在竖直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系． 物资A：由1号无人机投放，水平初速度为．监测发现，当水平距离为时，竖直高度为40m，其运动轨迹记为抛物线． 物资B：由2号无人机投放，投放点位于物资A正下方处，水平初速度为，其运动轨迹记为抛物线． 问题解决： （1）在平面直角坐标系中． ①分别求抛物线和的解析式； ②求与在第一象限内的交点P的坐标． （2）物资A和物资B是否会在点P碰撞？请通过计算说明理由．（提示：比较两物资到达点P所需时间是否相同，） （3）设物资A的落地点为C，物资B的落地点为D，为了避免两种物资落地后堆积难以分发，同时确保均能精准送达目标区域，需控制的距离，若，在不变的情况下，仅调整中的水平初速度v，请直接写出调整后中v的值． 【答案】（1）①：，：；② （2）不会碰撞， 理由：当时， 物资A的时间：， 物资B的时间：， ， 两物资到达点P的时刻不同， 物资A与物资B不会碰撞； （3）或 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线和的解析式； ②联立抛物线和的解析式，求出点坐标； （2）分别求出物资A和物资B到达点P时的时间，据此判断两者是否会在点P碰撞； （3）先求出点C、D的坐标，再利用列出绝对值方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①在中，将点代入得：， 解得：， 的解析式为，即， 在中，投放点在A正下方处， ， ， 的解析式为，即； ②联立和得：， 整理得：，， 解得， ， ， 将代入得：， 点P的坐标为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 （3）4.5m/s或10.5m/s． 解：在中，当时，， 解得：， 点C的坐标为， 在中，物资B的解析式为， 令得：， 解得：， 点D的坐标为， ， ， 当时，解得：， 当时，解得：， 综上所述，的值为或． 23. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师带领同学们开展与折叠有关的探究活动． 如图1，在中，，将沿翻折，点的对应点为点． 猜想证明： （1）若，判断四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： （2）当与不平行时，同学们进行了如下操作：过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①请就图2猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形是菱形， 理由：由题意知，，，， ， ， ， ， ， 即为等边三角形， ， 四边形为菱形； （2）①， 理由如下： ，， 四边形为平行四边形， ，， 由折叠可知，， ， ， ， ， ， ； ②或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可知，，，根据可证为等边三角形，根据等边三角形的性质可证，根据四条边相等的四边形是菱形可证四边形为菱形； （2）①根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可证，，由折叠可证，，从而可证，根据线段之间的关系可证； ②过点作于点，过点作交的延长线于点，分点在线段的延长线上和点在线段上两种情况求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：如下图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ， ， 同理， ， 则四边形为矩形， ， 当点在线段的延长线上时，如图， 由①知，， 在和中，，， ， ， 设，则， ． 由折叠得， ， 由勾股定理， ， 解得：，（负值舍去）， ； 当点在线段上时，如图， 同理可证，， ， 设，则，，，， 同理有， ， 解得：，（负值舍去）， ； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列数中比小1的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 受力分析是研究力学的基础和关键．下列是简单的受力分析图，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 山西坚定推进能源革命，加快构建新型能源体系．根据山西省政府工作报告，2026年计划安排风电光伏装机规模3000万千瓦，推动新能源产业规模化发展．数据3000万千瓦时用科学记数法表示为（ ） A. 千瓦时 B. 千瓦时 C. 千瓦时 D. 千瓦时 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 比例规，又称扇形圆规，由伽利略于1597年左右发明，是一种按比例放大或缩小线段、转绘与量测距离的简单工具．它由长度相等的两脚和交叉构成，交点处设有可滑动的指标旋钮，通过调节旋钮位置可改变两端脚针张距的比值．如图，当旋钮固定在刻度处（，）时，连接，．若的面积为，的面积为，则与的比值是（ ） A. B. C. D. 6. 下列表格中列出的是一次性纸杯的高度y（单位：）与纸杯个数x的变化情况，则y与x满足的函数关系是（ ） 纸杯个数x 1 2 3 4 5 6 … 高度y/cm 8.5 9 9.5 10 10.5 11 … A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 山西老陈醋是中华老字号的瑰宝，其酿制技艺被列入国家级非物质文化遗产．为提升产能与品质，山西某知名醋企引进了国产先进的智能灌装生产线．已知该智能灌装生产线的灌装效率是一个工人人工灌装效率的倍．若该生产线灌装瓶老陈醋所用的时间，比一个工人手工灌装瓶所用的时间少小时，则该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋（ ） A. 15000瓶 B. 25000瓶 C. 30000瓶 D. 60000瓶 9. 2026年6月13日是“文化和自然遗产日”，某校为此举办“世遗守护人”选拔活动，准备了三张不同主题的“山西世遗”推荐卡：A．平遥古城，B．云冈石窟，C．五台山，这三张推荐卡除图案外，其他完全相同．参赛选手小明先从这三张卡中随机抽取一张进行模拟推介，记录下主题后不放回，再从剩下的两张卡中随机抽取一张作为补充素材．则小明抽取的两张推荐卡中，恰好有一张是“五台山”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，这是小林设计的一个图案，已知是边长为6的等边三角形，以三角形的三边分别为直径作半圆，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 如图，将一副三角尺的直角顶点重合于点，，，，则的度数为________． 13. 下表记录了甲、乙两名射击爱好者连续5次射击的成绩（单位：环）．比较两人的成绩波动情况，成绩波动较大的是________． 选手 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 8 8 9 8 7 乙 7 10 9 8 6 14. 我们来探究“雪花曲线”的相关问题：将第个图形中的正三角形的每条边三等分，以其居中的那一条线段为底边，向外作正三角形，然后以其两腰代替底边这样就得到第2个图形，再将第个图形中的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第个图形，……如此继续下去，则第个图形的边数是________． 15. 如图，在四边形中，对角线为，，，，，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 在临汾市某现代农业示范区，为高效完成春季“一喷三防”作业，农业服务队调用了A，B两种型号的北斗导航植保无人机．已知这两款无人机的药箱容量不同，作业效率也存在差异．2架A型无人机和3架B型无人机同时作业1小时，可完成165公顷小麦的喷洒任务；3架A型无人机同时作业1小时的喷洒面积，比2架B型无人机同时作业1小时的喷洒面积多20公顷．问1架A型无人机和1架B型无人机每小时各能完成多少公顷小麦的喷洒任务？ 18. 刀削面是山西面食代表，也是“中国十大面条”之一．某校举行了“家乡美食及烹饪常识”知识竞赛，现从该校八、九年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息． 八年级名学生的竞赛成绩是． 九年级名学生中，有名学生的竞赛成绩分别是 ． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出________． （2）该校八、九年级参加此次竞赛活动的学生人数分别为和，估计在本次竞赛中八、九年级成绩优秀（）的学生总人数． （3）分析上述信息，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对“家乡美食及烹饪常识”的知识掌握较好？请说明理由（写出一条即可）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的对角顶点，． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点的坐标． （2）求平行四边形的面积． 20. 阅读与思考 下面是小云同学在复习“直角三角形”时，对“斜边中线”性质进行尺规作图探究的笔记片段．请认真阅读，并完成相应任务． 笔记内容 直角三角形斜边中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 为了证明这个定理，小云尝试了两种尺规作图的方法来证明． 方法一（构造矩形法）：如图2，在C中，，以点C为圆心，的长为半径画弧；再以点A为圆心，的长为半径画弧．两弧在上方交于点E，连接交于点D，则即所求． 思考与发现：通过观察上述作图过程，可以直观得出，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 方法一的证明过程：由作图可知，，四边形是平行四边形（依据）．，平行四边形是矩形，．，，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 方法二（平行线分线段成比例法）：如图3，在中，，是斜边上的中线，以点D为圆心，大于点D到距离的一半为半径画弧，交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的一半为圆心画弧，两弧交于点P，过作射线交于点E． 方法二的证明过程：由作图过程知，，又，，… 任务： （1）“方法一的证明过程”中“依据”处应填________． （2）利用尺规在图3中，按照所给的方法补全图形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （3）补全方法二的证明过程． 21. 项目学习 项目背景：陶寺遗址古观象台是中国现存最早的古观象台遗址，由根夯土柱组成，呈半圆形排列．古人从观测点通过夯土柱夹缝观测塔尔山日出方位，确定季节、节气，安排农耕．综合实践小组的同学围绕“古观象台夯土柱高度的测量与计算”开展项目式学习活动，形成了如下活动报告： 项目主题 古观象台夯土柱高度的测量与计算 驱动问题 如何测量夯土柱的高度及太阳光在夹缝中的位置 活动内容 利用解直角三角形等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该遗址的实物图，图为测量方案示意图，观测点位于圆心，垂直于水平地面，夯土柱垂直于水平地面，为夯土柱上夹缝位置处的一点，点，，在同一竖直平面内．过观测点作交于点，则为观测点到夯土柱的水平距离，为观测点底座的高度．图中各点都在同一竖直平面内 数据测量 在观测点处测得夯土柱顶端的仰角为，测得夯土柱夹缝处的仰角为，观测点到夯土柱的水平距离为米，观测点底座高度为米 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算夯土柱的高度和太阳光在夯土柱夹缝中的位置到顶端的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，，） 22. 综合与实践 问题情境： 当无人机悬停投放物资时，理想状态下物资的运动路径可近似用抛物线来描述．物资的运动可分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的自由落体运动．其中水平方向匀速直线运动的距离x（单位：m）满足：（v为水平初速度，t为时间，，）． 竖直方向物资运动时的竖直高度y（单位：m）满足：（h为无人机悬停投放物资时的高度，t为时间，，）． 联立两式消去时间t，可得物资运动时的竖直高度y（单位：m）与距投放点的水平距离x（单位：m）的函数关系式：． 实践探究： 两架无人机在同一铅垂线上不同高度处悬停，同时投放应急物资．如图，以投放点所在竖直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系． 物资A：由1号无人机投放，水平初速度为．监测发现，当水平距离为时，竖直高度为40m，其运动轨迹记为抛物线． 物资B：由2号无人机投放，投放点位于物资A正下方处，水平初速度为，其运动轨迹记为抛物线． 问题解决： （1）在平面直角坐标系中． ①分别求抛物线和的解析式； ②求与在第一象限内的交点P的坐标． （2）物资A和物资B是否会在点P碰撞？请通过计算说明理由．（提示：比较两物资到达点P所需时间是否相同，） （3）设物资A的落地点为C，物资B的落地点为D，为了避免两种物资落地后堆积难以分发，同时确保均能精准送达目标区域，需控制的距离，若，在不变的情况下，仅调整中的水平初速度v，请直接写出调整后中v的值． 23. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师带领同学们开展与折叠有关的探究活动． 如图1，在中，，将沿翻折，点的对应点为点． 猜想证明： （1）若，判断四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： （2）当与不平行时，同学们进行了如下操作：过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①请就图2猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $