随机抽样、用样本估计总体 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“随机抽样、用样本估计总体”核心模块，对接高考考查要求梳理了简单随机抽样、分层随机抽样、样本数字特征及百分位数等考点，通过考情分析明确分层抽样计算、方差估计等高频考点权重，归纳三大常考题型，构建系统复习框架。 课件特色在于“知识梳理+题型突破+真题训练”策略，如分层抽样方差计算结合公式推导培养运算能力，百分位数求解步骤化训练提升数据意识。含2025模拟题及易错点分析，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，高效备战高考。

　随机抽样、用样本估计总体 出现次数最多 最中间 s2 a2s2 C D D 65 67 2.5分 BC 165.3 166 45 B C ACD BC CD 答案 BC [知识梳理] 1．简单随机抽样 (1)放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． (2)分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数为，则＝＋＝＋. 在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 3．样本的数字特征 (1)众数：一组数据中 的那个数据叫做这组数据的众数． (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于 位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (3)平均数：把 称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．若数据x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是 ． (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差是s＝，若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则 ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差为 ； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为 ． m＋a (5)百分位数：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． [热身训练] 1．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个数据5，此时这8个数的方差s2的值为( ). A．　　　 B．3 C．　　　 D．4 2．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200的样本，则高中二年级被抽取的人数为( ). A．28　　　 B．32 C．40　　　 D．64 3．某校高一、高二、高三共有学生1 800名，为了了解同学们对某网络教学软件的意见，计划采用分层随机抽样的方法从这1 800名学生中抽取一个容量为72的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则该校高三年级的人数为( ). A．800　　　 B．750 C．700　　　 D．650 4．已知一组数据的频率分布直方图如图9.1­1所示，则众数是 ，平均数是 ． 图9.1­1 5．某次能力测试中，10人的分数统计如表9.1­1，则这10人分数的40%分位数为 ． 表9.1­1 分数 5 4 3 2 1 人数 3 1 2 1 3 题型1　分层随机抽样 角度1　分层随机抽样 【例1】(多选)航海模型项目深受青少年的喜爱．某学校为了解学生对航海模型项目的喜爱程度，用比例分配的分层随机抽样法从该学校高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做调查．已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图9.1­2所示，若抽取的样本中高三年级学生有32人，则下列说法正确的有( ). A．该校高一学生人数是2 000 B．样本中高二学生人数是28 C．样本中高三学生人数比高一学生人数多12 D．该校学生总人数是8 000 【解析】由题图可知高三年级学生人数占总人数的40%，抽取的样本中高三年级学生有32人，则抽取的学生总人数为＝80，则样本中高一学生人数为80×25%＝20，样本中高二学生人数为80×35%＝28，所以样本中高三学生人数比高一学生人数多32－20＝12.因为从该校所有学生中抽取的学生总人数是80，但抽取的比例不知道，所以该校高一学生人数和该校学生总人数求不出来，所以AD错误，BC正确． 角度2　分层随机抽样中的方差 【例2】在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可估计该中学高一年级全体学生的身高的均值为 ，方差为 50.4 ． 【解析】设24名男生身高的平均数为，方差为s，则＝170.5，s＝12.96.设26名女生身高的平均数为，方差为s，则＝160.5，s＝36.96，则可估计该中学高一年级全体学生的身高的均值为＝＝＝165.3，方差为s2＝[s＋(－)2]＋[s＋(－)2]＝×[12.96＋(170.5－165.3)2]＋×[36.96＋(160.5－165.3)2]＝50.4. 1．进行分层随机抽样的相关计算时，常利用以下关系式： (1)＝； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． 2．一个样本分为两层，样本量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]. 【变式】(2025·太原模拟)为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本数据的均值为170，方差为15，女生样本数据的均值为160，方差为30，则由上述数据估计该校高一年级全体学生身高数据的均值是 ，方差是 ． 【解析】估计该校高一年级全体学生身高数据的均值为×170＋×160＝166，方差为×[(170－166)2＋15]＋×[(160－166)2＋30]＝45. 题型2　总体集中趋势估计 【例3】某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).试验结果如表9.1­2： 表9.1­2 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 【解析】(1)由题意得z1，z2，…，z10的值分别为9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知＝11，2＝2＝，所以≥2，所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 总体离散程度的估计 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 【变式】某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生．为分析他们的英语成绩，该老师计划用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数． (1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01～60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端．求抽出的学生编号的中位数； 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198 3204　9243　4935　8200　3623　4869　6938　7481 2976　3413　2841　4241　2424　1985　9313　2322 8303　9822　5888　2410　1158　2729　6443　2943 (2)已知甲班的样本平均数为1＝72，方差为s＝92，两班总的样本平均数为＝76，方差为s2＝96. ①求乙班的样本平均数2和方差s； ②判断两班学生的英语成绩是否有明显差异．(如果|1－2|≥2，则认为两班学生的英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异) 【解析】(1)根据按比例分配的分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为18×＝10，在随机数表中依次读取的编号为48，38，29，34，13，28，41，42，24，19，编号从小到大依次为13，19，24，28，29，34，38，41，42，48，所以抽出的学生编号的中位数为＝31.5. (2)①依题意，样本中甲班学生有10人，乙班学生有8人，由按比例分配的分层随机抽样的平均数和方差的公式，得＝1＋2，因此2＝＝＝81，s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]，即96＝(92＋42)＋(s＋52)，解得s＝56，所以2＝81，s＝56. ②因为|1－2|＝|72－81|＝9，2＝2<2＝<9，所以|1－2|≥2成立，所以两班学生的英语成绩有明显差异． 题型3　百分位数 【例4】(1)为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三(1)班，高三(2)班各10名同学的体温(单位：℃)记录(从低到高)： 高三(1)班：36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0； 高三(2)班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1. 则高三(1)班这组数据的第25百分位数和高三(2)班第80百分位数分别为( ). A．36.3，36.7　　　 B．36.3，36.8 C．36.25，36.7　　　 D．36.25，36.8 【解析】10×0.25＝2.5，故选取按从小到大排列的第3个数据作为高三(1)班这组数据的第25百分位数，为36.3；10×0.8＝8，故选取按从小到大排列的第8个和第9个数据的平均数作为高三(2)班这组数据第80百分位数，为＝36.8. (2)《中国居民膳食指南(2022)》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：kg)，根据测量数据，按[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70]分成六组，得到的频率分布直方图如图9.1­3所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是( ). A．55　　　 B．57.25 C．58.75　　　 D．60 【解析】因为(0.01＋0.03＋0.08)×5＝0.6<0.75，0.6＋0.04×5＝0.8>0.75，所以该地中学生体重的第75百分位数在[55，60)内．设第75百分位数为m，则(m－55)×0.04＋0.6＝0.75，解得m＝58.75. 计算一组n个数据第p百分位数的步骤 【变式】(多选)(2025·潍坊模拟)某科技攻关青年团队有6人，他们的年龄分别为a，36，36，32，30，42.已知a为最小值，且这6人年龄的极差为14，则( ). A．a＝28 B．6人年龄的平均数为35 C．6人年龄的75%分位数为36 D．6人年龄的方差为 【解析】对于A，由题意得a为最小值，且6人年龄的极差为14，所以42－a＝14，解得a＝28，故A正确；对于B，6人年龄的平均数为＝34，故B错误；对于C，6×75%＝4.5，所以6人年龄的75%分位数为36，故C正确；对于D，6人年龄的方差为[(28－34)2＋(30－34)2＋(32－34)2＋(36－34)2＋(36－34)2＋(42－34)2]÷6＝，故D正确． 统计图 常见的统计图有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等． 【例题】(1)(多选)新式茶饮是指以上等茶叶的萃取浓缩液为底，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图9.1­4为2025年某地消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图． 图9.1­4 根据所给统计图，下列结论中正确的是( ). A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90% B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20% C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50% D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60% (2)(多选)(2024·合肥模拟)为了解我国农业、农村、农民的基本情况，将全国第三次农业普查的部分数据整理，得到如图9.1­5所示的柱状图(单位：%)，则( ). A．东北地区的四项数据均比中部地区高 B．西部地区的四项数据均比其他三个地区低 C．中部地区的发展情况相较于西部地区的发展较好 D．东部地区的发展情况相较于其他三个地区的发展较好 统计图的主要应用 (1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例． (2)折线图：描述数据随时间的变化趋势． (3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率． 【变式】(多选)(潍坊模拟)新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等．我国的新能源汽车发展开始于21世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一．图9.1­6分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比(占我国汽车年总产量的比例)情况，则( ). 图9.1­6 A．2017～2022年我国新能源汽车年产量逐年增加 B．2017～2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆 C．2022年我国汽车年总产量超过2 700万辆 D．2019年我国汽车年总产量不低于2018年我国汽车年总产量 $