25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根的判别式与公式法，通过“小红快速判断方程解的情况”问题导入，以配方法为基础推导判别式，再延伸至求根公式，构建从概念到应用的完整知识支架。 其亮点在于注重探究式学习，通过配方法推导判别式和求根公式，培养学生数学思维中的推理能力。结合典例精析（如已知根的情况求k取值范围）和实际问题（等腰三角形边长与方程根的关系），发展数学语言中的模型意识与应用意识。课堂总结结构化呈现知识要点，助力学生系统掌握，教师可借助丰富例题提升教学效率，学生能在推理与应用中提升逻辑思维和解决问题的能力。

25.2.2 公式法 第1课时 一元二次方程根的判别式 1．会用一元二次方程根的判别式判断根的情况（重点）． 2．能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围． 学 习 目 标 问题 老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？ 新 课 导 入 我们可以用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)． 移项，得 二次项系数化为1，得 合 作 探 究 5 配方，得 即 ∵a≠0，∴4a2＞0． 式子b2－4ac的值有以下三种情况: （1） （2） （3） 合 作 探 究 判别式的情况 一元二次方程根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 Δ≥0 一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac． ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 合 作 探 究 一元二次方程 Δ的值 根的情况 按要求填表： 0 4 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 合 作 探 究 3．判断根的情况，得出结论． 1．化为一般式，确定a，b，c的值． 根的判别式的使用方法 2．计算Δ的值，确定Δ的符号． 合 作 探 究 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0． 解：（1）这里a＝2，b＝1，c＝－4， ∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－4)＝33＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 典 例 精 析 这里a＝4，b＝－12，c＝9． ∵Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0， ∴原方程有两个相等的实数根． 解：（2）把原方程化为一般形式，得 4y2－12y＋9＝0． 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0． 典 例 精 析 解：（3）把原方程化为一般形式，得 5t2－6t＋5＝0． 这里a＝5，b＝－6，c＝5． ∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×5×5＝－64＜0， ∴原方程没有实数根． 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0． 典 例 精 析 方法总结 给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根． 典 例 精 析 例2 已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根． 解:（1）∵关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－3)2－4k＞0，即9－4k＞0， 解不等式，得k＜． ∵kx2－3x＋1＝0是一元二次方程，∴k≠0， 故k的取值范围是k＜且k≠0． 典 例 精 析 例2 已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根． 解：（2）取不等式k＜的一个正整数解k＝2， 则方程为2x2－3x＋1＝0． 应用配方法解这个方程，得x1＝1，x2＝． 典 例 精 析 方法总结 应用判别式求字母的取值范围的思路 利用根的判别式求待定字母的取值范围时，首先要根据方程的根的情况判断b²—4ac与0的大小关系，然后利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式(组),最后求解. 典 例 精 析 有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值． 解:（1）当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即(－12)2－4k＝0， 解得k＝36． 此时方程为x2－12x＋36＝0， 解得x1＝x2＝6． 长为3，6，6的线段能构成等腰三角形． 拓 展 提 升 有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值． （2）当3为等腰三角形的腰长时，x＝3是方程的根． 把x＝3代入方程，得9－36＋k＝0，∴k＝27， ∴方程为x2－12x＋27＝0，解得x1＝3，x2＝9． ∵3＋3＜9， ∴长为3，3，9的线段不能构成三角形， ∴k＝27不符合要求． 综上，k的值为36． 拓 展 提 升 1．一元二次方程x2－5x＋7＝0的根的情况是（　　） A A．没有实数根 　　　　　　 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 　　　　 D．有两个实数根 解析：∵Δ＝(－5)2－4×1×7＝－3＜0， ∴此方程没有实数根． 随 堂 练 习 2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋5＝a有实数根，则a的取值范围是（　　） D A．a＜1　　　　　B．a＞1　　　　　C．a≤1　　　　　D．a≥1 Δ≥0 解析：整理方程，得x2－4x＋5－a＝0， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴Δ＝16－4×1×(5－a)≥0， 解得a≥1， ∴a的取值范围为a≥1． 随 堂 练 习 3．关于x的方程m2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ． 且 解析：∵a＝m2，b＝2m＋1，c＝1，方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(2m＋1)2－4m2＝1＋4m＞0，∴m＞． 又二次项系数不为0， ∴m≠0，即m＞且m≠0． 随 堂 练 习 4．若关于x的方程kx2－4x＋2＝0有实数根，则k的取值范围为_________． k≤2 解析：分两种情况讨论． （1）若方程为一元一次方程，则k＝0， 方程化为－4x＋2＝0，解得 （2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0， 即(－4)2－4×k×2≥0且k≠0， 解得k≤2且k≠0， 综上所述，k的取值范围为k≤2． 随 堂 练 习 根的判别式Δ＝b2－4ac 与根的关系 应用 Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根 Δ＜0⇔方程没有实数根 不解方程确定方程根的情况 由根的情况确定字母的值或范围 课 堂 总 结 第2课时 用公式法解一元二次方程 2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程（重点、难点）． 1．了解一元二次方程求根公式的推导过程． 学 习 目 标 请用配方法解下列方程： 方程（1）用配方法比较简单，方程（2）用配方法比较复杂，对于方程（2）有没有更好的方法呢？ （1）x2－4x＋3＝0； （2）3x2－＝4． 解：（1）x2－4x＋3＝0， x2－4x＝－3， x2－4x＋22＝－3＋22， (x－2)2＝1， x－2＝±1， x1＝3，x2＝1． （2）3x2－＝4， x2－x＝， x2－x＋＝， ＝，x－＝±， ∴x1＝，x2＝ 复 习 导 入 用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． ， ， x2＋ ， 合 作 探 究 当b2－4ac≥0时， ， ， ， ． 合 作 探 究 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法． 当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式． 合 作 探 究 例1 （教材P11例3）用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0；　　　　　 （2）2x2－2x＋1＝0． （3）5x2－3x＝x＋1；　　　　 （4）x2＋17＝8x． 解：（1）这里a＝1，b＝－4，c＝－7． ∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0， ∴x＝＝＝2±． 即x1＝2＋，x2＝2－． ∴方程有两个不等的实数根， 典 例 精 析 解：（2）由题意得a＝2，b＝－2，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝81＝0， ∴x1＝x2＝－＝＝． 例1 （教材P11例3）用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0；　　　　　 （2）2x2－2x＋1＝0． （3）5x2－3x＝x＋1；　　　　 （4）x2＋17＝8x． ∴方程有两个相等的实数根， 典 例 精 析 此时a＝5，b＝－4，c＝－1． ∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0， ∴x＝＝＝． 即x1＝1，x2＝－． 例1 （教材P11例3）用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0；　　　　　 （2）2x2－2x＋1＝0． （3）5x2－3x＝x＋1；　　　　 （4）x2＋17＝8x． 解：（3）方程化为5x2－4x－1＝0． ∴方程有两个不相等的实数根， 典 例 精 析 此时a＝1，b＝－8，c＝17． ∴Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0， ∴方程无实数根． 例1 （教材P11例3）用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0；　　　　　 （2）2x2－2x＋1＝0． （3）5x2－3x＝x＋1；　　　　 （4）x2＋17＝8x． 解：（4）方程化为x2－8x＋17＝0． 典 例 精 析 用公式法解一元二次方程的步骤 1．把方程化为一般形式，一般应使a＞0； 2．指出一般式中的a，b，c的值； 3．计算代数式b2－4ac的值，判断其是否非负； 4．当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式求解． 典 例 精 析 例2 用公式法解方程：x2＋3＝2x． 解：将方程化为一般形式，得 x2－2x＋3＝0． 这里a＝1，b＝－2，c＝3． ∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝0， ∴x＝， 即x1＝x2＝． 此时b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根 典 例 精 析 35 例3 用公式法解方程，并求根的近似值（精确到0.01）： (x＋1)(3x－1)＝1． 解：将方程化为一般形式，得3x2＋2x－2＝0． 这里a＝3，b＝2，c＝－2． ∵b2－4ac＝22－4×3×(－2)＝28＞0， ∴x＝＝． 即x1＝≈≈0.55，x2＝≈≈－1.22． 典 例 精 析 方法总结 用公式法解一元二次方程，首先将方程化成一般形式，确定各项的系数(注意符号)，当b2－4ac≥0时，将各系数代入求根公式求解．注意只有在b2－4ac≥0的情况下才能使用公式法进行求解． 典 例 精 析 1．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是关于x的方程x2－6x＋8＝0的一个解，则这个三角形的周长为_______． 解析：x2－6x＋8＝0，这里a＝1，b＝－6，c＝8． ∵b2－4ac＝(－6)2－4×1×8＝4＞0， ∴x＝＝，即x1＝4，x2＝2． ∵6－3＜第三边的长＜6＋3，即3＜第三边的长＜9， ∴第三边的长为4． ∴这个三角形周长为3＋6＋4＝13． 13 随 堂 练 习 2．用公式法解方程：(x－2)(1－3x)＝6． 解：化为一般式，得3x2－7x＋8＝0， 这里a＝3，b＝－7，c＝8． ∵b2－4ac＝(－7)2－4×3×8＝49－96＝－47＜0， ∴原方程没有实数根． 随 堂 练 习 3．用公式法解下列一元二次方程． （1）x2－3x－2＝0； （2）－x2－2x＝2x＋1． 解：（1）∵a＝1，b＝－3，c＝－2， ∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝17＞0． ∴x＝＝． ∴． 随 堂 练 习 解：（2）方程化为x2＋4x＋1＝0． ∵a＝1，b＝4，c＝1， ∴b2－4ac＝42－4×1×1＝12＞0， ∴x＝＝． ∴x1＝，x2＝． 3．用公式法解下列一元二次方程． （1）x2－3x－2＝0； （2）－x2－2x＝2x＋1． 随 堂 练 习 4．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根为0，求m的值． 解：把x＝0代入原方程，得m2－3m＋2＝0． 这里a＝1，b＝－3，c＝2， ∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0， ∴m＝＝，即m1＝2，m2＝1． 又原方程为关于x的一元二次方程， ∴m－1≠0，即m≠1，∴m＝2． 随 堂 练 习 42 5．无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由． 解：方程化简为x2－5x＋6－p2＝0， ∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝4p2＋1≥1， ∴Δ＞0， ∴无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根． 随 堂 练 习 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（Δ值）； 四代（求根公式计算） 课 堂 总 结 $