精品解析：黑龙江绥化市海伦市2025-2026学年度第二学期质量检测九年级数学试卷

海伦市第十中学2025—2026学年度第二学期 质量检测九年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 年月，年中国（德州）国际台球产业博览会将在天衢国际会展中心举办，展览面积达平方米．将用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点P在上，，，若的面积为5，则的面积是（ ） A. B. 10 C. 9 D. 7. 某同学参加学校举行的“最强数学大脑”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A. 13 B. 28 C. 34 D. 36 9. 如图，是的外接圆，，弦平分并交于点，弦，连接，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 10. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，菱形的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，，反比例函数的图象经过点C，与交于点D，若的面积为30，则k的值等于（ ） A. B. 48 C. D. 12. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 计算：_____． 14. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 15. 因式分解=______． 16. 已知α，β是方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，则α2﹣2αβ﹣4α的值为_____． 17. 在平面直角坐标系中，有两点A（1，2），B（3，1），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍，得到，则点A的对应点的坐标是_______． 18. 计算的结果是____________． 19. 如图，某堤坝的横截面是梯形，若坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长为_____． 20. 如图，在矩形ABCD中，，，点E是矩形ABCD内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，则的最小值为___________． 21. 我们可以用符号表示代数式，当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，；如果a为奇数，．例如：．设；依此规律进行下去，得到一列数：（n为正整数），则________． 22. 如图，在中，，，将绕点O旋转到，连接，D是的中点，当时，的长为________． 三、解答题（共54分） 23. 已知：如图，矩形． （1）尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求的长． 24. 为激发青少年爱国热情，某校开展了“铭记历史，勿忘国耻！”为主题的历史知识百题竞赛活动，活动非常成功，全体参赛同学成绩均不低于60分及格线．随机抽取部分学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：，下面给出了部分信息：其中组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了多少名学生的竞赛成绩； （2）补全频数分布直方图： （3）学生成绩的中位数是多少分； （4）学校决定从竞赛成绩优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图方法求出所选的两位同学，恰为甲和丙的概率． 25. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变． （1）求、两种电动车的单价分别是多少元． （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ （3）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为（元）．已知每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）（元）、（元）与正常运营时间（天）之间分别满足关系式：．如图，试根据图象解决下列问题： 每辆车改装前每天的燃料费______元，每辆车的改装费______元，正常运营______天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本． 26. 如图，在中，，平分交于点D，点B为边上一点，以为直径的圆恰好经过点D． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 27. 综合与实践 问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 操作探究： （1）如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______． （2）若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 28. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． （1）求抛物线解析式； （2）当线段的长度最大时，求点P的坐标； （3）若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海伦市第十中学2025—2026学年度第二学期 质量检测九年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：A． 2. 年月，年中国（德州）国际台球产业博览会将在天衢国际会展中心举办，展览面积达平方米．将用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图．主视图、左视图是分别从物体正面、左面所看到的图形．依此即可求解． 【详解】解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意； B、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意； C、主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项符合题意； D、主视图为矩形，左视图为三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、对顶角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，根据对顶角相等得到，，再根据等量代换即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式加减运算、有理数乘法运算、完全平方公式及因式分解，熟记合并同类项、有理数乘法、完全平方公式及平方差公式因式分解是解决问题的关键． 依据合并同类项运算、有理数乘法法则、完全平方公式、平方差公式因式分解逐一判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：A、由于与不是同类项，不能合并，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、由平方差公式因式分解可知，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，，，点P在上，，，若的面积为5，则的面积是（ ） A. B. 10 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解本题的关键． 设，则，可得，再证明，可求得，，得出，最后用三角形面积法求解即可． 【详解】解：设，则， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 7. 某同学参加学校举行的“最强数学大脑”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和极差，根据平均数、中位数、众数和极差的定义判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设个评分排序后为， ∵中位数为，去掉和后剩余，其中位数为， ∴中位数不变， 平均数因总和改变可能变化，众数因数据减小可能变化，极差因最大值和最小值改变可能变化， 故选：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A. 13 B. 28 C. 34 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识．作轴于．只要证明，推出，，由，，推出，，推出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：作轴于． 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 正方形的面积， 故选：C． 9. 如图，是的外接圆，，弦平分并交于点，弦，连接，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，圆周角定理，已知圆内接四边形求角度，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，然后根据勾股定理计算，得到的半径． 【详解】解：如图，连接并延长，交于， 四边形为的内接四边形， ， ， 平分， ， ， 为等边三角形，， ， 由勾股定理得：， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为， 故选：A． 10. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据， 由题意得，, 故选：． 11. 如图，菱形的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，，反比例函数的图象经过点C，与交于点D，若的面积为30，则k的值等于（ ） A. B. 48 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得，再根据 的值即可求得菱形的边长，即可求得点的坐标，代入反比例函数即可解题是解题的关键. 【详解】作，设， ∵四边形为菱形， ， ， ， 同理 ， ， ， ， ， ， ， ，解得：， ， ∴点坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴代入点得： 故选: C. 12. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题是有关抛物线的一道综合性题目，主要考点是抛物线的对称性、开口方向判断二次项系数的符号、抛物线解析式的多种表示方法等．熟练掌握抛物线的定义和性质和解析式是解决此题的关键． ①根据抛物线的对称性求出与x轴的另外一个交点，观察图形即可判断其正确性；②把抛物线的对称轴用含有a、b的代数式表示出来，其开口方向又向下，即可判断其正确；③根据抛物线的解析式求出与y轴的交点用含有a的代数式表示出来，根据抛物线与轴的交点在和之间，即可求得a的取值范围；④由题可知二次函数过，即，结合对称轴可得，代入即可求解． 【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与轴另一个交点的坐标为， 当时，，故①正确； ②抛物线开口向下，故， 对称轴为， ， ，故②错误； ③设抛物线的解析式为，则， 令得：． 抛物线与轴的交点在和之间， ． 解得，故③正确； ④二次函数的图象与轴交于点， ， 对称轴为， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有3个 故选：C． 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方运算与零指数幂的性质，关键是牢记：①有理数乘方的定义，表示个相乘；②零指数幂的规则：任何不等于0的数的0次幂都等于1． 【详解】解：； 故答案为：． 14. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≥﹣2且x≠1　 【解析】 【详解】分析： 根据使分式和二次根式有意义的条件进行分析解答即可. 详解： ∵要使y=有意义， ∴ ，解得：且. 故答案为且. 点睛：熟记：“二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数；分式有意义的条件是：分母的值不为0”是正确解答本题的关键. 15. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 16. 已知α，β是方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，则α2﹣2αβ﹣4α的值为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】解：由α，β是方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，可得： ，， ∴； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 17. 在平面直角坐标系中，有两点A（1，2），B（3，1），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍，得到，则点A的对应点的坐标是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据位似图形的定义，以原点O为位似中心，将原三角形放大3倍，则对应点坐标也变为原来的3倍． 【详解】解：以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍， 则点A的横纵坐标都变为原来的3倍，对应的点或． 故答案是：或． 【点睛】本题考查位似图形，解题的关键是掌握位似图形的定义． 18. 计算的结果是____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，按照运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：1． 19. 如图，某堤坝的横截面是梯形，若坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，准确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点A作于点F，结合坡度以及特殊角度，分别计算出的长度，最终得出的长度． 【详解】解：过点A作于点F，如下图： ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵的坡度为， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 如图，在矩形ABCD中，，，点E是矩形ABCD内部一动点，且，点P是边上一动点，连接，则的最小值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化． 【详解】设点O为的中点，由题意可知，点E在以为直径的半圆O上运动， 作半圆O及线段关于的对称图形（半圆），点O的对称点为，点E的对称点为， 连接，，则， 易知当点D，P，，共线时，的值最小，为的长， 如图所示， 在中，，， ∴ 又∵ ∴，即的最小值为8 【点睛】本题考查线段和最短问题，轴对称的性质，以及圆周角定理等知识，解题的关键是将进行转化． 21. 我们可以用符号表示代数式，当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，；如果a为奇数，．例如：．设；依此规律进行下去，得到一列数：（n为正整数），则________． 【答案】11 【解析】 【分析】通过计算可以发现规律为：每7个数循环一次，再结合所求式子发现a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7-a8+a9-a10+a11-a12+a13-a14=14-14=0，则可得到所求式子=a1+a1-a2+a3-a4，将所求的每一项代入即可． 【详解】解：由题意可得，a1=6，a2=f（6）=3，a3=f（3）=16，a4=f（16）=8，a5=f（8）=4，a6=f（4）=2，a7=f（2）=1，a8=f（1）=6，…， 可以发现规律为：每7个数循环一次， ∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=6-3+16-8+4-2+1=14， ∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7-a8+a9-a10+a11-a12+a13-a14=14-14=0， ∵2020÷14=144…4， ∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2019-a2020=a2017-a1018+a2019-a2020， ∵2017÷7=288…1， ∴a2017=a1， ∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+…+a2019-a2020 = a1-a2+a3-a4 =6-3+16-8 =11， 故答案为11． 【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键． 22. 如图，在中，，，将绕点O旋转到，连接，D是的中点，当时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形，注意分类讨论是解题的关键． 分以下两种情况进行讨论：①当点在右边时，②当点在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：分以下两种情况进行讨论： ①如图．当点在右边时， ，， 为等腰直角三角形， ． ， ， 由旋转的性质，得， 为等边三角形， 是的中点， ，平分， ， ， ； ②如图，当点在左边时， ， ， 由旋转的性质，得， 是的中点， ， ； 综上，的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（共54分） 23. 已知：如图，矩形． （1）尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，，求的长． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求； （2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵由折叠可得， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 24. 为激发青少年爱国热情，某校开展了“铭记历史，勿忘国耻！”为主题的历史知识百题竞赛活动，活动非常成功，全体参赛同学成绩均不低于60分及格线．随机抽取部分学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：，下面给出了部分信息：其中组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了多少名学生的竞赛成绩； （2）补全频数分布直方图： （3）学生成绩的中位数是多少分； （4）学校决定从竞赛成绩优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图方法求出所选的两位同学，恰为甲和丙的概率． 【答案】（1）50名 （2）见解析 （3）分 （4） 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． （1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数； （2）进而可求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）画出树状图，根据树状图解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次共抽取了50名学生的竞赛成绩， 【小问2详解】 解：B组学生人数为人， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 25. 为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变． （1）求、两种电动车的单价分别是多少元． （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ （3）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为（元）．已知每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）（元）、（元）与正常运营时间（天）之间分别满足关系式：．如图，试根据图象解决下列问题： 每辆车改装前每天的燃料费______元，每辆车的改装费______元，正常运营______天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本． 【答案】（1）、两种电动车的单价分别为元、元 （2）当购买种电动车辆时，所需的总费用最少，最少费用为元 （3）；； 【解析】 【分析】（1）设电动车的单价是元，电动车的单价是元，根据题意列二元一次方程组，求解即可． （2）设购买电动车的数量是辆，电动车的单价是辆，，，即可得，能取的最大整数为，故当购买种电动车的数量最多，即辆时，所需的总费用最少，即总费用最少为． （3）利用待定系数法即可求得，，再由图象可得，正常运营天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本． 【小问1详解】 解：设电动车的单价是元，电动车的单价是元， 由题意可列， 解得： ∴、两种电动车的单价分别为元、元； 【小问2详解】 解：设购买电动车的数量是辆，电动车的数量是辆， 根据题意可得， ∴， ∵种电动车的数量不多于种电动车数量的一半， ∴，即， 解得： ∵为整数， ∴能取的最大整数为， ∵、两种电动车的单价分别为元、元， ∴当购买种电动车的数量最多，即辆时，所需的总费用最少， 故总费用最少为， ∴当购买种电动车辆时，所需的总费用最少，最少费用为元． 【小问3详解】 解：将代入中， 即， 解得：， 将代入中，即， 解得：， 由图象可得，当时，， ∴正常运营天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本， 故答案为：；；． 26. 如图，在中，，平分交于点D，点B为边上一点，以为直径的圆恰好经过点D． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：直线CE与相切，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵平分交于点D， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，则，由角平分线可得，则，，进而结论得证； （2）根据，求出，，再由勾股定理得，，证明，则，可求，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设半径为，即， 在中，，解得， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线，等边对等角，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，等边对等角，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 27. 综合与实践 问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 操作探究： （1）如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______． （2）若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2）①四边形为菱形；理由见解析；②；理由见解析 （3）或5 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，，根据，证明四边形为矩形，根据，即可证明四边形为正方形； （2）①根据折叠得出，，，证明，得出，证明，即可证明结论； ②先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 证明：①四边形为菱形；理由如下： 根据折叠可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②；理由如下： ∵E，F为边的三等分点， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形为矩形，， ∴，，， 根据折叠可知：，，， 当时，过点M作，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴此时点M在上， 根据解析（1）可知，此时四边形为正方形， ∴； 连接，如图所示： 根据勾股定理得：， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴与相等不存在； 综上分析可知：或5． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，菱形，矩形，正方形和平行四边形的证明，勾股定理，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 28. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． （1）求抛物线解析式； （2）当线段的长度最大时，求点P的坐标； （3）若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3），由时，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点， ， ， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点A，B， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：轴， ， ， 点， 点，则点， 则， 当时，最大．， ； 【小问3详解】 解：根据题意得，， 由（2）得，， ， ， 解得：（舍去）或， ∴点E的坐标为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $