第4节 基本不等式课件-2027届高三数学一轮复习

第4节　基本不等式 课标解读　1.掌握基本不等式.2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用. 1.基本不等式: (1)基本不等式成立的条件:　　　　　　.  (2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时取等号.  (3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数. 微点拨 基本不等式可描述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a>0,b>0 a=b 2.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值　　　　.  (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值　　　　.  注意:利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 2　 S2 常用结论 基本不等式的变形公式 (1)≥2(a,b同号,当且仅当a=b时,等号成立); (2)a2+b2≥2ab(a,b∈R,当且仅当a=b时,等号成立); (3)(a>0,b>0,当且仅当a=b时,等号成立); (4)ab≤()2≤(a,b∈R,当且仅当a=b时,等号成立). [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)y=x+的最小值是2.(　　) (2)y=x(2-x)的最大值是1.(　　) (3)若x>0,y>0且x+y=xy,则xy的最小值为4.(　　) (4)函数y=sin x+,x∈(0,)的最小值为4.(　　) × 解析 当x<0时,x+<0. √ √ × 解析 当x时,sin x∈(0,1).当y>0时,y+4,当且仅当y=,即y=2时,等号成立.故sin x+的最小值不为4. 2.(2025·北京,6)已知a>0,b>0,则(　　) A.a2+b2>2ab　　B. C.a+b> D. C 解析 当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误. 取a=b=,则=6,=9,所以故B错误. 因为a>0,b>0,所以a+b≥2故C正确. 因为a>0,b>0,所以>0,>0,所以2故D错误. 故选C. 3.(2021·全国乙,文8)下列函数中最小值为4的是(　　) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ C 解析 A项,y=(x+1)2+3,故ymin=3,故该项不符合题意;B项,设t=|sin x|,则y=t+,t∈(0,1].因为函数y=t+在区间(0,1]上单调递减,所以当t=1时,y取最小值,且ymin=1+=5,该项不符合题意;C项,y=2x+22-x=2x+,设t=2x,则t>0,于是y=t+2=4,当且仅当t=2,即x=1时等号成立.所以该项符合题意.D项,因为当x∈(0,1)时,ln x<0,所以存在x使y<0,故该项不符合题意.故选C. 4.(人A必修一教材习题改编)已知x>0,则2-3x-的最大值是　 .  2-4 解析 因为x>0,由基本不等式可得2-3x-=2-(3x+)≤2-2=2-4,当且仅当3x=,即x=时,等号成立,所以2-3x-的最大值是2-4 5.(人B必修一教材习题改编)已知x∈(-2,5),则y=(2+x)(5-x)的最大值是　　　　,此时x的值为　　　　.  解析 ∵x∈(-2,5),∴2+x>0,5-x>0,∴y=(2+x)(5-x)≤()2=当且仅当2+x=5-x,即x=时,等号成立. 即当x=时,y取得最大值 考点一　利用基本不等式求最值 考向1　配凑法 例1　(1)(2025·广东广州模拟)已知x>1,则的最小值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 A 解析 因为x>1,所以x-1>0,所以= x-1+-1≥2-1=3,当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立.故选A. 考点一 考点二 教材衍展 (2)(2025·北京丰台模拟)已知-3<x<0,则y=x的最小值为(　　) A.- B. C.- D.不存在 A 解析 由于-3<x<0,则9-x2>0, 故y=x=--=-,当且仅当x2=9-x2,即x=-时取等号,即y=x的最小值为-故选A. 考点一 考点二 教材衍展 (3)(2026·江苏徐州高三调研)已知x>y>0,则3x+的最小值为(　　) A.4 B.6 C.9 D.12 A 解析 由x>y>0,得2x-y>0,x+y>0, 则3x+=2x-y++x+y+ 2+2=4,当且仅当时取等号,所以3x+的最小值为4. 故选A. 考点一 考点二 教材衍展 规律方法　 考点一 考点二 教材衍展 [对点训练1](1)(2025·北京五中模拟)若函数f(x)=x+(x>a)在x=3处取最小值,则a=(　　) A.1 B.2 C.4 D.2或4 B 解析 因为x>a,所以x-a>0, 所以f(x)=x+=(x-a)++a ≥2+a=2+a, 当且仅当x-a=,即x=a+1时取等号,所以a+1=3,解得a=2.故选B. 考点一 考点二 教材衍展 (2)(2025·湖南衡阳模拟)对于任意0<x<4,m>恒成立,则(　　) A.m> B.m> C.m> D.m> D 解析 对于任意0<x<4,m>恒成立,则m>,而,当且仅当x=,即x=1时取等号,所以m>故选D. 考点一 考点二 教材衍展 考向2　常数代换法 例2　[一题多变](2024·辽宁沈阳模拟)已知正实数x,y满足=1,则2x+y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.9 C 解析 由已知得2x+y=()(2x+y)=4+4+2=8,当且仅当 时,等号成立,又=1,所以x=2,y=4,此时2x+y的最小值为8,故选C. 考点一 考点二 教材衍展 AI变式 [变式1](改变条件和式为积式)本例中,若条件不变,则xy的最小值为　　.  8 解析 由=1,得=1,即xy=2x+y,因此xy=2x+y=(2x+y)()=4+4+2=8,当且仅当时,等号成立,又=1,所以x=2,y=4,此时xy的最小值为8. 考点一 考点二 教材衍展 [变式2](改变条件类型)本例中,若将条件改为“x+2y=4xy”,则2x+y的最小值为　 .  解析 由x+2y=4xy,得=4,因此2x+y=(2x+y)()=(5+)(5+2)=,当且仅当,即x=y=时,等号成立,故2x+y的最小值为 考点一 考点二 教材衍展 [变式3](改变条件和式为混合式)若本例条件不变,则2xy-2x-y的最小值为　　　　.  8 解析 2xy-2x-y=2xy·1-(2x+y)=2xy·()-(2x+y)=2y+4x-2x-y=2x+y,而(2x+y)·1=(2x+y)()=4+4+2=8,当且仅当,即x=2,y=4时,等号成立,故2xy-2x-y的最小值为8. 考点一 考点二 教材衍展 规律方法　常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和为定值或积为定值的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 考点一 考点二 教材衍展 [对点训练2](2026·河北保定高三期中)设m>0,n>0,2m+=1,则n+的最小值为(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 B 解析 由题设n+=(n+)(2m+)=5+2mn+5+2=9, 当且仅当时取等号,故n+的最小值为9.故选B. 考点一 考点二 教材衍展 考向3　消元法 例3　(2025·河北沧州模拟)已知正实数m,n满足mn=2,则的最小值为(　　) A.2 B.3 C.3 D.4 C 解析 根据题意,mn=2,可得n=,则+m+,设+m=t,则t≥2,原式可化为t+2=3,当且仅当t=,即t=时等号成立.故选C. 考点一 考点二 教材衍展 规律方法　利用消元法求最值的两种情形 (1)消元法:通过建立变量间的函数关系,将多元问题转化为一元问题求解,再利用基本不等式求解. (2)换元法:适用于复杂表达式的最值求解,通过变量替换实现简化,再利用基本不等式求解. 考点一 考点二 教材衍展 考向4　构造不等式法 例4　(多选题)(2025·山东青岛模拟)若实数a,b>0,且ab=a+b+8,则(　　) A.a+b≤8 B.ab≥16 C.a+3b≥4+6 D. BCD 解析 对于A,由a+b+8=ab,当且仅当a=b时等号成立,不妨设a+b=t>0, 则得t2-4t-32≥0,解得t≥8或t≤-4(舍去),则a+b≥8,故A错误; 对于B,由ab-8=a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立,不妨设=s>0, 则s2-2s-8≥0,解得s≥4或s≤-2(舍去),则ab≥16,故B正确; 考点一 考点二 教材衍展 对于C,(方法一)由ab=a+b+8可得a(b-1)=b+8,且b>1,则a=, 则a+3b=+3b=1++3b=4++3(b-1)≥4+2=4+6,当且仅当=3(b-1),即b=+1,a=3+1时取等号,故C正确; (方法二)令a+3b=t>0,则a=t-3b,代入原等式得3b2-(2+t)b+8+t=0, 由Δ=[-(2+t)]2-4×3×(8+t)=t2-8t-92≥0,得t≥4+6,故C正确; 由ab=a+b+8,可得ab-a-b+1=9,即(a-1)(b-1)=9,且a>1,b>1, 则2=2,当且仅当,即a=,b=7时等号成立,故D正确. 故选BCD. 考点一 考点二 教材衍展 规律方法　若已知“和与积”的等式关系,求“和或积”的最值,可利用相关公式转化为解不等式或构造定值求最值. 考点一 考点二 教材衍展 [对点训练3](2025·山东潍坊模拟)已知3x·9y=3xy>1,则x+2y的最小值是(　　) A.2 B.4 C.4 D.8 D 解析 由3x·9y=3xy>1可得3x+2y=3xy>1,即x+2y=xy>0,故x>1,y>1, 由2(x+2y)=x·2y,可得(x+2y)(x+2y-8)≥0,即x+2y≥8, 当且仅当x=2y,即x=4,y=2时取等号,所以x+2y的最小值为8. 考点一 考点二 教材衍展 考点二　利用基本不等式解决实际问题 例5　(2025·湖南长沙模拟)通过市场调查发现:某产品生产需投入年固定成本3万元,每生产x万件,需要额外投入流动成本P(x)万元.在年产量不足5万件时,P(x)=6x+-11;在年产量不少于5万件时,P(x)=6x+-15.已知每件产品售价5元,且生产的产品在当年可全部售完. (1)写出年利润W(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式. (2)当年产量为多少万件时,生产销售该产品所获利润最大?最大利润是多少? (注:若ai>0(i=1,2,3,…,n),,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立) 考点一 考点二 教材衍展 解 (1)因为每件商品售价为5元,则x万件的商品销售收入为5x万元. 根据题意得, 当0<x<5时,W(x)=5x-(6x+-11)-3=8-(x+); 当x≥5时,W(x)=5x-(6x+-15)-3=12-(x+). 所以W(x)= 考点一 考点二 教材衍展 (2)当0<x<5时,W(x)=8-(x+)=8-(x+)=8-[(x+)+] =-[(x+)+]-2,当且仅当(x+)2=9,即x=时取等号;当x≥5时,W(x)=12-(x+)=12-()≤12-3=3, 当且仅当, 即x=6时取等号. 因为<3,所以当年产量为6万件时,利润最大,最大利润为3万元. 考点一 考点二 教材衍展 规律方法　利用基本不等式解决实际问题的方法 (1)审题建模:明确题目中的数量关系,合理引入变量,通常将待求最大值或最小值的量设为函数. (2)函数求解:根据题意建立函数解析式,结合基本不等式确定函数值域. (3)验证最值:在函数定义域内求解最值,并检验等号成立的条件是否满足题意. 考点一 考点二 教材衍展 [对点训练4](2026·浙江慈溪模拟)某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层,每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期研究得到,该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单位:万元)与隔热层的厚度h(单位:厘米)满足关系:N(h)=(0≤h≤10).经测算知道,如果不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元.设F(h)为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和,则F(h)的最小值是　　　　　万元.  108 解析 由N(0)==10,得m=40,又由题可得F(h)=30N(h)+9h=+9h=+3(3h+4)-12≥2-12=108,当且仅当=3(3h+4),即h=时取等号. 考点一 考点二 教材衍展 教材衍展　对勾函数及其应用 1.对勾函数的定义:对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数,是形如f(x)=ax+(a>0,b>0)的函数,因其图象的形状得名,又被称为“双勾函数”“对号函数”等. 2.对勾函数的图象与性质 函数解析式 f(x)=ax+(a>0,b>0) f(x)=x+(a>0) 定义域 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 (-∞,-2]∪[2,+∞) (-∞,-2]∪[2,+∞) 奇偶性 奇函数 奇函数 考点一 考点二 教材衍展 函数解析式 f(x)=ax+(a>0,b>0) f(x)=x+(a>0) 单调性 在区间(-∞,-),(,+∞)上单调递增;在区间(-,0),(0,)上单调递减 在区间(-∞,-),(,+∞)上单调递增;在区间 (-,0),(0,)上单调递减 图象     考点一 考点二 教材衍展 典例函数y=在x∈上的最大值为　　　　　;最小值为　　　　　.  　10　 4+1 考点一 考点二 教材衍展 解析 令t=x-1,则x=t+1, 因为x,所以t, 所以y==2+1, 令g(t)=2+1,t, 由对勾函数的性质可知,函数g(t)在上单调递减,在[,2]上单调递增, 因为g=10,g()=4+1,g(2)=7, 所以g(t)max=10,g(t)min=4+1, 所以函数y=在x上的最大值和最小值分别为10和4+1. 考点一 考点二 教材衍展 [对点训练](2025·海南海口模拟)若函数f(x)=在x∈[0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.[0,1] C.(-∞,1] D.[1,2] A 解析 f(x)==x+1+,令x+1=t∈[1,+∞),故y=t+,t∈[1,+∞). 当a-1<0,即a<1时,y=t+在t∈[1,+∞)上单调递增,满足要求; 当a-1=0,即a=1时,y=t在t∈[1,+∞)上单调递增,满足要求; 当a-1>0,即a>1时,由对勾函数性质得到y=t+在[,+∞)上单调递增,故0<1,解得1<a≤2. 综上,实数a的取值范围是(-∞,2].故选A. 考点一 考点二 教材衍展 $