专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）过点A作于点M，于点N，证明，易得，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）结合三角形面积公式易得，然后由求解即可； （3）证明，由相似三角形的性质可得，然后代入数值并求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点M，于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点 M，于点 N， ∴平分； （2）由（1）可知：平分，， ∴， ； （3）∵ 四边形是奇异四边形，， 又∵， ∵平分， ， 由（1）知，平分， ， ∴， 又∵， ∴， ， ∵，即 ， 解得 或（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了新定义“奇异四边形”、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． （2025·上海浦东·模拟预测）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E． ①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长； ②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值． 【答案】(1)是； (2)①见解析，BE的长是8；②△BCM周长的最小值为210 【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，根据正方形的性质得∠ABC＝∠D＝90°，可得出∠EBF＝∠D＝90°，即可得出答案； （2）①首先证明四边形CDEF是矩形，则DE＝CF，EF＝CD＝2，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE＝CF，AE＝BF，等量代换即可得BE＝DE；由AE＝BF，EF＝CD＝2可得AE＝BE﹣2，设BE＝x，根据勾股定理求出x的值即可； ②延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，证明△ABE∽△CGH，根据相似三角形的性质求出CH、HG的值，在Rt△BHG中，根据勾股定理求出BG，即可求解． 【详解】（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上， ∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°， ∴∠EBF+∠D＝180°， ∵∠EBF＝90°，BF＝BE， ∴四边形BEDF是“直等补”四边形． 故答案为：是； （2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB， ∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°， ∴∠D＝90°， ∵BE⊥AD，CF⊥BE， ∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°， ∴四边形CDEF是矩形， ∴DE＝CF，EF＝CD＝2， ∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠A＝∠CBF， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE＝CF，AE＝BF， ∵DE＝CF， ∴BE＝DE； ∵四边形CDEF是矩形， ∴EF＝CD＝2， ∵△ABE≌△BCF， ∴AE＝BF， ∴AE＝BE﹣2， 设BE＝x，则AE＝x﹣2， 在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102， 解得：x＝8或x＝﹣6（舍去）， ∴BE的长是8； ②∵△BCM周长＝BC+BM+CM， ∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小， 如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H， ∵∠ADC＝90°， ∴点C与点G关于AD对称， ∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C， ∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周长最小， 在Rt△ABE中，AE6， ∵四边形ABCD是“直等补”四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD+∠GCH＝180°， ∴∠A＝∠GCH， ∵∠AEB＝∠H＝90°， ∴△ABE∽△CGH， ∴，即， ∴GH，CH， ∴BH＝BC+CH＝10， ∴BG2， ∴△BCM周长的最小值为210． 【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明三角形全等，第（2）②题关键确定M的位置． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)概念理解： ①在互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，若，则∠A＝______°； ②如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且，求证：四边形ADEC是互补四边形． (2)探究发现：如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，点C，D分别在边BE，AE上，AD＝BC，四边形为互补四边形，求证：． 【答案】(1)①90；②见解析； (2)见解析 【分析】（1）①设，根据，∠A与∠C是一组对角列出方程，求解方程，即可求得∠A的度数； ②根据，证得△BDE∽△BCA，再由∠BED＝∠A可证四边形ADEC是互补四边形； （2）证明△EAC≌△EBD，得∠EBD＝∠EAC，则可知∠ABD＝∠BAC，从而得到，再根据四边形为互补四边形得，可知，从而证明结论． 【详解】（1）①设 ∵ ∴ ∵互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角 ∴ ∴解得 ∴ 故答案为：90 ②证明：∵BE•BC＝AB•BD， ∴， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BCA， ∴∠BED＝∠A， ∴∠A＋∠CED＝∠BED＋∠CED＝180°， ∴四边形ADEC是互补四边形． （2）证明：∵AE＝BE，AD＝BC， ∴ED＝EC， 在△EAC和△EBD中， ， ∴△EAC≌△EBD（SAS）， ∴∠EBD＝∠EAC． ∵AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠ABD＝∠BAC， ∵四边形CEDH是互补四边形， ∴∠E＋∠DHC＝180°， ∵∠AHB＝∠DHC， ∴∠E＋∠AHB＝180°， 又∠ABD+∠BAC+∠AHB=180°， ∴∠ABD＋∠BAC＝∠E， ∴； 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，互补四边形的定义，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握互补四边形的性质是解题关键． 例2用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图，为的截线，截得四边形，若，则称为边的逆平行线；如图，已知中，，过边上的点作交于点，过点作边的逆平行线，交边于点． （1）求证：是边的逆平行线． （2）点是的外心，连接，求证：． （3）已知，，过点作边的逆平行线，交边于点． ①试探索为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值； ②在①的条件下，比较 大小关系．（“或”） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，最大值；②= 【分析】（1）由条件可证得∠B＝∠ACB，则∠BDE＋∠B＝180．∠BDE＋∠ACB＝180，结论得证； （2）连接AO，BO,证得∠FEC＝∠B，由OA＝OC可得∠OAC＝∠OCA，∠BAO＝∠OAC，证出，即CO⊥FE， （3）①设FC＝x，则BF＝6−x，证△FEC∽△ABC，可得，同理可得，四边形AGFE的面积可表示为S△ABC−S△EFC−S△BFG，利用二次函数的性质可求出最大值，得到点F为BC的中点，连接DF，根据EF为AB边的逆平行线，可证得DF为AC边的逆平行线， 得到G点与D点重合，再根据相似三角形的判定与性质求出AD的长； ②由①知G点与D点重合，故可得到AD＋BG＝AB． 【详解】（1）证明理由如下： 边是的逆平行线； （2）如图1，连接，BO 是边的逆平行线 点是的外心 =BO， ，AO=AO ∴△ABO≌△ACO ， ； （3）如图2，作AQ⊥BC ∵AB=AC， ∴AQ⊥BC，BQ=CQ=3 ∴AQ= S△ABC===12, ①设，， ∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB， ∴△FEC∽△ABC． ， 同理可得∠BGF＝∠C，∠FBG＝∠ABC ∴△FBG∽△ABC ∴ ＝− (x−3)2＋， 当时，此时有最大值，最大值为， ∴CF＝BF＝3， 如图3，连接DF， ∵BF＝CF，∠B＝∠C，BD＝CE， ∴△BDF≌△CEF（SAS）， ∴∠BDF＝∠CEF，∠BFD＝∠EFC， ∴∠BFE＝∠DFC，∠AEF＝∠ADF． ∵∠AEF＋∠B＝180，∠A＋∠BFE＝180， ∴∠C＋∠ADF＝180，∠A＋∠DFC＝180． ∴FD为边AC的逆平行线， 由题意可知D与G点重合， 由= 过D点作DH⊥BC， ∴BF×DH=，故×3×DH= 解得DH= ∵AF∥DH ∴△BDH∽△BAF，设AD=a ∴BD=5-a ∴ 故 解得a= 故，四边形的面积最大值为； ②由①可得D与G点重合， ∴AD＋BG＝AB， 故答案为：＝． 【点睛】本题是新定义结合圆的综合题，综合考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、外心的定义、二次函数的性质等知识，关键是读懂定义并根据图形的性质解答． 例3（2024·江西南昌·二模）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． 概念理解： ①在互补四边形中，与是一组对角，若则 _ ②如图1，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形． 探究发现：如图2，在等腰中，点分别在边上， 四边形是互补四边形，求证：． 推广运用：如图3，在中，点分别在边上，四边形是互补四边形，若，求的值． 【答案】（1）①90；②见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）①由互补四边形和四边形内角和定理即可求出∠A的度数； ②证明得，进而可得，从而可证明四边形是互补四边形； （2）先证明得，根据EA=EB可得，根据三角形内角和定理得∠AHB=180°-(),再根据互补四边形的定义可得结论； （3）如图，作于点交的延长线于点则，由四边形CEDH是互补四边形可得，进而证明，，求得，再证明即可得到结论. 【详解】（1）①解：∵四边形ABCD是互补四边形， ∴∠B+∠D=180°， ∵∠B：∠C：∠D=2：3：4， ∴∠B=60°，∠C=90°， 又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°， ∴∠A=180°-∠C=90°； 故答案为：90； ②证明： 又 四边形是互补四边形． 证明： 四边形是互补四边形， 如图，作于点交的延长线于点 则 四边形是互补四边形， ． 在中， 设则 ． ， 【点睛】考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键． 例4（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；② (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点A分别作于E，于F，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中， ， ，． ， ， ， ， ， 又， 四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下： 如图，过点A分别作于E，于F， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ， ， 是的角平分线． （3）解：连接， 在等补四边形中，， 同（2）可知平分， 四边形是等补四边形， ， 又， ， 平分，平分， ， 又， ， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 例5（24-25九年级下·河南驻马店·期中）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．例如，如图1，在四边形中，若，则四边形是对余四边形，是其对余线． (1)理解操作 如图2，在中，，，为的中点．试着在上找到一点，使四边形是对余四边形． (2)理解应用 如图3，在对余四边形中，，． ①求的度数． ②判断，，之间的数量关系，并加以证明． (3)拓展延伸 在图3的条件下，若是等腰三角形，，直接写出的值． （温馨提示：，其中，，为正数） 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 (3)或 【分析】（1）的中点即为所求的点，理由如下：由，，得，因为四边形为对余四边形，且，得，可得，推出，由为中点，即可得出应为的中点； （2）①由四边形是对余四边形，，得，再由是等腰直角三角形，即可求解；②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，则，，先证明，得，在中，利用，即可得出答案； （3）若是等腰三角形，分三种情况进行讨论，第一种情况：当时，推出，得，进而求解；第二种情况：当时，过点作于，由，可设，则，推出，在中，由勾股定理，得，即，求出，利用即可得出答案；第三种情况：当时，能推出点、、三点共线，四边形不存在，不符合题意． 【详解】（1）解：如图（1）所示，的中点即为所求的点，理由如下： 由题意可知，，， ， 又四边形为对余四边形，且， ， ， ， 利用尺规作图，过点作交于点， ， 又为中点， ， 应为的中点； （2）①四边形是对余四边形，, ， ， ，， ， ； ②，理由如下：如图（2），将绕点逆时针旋转，得到，连接，， 则，， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得，， ， ； （3）若是等腰三角形，分三种情况进行讨论， 第一种情况：当时，如图（3）， ， ， ， ， ； 第二种情况：当时，如图（4）， 过点作于， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ； 第三种情况：当时， ， ， ， , 此时点、、三点共线，四边形不存在，不符合题意； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义问题、平行线分线段成比例、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知在四边形中，点E，F分别是、边上的点，与相交于点P，且与互补． (1)如图1，若四边形为正方形，求证； (2)如图2，若四边形为菱形，则第（1）题中的结论还成立吗，并说明理由； (3)如图3，若四边形为平行四边形，且，，求与的数量关系（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）在AF上找一点M，使．证明，即可得出结论； （3）在AD的延长线上找一点N，使得．证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， 与互补， ． ， ． ， ； （2）解：成立．理由如下： 如图1，在AF上找一点M，使． 菱形， ， 与互补， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， ． ， ，即； （3）解：．理由如下： 如图2，在AD的延长线上找一点N，使得． 与互补， ， ． ， ． ∵四边形为平行四边形 ∴，， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ∴. 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为________，的长为________，的长为________． (2)如图2，在邻等对补四边形中，，，若，，求的长； (3)如图3，在中，，，，分别在边上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．请直接写出的长． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了新定义下的四边形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活构造辅助线． （1）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出线段的长度；利用含角的直角三角形的性质和勾股定理可求的长度；将绕点顺时针旋转，得到，得出为等腰直角三角形，再结合勾股定理即可求出线段的长度； （2）延长至点，使，连接，过作于，证明，得出对应边相等，然后根据等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）根据题意，画出图形，分三种情况进行讨论，借助于（1）（2）的思路即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，∵ 由题意，四边形是邻等对补四边形 ∴将绕点顺时针旋转，得到， 根据邻等对补四边形的定义， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵为等腰直角三角形， ∴, ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即， 故答案为：，，； （2）解：延长至点，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得； （3）解：①如图所示，，，连接， 在和中， ， ∴， ∴垂直平分线段， 由勾股定理得，， ∴， 假设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 由勾股定理得， 由等面积法可得，； ②如图所示，，， 将绕点逆时针旋转，得到， 同（1）得为等腰直角三角形， 此时，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 同理可得， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得； ③如图所示，，， 将绕点顺时针旋转，得到， 同（1）得为等腰直角三角形，且 假设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 由勾股定理得， ∴， , 由勾股定理得，， 解得； 综上，的长为或或． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，则的长为________． (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①．理由见解析；②； (3)或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①，理由： 延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得； 故答案为：； （3）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过N作于H， ∴， 在中， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 4．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点的位置，使得以、、、四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点．据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具耐热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点在边上，点在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点的位置（即的长度）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的长为或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义画图即可； （2）延长到，使得，连接，证明得出，，再由等边对等角可得，从而推出，即可得证； （3）由勾股定理可得，由邻等对补四边形的定义求出，再分四种情况，分别利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）点的位置如图所示，四边形即为所求．（答案不唯一，画出一个即可） （2）证明：如图，延长到，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 平分． （3），，， ， 四边形是邻等对补四边形， ， ． ①当时，如图1，连接，， ， 由勾股定理可得， 解得． ②当时，如图2，连接， ，， ， ， 即， 解得， ； ③当时，如图3，连接， ，， ， ，故不符合题意，舍去； ④当时，如图3，同理可得，不符合题意，舍去． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 5．（2025·河南商丘·二模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．    (1)操作判断 如图1，四边形是“损矩形”，，若，则________． (2)性质探究 在研究图1的“损矩形”时，小明发现：若，则．小明的发现是否正确？请说明理由． (3)拓展应用 如图2，“损矩形”中，，，，连接，当是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”的面积． 【答案】(1) (2)正确 (3)或或． 【分析】（1）根据四边形内角和等于即可求解； （2）利用直角三角形全等的判定，证明，即可得出结论； （3）当是等腰三角形时，有三种情况，构造直角三角形，利用勾股定理分别求出，，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：结论：小明的发现正确， 证明：连接，如图1， ∵， 在与中，，， ∴， ∴， ∴小明的发现正确． （3）解：连接，在“损矩形”中，，，， ∴， 分三种情况：①如图1，当时， 同理（2），， ∴． ②如图2，当时，过点作于点，交于点，得， ∵，， ∴， ∴ ∴，， 在中，， ∴ 在中，， 在中，， ∴． ③如图3，当时，过点作于点，交于点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为的中位线， 设的长为，则，连接，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴． 综上所述：“损矩形”的面积为或或． 6．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 7．（2024·江西宜春·一模）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 ②等补四边形中，若，则 ； ③如图1，在四边形中，平分，，．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长． 【答案】(1)①D；②；③见解析 (2)平分，理由见解析 (3)． 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②利用“等补四边形”的对角互补，列式计算即可求解；③在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点分别作于，于，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②等补四边形对角互补，， 设， ∴，解得， ∴， ∴， 故答案为：； ③证明：在上截取，连接，如图1， 在和中， ， ， ，． ， ． ． ， ， 又， 四边形是等补四边形； （2）解：平分，理由如下， 如图2，过点分别作于，于， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ， ， 是的平分线（在角的内部且到角两边距离相等的点在角平分线上）， 即平分． （3）解：连接， ∵等补四边形中，，由（2）知，平分， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：    (1)如图1，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形__________“直等补”四边形．（“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为．①求的长；②已知点D到所在直线的距离为，若M、N分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；② 【分析】（1）由旋转性质得，再证明，便可； （2）①过点C作于点F，证明得，设，在中，则勾股定理列出x的方程解答便可； ②延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与、交于点M、N，求出便是的最小周长． 【详解】（1）解：四边形为“直等补”四边形， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①过点C作于点F，如图1，    则， ∵四边形是“直等补”四边形，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，，或（舍）， ∴； ②如图2，延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与、交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H．    则，，， 因为点D到所在直线的距离为， 所以， ∵， ∴，， ∴的周长的值最小， ∵四边形是“直等补”四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴ ∴ ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明全等三角形，第（2）②题关键确定M、N的位置． 9．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接，，，，如果，那么A，B，C，D“四点共圆” (1)如图2，已知四边形中，对角线、相交于点P，点E在的延长线上，下列条件：①；②：③：④．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有___________： (2)如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，若A，B，C，D“四点共圆”，且，求四边形的面积； (3)如图4，已知是等腰三角形，，点D是线段上的一个动点（点D不与点B重合，且，连结AD，作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，． ①求证：A，D，B，E“四点共圆”； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)①③④ (2) (3)不变，8 【分析】（1）根据“同旁张角相等”可判断①；先证明，然后根据“对角互补的四边形四个顶点共圆” 可判断③；先证明可得，然后根据“同旁张角相等”可判断④；根据②的条件无法判定A，B，C，D“四点共圆”； （2）先求出A、B的坐标，从而判定为等腰直角三角形，得出，根据A，B，C，D“四点共圆”和可得出，，进而求出，然后证明得出，最后根据求解即可； （3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，即可证明结论； ②连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴A，B，C，D“四点共圆”， 故①正确； ∵，， ∴， ∴A，B，C，D“四点共圆”， 故③正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴A，B，C，D“四点共圆”， 故④正确； 根据②的条件无法判定A，B，C，D“四点共圆”． 故能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有①③④． （2）解：对于， 当时，则， 当时，则，解得， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵A，B，C，D“四点共圆”， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵A，B，C，D“四点共圆”， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； （3）①证明：∵， ∴， ∵点E与点C关于的对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴A，D，B，E四点共圆； ②解：的值不会发生变化， 理由如下：如图4，连接， ∵点E与点C关于的对称， ∴， ∴， 又， ∴， ∵A，D，B，E四点共圆， ∴， ∴， ∴A，B，F，C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键． 10．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）在互补四边形中，与是一组对角，若则 ° （2）如图，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形．    【答案】（1）90；（2）见解析 【分析】（1）根据互补四边形的定义得到，由四边形内角和得，根据三个角的比例，列式求出各个角的度数； （2）根据两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，可以证明，就可以证明四边形ADEC是互补四边形． 【详解】（1）∵四边形ABCD是互补四边形，且与是一组对角， ∴， ∵四边形内角和是， ∴， ∵， ∴设，，， ，解得， ∴，则， 故答案是：90； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形ADEC是互补四边形． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 11．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长． ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）①BE=4；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转性质证得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°,BF=BE,进而可证得四边形为“直等补”四边形； （2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD,设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可； （3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC, 由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE ∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°， ∴∠F+∠BED=180°， ∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°， 故满足“直等补”四边形的定义， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）∵四边形是“直等补”四边形，AB=BC， ∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°， 如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF， 则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE ∴D、C、F共线， ∴四边形EBFD是正方形， ∴BE=FD， 设BE=x，则CF=x-1， 在Rt△BFC中，BC=5， 由勾股定理得：，即， 解得：x=4或x=﹣3(舍去)， ∴BE=4 （3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5, 则NP=NC，MT=MC, ∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT 当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT， 过P作PH⊥BC，交BC延长线于H， ∵∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH, ∴△BCF∽△PCH, ∴, 即， 解得：, 在Rt△PHT中，TH=, , ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算． 12．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：在中，，，D是边上一点，（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交边于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 （2）如图2，当，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明． 【拓展运用】 （3）如图2，当，试探究线段，，之间数量关系，请写出结论并证明． 【答案】（1）证明见详解；（2）；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识。 （1）由题意可证，可得 ，即可求解； （2）由题意可证，可得，即； （3）先证出和是等腰直角三角形，可得，，可求，通过证明，可求，即可求解 【详解】（1）证明：连接， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 过点作于点于点。 ，， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， 和都是等腰直角三角形， 设，则， ， 又是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形，，且， ， ， ，即， 又， ， ，即； （3），理由如下： 过点作于，于， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， 设， ， ，即， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 13．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离（结果保留根号）. 结合图①，完成解答过程. （1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为 ； （2）如图③，E、F是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合，点A的对称点为点.若，，则的长为 . 【答案】[教材呈现]；（1）；（2） 【分析】本题是相似形综合题，考查了矩形性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证得△ADF∽△DCE是解题的关键． [教材呈现]由四边形是矩形，得到，，，根据勾股定理得到，通过，得到，列方程即可得到结果； （1）证明，得到，求出，由即可求解； （2）作于，在中，根据勾股定理求得，，进而在中求得． 【详解】解：[教材呈现]∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴点A到直线的距离； [拓展] （1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 故答案为：； （2）如图③，作于， ∵矩形，，， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设则， ∵将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 14．（2025·内蒙古·模拟预测）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得到两角相等，结合直角证明； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解x；利用相似三角形的性质求出的值，从而求得的长； （3）延长交于M点，连接，设，用y分别表示出与即可得出两者的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1， 四边形是矩形， ， ， 点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ， ， ， ; （2）四边形是矩形， P为的中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得：， ， ， ， ， 即， ， ， ; （3）．理由如下：如图2，延长交于M点，连接， 点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴垂直平分， ， 为中点， 设， ， H为中点， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，掌握这些是解题的关键． 15．（2024·广东·二模）如图1，将一个边长为1的正方形纸片折叠，点B落在边上的处（不与重合），为折痕，折叠后与交于P．    (1)直接写出正方形纸片的周长； (2)如图2，过点N作，垂足为R．连接交于点Q． ①求证：； ②设，求出四边形的面积S与x的函数关系式，并求S的最小值． 【答案】(1)4 (2)①见解析；②，最小值为 【分析】（1）正方形周长等于边长乘4． （2）①由折叠可得，利用同角的余角相等可得，再用角边角证全等即可． ②利用相似的性质，可得长度表达式，利用梯形面积公式即可求出S表达式，配方即可求出最小值． 【详解】（1）解：． （2）解：①由折叠知，． 在和中，， ， ， 又， ． ②， ， ， ∵ ，， ， ， ， ∵， ∴四边形是梯形， ， 由， ∴当时，即落在的中点处时，梯形面积最小，其最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质，二次函数的最值问题．通过折叠和相似三角形的性质求解线段的等量关系和长度是解题关键． 16．（2025九年级·安徽·专题练习）如图1，的对角线与交于点，为上一点，，点在上． (1)若，为中点，连接，，求证：； (2)连接，． ①如图2，若为矩形，且，，求的值； ②如图3，若为菱形，为中点，连接，，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】（1）延长，交于点H，由平行四边形的性质证明得，结合已知得，设，则，，推理得出，F为中点，再利用中位线的性质可得结论； （2）①连接交于点G，证明，由已知得出，，进而得，即可得出答案； ②延长，交于点G，证明，得，再证明，，设，则，，，，进而求得，再由得关于t的方程，解方程进一步求解即可 【详解】（1）证明：延长，交于点H， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴F为中点， 又∵G为中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：①连接交于点G， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴； ②延长，交于点G， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，中位线的判定及性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形、矩形以及菱形的性质等内容，熟练运用特殊四边形性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 17．（2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）如图②，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，同（1）可得，证明，则，； （3）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，计算求解即可； （4）如图④，延长到，过作于，由（2）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，结合勾股定理即可解得，即，再证明，则，计算求解的值，进而可得点到直线的距离． 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， 同（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由矩形的性质可得， 由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得， ∴的长． （4）解：如图④，延长到，过作于， 由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定： （1）根据正方形的性质得到证明三角形全等即可； （2）过点作于点，利用勾股定理和正方形的性质证明四边形是矩形，进而证明出，再求出比例即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）过点作于点， 四边形是矩形，且，， ，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 19．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点P 在的平分线上，于点A， M在线段上，连接，过点P 作交射线于点N， (1)直接写出、、之间的数量关系； (2)点M 在射线上，连接，过点P 作 交射线于点N，射线与射线 相交于点F，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过作于，证明是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得出结论； （2）分两种情况，点在线段上，点M线段的延长线上，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可． 【详解】（1）解： 理由：过点P作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点P 在的平分线上，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①当在线段上时，如图，延长、相交于点， 由（1）知， 又， 设，则，， ， ，， ， ， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， ； ②当在的延长线上时，如图，过作于，并延长交于， 由（2）知：四边形是正方形， ，，， ， ， 又，， ， ， ， ∵， 设，则，， ∴， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 20．（2025·四川广元·模拟预测）【探究】如图，已知四边形是正方形，点是上一动点，连接，将沿着折叠，点落在四边形内部的点处，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）如图，延长交边于点．若，求的值； 【拓展】 （3）如图，已知四边形是矩形，点是上一动点，连接，将沿着折叠，点落在四边形内部的点处，连接，延长，交直线于点，，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或． 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，根据折叠的性质结合“同角的余角相等”进行等量代换证得，从而根据证明三角形全等，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）连接，由，可设，，令，根据等边对等角结合两直线平行，内错角相等，进行等量代换得到，从而得到，，，最后根据，求出的值即可； （3）分：当点在点左侧时，当点在点右侧时，两种情况讨论．通过证明，得到，从而可设出、、、，结合，即可求解得到的值． 【详解】（1）证明：由折叠得到， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ； 由，可设，，令， ， ． ， ． 又， ， ，， ， 在和中， ，即， （舍去）， ； （3）解：由，可设，，令，则． 当点在点左侧时，如图， 由（2）易知，． 由折叠，得， ． ， ， ． 又， ， ，即， ，． ， ，即， 解得（舍去）， ； 当点在点右侧时，如图， 则，， ． 同理可得， ， ，． ， （舍去）． ； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 21．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在正方形中，点是对角线上一动点（不与点，重合），连接，过点作，交边于点，连接交于点． (1)求证∶ (2)探究，，三条线段间的数量关系，并说明理由． (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由可得，，，四点共圆，推出，即可得证； （2）把绕点逆时针旋转得到，连接，推出，，证明，得到，根据勾股定理即可求解； （3）由，设，则，则，由（1）得，推出，求出，即可求解． 【详解】（1）证明∶， ，，，四点共圆． （同弦所对的圆周角相等）． 又， ； （2）解：，理由如下： 如图，把绕点逆时针旋转得到，连接． ∵，， ，，，， ，． 由（1），得，， ． 又， ． ． 在中，， ； （3）由，设，则， 在中，，则． 由（1）得， ， ， 即． 解得（负值已舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 22．（24-25九年级·湖南株洲·自主招生）如图，边长为1的正方形的对角线、相交于点O．有直角，使直角顶点P与点O重合，直角边、分别与、重合，然后逆时针旋转，旋转角为，、分别交、于E、F两点，连接交于点G． (1)探求在旋转过程中，四边形的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)求证：； (3)在旋转过程中，当与的面积之和最大时，求的长． 【答案】(1)是定值； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，根据求出结果即可； （2）证明，得出，即，根据，即可得出答案； （3）过点O作于点H，设，则，，根据，再根据二次函数的最值得出答案即可． 【详解】（1）解：四边形的面积为定值； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点O作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ， ∴， ∴当时，最大． 即当与的面积之和最大时，． 【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键． 23．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1，在矩形中，，分别交于点E，F，分别交于点G，H．求证：． 深入探究：（2）如图2，四边形中，，，，，点M，N分别在边上，求的值． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交边于点F．若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）见详解（2）（3） 【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，根据勾股定理列出方程组解出x，y，问题得以解决． （3）过点作，延长交于点，利用勾股定理求得，即可得，可证得，求得，进一步证得，有，即可求得． 【详解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1， 四边形是矩形， ∴，． 四边形、四边形都是平行四边形， ，． 又， ， ． 四边形是矩形， ， ， ． ， ， ， （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2， 则四边形是平行四边形． ， 是矩形， ，，． ， 由（1）中的结论可得 ， 设，，则，， 在中，①， 在中，②， 由得③， 解方程组， 得（不合题意的值已舍）， ， ． （3）过点作，延长交于点，如图， 在中，，，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质与判定和勾股定理，解二元二次方程组，平行四边形的判定与性质等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.对角互补模型（相似模型） 5 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 ‌ （2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． （2025·上海浦东·模拟预测）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E． ①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长； ②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值． 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴， ∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 模型1.对角互补模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)概念理解： ①在互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，若，则∠A＝______°； ②如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且，求证：四边形ADEC是互补四边形． (2)探究发现：如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，点C，D分别在边BE，AE上，AD＝BC，四边形为互补四边形，求证：． 例2用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图，为的截线，截得四边形，若，则称为边的逆平行线；如图，已知中，，过边上的点作交于点，过点作边的逆平行线，交边于点． （1）求证：是边的逆平行线． （2）点是的外心，连接，求证：． （3）已知，，过点作边的逆平行线，交边于点． ①试探索为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值； ②在①的条件下，比较 大小关系．（“或”） 例3（2024·江西南昌·二模）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． 概念理解： ①在互补四边形中，与是一组对角，若则 _ ②如图1，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形． 探究发现：如图2，在等腰中，点分别在边上， 四边形是互补四边形，求证：． 推广运用：如图3，在中，点分别在边上，四边形是互补四边形，若，求的值． 例4（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 例5（24-25九年级下·河南驻马店·期中）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．例如，如图1，在四边形中，若，则四边形是对余四边形，是其对余线． (1)理解操作 如图2，在中，，，为的中点．试着在上找到一点，使四边形是对余四边形． (2)理解应用 如图3，在对余四边形中，，． ①求的度数． ②判断，，之间的数量关系，并加以证明． (3)拓展延伸 在图3的条件下，若是等腰三角形，，直接写出的值． （温馨提示：，其中，，为正数） 1．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知在四边形中，点E，F分别是、边上的点，与相交于点P，且与互补． (1)如图1，若四边形为正方形，求证； (2)如图2，若四边形为菱形，则第（1）题中的结论还成立吗，并说明理由； (3)如图3，若四边形为平行四边形，且，，求与的数量关系（用含m，n的式子表示）． 2．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)将斜边相等的两块三角板按如图1放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，B、D位于的两侧，其中，连接，若，则的长为________，的长为________，的长为________． (2)如图2，在邻等对补四边形中，，，若，，求的长； (3)如图3，在中，，，，分别在边上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．请直接写出的长． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，则的长为________． (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 4．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点的位置，使得以、、、四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点．据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具耐热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点在边上，点在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点的位置（即的长度）． 5．（2025·河南商丘·二模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．    (1)操作判断 如图1，四边形是“损矩形”，，若，则________． (2)性质探究 在研究图1的“损矩形”时，小明发现：若，则．小明的发现是否正确？请说明理由． (3)拓展应用 如图2，“损矩形”中，，，，连接，当是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”的面积． 6．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 7．（2024·江西宜春·一模）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 ②等补四边形中，若，则 ； ③如图1，在四边形中，平分，，．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长． 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：    (1)如图1，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形__________“直等补”四边形．（“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为．①求的长；②已知点D到所在直线的距离为，若M、N分别是、边上的动点，求周长的最小值． 9．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接，，，，如果，那么A，B，C，D“四点共圆” (1)如图2，已知四边形中，对角线、相交于点P，点E在的延长线上，下列条件：①；②：③：④．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有___________： (2)如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，若A，B，C，D“四点共圆”，且，求四边形的面积； (3)如图4，已知是等腰三角形，，点D是线段上的一个动点（点D不与点B重合，且，连结AD，作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，． ①求证：A，D，B，E“四点共圆”； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由． 10．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）在互补四边形中，与是一组对角，若则 ° （2）如图，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形．    11．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： （1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为． ①求的长． ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 12．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：在中，，，D是边上一点，（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交边于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 （2）如图2，当，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明． 【拓展运用】 （3）如图2，当，试探究线段，，之间数量关系，请写出结论并证明． 13．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离（结果保留根号）. 结合图①，完成解答过程. （1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为 ； （2）如图③，E、F是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合，点A的对称点为点.若，，则的长为 . 14．（2025·内蒙古·模拟预测）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 15．（2024·广东·二模）如图1，将一个边长为1的正方形纸片折叠，点B落在边上的处（不与重合），为折痕，折叠后与交于P．    (1)直接写出正方形纸片的周长； (2)如图2，过点N作，垂足为R．连接交于点Q． ①求证：； ②设，求出四边形的面积S与x的函数关系式，并求S的最小值． 16．（2025九年级·安徽·专题练习）如图1，的对角线与交于点，为上一点，，点在上． (1)若，为中点，连接，，求证：； (2)连接，． ①如图2，若为矩形，且，，求的值； ②如图3，若为菱形，为中点，连接，，，，求的值． 17．（2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 18．（25-26九年级上·山东济南·开学考试）（1）如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求． 19．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点P 在的平分线上，于点A， M在线段上，连接，过点P 作交射线于点N， (1)直接写出、、之间的数量关系； (2)点M 在射线上，连接，过点P 作 交射线于点N，射线与射线 相交于点F，若，求的值． 20．（2025·四川广元·模拟预测）【探究】如图，已知四边形是正方形，点是上一动点，连接，将沿着折叠，点落在四边形内部的点处，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）如图，延长交边于点．若，求的值； 【拓展】 （3）如图，已知四边形是矩形，点是上一动点，连接，将沿着折叠，点落在四边形内部的点处，连接，延长，交直线于点，，若，，求的值． 21．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在正方形中，点是对角线上一动点（不与点，重合），连接，过点作，交边于点，连接交于点． (1)求证∶ (2)探究，，三条线段间的数量关系，并说明理由． (3)若，，求正方形的边长． 22．（24-25九年级·湖南株洲·自主招生）如图，边长为1的正方形的对角线、相交于点O．有直角，使直角顶点P与点O重合，直角边、分别与、重合，然后逆时针旋转，旋转角为，、分别交、于E、F两点，连接交于点G． (1)探求在旋转过程中，四边形的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)求证：； (3)在旋转过程中，当与的面积之和最大时，求的长． 23．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究．下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1，在矩形中，，分别交于点E，F，分别交于点G，H．求证：． 深入探究：（2）如图2，四边形中，，，，，点M，N分别在边上，求的值． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交边于点F．若，，，请直接写出的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $