8.6.1异面直线所成角课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件核心内容为“异面直线所成角”，通过问题链导入，先回顾空间直线位置关系，再类比平面角提出如何刻画异面直线“歪”的程度，引导学生从已知到未知构建知识支架，理解定义及取值范围。 其亮点是问题驱动探究与多样求法结合，通过类比平面角培养空间观念（数学眼光），例题用直接平移、中位线等方法训练逻辑推理（数学思维），小结系统归纳步骤助学生用数学语言表达，提升学生解题能力，方便教师高效教学。

空间角的计算(一） 异面直线所成角 学习目标——异面直线所成夹角 2 1.理解异面直线所成角的定义及夹角的取值范围； 2.掌握求解异面直线所成角的方法，会求异面直线所成的角； 01 异面直线所成角 PART 4 异面直线所成的角的定义的形成 问题1：空间中直线与直线的位置关系有哪些？ 共面直线 异面直线： 平行直线： 相交直线： 在同一平面内，有且只有一个公共点； 在同一平面内，没有公共点； 不同在任何一个平面内，没有公共点. 异面直线的表示 异面直线的判别 反证法：两条直线既不相交、也不平行 定义法：两条直线不同在任何一个平面内 5 我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)，它刻画了一条直线 相对于另一条直线倾斜的程度. 类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系. 探究新知——异面直线所成角的范围 6 有区别 问题2：如下图，其中的直线与是什么位置关系？ (1) (2) (3) 追问①：它们的位置关系有区别吗？区别在哪里？ 都是异面直线 “歪”的程度不一样 追问②：怎么刻画这种区别呢？ 用“角”度量“歪”的程度 探究新知——异面直线所成角 7 追问③：“角”是平面图形，但图中的直线与不共面，如何用角度量？ 平移 追问④：直线所成角的大小与点的位置有关吗？ 无关，根据等角定理即可得证 异面 共面 使两条直线相交共面 探究新知——异面直线所成角 追问⑤：平移至共面后，直线与形成了多个夹角，选择哪个合适呢？ 锐角或直角 8 新知生成——异面直线所成角 空间 平面 已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点O 作直线,,把 a'与b' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. O 平移 异面直线 相交直线 9 我们规定两条平行直线的夹角为0，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？ 新知生成——异面直线所成角的范围 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 当两条直线a、b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°. 所以空间两条直线所成角α的取值范围是 0°≤ α ≤90°. 注：两条异面直线所成夹角的范围：0°< α ≤90° 10 不一定，可能是相交垂直，还可能是异面垂直. 如果空间两条直线垂直，那么它们一定相交吗？ A B C D D1 A1 C1 B1 新知探究——异面直线所成角的求法 练习1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画“×”． ①. 中,空间中直线//,//,则直线,所成的角是.（ ） ②.相互垂直的直线一定是相交直线（ ） ③.如果一条直线与平行直线中的一条垂直,那么这条直线也与另一条直线垂直.（ ） 典型例题分析 02 PART 12 例1 如右图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'. (1) 求直线BA'与CC'所成角的大小. (2) 求直线BA'与AC所成角的大小. 典例精讲——异面直线所成角的求法 解：(1) 在正方体ABCD－A'B'C'D'中， 因为CC'∥BB'， 所以∠B'BA为直线BA'与CC'所成的角. 而∠B'BA=45°. 解：(2) 连接A'C'、BC'. 在正方体ABCD－A'B'C'D'中，AC//A'C'， 则∠BA'C'为直线BA'与AC所成的角. 而△A'BC'是等边三角形，所以∠BA'C'=60°， 从而直线BA'与AC所成的角等于60°. 直接平移法 步骤：找点→平移→ 证明→求解 13 ①作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点(端点或中点)），常用平移法作出异面直线所成的角(或其补角)； ②证：证明①中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角； （注：证明线线平行） ③求：通过解三角形或其他方法，求出①中所构造的角的大小； （注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面 直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求）． 求异面直线所成的角的一般步骤 找！ 求！ 新知探究——异面直线所成角的求法 14 1. 已知正方体ABCD­A′B′C′D′中： (1) BC′与CD′所成的角为 ； (2) AD与BC′所成的角为 ； (3) A′C′和D′所成的角是 ； (4) A′C′和BD所成的角是 ． 60° 45° 90° 90° 课堂练习1——异面直线所成角的求法 15 中位线平移法 例2.如图，在正方体中， 是点，求异面直线与所成角的大小。 典例精讲——异面直线所成角的求法 连接， 连接， 与的交点是中点 取中点 连接 异面直线与所成角 即为 直线所成角 即（或其补角） 16 解: 取中点 连接连接、相交于点O， ， 即（或其补角）为异面直线与所成角; 在正方形ABCD中，O为BD中点. 设AB=2，则AG=，OA=AC=，OG= 典例精讲——异面直线所成角的求法 在中，, 在中，由余弦定理有 . 异面直线所成角为90 17 课堂练习2——异面直线所成角的求法 2.如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，，求异面直线BD与A所成的角. BE== 解： 取中点E，连接BE、DE D为AC中点，DE//AC （或其补角）为异面直线BD与A所成的角 又BD=AB，DE=AC= 在中，由余弦定理有 ， 异面直线BD与A所成的角为 在中，, 解： 取中点E，连接BE、DE D为AC中点，DE//AC （或其补角）为异面直线BD与A所成的角 又BD=AB，DE=AC= 异面直线BD与A所成的角为 BE== 中位线平移法 18 例3.如图，在正方体中， 是点，求异面直线与所成角的大小。 典例精讲——异面直线所成角的求法 Q 在原正方体右侧补一个全等的正方体 连接，并平移至 连接 在中，利用余弦定理 异面直线与所成角 即为 补形平移法 直线所成角 19 课堂练习3——证明两条异面直线垂直 例4.如图，在正方体中，为底面的中心. 求证：. 分析：要证明应先构造直线所成的角，再证明这个角是直角 解： 连接.∵是正方体， ∴且. ∴四边形是平行四边形. ∴ ∴直线与所成的角即为直线与所成的角. 连接，易证. 又为底面的中心， ∴为的中点，∴.∴. 20 步骤：找点→平移→ 证明→求解 方法：1.直接平移法： 2.中位线平移法： 3.补形平移法： 二、求异面直线所成角的步骤和方法 课堂小结——异面直线所成夹角 一、求异面直线所成角定义 已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点O 作直线,,把 a'与b' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. 注：两条异面直线所成夹角的范围：0°< α ≤90° 21 巩固提升——异面直线所成夹角 作业 2. 在四面体中,,分别是,的中点.若,所成的角为, 且,则________.  1.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的？ THANKS 感谢您的聆听 $