7.5正态分布课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦正态分布，从离散型随机变量复习切入，通过食盐包装误差实例，用频率分布直方图过渡到钟形曲线，构建连续型随机变量学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以生活实例（如上学时间选择、零件尺寸）培养数学眼光，通过分析正态曲线特征及参数影响发展数学思维，用3σ原则和概率计算强化数学语言表达。典例与变式结合，助学生理解应用，教师教学更高效。

7.5 正态分布 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 新课引入 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 二项分布 超几何分布 ？分布 现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为 0，我们称这类随机变量为连续型随机变量， 这就是我们所要学习的正态分布。 作者编号：32100 新知引入 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控的因素，任意取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量). 用 X 表示这种误差，则X是一个连续型随机变量. 检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差 X 的观测值如下： 下面我们看一个具体问题： 作者编号：32100 (1)如何描述这100个样本误差数据的分布？ (2)如何构建适当的概率模型刻画误差 X 的分布？ 新知引入 作者编号：32100 观察图形可知： 误差观测值有正有负，并大致对称地分布在 X＝0 的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁. 根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布. 频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率， 所有小矩形的面积之和为 1 . 新知引入 作者编号：32100 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线. 新知引入 作者编号：32100 根据频率与概率的关系，可用下图中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布. 新知引入 例如，任意抽取一袋食盐，误差落在[-2, -1]内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示. 正态密度曲线 作者编号：32100 概念生成 对于这个钟形曲线，数学家们找到了它的函数解析式： x y ①其中，μ∈R，σ＞0为参数； ②对∀x∈R，f (x)＞0，它的图象在 x 轴上方； ③x 轴和曲线之间的区域的面积为1 . 正态密度函数 正态密度曲线 (简称正态曲线) 作者编号：32100 概念生成 若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f (x)，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 X～N(μ，σ2) . 特别地，当 μ＝0，σ＝1时，称随机变量 X 服从标准正态分布. 正态分布 作者编号：32100 方法点拨 1. 若X～N(μ，σ2)，如图所示，则 P(X≤x)为图中区域 A 的面积，而P(a≤X≤b)为图中区域 B 的面积. 面积即概率！ 正态曲线下的面积规律 作者编号：32100 方法点拨 正态曲线下的面积规律 2. 正态曲线下对称区域的面积相等 对应的概率也相等  a -a 利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率 -x1 -x2 +x2 +x1  作者编号：32100 新知讲解 正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在实际中，遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布： 在生产中，各种产品的质量指标；在测量中，各种测量结果； 在生物学中，同一群体的某一特征如身高、体重等……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度、以及降雨量、水位等. 作者编号：32100 新知学习 思考：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？ 基本特征：两头低、中间高、左右对称 o 作者编号：32100 新知学习 o x=μ 观察正态曲线及相应的密度函数，可以发现正态曲线还有以下特点： (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值(最高点)； (3)正态曲线在x轴上方，两侧与x轴无限 接近而不相交； (4)x轴和曲线之间的区域的面积为1. 作者编号：32100 新知学习 思考：一个正态分布由参数 μ 和 σ 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？ 3 1 2 μ=-1 μ=0　 μ=1 当参数σ固定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，规律：左“－”右“＋”. 故 μ 称为位置参数 作者编号：32100 新知学习 思考：一个正态分布由参数 μ 和 σ 完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？  =0.5 =1 =2 σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 故 σ 称为形状参数 作者编号：32100 正态分布的两个重要参数是 μ 与 σ2， μ 反映了正态分布的集中位置，σ 反映了随机变量的分布相对于均值 μ的离散程度。实际上，我们有： 概念生成 正态分布的期望和方差 若 X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2 在实际问题中，参数 μ、σ可以分别用样本均值与样本标准差来估计。 作者编号：32100 典例剖析 例1 一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中正确的是( 　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 甲 乙 丙 A 练习1 设两个正态分布 N(μ1，σ12)和 N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图像如图，则有( 　) A. μ1＜μ2 ，σ1＜σ2 B. μ1＜μ2 ，σ1＞σ2 C. μ1＞μ2，σ1＜σ2 D. μ1＞μ2，σ1＞σ2 A 变式训练 变式训练 练习2 设随机变量X ~ N(0，22)，随机变量Y ~ N(0，32)，画出分布密度曲线草图，并指出 P( X≤-2)与 P(X≤2)的关系，以及P(|X|≤1)与 P (|Y|≤1)之间的大小关系. 解析： 作出分布密度曲线如图示，由图可知， σ=3 σ=2 O 1 -1 x y 2 -2 P(X≤-2)＋P(X≤2)＝P(X≥2)＋P(X≤2)＝1 P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1) ►课本P87 典例剖析 例2 如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差． 于是概率密度函数的解析式是 总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝2. 解析： 由图可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是 ， 所以 ， ，解得 变式训练 练习3 1. 若X～N(2，32)，则E(X)＝_____，D(X)＝_____. 2 9 3 2 3. 若X～N(1，σ2)，且P(X<0)＝a，则 2. X～N(μ，σ2)，若E(X)＝3， σ(X)＝2，则μ＝____， σ＝____. (6)P(0<X<1)＝______. (5)P(0<X<2)＝______； (4)P(X <2)＝______； (2)P(X >0)＝______； (1)P(X >1)＝____； (3)P(X >2)＝____； 0.5 1-a a 1-a 1-2a 0.5-a 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 μ=1 典例剖析 ►课本P86 例3 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X，Y的分布中的参数; 解析： (1)随机变量 X 的样本均值为30，样本标准差为6； 随机变量 Y 的样本均值为34，样本标准差为2. 用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ， 可得X~N(30，62)，Y~N(34，22). 变式训练 练习4 已知随机变量 X 服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝(　　) A．0.6　　　　 B．0.4 C．0.3 D．0.2 C 解析： ∵随机变量 X 服从正态分布N(2，σ2)， ∴μ＝2，对称轴是 X＝2. ∵P(X＜4)＝0.8 ∴P( X≥4)＝P( X≤0)＝0.2 ∴P(0＜X＜4)＝0.6 ∴P(0＜X＜2)＝0.3 典例剖析 ►课本P86 例3 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线； 解析： X的密度曲线 Y的密度曲线 y x 30 34 38 由(1)得X~N(30，62)，Y~N(34，22)， 作出 X 和Y 的分布密度曲线如图示. 典例剖析 ►课本P86 (3)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min 可用，又应该选择哪种交通工具?请说明理由. 由图可知，P(X≤38)＜P(Y≤38)，P(X≤34)＞P(Y≤34). 所以，如果有38min可用，那么骑自行车不迟到 的概率大，应选择骑自行车； 如果只有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大， 应选择坐公交车. 解析： (3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. X的密度曲线 Y的密度曲线 y x 30 34 38 正态曲线在特殊区间上的概率： 新知学习 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ 0.6827； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ 0.9545； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ 0.9973； 作者编号：32100 正态总体在[μ－3σ，μ＋3σ]以外取值的概率只有0.27％，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，称为小概率事件. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 X~N(μ，σ2)的随机变量 X 只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值， 这在统计学中称为3σ原则. 正态分布的 3σ原则 概念生成 作者编号：32100 典例剖析 例4 若X~N(5，1)，求P(6＜X＜7). 因为X～N(5，1)， 故正态密度曲线关于直线 x＝5 对称， 解析： 方法归纳 ①根据题目中给出的条件确定 μ 与 σ 的值； ②将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这 三个区间进行转化； ③利用 X 在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间 的面积为1，求出最后结果． 求正态变量 X 在某区间内取值的概率 作者编号：32100 练习5 设ξ～N(1，22)，求：(1)P(-1≤ξ≤3)； (2)P(3＜ξ≤5)． (1)P(-1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827. 解析： ∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2. (2)∵P(3＜ξ≤5)＝P(－3≤ξ＜－1)， ∴P(3＜ξ≤5)＝ [P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)] ＝ [P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)] ＝ [P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)] ≈ ×(0.9545－0.6827)＝0.1359. 变式训练 变式训练 练习6 设随机变量 X～N(0，1) ，则X的密度函数为 ，P( X≤0)＝ ，P(|X|≤1)＝ ，P(X≤1)＝ ，P( X ＞1)＝ (精确到0.0001.) 0.5 0.6827 0.84135 0.15865 O 1 -1 x y μ=0 典例剖析 ►课本P78 例5 在某次数学考试中，考生的成绩 X 服从正态分布X～N(90，100). (1)求考试成绩 X 位于区间(70，110)上的概率是多少? (2)若此次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人? 解析： (1)依题意，∵X～N(90，100)，∴μ＝90，σ＝10， ∴P(70≤X≤110)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545 即考试成绩在(80，100)间的概率为0.6827. (2)P(80≤X≤100)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827 考试成绩在(80，100)间的考生大约有 变式训练 练习6 有一种精密零件，其尺寸 X (单位：mm)服从正态分布 N(20，4)． 若这批零件共有5000个，试求： (1)这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比； (2)若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 107个 变式训练 练习7 某年级得一次数学测验成绩近似服从正态分布N(70，102)． 如果规定低于60分为不及格，求： (1)成绩不及格得人数占多少？ (2)成绩在80～90的学生占多少？ 15.87% 13.59% 课堂总结 误差分析 应用 概率的计算 密度曲线的特征 三倍标准差原则 正态密度函数 分布参数的意义 正态密度曲线 作者编号：32100 随堂小练 基础练习 1、已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6]内的概率为（ ） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 B 2、以下关于正态密度曲线的说法中正确的个数是（ ） ①曲线都在轴的上方，左右两侧与轴无限接近，最终可与轴相交； ②曲线关于直线对称； ③曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状； ④曲线与x轴之间的面积为1. A．1 B．2 C．3 D．4 C 32006 随堂小练 3. 设X～N(10，0.64)，则D(X)等于(　　) A.0.8 B.0.64 C.0.642 D.6.4 B 4. 已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)=0.023，则P(-2<ξ<2)=(　　) A.0.477 B.0.625 C.0.954 D.0.977 解：因为随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),所以正态曲线关于直线x=0对称. 又因为P(ξ>2)=0.023,所以P(ξ<-2)=0.023. 所以P(-2<ξ<2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954. C 32006 $