精品解析：2026年四川省广安市中考 数学试题

**基本信息** 立足核心素养，融合生活实践与跨学科情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言，适配中考要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|实数、三视图、平行线等|第7题链状烷烃化学式规律，考查抽象能力与创新意识| |填空题|10题40分|同类项、多边形外角、因式分解等|13题尺规作图结合几何推理，体现空间观念| |解答题|8题78分|统计与概率、三角函数应用、圆、函数综合等|15题研学项目统计（数据意识）、16题测量建筑物高度（几何直观）、25题正方形与外角平分线综合（推理能力）、26题二次函数动态问题（模型观念）|

广安市2026年初中学业水平考试试题 数学 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（1—4页）和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分（A卷100分，B卷50分）． 2．考生答题前，应认真按准考证核对条形码，若无误，在答题卡的规定区域用0.5毫米黑色墨迹签字笔填写姓名、准考证号和座位号． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上题号对应位置，非选择题直接用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题号对应的答题区域内作答，超出答题区域作答的、未在题号对应答题区域内作答的不得分．在试题卷、草稿纸上答题无效．作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色墨迹签字笔描黑． 4．考试结束，监考员必须将参考学生和缺考学生的答题卡、试题卷、草稿纸一并收回． A卷（共100分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列比0小的数是（ ） A. B. C. D. 1 2. 如图，由4个小正方体组合而成的几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，如果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 根据图中对话内容，选择恰当的选项（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与互余 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 数据1，2，3，2，1的中位数是3，众数是2 D. 关于的分式方程的根为 7. 链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（ ） A. B. C. D. 8. 小明家，蛋糕店，姥姥家依次在同一直线上．为庆祝姥姥生日，小明从家去蛋糕店买蛋糕，接着去姥姥家．下图反映了在这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．下列说法错误的是（ ） A. 小明家离蛋糕店 B. 小明买蛋糕用了 C. 小明从蛋糕店到姥姥家的平均速度为 D. 小明从家到蛋糕店的平均速度小于从蛋糕店到姥姥家的平均速度 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 与_____是同类项．（写出一个即可） 10. 正九边形一个外角的度数是_____． 11. 分解因式：______． 12. 已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 13. 如图所示，在中，按以下步骤作图：（1）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；（3）作射线交于点；（4）连接，交于点，连接．若，则_____． 三、解答题（本题共5小题，共48分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．） 14. 完成下列小题； （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 15. 为弘扬中华传统文化，增强民族文化自信．某校组织学生去某市文创小镇研学，参加该镇开发的四个项目：．参加烟花秀表演，．体验造纸过程，．制作印刷模板，．自制指南针．学校为了更好组织本次研学，随机调查了部分学生“最感兴趣的一个项目”，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的样本容量是 ，扇形统计图中对应圆心角的度数是 ； （2）请补全条形统计图； （3）在这次研学中，有两名男生和两名女生都希望参加烟花秀表演，现从他们中随机选取两名学生参加，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 16. 某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下： 活动主题 测量建筑物的高度 实物图和测量示意图 测量说明 （1）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （2）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （3）点，，位于同一水平线上，测出的长，测角仪的高，． 测量数据 ，，， 参考数据 ，， ，， 请根据以上数据求此建筑物高的长．（结果保留整数） 17. 如图，内接于，是的直径，过点作射线交的延长线于点，使． （1）求证：是的切线； （2）过点作交于点，若，，求的长． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（m为常数，）在第二，四象限分别交于，两点，点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在坐标轴上，以点，，为顶点的等腰三角形有 个，当点在轴负半轴时，求等腰三角形的面积； （3）如图2，已知函数的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． B卷（共50分） 四、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 20. 水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 21. 已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 22. 已知，为实数，且，则的平方根是_____． 23. 如图，在矩形中，已知，，点是射线（不与点重合）上的一个动点，连接并延长交直线于点，将沿射线翻折，点的对应点为点，延长交直线于点．有下列结论： ①；②；③若点恰好落在对角线上时，则；④若时，则或；⑤的取值范围为．其中正确的结论有_____．（填序号） 五、解答题（本题共3小题，共30分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．） 24. 某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． （1）分别求出A，两地各收到多少吨物资； （2）请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 25. 如图，四边形是正方形，点是边（不与点，点重合）上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，分别为，的中点，连接和相交于点，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若点是边（不与点，点重合）上的一点，直接写出，，三边满足什么数量关系时，四边形是平行四边形． 26. 如图，二次函数（a，b为常数，）的图象与轴分别交于点，点，与轴交于点，，． （1）求二次函数的解析式； （2）①连接，点是第一象限内抛物线上的一动点，当点到的距离最大时，求点的坐标； ②在①的条件下，点，分别是轴和抛物线对称轴上两个动点，且轴，连接，，，求的最小值； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点，使以点，，为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安市2026年初中学业水平考试试题 数学 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（1—4页）和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分（A卷100分，B卷50分）． 2．考生答题前，应认真按准考证核对条形码，若无误，在答题卡的规定区域用0.5毫米黑色墨迹签字笔填写姓名、准考证号和座位号． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上题号对应位置，非选择题直接用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题号对应的答题区域内作答，超出答题区域作答的、未在题号对应答题区域内作答的不得分．在试题卷、草稿纸上答题无效．作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色墨迹签字笔描黑． 4．考试结束，监考员必须将参考学生和缺考学生的答题卡、试题卷、草稿纸一并收回． A卷（共100分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列比0小的数是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，利用“正数大于0，负数小于0”的性质，判断各选项数的正负即可得到答案． 【详解】解：根据实数大小比较的规律可得： ∵，，，， ∴比小的数是． 2. 如图，由4个小正方体组合而成的几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据简单组合几何体的三视图的定义即可判断． 【详解】解：几何体的主视图为：． 3. 如图，直线，如果，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：直线，， ． 4. 根据图中对话内容，选择恰当的选项（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据图片对话，每天记的英语单词个数可得，7天记的英语单词个数可得． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与互余 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 数据1，2，3，2，1的中位数是3，众数是2 D. 关于的分式方程的根为 【答案】A 【解析】 【分析】根据互余的定义、特殊四边形的判定、中位数众数的求解、分式方程的根四个初中数学知识点，只需逐个判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：选项A、根据互余的定义：和为的两个角互余，∵，∴与互余，故A正确； 选项B、根据平行四边形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形才是矩形，故B错误； 选项C、将原数据从小到大排序得1，1，2，2，3，中位数是中间位置的，众数是出现次数最多的和，故C错误； 选项D、分式方程分母不能为0，当时，原方程分母，，则是增根，原方程无解，故D错误． 7. 链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意易得第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为，然后问题可求解． 【详解】解：∵第1种如图①有1个碳原子和个氢原子，化学式为； 第2种如图②有2个碳原子和个氢原子，化学式为； 第3种如图③有3个碳原子和个氢原子，化学式为； ……； ∴第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为， ∴第2026种化合物的化学式为． 8. 小明家，蛋糕店，姥姥家依次在同一直线上．为庆祝姥姥生日，小明从家去蛋糕店买蛋糕，接着去姥姥家．下图反映了在这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．下列说法错误的是（ ） A. 小明家离蛋糕店 B. 小明买蛋糕用了 C. 小明从蛋糕店到姥姥家的平均速度为 D. 小明从家到蛋糕店的平均速度小于从蛋糕店到姥姥家的平均速度 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象判断每个节点的实际意义，再计算平均速度，然后逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：由图象可知，段，小明停留在离家处， ∴小明家离蛋糕店，故A不符合题意； 对于选项B：∵， ∴小明买蛋糕用了，故B不符合题意； 对于选项C：由图象可知，小明从蛋糕店到姥姥家路程为，用时， ∴平均速度为，故C不符合题意； 对于选项D：小明从家到蛋糕店的平均速度为， ∵， ∴小明从家到蛋糕店的平均速度大于从蛋糕店到姥姥家的平均速度，故D符合题意． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 与_____是同类项．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，故的一个同类项可以为． 10. 正九边形一个外角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角都相等，利用正边形的外角公式求解即可. 【详解】解：任意多边形的外角和为，正九边形的9个外角都相等，因此正九边形的一个外角的度数为． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用提公因式法提出公因式xy，再利用平方差公式法进行变形即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查． 12. 已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再根据第三边长为整数，得出第三边长的最大值，即可得到三角形周长的最大值． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边长，即第三边长， ∵第三边长为整数， ∴第三边长最大值为， 则这个三角形周长的最大值为． 13. 如图所示，在中，按以下步骤作图：（1）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；（3）作射线交于点；（4）连接，交于点，连接．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知：垂直平分，，结合勾股定理和线段的和差可得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分，， ∵ ∴，， ∴． 三、解答题（本题共5小题，共48分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．） 14. 完成下列小题； （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）4 （2）化简为；值为； 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 15. 为弘扬中华传统文化，增强民族文化自信．某校组织学生去某市文创小镇研学，参加该镇开发的四个项目：．参加烟花秀表演，．体验造纸过程，．制作印刷模板，．自制指南针．学校为了更好组织本次研学，随机调查了部分学生“最感兴趣的一个项目”，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的样本容量是 ，扇形统计图中对应圆心角的度数是 ； （2）请补全条形统计图； （3）在这次研学中，有两名男生和两名女生都希望参加烟花秀表演，现从他们中随机选取两名学生参加，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）；； （2）如图所示， （3）(一名男生一名女生参加) 【解析】 【分析】（1）先根据选择项目的人数除以其占比即可求解样本容量，再用乘以选择项目的占比即可求解圆心角； （2）先求出选择项目的人数，即可补全条形统计图； （3）画树状图得出所有等可能的结果数和一男一女参加同一个项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 ∵条形图中选择项目人数为人，扇形图中占， ∴本次抽取的样本容量是，对应圆心角的度数为； 【小问2详解】 ∵样本容量为，选择项目人数为人，选择项目人数为人，选择项目人数为人， ∴选择项目人数为（人） 据此数据补充条形统计图，图略； 【小问3详解】 法一：画树状图如下： 共有种等可能结果，其中一男一女参加的共有种结果． (一名男生一名女生参加)． 法二：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （女，女） 女 （男，女） （男，女） （女，女） 共有种等可能结果，其中一男一女参加的共有种结果． (一名男生一名女生参加)． 16. 某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下： 活动主题 测量建筑物的高度 实物图和测量示意图 测量说明 （1）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （2）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （3）点，，位于同一水平线上，测出的长，测角仪的高，． 测量数据 ，，， 参考数据 ，， ，， 请根据以上数据求此建筑物高的长．（结果保留整数） 【答案】 【解析】 【分析】在直角三角形中，利用角的正切值，得出，，进而列方程求解即可． 【详解】解：已知，，，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 因此，此建筑的高约为． 17. 如图，内接于，是的直径，过点作射线交的延长线于点，使． （1）求证：是的切线； （2）过点作交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ，， ∵， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而可得，则问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ∴． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（m为常数，）在第二，四象限分别交于，两点，点，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在坐标轴上，以点，，为顶点的等腰三角形有 个，当点在轴负半轴时，求等腰三角形的面积； （3）如图2，已知函数的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 【答案】（1）； （2）； （3）①当时，随增大而减小 ②当时随增大而减小 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）点在坐标轴上，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，应分三种情况讨论：、，；根据三角形的面积公式求出当点在轴负半轴时，等腰三角形的面积； （3）根据函数图象写出该函数的两条性质即可． 【小问1详解】 解：将代入， 可得：， 点的坐标为， ， ， ， 点的坐标为， 将代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 将代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：点的坐标为， ， 当时，若点在轴上，设点的坐标为， 则有， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，点在轴上，设点的坐标为， 则有， ， 解得：， 点的坐标为； 当，点在轴上时， ， 点的坐标是或； 当，点在轴上时， ， 点的坐标是或； 当，点在轴上时， 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是； 当，点在轴上时， 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是； 当是等腰三角形，点在坐标轴上时，点的坐标为或或或或或或， 综上所述，以点，，为顶点的等腰三角形有个； ， ； 【小问3详解】 解：图象的性质：①当时，随增大而减小； ②当时随增大而减小； ③函数的图象关于原点对称； B卷（共50分） 四、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 20. 水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面高为_____m． 【答案】0.2或0.8##或0.8或0.2 【解析】 【分析】分水面在圆心下方和水面在圆心上方两种情况讨论，利用垂径定理结合勾股定理计算圆心到水面的距离，进而得到水面高度． 【详解】解：设截面圆的圆心为，弦为水面，已知，． 过点作于点，直线交下面圆弧于点D， 根据垂径定理可得： 在中，由勾股定理得： 分两种情况讨论： 当水面在圆心下方时， 水面高度为 ； 当水面在圆心上方时， 水面高度为 ． 故答案为或． 21. 已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质求出点的坐标，用待定系数法分别求出直线、的函数解析式，联立求出点的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 设直线的函数解析式为， 把代入得，解得， 直线的函数解析式为 设直线的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， 联立，解得， ， 将点向左平移2个单位长度得到点， ． 22. 已知，为实数，且，则的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，，则原方程可整理为，通过完全平方公式变形可得，结合非负数的性质可得，，从而计算出，，则，最后求平方根即可． 【详解】解：设，，则，，，， ∴，， 代入原方程可得， 整理，得， 变形，得， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，，符合题意， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 23. 如图，在矩形中，已知，，点是射线（不与点重合）上的一个动点，连接并延长交直线于点，将沿射线翻折，点的对应点为点，延长交直线于点．有下列结论： ①；②；③若点恰好落在对角线上时，则；④若时，则或；⑤的取值范围为．其中正确的结论有_____．（填序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】①②分类讨论，当在的左侧和在的右侧（含点），根据矩形性质和折叠的性质即可推出结论；③先判断在的左侧，根据矩形的性质结合勾股定理求出的长，再根据折叠的性质结合勾股定理求出的长，④分类讨论，当在的左侧和在的右侧（含点），分别作过点作交于点，过点作交于点，运用矩形的性质证明，得出的长，再结合①的结论算出的长，根据等面积法求出、，最后运用三角形的面积求解即可；⑤先判断在以为圆心，半径为的圆上运动，即可求解． 【详解】解：关于①，如图，当在的左侧、， ∵关于折叠为， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在的右侧（含点）， 与当在的左侧同理， 综上，， ∴①符合题意； 关于②，如图，当在的左侧， ∵关于折叠为， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， 如图，在的右侧（含点）， ∵， ∴，即， ∴②不符合题意； 关于③，∵点恰好落在对角线上， ∴如图，在的左侧， ∵矩形， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵关于折叠为， ∴，，， ∴，， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，，即， 解得: ， ∴③符合题意； 关于④，如图，当在的左侧，过点作交于点， ∵关于折叠为， ∴， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵由①得， ∴，即，解得：， ∴， ∵，即 ∴， ∴， 如图，当在的右侧（含点），过点作交于点， ∵关于折叠为， ∴， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵由①得， ∴，即，解得：， ∴， ∵，即 ∴， ∴， 综上，或； ∴故④不符合题意； 关于⑤， ∵关于折叠为， ∴， ∴如图，在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵点是射线（不与点重合）上的一个动点， ∴，即， ∴在上运动， 当在点时，有最小值，最小值为， 当接近时停止，趋近于， ∴的取值范围为， 故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤． 五、解答题（本题共3小题，共30分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．） 24. 某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． （1）分别求出A，两地各收到多少吨物资； （2）请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 【答案】（1）A地收到250吨物资，B地收到150吨物资． （2）从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 【解析】 【分析】（1）设A地收到吨物资，B地收到吨物资．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设总费用为元，从A地运往C地吨，则运往D地吨，B地运往C地吨，运往D地吨，易得、再利用一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设A地收到吨物资，B地收到吨物资． 由题意得： ，解得：． 答：A地收到250吨物资，B地收到150吨物资． 【小问2详解】 解：设总费用为元，从A地运往C地吨，则运往D地吨，B地运往C地吨，运往D地吨， 由题意得： ， ∴W随的增大而增大， 当，总费用最少，元． ，， 答：从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 25. 如图，四边形是正方形，点是边（不与点，点重合）上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，分别为，的中点，连接和相交于点，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若点是边（不与点，点重合）上的一点，直接写出，，三边满足什么数量关系时，四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：在上截取， 四边形是正方形， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， 是正方形的外角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）四边形是平行四边形． 理由如下： 四边形是正方形， ，， ，分别为，的中点， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 四边形是平行四边形． （3）当时，四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）在上截取，结合正方形的性质得到，则，再结合正方形的外角平分线，得到，即可证明，得到； （2）由，分别为，的中点，得到，即可证明，得到，，接着得到，则，最后根据一组对边平行且相等即可得到四边形是平行四边形． （3）根据，得到，即可证明，得到，，接着得到，则，最后根据一组对边平行且相等即可得到四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，四边形是平行四边形． 理由如下： 四边形是正方形， ，， ∵，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 四边形是平行四边形． 26. 如图，二次函数（a，b为常数，）的图象与轴分别交于点，点，与轴交于点，，． （1）求二次函数的解析式； （2）①连接，点是第一象限内抛物线上的一动点，当点到的距离最大时，求点的坐标； ②在①的条件下，点，分别是轴和抛物线对称轴上两个动点，且轴，连接，，，求的最小值； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点，使以点，，为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②6； （3）存在，Q的坐标为， 【解析】 【分析】（1）由且，可得，，即，．将两点坐标代入，求解即可； （2）①先求直线解析式为，由为等腰直角三角形，可知点到的距离与竖直线段成正比，设，表示出的长度并配方，当时最大，即可求出点P坐标；②先求出抛物线对称轴为，根据轴，可得为定值．将点向右平移1个单位得，则，原式转化为．当、、三点共线时和最小，由两点间距离公式得，即可求出最小值； （3）已知、，先求得，设的中点为G，则，由三线合一可得，设，由可得，，再结合等边三角形的高列方程求解，得到的两个坐标，对应线段两侧的两种情况． 【小问1详解】 解：，， ，， ，， 将，代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①过点作轴的垂线交轴于点，交于点，过点作于点，如图， 当时，， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ， 在中，， 设的解析式为， 将和代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 设，则， 为第一象限内的点， ， ∵， 当时，最大，即当取最大值时，最大，此时； ②将点向右平移1个单位长度得点，则，连接交对称轴于点，如图， ∵，且， ∴， ∵， ， ∴ 当，，三点共线时，最小，为， ∵，， ∴， ， 的最小值为6； 【小问3详解】 解：由（2）得，点坐标为， ∴，， 在中，， 设的中点为G，连接，如图， 则G的坐标为，即，且， ∵为等边三角形， ∴，且， 在中，， 设，由得， 解得， 又∵， ∴ 将代入，得 解得或， 当时，，即； 当时，，即， 综上所述，点Q的坐标为和． 【点睛】本题是二次函数综合题，核心是利用平移法处理定长线段最短路径，避免配方计算失误、平移方向与距离出错、漏解等边三角形的两种位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $