第5章 特殊平行四边形 单元测试·基础卷 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 2025学年八年级数学下学期第5章特殊平行四边形基础卷，覆盖矩形、菱形、正方形性质与判定，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，培养几何直观、推理能力与应用意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形菱形性质比较、判定定理应用|结合书架检查等生活情境，辨析基础概念| |填空题|6/18|中点性质、动点问题、图形变换|涉及矩形折叠、正方形旋转，考查空间观念| |解答题|7/72|菱形证明、勾股定理应用、实践问题|含风筝高度计算、衣帽架设计等真实情境，综合考查推理与模型意识|

2025学年八年级数学下学期单元测试卷 第5章 特殊平行四边形 单元测试·基础卷 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．四条边都相等 C．两组对边分别平行 D．对角线相等 2．如图，小明能用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他的依据是（   ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 3．如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（   ） A． B．10 C． D． 4．如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点．设交于点，连接．有如下结论：①；②；③的长度是；④．上述结论中，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，菱形的对角线、相交于点，点、分别为、的中点，连接、、、，若四边形的周长为，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．4 D． 6．如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．如图，△ABC中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 9．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为中点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 10．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为_____． 12．如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________． 13．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 14．如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边上，，过点E作，分别交于点G、F，点H、M、N、P分别是的中点，则的长是________． 15．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 16．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分） 17．如图，在△ABC中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 18．小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若想要让风筝的离地高度再上升至处，在余线剩的情况下，请判断小明能否成功，并说明理由． 19．2026年，我国多地实行中小学生春假制度．春假期间，同学们走出课堂、积极参与实践活动．小明在学习了菱形的相关知识后，动手制作了一款由三个全等菱形组成的木制活动衣帽架，该衣帽架可灵活调节挂钩间距，既实用又美观．如图，在A、E、F、C、G和H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B，M处固定．若菱形的边长为，要使两排挂钩间的距离为，则B、M之间的距离为多少？ 20．如图，四边形是菱形，，点，在上，，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的周长． 21．如图，四边形中，对角线相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 22．如图，在四边形中，，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（）． (1)四边形的形状为 ； (2)当 时，点P运动到的角平分线上； (3)请用含t的代数式表示的面积S； (4)当时，直接写出点P到四边形相邻两边距离相等时t的值． 23．已知正方形的边长为，点为上一点，连接． (1)如图，过点作于点，交于点，连接，，若点为中点，求四边形的面积； (2)如图，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，连接，若，求线段的长； (3)如图，点是边上的一个动点，，过点作于点，连接，试求线段的最小值，且直接写出此时四边形的面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D D C B D B D 1．D 根据矩形和菱形的性质逐一判断选项，即可得到答案。 解：A 对角线互相垂直是菱形具有矩形不具有的性质，不符合要求； B 四条边都相等是菱形具有矩形不具有的性质，不符合要求； C 两组对边分别平行是矩形和菱形都具有的性质，不符合要求； D 对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，符合要求。 2．C 本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 解：小明用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 故选：C． 3．A 先在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，从而得到的长度，进而得出和的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出的长度．本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 解：∵ 四边形是矩形 ∴ ，，， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 4．D 证明四边形是正方形，可求，，求出，结合是的中点可判断①正确；取的中点，连接，可证是等边三角形，从而可求，进而可判断②正确；求出，进而可判断③正确；由，，可求，进而可判断④正确． 解：四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 由折叠得：， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ．故①正确； 在中 ， 如图，取的中点，连接，   ， ， 是等边三角形， ， ， ，故②正确； 在中 ， 由旋转得：， ，故③正确； 四边形是正方形， ， ，， ， ，故④正确． ①②③④均正确． 故选D． 本题考查了旋转的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键． 5．D 【分析】先证明四边形是菱形得到，再用勾股定理求出，从而求得，再用勾股定理求即可． 【详解】∵菱形的对角线、相交于点， ∴， 又∵点、分别为、的中点， ∴， 又∵即， ∴四边形是菱形， 又∵四边形的周长为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 6．C 根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，则，，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 7．B 过点A作于点G，证明四边形为菱形，得出，，，，根据勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可． 解：过点A作于点G，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．D 先由作图得，结合，可推出四边形是菱形，根据菱形的性质得，，则，再由勾股定理分别求出、即可． 解：如图，连接交于点， 由作图得， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 9．B 根据菱形的性质求出的度数，利用菱形对角线平分对角的性质求出的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，利用等边对等角即可求解． 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形的对角线平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．D 本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 11．9 根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得出结果. 解：∵在矩形中，， ∴， ∵，分别是线段，的中点， ∴. 12． 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而可得四边形是菱形，根据矩形的性质可得，则四边形是正方形，进而证明四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴四边形是菱形， 又∵四边形是矩形，则 ∴四边形是正方形， ∴在上，且 如图所示， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形，，，则重合， ∴ 13．// 本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 14． 先证四边形和都是矩形，由是等腰直角三角形，M是的中点，可得．由“矩形的对角线相等且互相平分”可得，且N是的中点．根据勾股定理求出的长，即可求出的长． 解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ． 又， ， ， ∴四边形和都是矩形， ． ． ， 是等腰直角三角形． ∵M是的中点， ， ． ∵四边形是矩形， ． 又∵N是的中点， ∴N是的中点， ． 15． 连接，利用三角形的中位线定理，先证明四边形为平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，有一个角是直角的平行四边形为矩形，即可得出答案． 解：连接， ∵分别为四边形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ∵， ∴当时，四边形为菱形， 当，即时，四边形为矩形， ∵， ∴当时，四边形为矩形． 16． 【分析】设点B的坐标为，根据长方形的性质求出长，利用求出的长，进而得出点C的坐标，代入即可求解． 【详解】解：设点B的坐标为，其中， 四边形是长方形，点、在x轴上 ， 轴、轴、轴， ， 点C的纵坐标为 ， ， ， 点C的横坐标为， 点C的坐标为， 将点代入得：， 解得． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）连接，先证明四边形是正方形，再根据得到，最后求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：连接，如图， ∵， ∴菱形形是正方形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 18．(1) (2)风筝的离地高度能再上升至处，理由见解析 【分析】（1）作交于点，证明四边形是矩形，由矩形性质得出，，再结合勾股定理即可得解； （2）假设风筝的离地高度能再上升至处，利用勾股定理求出，再结合无理数的估算即可判断该情况能否成立． 【详解】（1）解：作交于点， 由题意得， 四边形是矩形， ，， 中，， ， 故风筝离地面的垂直高度为； （2）解：能；理由如下： 假设风筝的离地高度能再上升至处， 此时， ， 中，， ， ， 即， 故在余线剩的情况下，风筝的离地高度能再上升至处． 19．B、M之间的距离为30厘米 理解图形结构，识别出B到M的距离是由三个菱形的水平对角线长度组成，并利用勾股定理求出单个菱形的水平对角线长度． 解：如图，设菱形的对角线、相交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵衣帽架由三个全等菱形组成，且B、M为固定点， ∴B、M之间的距离为3个菱形水平对角线的长度之和， ∴， 即B、M之间的距离为30厘米． 20．(1)见解析； (2)四边形的周长为． （）连接，交于点，由菱形的性质可得，，，从而得，所以四边形是平行四边形，又，故平行四边形是菱形，从而求证； （）连接，交于点，由四边形是菱形，得，，，通过勾股定理求得，因为四边形是菱形，所以，，由勾股定理得，即可求出四边形的周长． （1）证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的周长为． 21．(1)见解析 (2)28 （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，根据三角形外角的性质和已知条件可证明，得到，则可证明，据此可证明结论； （2）根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案． （1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴四边形的周长． 22．(1)矩形 (2)8 (3) (4)或或 本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、角平分线定理、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识． （1）根据，可得四边形是矩形； （2）根据角平分线定义可得，得，进而可得的值； （3）根据题意分3种情况讨论：①当点在上运动时，②当点在上运动时，③当点在上运动时，分别用含的代数式表示的面积即可； （4）当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论：①当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，②当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，③当点在上且到与距离一样时． （1）解：， 四边形是矩形， 故答案为：矩形． （2）如图，作的角平分线交于， ， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ，解得． 当时，点运动到的角平分线上； 故答案为：； （3）根据题意分3种情况讨论： ①当点在上运动时， ，； ②当点在上运动时， ，； ③当点在上运动时， ，； 综上，； （4）解：当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论： ①当点在上，且点到与距离一样时， 点到边的距离为， 点到边的距离也为， 即， ，解得； ②当点在上，且到与距离一样时，如图，过作于点， 则，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ③当点在上，则到与距离一样时，如图，过点作于点， 设，则， ， ， 解得：， ， ． 综上所述：或或时，点到四边形相邻两边距离相等． 23．(1) (2) (3)， 【分析】（），可得 ，再根据解答即可求解； （）延长交于点，利用折叠的性质可得，，， ，即得， ，设，则，利用勾股定理得，即得，，再根据得，得到，最后利用勾股定理解答即可求解； （）延长交的延长线于点，连接，可证，得到，进而得到，即得到，由，，可知当点三点共线时，的值最小，的最小值，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质可得，即得，，得到，最后根据解答即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， 由折叠得，，，，， ∴， ∴， 设 ，则， 在 中，∵， ∴， 解得， ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交的延长线于点，连接，则， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∵， ∴， ∵，， ∴当点三点共线时，的值最小，此时的最小值，如图， 过点作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时四边形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $