山东省聊城第一中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段测试数学试题

聊城一中老校区、新校区高二下学期第一次阶段性测试 数学试题 时间：120分钟分值：150分 注意事项： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.若了日是肠数f问的导数，且了回=-1，则四fa-f包-()） 2△x A.-2 B. c D.2 2.已知函数f(满足f=时mx-cox,则[) ) A.√2+1 B.2N2 c.2 D.√2-1 满足不等蜡 >12(n∈N+)的n的值可能为() A.8 B.9 c.7 D.11 4.若函数f)=x2e一a恰有三个零点，则实数a的取值范围是() A便+ B C.(0,4e2) D.(0,+∞) E 5.函数f(x) 5x+ax2-a+4,x>0 在R上单调递增，则a的取值范围是() ax+cosx,x≤0 A.[L,3) B.(1,3] c.[1,3] D.(1,3) 6有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共 有（)A.1512种B.1346种C.912种D.756种 7、已知函数f(x)=x2(3nx-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是（) A.(0,2e方 B.(-co,2e可 C.0,1) D.(-o,1) 8.已知定义域为R的函数f(x),其导函数为(x),且满足f(x)+2f(x)<0f(0)=1,则() A.f(-1)<e2 B.f0> c .90<f 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9在高二元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.以下有关排列组合问题中正确的是() A.有A8种不同的节目演出顺序 B.当4个舞蹈节目接在一起时，有A种不同的节目演出顺序 C.当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有AA种不同的演出顺序 D.若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相 对版序，有种不同的节目演出顺序 10.已知函数f(纠=点，则() A.x=e是函数f(x)的极小值点 B.对k≥3，方程∫(x)-k=0恒有两个不同的实数解 C.元ln2>2lnr D.存在k∈R,使得直线y=k(x-)与曲线y=f(x)相切 1.已知函数（四=心+山g(y=言，则下列说法正确的有(） A.两个函数的图象在x=0处的切线互相平行 B.函数f(x)-g(x)在(0，+∞)上单调递增 c.存在实数a,b,使得f(a)=g(b) 0.f()的图象与g()的图象关于0对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12现有7名同学去听同时进行的4个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选 法的种数是 13.若曲线y=(1-x)e有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是 14.已知f(x)=xeax-lnx-ax,若存在xo∈R,使得f(xo)=1,则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知函数f(x)=ax3+2bx+6在x=-1处取得极大值10. (1)求a,b的值；(2)求f(x)在[-2,2上的最值. 16(15分)，用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个四位数； (2)求可组成多少个偶数互不相邻的六位数： (3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第85个数. 17.(15分)如图，要设计一面矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即 图中阴影部分)，这两个栏目的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏目 之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸（单位：cm),能使矩形广告 牌的面积最小？ 18.(17分)己知函数f=--lnx+g(aeR). (1)当a=一1时，求函数f(x)的最大值： (2)当a>0时，求f(x)的单调区间； (3)若对Vx>1,f(x)≤1-x-1恒成立，求a的取值范围. 19、(17分)设函数y=f(x)的定义域为D,在D上仅有一个极值点x,方程f(x)=0在D上仅有两解， 分别为、为，且<，<x,若十立>，则称函数y=∫()在D上的极值点左偏移：若十之<， 2 2 则称函数y=(x)在D上的极值点右偏移. (1)设∫(x)=x2-1,D=R,判断函数y=f(x)在D上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由； (2)设m>0且m≠1，f(x)=x-mx2-x+m,D=(0,+o),求证：函数y=f(x)在D上的极值点右偏移： 3)设a∈R,f(x)=lnx-ax,D=(O,+oo),求证：当0<a<e时，函数y=f(x)在D上的极值点左偏移. 聊城一中老校区、新校区高二下学期第一次阶段性测试 数学答案 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 B A D B C D A D ACD AB ABD 12…47 13.（-o,-3)U(1,+∞) 14-+∞) 2.【答案】A【详解】由f()=了six-cosx可得了()=了任 cosx+sinx, 做r周r}))9r)9做r目1. n27 3.【详解】%>12可得 n≥5 0m-10m-20m-3)6a-406m-50a-0>12 n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) 故(n-5)(n-6)>12,化简可得n2-11n+18>0,故n>9, 4.答案B解析令gx)=x2e, 则gx)=2xrex+x2er=xe'x+2).令gx)=0,得x=0或-2， gx)在(-2,0)上单调递减，在(-∞，一2)，(0，十∞)上单调递增. “ga=8-2)-怎8a=g0)=0,又)=e-a恰有三个零点，则0<a<4 5.【答案】c【详解】当x≤0时，f()=ar+cosx,f'(x)=a-sinx, 由题意可得f'(x)=a-sinx之0在(-oo,0]恒成立，即a≥sinx在(-o,0]恒成立，则a≥1； 当x>0时，f)=写+am2-a+4,了(=+2am, 由题意可得f'(x)=x2+2ax≥0在(0，+oo)上恒成立，即2a≥-x在(0，+∞)上恒成立，则2a≥0，即a≥0； 又由f(x)在R上递增，则-a+4≥1，解得a≤3.综上可得，a的取值范围是[1,3)] 6.【详解】1、先涂A区域，则有4种方法，若B,D区域涂相同颜色，则有3种方法，C,E,F区域 分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法. 2、先涂A区域，则有4种方法，若B,D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法， C,F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法， 故不同的涂色方法共有756种. 故选：D 7.【答案】Af(x)=2x(3nx-ax)+x2(-a=3x(2Inx+1-ax),因为函数f(x)有两个极值点， 所以f(x)=3x(2lnx+1-ax)=0在x>0时有两个不同的解， 令g()=2Inx+1-ax,则g(x)=0在(0，+∞)上有两个不同的解，g(x)=2-a=2-, 当a≤0时，g(x)>0,则g(x)在(0，+o)上单调递增，则g(x)=0不存在两个不同的解： 当a>0时，令g()=“=0,则x=子所以g)在(0，月上单调递增，在伦+∞)上单调递减，则 gmx=g(月=21n子-1，当x→0时，g()<0,当x→+o时，g<0, 因为g)=0在(0，+∞)上有两个不同的解，所以g()mx=21n日-1>0，所以0<a<2e之. 8.答案】D【详解】设g(x)=e2f(x),则g(x)=2f(x)e+'(x)e=e[f'(x)+2f(x), 因f'(x)+2f(x)<0,故得g'(x)<0,即g(x)在R上为减函数 对于A项，因-1<0，则g(-1)>g(0),即e2f(-1)>f(0)=1,即f(-)>e2,故A错误； 对于B项，因1>0，则g四<g(0),即e2f)<f(0)=1,即得f0<,故B错误： 对于C项，因0，则g分<g0,即孕<f0=1,即得f分<。，放c错误 对于D项，因1>行则80<g孕，即cf0<(,即得f0<f, 故D正确 9.【详解】对于A:10个节目全排列，有A8种不同的节目演出顺序，故A正确： 对于B:当4个舞蹈节目接在一起时，把4个舞蹈节目看成一个元素，与其他6个节目全排列， 有A☑种不同的节目演出顺序，而4个舞蹈节目本身有A种顺序， 所以共有AA☑种不同的节目演出顺序，故B错误； 对于C:把6个演唱节目排列，有A种顺序，再把4个舞蹈节目插入到7个空挡中，有A种方法， 所以共有AA种不同的演出顺序，故C正确： 对于D:12个节目全排列，有A种不同的节目演出顺序，其中原来的10个节目有A8种不同的节目演 出顺序， 而现在原来的10个节目顺序不变，只占其中一种，所以有德种不同的节目演出顺序，故D正确， 故选：ACD. 10.【答案】AB【详解】函数/()=话的定义域为(0,1U0+四，且了)- (nr2 令f'(x)=0,解得x=e当x∈(1，e)时，lnr<1,所以f'(x)<0,f(x)单调递减： 当xe(e,+oo)时，nx>1,所以f'(x)>0,f(x)单调递增： 则x=e是函数的极小值点，故A正确： 对于B,f)的极小值为f(e=品=e=2.718， 当x→r时，r→0，f四→m,当→o时，f网=+o, 结合图像可知对Vk≥3，方程f(x)-k=0恒有两个不同解成立，故B正确： 对于C,由于当xeeo)时，f()单调递增，所以f4)>fm,则4 元 4lnπ 即2>元，所以血2<21nm,故C不正确；对于D,设切点为 Inxo-1 ln2ln元 切线斜率为∫(x) (Inxo)2 装方程为：岳密-小，因为切过o,代入得：0高-刻 化简得：-nx,=(n。-11-),整理得：x,lnw+(nx-11-)=0,即x+n-1=0, 令)=x+1nx-1,(0,1U,+o),则N(x)=1+>0,所以h()在(0,1)和，+o)上单调递增， 所以当0<x<1时，h(x)<h()=0,当x>1时，h(x)>h(1)=0,则当x∈(0,1)U1,+o)时，h(x)=0无 解，即不存在k∈R,使得直线y=k(x-)与曲线y=f(x)相切，故D不正确： 11.【答案】ABD 【详解】对于A,求f(x)=xe+1的导数得∫'(x)=e+xe，故f'(0)=e°+0×e°=1； 求闭-言的导数得g国-把-号，放g0=1 两函数的图像在x=0处切线斜率相等，且了0)=0xe+1=1,g0)-。=0, 所以切线不重合，故切线互相平行，故A正确. 对于B,设()=f()-8(=e+1-。,可得H()=(x+1)e-1二-区+e-1+x, 当x>0时，(x+1)e2>x+1,故分子(x+1)e2“-1+x>x+1-1+x=2x>0, 即(x)>0,故h(x)在(0，+o)上单调递增，故B正确. 对于C,f'(x)=e+xe=(1+x)e,当x<-1时，∫(x)<0,所以f(x)在(-o,-l)上单调递减： 当x>-1时，'(x)>0,所以f(x)在(-l,+∞)上单调递增： 故f()在x=-1处取最小值f(1)=-e+1=1- e g()=。,当x<1时，g()>0,8)在(，山上单调递增： 当>1时，g)0,8(在化+四)上单调递减，故8()在x=1处取最大值g)-因1- ee 故f(x)的值始终大于g(x)的值，不存在实数a,b,使得f(a)=g(b),故c错误： 对于D,若函数y=f(x)与y=g()关于点(m,m)中心对称， 则对任意x,有f(2m-)+g(x)=2n,因为f(-x)+g(x)=-xe+1+工=1， ex 对应得2m=0,2n=1,解得m=0,n=分，故y=f(y与y=8(y的图像关于点0对称，故D正确 13.【答案】(-∞，-3)U(1,+o) 【详解】y=-e+(1-x)e=-xe,设切点为(x,(1-x)e),故切线方程为y-(1-x)e=-xe(x-x), 且切线过点A(a,0),则-(（1-xo)e=-xe(a-),即-(1-x)=-x(a-x),x后-(a+1)x+1=0, 由题意可得，方程x号-(a+1)x+1=0有两个不相等的实数根，则△=(a+1)2-4>0,解得a<-3或a>1, 14【详解】由题意可得： xoeaxo-Inxo-axo=1,elnxo+axo-(Inxo axo)=1, 令lnx+axo=t,即存在t使得e-t=1, 构造g(t)=e5-t,g(t)=e-1, 由g(t)=e-1<0,可得t<0,由g(t)=e-1>0,可得t>0, 所以g(t)=e-t在(-oo,0)单调递减，在(0，+∞)单调递增， 又g(0)=1, 所以lnx0+ax0=t=0,即存在xo∈R,使得lnxo+axo=0, 参变分离得到a=-n如， 0 令h()=-g,x>0,h)=-x>0 易得当x∈(0，e)时，h(x)<0,当x∈(e,+o)时，h(x)>0, 所以h()=-gx>0在(0，e)单调递减，在(e,+o)单调递增， 最小值为h(e)=-是当x→0+时，h()→+o, 所以h()=-竖，x>0的值域为：【是，+∞) 所以实数a的取值范围是[，+∞)， 15.【详解】(1)f"(x)=3ax2+2b, 故f(-1)=-a-2b+6=10且f'(-1)=3a+2b=0,解得a=2,b=-3,。。。。2分 则f(x)=6x2-6=6(x+1)(x-1),令f'(x)=0,则x=1, 。0。。000.4分 当x<-1时，f'(x)>0,当-1<x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f(x)>0, 故f(x)在(-o,-1)上单调递增，在(-l,1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，。。7分 故f(x)在x=-1处取到极大值，故a=2,b=-3满足题意 ,000000000000000。8分 (2)由(1)知：f(x)在(-2，-1)和(1,2)单调递增，在(-1,1)单调递减， 且∫(x)大寸(-1)=10，f(x惟f()-2,f（(-2)=-16+12+6=2,(2)=16-12+6=10, 故最大值为10，最小值为2. 。00000000000000.13分 16.【详解】(1)四位数的千位不能为0，从数字0,1,2,3,4,5中选不重复的四位数个数， 千位从1,2,3,4,5}中选，有5种选法， 剩余三位从剩下的5个数字中选3个排列：A号=5×4×3=60 总数：5×60=300. 0.00。3分 (2)用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位数，且偶数互不相邻 先排奇数1,3,5，排列数：A=6, 三个奇数从左到右形成4个空隙， 4个空隙中选3个放入偶数0,2,4（每个空隙一个偶数，保证偶数互不相邻）： 若空隙1未被选：只能选空隙2,3,4)，偶数全排列A=6种， 若空隙1被选：空隙1不能放0，故从(2,4}中选1个放在空隙1(2种)，剩余两个偶数放入另两个选中 的空隙（A=2种)， 包含空隙1的空隙选择有3种{1,2,3}、1,2,4}、{1,3,4}，每种对应2×2=4种偶数排法，共3×4=12 种， 偶数排法总数：6+12=18， 六位数总数：6×18=108. 000。0.9分 (3)从小到大排列这些四位数，求第85个数， 千位为1时：后三位从剩余5个数中选3个排列，有A=60个（第1~60个）， 千位为2时：也有60个（第61~120个）， 第85个在千位为2中排第85-60=25个， 千位为2时： 百位为0：A?=12个（第61~72个）， 百位为1：A好=12个（第73~84个）， 第84个是2154，第85个是2301. 。00。00.0.15分 17.解设广告牌的高和宽分别为xcm,ycm, 则每个栏目的高和宽分别为-20cm,225cm,其中心20，产25。 :两个栏目的面积之和为2-20-25=1800，y=1800+25,。4分 x-20 (18000+25 ∴.广告牌的面积Sx)=xx一20 _18000x+25x, x-20 000000000000.6分 、Sw=18000[Cx-20)-1+25三3602880+2. (x-20)2 0000。。000.0.9分 令S(x)>0,得x>140:令Sx)<0,得20<x<140..函数Sx)在(140，+∞)上单调递增，在(20， 140)上单调递减，.S(x)的最小值为S140)=24500 。。0。。。0.0000014分 当x=140时，y=175,故当广告牌的高为140cm,宽为175cm时，可使广告牌的面积最 小，最小面积为24500cm2. 0000000006。。15分 3 18.【详解】(1)当a=-1时，f(=--卫，令f')=0,则x=1,于是可列表如下： (0,1) 1 (1,+0) f(x) 0 单调递 极大 单调递 f(x) 增 值 减 ∴.当x=1时，f(x)取最大值为-1-e 0.0。。。00000。4分 (2)f=g2+2-=-a型(x>0, x2 当a>0时，令f(x)=0→x=1或x=-lna,。 00060.0.0600.5分 ①当0<a<时，由f(x)>0→0<x<1或x>-na,由f(x)<0→1<x<-lna, 所以函数f(x)在(0,1)和(-lna,+c∞)上单调递增，在(1，-lna)上单调递减： ②当<a<1时，由f()>0→0<x<-lna或x>1,由f(x)<0→-lna<x<1, 所以函数f(x)在(0，-lna)和(1，+c∞)上单调递增，在(-lna,1)上单调递减： ③当a≥1时，由f(x)>0→x>1,由f(x)<0→0<x<1, 所以函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减： ④当a=时，由f()≥0，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递增 ·00009000900。 9分。 综上： 当0<a<时，函数f(x)的单调增区间为(0,1)和(-lna,+o),减区间为(1，一lna): 当<a<1时，函数f)的单调增区间为(0，-lna)和(1，+o),减区间为(-lna,1): 当a≥1时，函数f(x)的单调增区间为(1，+o),减区间为(0,1)： 当a=时，函数f(x)的单调增区间为(0，+o),无减区间. 10分 (3)x>1,则不等式f(≤1-x-转化为as@-4, 000000.000.11分 设h()=0mx-x+匹→h'()=且-0mx-x+2, 令p()=lnx-x+2(x>1),则p)=,由p)>00<x<1,由p6<0→x>1, 所以函数p(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 且p(e)=3-e>0,p(e2)=4-e2<0,则函数p(x)在(e,e2)内存在唯一的零点x0,。。。。。13分 当x∈(1，xo)时，p(x)>0,h(x)<0,h(x)单调递减 当x∈(xo,+o)时，p(x)<0,h(x)>0,h(x)单调递增， 所以h(x)min=h(xo)=o0no-o+, 又p(xo)=lnxo-x0+2=0, 得=ew-2,则h6,)=o00=-号=- a0=-e-2, 即h(x)min=-e-2,所以a≤-e2,即实数a的取值范围为(-o,-e2] 0。。。。。。17分 19.【解析】(1)由f(x)=x2-1,D=R零点为x=-1,x2=l,极值点为x。=0, 由于十戈=，所以极值点既不左偏移，也不右偏移. 2 0.000000。00.3分 (2)因为f(x)=(x2-1)(x-m),其中m>0且m≠1，因此在D=(0,+0)内的零点为1和m. 而了()=3-2mx-l,=4m2+12,因此在D=(0,+o)内的极值点为%=m+vm+3 3 此时。-出+五-m+Vm+3_1+m_2√m+3-(m+3)】 2 3 2 6 而m>0,由于(2m2+3-(m+3)}2=3m2-6m+3={m-)2≥(， 因为m≠1，所以2√m2+3>m+3,即十兰<，则函数y=f(x)在D上的极值点右偏移得证.。9分 2 (3)先考虑y=了（问有两个零点，此时a=.设g()=，则g()1- x2, 当0<x<e时，g)=>0,此时y=g问在0<x<e上单调递增， 当e时，g)-1严<0，此时)=8问在x>e上单调道流， y=g(x) 而当x→0时，g(x)→-o,x→+0时g(x)→0， y=a 所以结合图像， oie X2 g(x)=a有两解时，a的取值范围是(0，e),此时的两个零点0<x<e,x2>e. 再考虑极值点，f(x)=上-a, 12 4 当a>0时，f(x)=0有解x= 当0<x<时，了)=a>0,此时y=()在0<x<合上单调递增， 当x>时，了=a<0,此时y=在x>。上单调递减， 0 因此)=（冈有唯一极值点名-后并且名<名<： 要证明当十立>，即证明x>2x,-x,因为x<x,所以>2x-x>x, 2 又因为y=(x)在x>x上单调递减 ,。6.8:13分 所以只需要证明了(，)<f(2x。-x), 又因为(3)=()=0，所以只需要证明f(x)<f(2x-x), 将造(-25-可对-任-习--习(s-叫 -hl2-mir+2m-ha-2xeb}迪于arso. 则对-22a-2气a2-四2或：g (2-a网x （2ax 72-x 即y=)在区间0》上单调送减，且(6)-0，即在(0)上恒有y=A(小0， 则(x)=f2-x)-f(x)>0→f(2x-x)>f(x, 所以原不等式十立>名得证， 2 因此函数y=f(x)在D上的极值点左偏移 .。00。。17分 解法二：由f()=lnx-=0,f()=lnx-a=0, 可得5+为=n+h 欲证+之>，即证n+m立>，即证x+1nx>2. 2 a 2a s+is--盛(x+x, x2-为 不妨设0<名<，令1=名>1， 于是lnx+lnx,= +Lmt, -1 此时即证：当1>1时，+nt>2. t-1 。。0。0。14分 令g0-m2回>1，求导并整理，得g0-么- >0, t+1 t(+1) 因此函数y=g(t)在区间(1，+∞)上单调递增， 其值域为(g(1),+∞)，而g(1)=0, 因此当1>1时，g(0)>0,即+nt>2, t-1 从而十之>上得证，即函数y=∫)在D上的极值点左偏移.。。。17分 2 5