精品解析：2026年江苏省盐城市康居路初中教育集团中考前模拟数学试题

盐城市康居路初中教育集团2026届初三年级第三次模拟考试 数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 亲爱的同学们，以数筑阶，以形绘途，数理自有章法，落笔尽见耕耘．此卷为中考收官之练，复盘三载日夜勤学所得，细查疏漏短板，将缺憾留在卷上，携满腹底气，从容奔赴盛夏考场，不负少年朝夕追梦！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在化学反应中，一个锌原子失去2个电子，其电荷数变化可记为，那么，一个铜离子得到2个电子的电荷数变化可记为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵失去电子和得到电子是相反意义的变化， ∵失去个电子的电荷数变化记为， ∴得到个电子的电荷数变化应记为． 2. 2026年央视春晚的舞台上多款机器人惊人亮相，动作精准，队形整齐，尽显中国科技的魅力．下列机器人简笔图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 3. 幽门螺杆菌是胃部疾病常见的感染性病原，其宽大约是，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. B. 6，8，10 C. 8，24，25 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数是满足两较小数的平方和等于最大数平方的三个正整数，先根据"正整数"要求排除不符合选项，再验证剩余选项即可得到结果. 【详解】解：∵勾股数要求三个数都是正整数，选项A的数都是小数，选项D的数不是正整数，∴排除A、D； 对选项B，∵，， ∴，三个数都是正整数，是勾股数，符合题意； 对选项C，∵，，，∴不是勾股数，不符合题意; 5. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解题意是解决本题的关键． 由题意可得，则，把，代入求解即可． 【详解】解：∵交点C恰好是线段的黄金分割点， ∴， ， ∵， ， ， 或（舍去）． 故选：A． 6. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 7. 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为人，则下面列的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱”，可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵若每人出钱，则会多出钱， 物品的价格为钱； 若每人出钱，则还少钱， 物品的价格为钱， 根据题意可列出方程． 故选：B． 8. 小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可得，函数图象关于点中心对称，结合题意可得，求出，，即可得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵将对称轴左侧的图象作关于轴对称， ∴图象关于点中心对称，  ∵这20个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……，， ∴， ∵，， ∴当时，，当时，， ∴． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 一组数据，0，2，5，7的极差是_________． 【答案】 【解析】 【详解】根据极差的定义，极差等于一组数据中的最大值减去最小值。 本组数据为，，，，，其中最大值为，最小值为， 计算得：． 10. 如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 12. 平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积. 【详解】解：平行四边形与平行四边形相似，，的对应边， 相似比为， 由相似多边形面积比等于相似比的平方，得：， ， ， 解得. 13. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】将两个方程相加，可得，结合列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解： 得，， ， ， ， ． 14. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意得出，，求解即可，也考查了一元二次方程的定义． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且， 故答案为：且． 16. 在中，，的面积是，则的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】将放置在平面直角坐标系的轴上，根据三角形面积公式得到点的纵坐标，设点的横坐标为，设，整理得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】解：以点B为原点，所在直线为x轴，过点B垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图． 则，，设（）． 由三角形面积公式得， 代入得， 解得， ∴， 即， 设， 由两点间距离公式得：，， ∴， 两边平方得， 整理得， 当时，方程化为， 解得， 存在点，符合题意； 当时，该方程为关于的一元二次方程，为实数， ∴根的判别式， 计算得：即， 当时， 或， ∵， ∴的解集为， ∵， ∴， 故的最大值为． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，完全平方公式等计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式，得 解不等式，得 ∴不等式组的解集为 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴， 原式． 20. 苏州马拉松活动于3月2日燃情而至，来自国内外余名跑者齐聚苏州，用脚步丈量苏州的千年文脉，用心跳感受苏州的古韵今风．此次马拉松比赛分为“全程马拉松”和“半程马拉松”两个项目，甲、乙、丙三人随机参加其中一个项目． （1）甲参加“全程马拉松”的概率是________； （2）求甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的概率 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，正确画出树状图或列表是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况总数即可． 【小问1详解】 解：由题意得，甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：将“全程马拉松”“半程马拉松”分别记为，画树状图如下： ∴共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的结果有种， ∴甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的概率为． 21. 培育时代新人，普及宪法知识．康居路初中教育集团举行了一次以“学宪法，讲宪法”为主题的知识竞赛（竞赛成绩为10分制），各年级以小组为单位组织竞赛．比赛分为预赛、半决赛、决赛，七、八年级各有20名学生参加预赛． 数据整理：对七、八年级学生的预赛成绩（满分10分）进行整理，制成如图所示的统计图． 数据分析：已知各年级将预赛成绩从高分到低分排序后，各选成绩为前10名的学生进入半决赛．对七、八年级进入半决赛的学生的预赛成绩进行分析如表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 满分率 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知成绩为7分的小东进入了半决赛，可知小东是_________（填“七年级”或“八年级” ）的学生； （2）表格中，_________，_________，_________； （3）对于七、八年级进入半决赛的学生的预赛成绩，小东认为七年级的满分率较高，因此七年级的成绩比八年级好，小明认为小东的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）七年级 （2）；； （3）八年级的平均数高于七年级，说明八年级进入半决赛的学生整体成绩更好（答案不唯一）. 【解析】 【分析】（1）根据统计图确认两个年级第10名的成绩，并与小东的成绩对比即可； （2）根据加权平均数、众数和中位数的定义进行计算即可； （3）从平均数和中位数的角度评价两个年级的成绩即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，八年级第10名的成绩为8分，七年级第10名的成绩为7分， 根据题意，前10名才能进入半决赛， ∴小东是七年级的学生； 【小问2详解】 解：八年级进入半决赛的学生的成绩的平均数为， 七年级进入半决赛的10名学生的成绩中，第5个数为8，第6个数为9， ∴七年级半决赛的学生的成绩的中位数为，即， 七年级进入半决赛的10名学生的成绩中，10分出现4次，出现的次数最多， ∴七年级半决赛的学生的成绩的众数为10，即； 【小问3详解】 略 22. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点、、、均在格点上． （1）仅用无刻度直尺，分别作出、、、的中点、、、，并保留作图痕迹． （2）顺次连接点、、、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1） （2） 如图，顺次连接点、、、，连接 ∵点、、、分别是、、、的中点 ∴ ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点，找到线段的中点即可； （2）根据中位线的性质得出，根据一组对边平行且相等，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 【阅读思考】 代数证明是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个命题的正确性，如表所示： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． ∵① ② 又能被2整除 ∴能被2整除 ∴三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 【解决问题】 （1）在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于_______（填写“整式的乘法” 或 “因式分解”）； （2）已知，且是奇数．求证：能被整除． 【答案】（1） 因式分解 （2） ∵， ∵，是奇数， ∴是偶数， ∴能被整除， ∵能被整除， ∴能被整除， 即能被整除． 【解析】 【分析】（1）根据因式分解的定义判断变形，把多项式化为几个整式乘积的变形是因式分解，据此可得结论． （2）先对原式变形，再利用是奇数得到是偶数，结合偶数的性质证明原式是2的倍数即可． 【小问1详解】 解：从①到②是将多项式化为几个整式乘积的形式，符合因式分解的定义，因此答案为因式分解． 【小问2详解】 略 24. 如图，为的直径，点为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为D，与的延长线交于点． （1）求证：平分； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：与相切，切点为， ， ， ． ， ． ， ， ， 平分． （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质结合已知条件，可证明，根据平行线的性质，解得，再由等边对等角，可证，进而解得此题； （2）先根据及与的等量关系，利用锐角三角函数的定义在求出度数与的长度，最后代入即可求解，扇形面积公式：． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ， ， ， ． 25. 如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U形管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为，（单位：），图2是，与引流时间x（单位：s）的函数图象，第秒时引流停止． （1）与的交点坐标为_______；木垫的高度为______厘米； （2）请分别求出，与的函数关系式（不写自变量x的取值范围）； （3）求甲、乙容器中的液面高度相差时的时间． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）由图象可知，当时，，且初始点和，可分别求出，，引流时停止，此时液面相平，因此木垫高度等于此时 ． （2）由（1）直接写出，与的函数关系式即可． （3）由题意得，分和两种情况，代入解析式解方程即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知， 当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等． 初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水， 时，两个杯子中的水面离杯底的高度都是． 与的交点坐标为， 设的函数关系式为． 由图象可知，经过点和． 将代入得． 将代入得，解得． 设的函数关系式为． 由图象可知，经过点 和． 将代入得． 将代入得，解得． 两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止， 由函数图象可得，时，引流停止， 当时，，， 木垫的高度为． 【小问2详解】 解：由（1）可得 与的函数关系式为，与的函数关系式为． 【小问3详解】 解：根据题意，甲、乙容器中的液面高度相差，即． ① 当时： ，解得； ②当时： ，解得， ，符合题意， 甲、乙容器中的液面高度相差时的时间为或． 26. 综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： （1）求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． （2）在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） （3）若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． （4）若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】（1） （2）解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； （3）增大 （4） 【解析】 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; 【小问4详解】 解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; 27. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线AC上方的抛物线上时，连接、，交于点， 过点作轴的垂线交于点，求的最大值； 若 ，则的取值范围__________； （3）如图2，将抛物线的顶点平移到（0，1），此时新抛物线交轴于、两点（在的左侧），若点为轴上方新抛物线上任意一点，过作直线（直线不与轴垂直）与新抛物线仅有一个公共点，在点的上方是否存在一点，使得直线与、分别交于点、，且为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①；② （3）存在， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①先求得直线的解析式，设，则，进而表示出，根据二次函数的性质，求得最大值； ②过点作轴交于点，证明，根据相似三角形的性质，得出的表达式，进而根据二次函数的性质，即可求解． （3）先求出的直线方程，联立方程消元，根据只有一个交点，利用的根的判别式建立等式求解，再过作于，分别求出，，最 【小问1详解】 解：将、，代入得 解得： ∴ 【小问2详解】 ①如图， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 设，则 ∴ ∴当时，的最大值为； ②如图，过点作轴交于点， ∵ 当时，， ∴ ∴ ∵轴，轴 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ 对称轴为， 又∵， 抛物线开口向下，当时，有最大值为 ∵ ∴当或时，有最小值为 ∴的取值范围 【小问3详解】 解：由题意得，新抛物线是：， 令，得， ，， ， 设 把，代入得 ， ， 同理， 设直线，联立得 直线与抛物线只有一个公共点 ， ， ， 联立解得， 联立解得 过作于，则，， ，同理 ， 要为定值，则， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市康居路初中教育集团2026届初三年级第三次模拟考试 数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 亲爱的同学们，以数筑阶，以形绘途，数理自有章法，落笔尽见耕耘．此卷为中考收官之练，复盘三载日夜勤学所得，细查疏漏短板，将缺憾留在卷上，携满腹底气，从容奔赴盛夏考场，不负少年朝夕追梦！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在化学反应中，一个锌原子失去2个电子，其电荷数变化可记为，那么，一个铜离子得到2个电子的电荷数变化可记为（ ） A. B. C. 0 D. 2. 2026年央视春晚的舞台上多款机器人惊人亮相，动作精准，队形整齐，尽显中国科技的魅力．下列机器人简笔图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 幽门螺杆菌是胃部疾病常见的感染性病原，其宽大约是，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. B. 6，8，10 C. 8，24，25 D. ，， 5. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 6. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为人，则下面列的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 一组数据，0，2，5，7的极差是_________． 10. 如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 11. 分解因式：_______． 12. 平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 13. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 14. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 16. 在中，，的面积是，则的最大值是_________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 苏州马拉松活动于3月2日燃情而至，来自国内外余名跑者齐聚苏州，用脚步丈量苏州的千年文脉，用心跳感受苏州的古韵今风．此次马拉松比赛分为“全程马拉松”和“半程马拉松”两个项目，甲、乙、丙三人随机参加其中一个项目． （1）甲参加“全程马拉松”的概率是________； （2）求甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的概率． 21. 培育时代新人，普及宪法知识．康居路初中教育集团举行了一次以“学宪法，讲宪法”为主题的知识竞赛（竞赛成绩为10分制），各年级以小组为单位组织竞赛．比赛分为预赛、半决赛、决赛，七、八年级各有20名学生参加预赛． 数据整理：对七、八年级学生的预赛成绩（满分10分）进行整理，制成如图所示的统计图． 数据分析：已知各年级将预赛成绩从高分到低分排序后，各选成绩为前10名的学生进入半决赛．对七、八年级进入半决赛的学生的预赛成绩进行分析如表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 满分率 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知成绩为7分的小东进入了半决赛，可知小东是_________（填“七年级”或“八年级” ）的学生； （2）表格中，_________，_________，_________； （3）对于七、八年级进入半决赛的学生的预赛成绩，小东认为七年级的满分率较高，因此七年级的成绩比八年级好，小明认为小东的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小明说明理由（写出一条即可）． 22. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点、、、均在格点上． （1）仅用无刻度直尺，分别作出、、、的中点、、、，并保留作图痕迹． （2）顺次连接点、、、，求证：四边形为平行四边形． 23. 【阅读思考】 代数证明是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个命题的正确性，如表所示： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． ∵① ② 又能被2整除 ∴能被2整除 ∴三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 【解决问题】 （1）在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于_______（填写“整式的乘法” 或 “因式分解”）； （2）已知，且是奇数．求证：能被整除． 24. 如图，为的直径，点为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为D，与的延长线交于点． （1）求证：平分； （2）若，求图中阴影部分的面积． 25. 如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U形管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为，（单位：），图2是，与引流时间x（单位：s）的函数图象，第秒时引流停止． （1）与的交点坐标为_______；木垫的高度为______厘米； （2）请分别求出，与的函数关系式（不写自变量x的取值范围）； （3）求甲、乙容器中的液面高度相差时的时间． 26. 综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： （1）求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． （2）在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） （3）若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． （4）若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 27. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线AC上方的抛物线上时，连接、，交于点， 过点作轴的垂线交于点，求的最大值； 若 ，则的取值范围__________； （3）如图2，将抛物线的顶点平移到（0，1），此时新抛物线交轴于、两点（在的左侧），若点为轴上方新抛物线上任意一点，过作直线（直线不与轴垂直）与新抛物线仅有一个公共点，在点的上方是否存在一点，使得直线与、分别交于点、，且为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $