（预习篇）第八讲 全等三角形（章节复习）【思维导图+知识卡片+新知学习+二十大考点讲练+优选题难度分层练 共60题】-2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假学习衔接讲义

null2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义「预习篇」 第八讲 全等三角形（章节复习）「暑假衔接复习培优讲义」 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章）】 （思维导图+新知讲解+二十大考点讲练+优选题难度分层练 共60题） 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点二 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点三 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点四 角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 考点一 用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知，要使，则需添加的条件是_____（填一个即可）． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，，点，在上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 考点二 全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，点A，B，C均在正方形网格的格点上，用无刻度直尺画图． (1)过点B画的平行线； (2)过点C画的垂线． 【变式训练】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在和中，，，，则______． 考点三 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，点共线，，，．求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，P为中点，过P点作直线分别交射线、于点M、N（分别不与点A、B重合），设． (1)求证：； (2)当为直角三角形时，求α的度数． 考点四 全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（25-26八年级上·山西临汾·期末）将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，． 求证：． 考点五 全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·广西百色·期末）已知：如图，，垂足分别是点．求证： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 考点六 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知交于点O，，那么添加条件_______后，就能判定． 【变式训练】（25-26八年级上·山西晋城·期末）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 考点七 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）下列选项所给条件不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 考点八 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）在5×6正方形网格中，点A、B、C都在格点上，用无刻度直尺作图．    (1)如图1，作钝角，且的面积为4（作一个即可）； (2)如图2，过P作，垂足为C； (3)如图3，在下方画点D，使； (4)如图4，与全等且有一条公共边的格点三角形共有______个（不包括）． 【变式训练】根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 考点九 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，点是四边形内一点，连接，已知，，且，若是的中点，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，是中边上的中线，若，，设，则的取值范围是____________． 考点十 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆巴南·阶段检测）如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、． (1)如图1，若，则________； (2)如图2，若A、D、E三点共线，与交于点F，且，求的面积； (3)如图3，与的延长线交于点G，若，延长与交于点N，在上有一点M且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想． 【变式训练】（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 考点十一 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【变式训练】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 考点十二 证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 【变式训练】（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接．    (1)如图1，当时，判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，不用证明． 考点十三 全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，，垂足分别为，，，相交于点，，连接，则图中的全等三角形一共有（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 考点十四 尺规作一个角等于已知角 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图，在直线上取一点O，过点O作射线，使，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交边于点D，E，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点 F，再画射线．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，由此说明的依据是（   ） A． B． C． D． 考点十五 过直线外一点作已知直线的平行线 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）尺规作图：如图，已知，过点作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式训练】（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，已知点M在的边上，请用直尺和圆规过点M作直线，使．（保留作图痕迹．） 考点十六 尺规作图——作三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段和，求作，使，． 【变式训练】（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）尺规作图：已知线段a，b和 求作：，使，，（画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 考点十七 作角平分线(尺规作图) 【典例精讲】（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）如图，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，，B，C，O三点共线，且．请用尺规作图法，在射线上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 考点十八 角平分线的性质定理 【典例精讲】（25-26八年级上·福建南平·阶段检测）如图，平分于点C，点D在上．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式训练】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点十九 角平分线的判定定理 【典例精讲】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为______． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，平分交于点，，求证：． 考点二十 角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择． 【变式训练】（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，点在同一条直线上，，根据全等三角形的判定方法，不能证明的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，点A、D、C、F在同一直线上，，添加下列条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，将一等腰放置在直角坐标系中，直角顶点的坐标为，另两顶点、分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，点O到的三边距离相等，，则________． 5．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是______． 6．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为________． 7．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，的面积为平分，且于点，则的面积是___________． 8．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，，有如下条件： ①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件_____（只填写一个序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，若，求． 9．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，． (1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由； (2)若用纸面积为30，求的用纸面积． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，点D，点E分别在边上，满足，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线．点P是上任意一点，于点D，点Q是边上任意一点，连接．若，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，若使，点E运动秒数为 （    ） A．3或5 B．3或4 C．2或5 D．2或4 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，于点D，E是上一动点，F是射线上一点，且，，当取得最小值时， ________．（用含的代数式表示） 5．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在中，，，，点D是上的动点，连接，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连接． （1）若，则___________； （2）若点D是边的中点，则与的和为___________． 6．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在等腰直角中，，，E是上一点，连接，，点A关于直线的对称点F恰好落在上，则的度数为________；连接交于点G，若，则的长为________． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知在中，，是的中线，是的角平分线，与交于点，则的面积为 ____________________ ． 8．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)求证：． 9．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）在中，平分交于点，平分交于点，，相交于点． (1)如图1，当时， ①求______； ②证明：； (2)如图2，当时，若，， ①求的值； ②直接写出______． 10．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义「预习篇」 第八讲 全等三角形（章节复习）「暑假衔接复习培优讲义」 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章）】 （思维导图+新知讲解+二十大考点讲练+优选题难度分层练 共60题） 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材八年级上册内容为主，结合课本内容讲解新课知识点，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点讲练，优选题培优难度分层训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点二 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点三 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点四 角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 考点一 用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，已知，要使，则需添加的条件是_____（填一个即可）． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，核心是结合已知条件选择合适的判定方法．已知，且是与的公共边(即)，目前已有一组角和一组边对应相等，根据全等三角形的、、判定定理，补充对应条件即可． 【详解】解：以添加为例， 在和中， ，，， ． 故答案为：(答案不唯一)． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，，点，在上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）先证明，再证明，证明即可； （2）根据平行线的判定，证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 即． ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ． （2）解：，理由： 由（1）知：， ． 在和中， ， ， ， ． 考点二 全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，点A，B，C均在正方形网格的格点上，用无刻度直尺画图． (1)过点B画的平行线； (2)过点C画的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用网格点特征结合平移的性质取格点，作直线即可； （2）利用网格点特征取格点，作直线即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线为所求： （2）解：如图所示，直线为所求： 【变式训练】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在和中，，，，则______． 【答案】/50度 【分析】可证明得到，由三角形内角和定理可证明，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 考点三 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，点共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据平行的性质推出，再结合题意证，运用全等性质即可求解． 【详解】证明：∵点共线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，P为中点，过P点作直线分别交射线、于点M、N（分别不与点A、B重合），设． (1)求证：； (2)当为直角三角形时，求α的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）直接根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据题意，分，，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解： 为的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：①若，则； ②若，则； 的度数或． 考点四 全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（25-26八年级上·山西临汾·期末）将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和，先证明，得到，再根据三角形内角和得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，连接、，证明得出，进而证明，即可得证． 【详解】证明：如图，连接、． 在和中 在和中 考点五 全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·广西百色·期末）已知：如图，，垂足分别是点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据证明，可得，从而可得结论； （2）由得可判断． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知：， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，准确添加辅助线是解题的关键． 连接，证明，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点六 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知交于点O，，那么添加条件_______后，就能判定． 【答案】或或 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：或或． 【变式训练】（25-26八年级上·山西晋城·期末）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握好全等三角形的判定定理是关键． 根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角角边，角边角，斜边直角边”进行推理判定即可． 【详解】解：对于选项A：添加，根据无法判断，故选项A符合题意； 对于选项B：添加，符合，能判断，故选项B不符合题意； 对于选项C：∵， ∴，即， ∴可根据判断，故选项C不符合题意； 对于选项D：添加，符合，能判断，故选项D不符合题意． 故选：A． 考点七 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）下列选项所给条件不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，根据、、、等判定唯一三角形，同时考虑情况可能不唯一即可解答． 【详解】解：选项A：（两角及夹边，），能唯一画出； 选项B：（两角及一边，），能唯一画出； 选项C：（两边及非夹角，），有两个交点，不能唯一画出； 选项D：（三边，），满足三角形三边关系，能唯一画出； 故选C． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题目给出的条件，可以用、、证明，所以补充的条件不唯一，写出一个即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断；等等． 故答案为：（答案不唯一）． 考点八 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）在5×6正方形网格中，点A、B、C都在格点上，用无刻度直尺作图．    (1)如图1，作钝角，且的面积为4（作一个即可）； (2)如图2，过P作，垂足为C； (3)如图3，在下方画点D，使； (4)如图4，与全等且有一条公共边的格点三角形共有______个（不包括）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)7 【分析】（1）如图，选定格点C，连接，则,即为所求； （2）如图，选定格点H，连接，交于点C,则,易证，进一步可得，即； （3）如图，选定格点D，由图可知，，则; （4）如图，与全等且有一条公共边的格点；与全等且有一条公共边的格点；与全等且有一条公共边的格点；共7个． 【详解】（1）解：如图，选定格点C，连接，则, , ∴即为所求；    （2）解：如图，选定格点H，连接，交于点C,则,理由如下， 如图, ∴． ∴． ∴，即    （3）解：如图，选定格点D，则; 由图可知，， ∴．    （4）解：如图，与全等且有一条公共边的格点；    与全等且有一条公共边的格点；    与全等且有一条公共边的格点；    综上，共有7个． 【变式训练】根据下列条件，能唯一画出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定方法逐项判断即得答案. 【详解】解：A、∵，，，而，∴不能画出三角形； B、∵，，，而不是的夹角，∴不能画出唯一的三角形； C、∵，，，且是的夹边，∴根据角边角可判断能画出唯一的三角形； D、∵，，只有一个角和一条边，∴不能画出唯一的三角形； 故选：C. 考点九 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，点是四边形内一点，连接，已知，，且，若是的中点，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是解题的关键． 连接，根据全等三角形的判定，结合题意与不一定相等可判定A选项；根据题意，不能得出，可判定B选项；根据倍长中线，三角形内角和定理等知识证明可判定C选项；由题意不一定等于，可判定D选项，由此即可求解． 【详解】解：连接， ，， 要使，需， 与不一定相等， 与不一定全等，故A不符合题意； ， ， ∴不能得出，故B不符合题意； 作交的延长线于点，则， 点是的中点， ，且， ∴， ，，， ，，， ∴， 又， ， ， ，故C符合题意； 不一定等于，故D不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，是中边上的中线，若，，设，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，三角形中线性质，三角形三边关系，解题的关键在于倍长中线构造全等三角形． 延长至点，取，连接，结合三角形中线性质证明，得到，再利用三角形三边关系求解，即可解题． 【详解】解：延长至点，取，连接， 是中边上的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 故答案为：． 考点十 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（24-25八年级上·重庆巴南·阶段检测）如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、． (1)如图1，若，则________； (2)如图2，若A、D、E三点共线，与交于点F，且，求的面积； (3)如图3，与的延长线交于点G，若，延长与交于点N，在上有一点M且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明，利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题． （2）如图2中，过点作于．证明，推出，，求出，可得结论． （3）如图3中，结论：．如图过点作交的延长线于．证明，，利用全等三角形的性质，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， ∵，都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2中，过点作于． ∵， ∴， ， ，， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ； （3）解：．证明如下： 如图过点作交的延长线于，则，， ， ， ∵， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ． 【变式训练】（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)； (2)；；理由见解析 (3)4；4 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）由，可得，根据可得，则可得出结论； （2）由，得，即可证，有，，而是等腰三角形且，知，故，即可得，； （3）证明，当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，则可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 故答案为：；； （2）解：与的数量关系是，位置关系是 ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 将绕M点顺时针旋转得（N与重合）， 连接， ∴， ∴，， ∴， 当有最小，即最小，当轴时， 由，， ∴，， ∴，最小值为4． 考点十一 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点十二 证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题) 【典例精讲】（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，等腰直角三角形中，，D、E分别为、边上点，，交于点F，过点F作交的延长线于点G，交于点M；以下五个结论：①；②；③是等腰三角形；④；恒成立的结论有（ ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①首先得出，再利用，得出即可；②③利用，得出，再由，可得，结合可得出，，继而可得出结论；④先大致观察三者的关系，过点B作的垂线，交的延长线于点N，利用（1）的结论可将转化为，转化为，从而在一条直线上得出三者的关系． 【详解】解：因为等腰直角三角形中，， ∴，， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，为等腰三角形，故③正确； 过点B作的垂线，交的延长线于点N，如图： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，， 由①可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 故选：A 【变式训练】（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接．    (1)如图1，当时，判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见详解 (2)点F在线段的延长线上时：；点F在射线上：，图见详解 【分析】（1）由“”可证，可得，可得结论； （2），分类讨论：①点F在线段的延长线上时，由（1）可知，，，由“”可证，可得，即可求解；②点F在射线上，画出图形3，结论：． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：分类讨论： ①如图，点F在线段的延长线上时，补全图形如图2所示； 理由如下：延长到点G，使．    由（1）可知：， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ②如图3，若点F在射线上时，在取点，使得    由（1）可知：， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 考点十三 全等三角形综合问题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解答关键是构造一线三垂直模型得到全等三角形． 由题意，设，则，过点作，交的延长线于点，证明得到，再证明，得到，再利用三角形面积公式表示化简即可． 【详解】解：由，设，则， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，，垂足分别为，，，相交于点，，连接，则图中的全等三角形一共有（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 共有四对．分别为，，，，从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法逐个寻找即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴共有四对全等三角形． 故选：C． 考点十四 尺规作一个角等于已知角 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图，在直线上取一点O，过点O作射线，使，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交边于点D，E，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点 F，再画射线．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，尺规作图—作与已知角相等的角，由作图方法可知，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：由作图方法可知， ∴， 故选；C． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，由此说明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，即可判定两三角形全等． 【详解】解：从作图的步骤可知，，，， ， 故选：A． 考点十五 过直线外一点作已知直线的平行线 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）尺规作图：如图，已知，过点作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的平行线，根据题意作，连接即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． 【变式训练】（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，已知点M在的边上，请用直尺和圆规过点M作直线，使．（保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定定理，解题的关键是掌握作图的步骤． 根据同位角相等两直线平行，过点作即可． 【详解】解：如图，即为所求， ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点； ②保持半径长度不变，以点为圆心画弧，交射线于点； ③以点为圆心，截取的长度，再以点为圆心，长为半径画弧，交原弧于点； ④作直线即可． 考点十六 尺规作图——作三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段和，求作，使，． 【答案】见解析． 【分析】此题考查了尺规——作三角形，作一个角等于已知角，作线段，首先作进而以为圆心的长为半径画弧，再以为圆心为半径画弧即可得出，的位置，连接即可，解题的关键是熟练掌握尺规作三角形的方法． 【详解】解：如图，即为所求． 【变式训练】（25-26八年级上·山东威海·阶段检测）尺规作图：已知线段a，b和 求作：，使，，（画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图——作三角形．先作，再在角的两边作，，连接即可． 【详解】解：如图，即为所求． 考点十七 作角平分线(尺规作图) 【典例精讲】（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）如图，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是角平分线的作法及角平分线的性质，熟练掌握尺规作角平分线的步骤是解题的关键； 根据尺规作图的画法可得是的角平分线，所以，，从而证得，由此可以判断各个选项． 【详解】解：根据尺规作图的画法可知：是的角平分线， ∴，， ∴选项A、D不符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵不一定成立， ∴选项C符合题意； 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，，B，C，O三点共线，且．请用尺规作图法，在射线上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，根据平行线的性质，得到，利用尺规作的角平分线交于点，则，平行线的性质，得到，即点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 考点十八 角平分线的性质定理 【典例精讲】（25-26八年级上·福建南平·阶段检测）如图，平分于点C，点D在上．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】过点M作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：如图，过点M作于E， ∵平分，， ∴， ∵D在上， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【详解】（1）证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故的长为5． 考点十九 角平分线的判定定理 【典例精讲】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，把其中一把直尺边缘和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，记两把尺的接触点为点．上边缘与射线相交于点，连接．若，则的大小为______． 【答案】 【分析】本题考查了角的平分线的判定定理，平行线的性质，熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键．设上面的直尺与射线的交点为，直尺宽度为过点作于点，由直尺宽度可得，即可得到平分，则，最后由直尺平行可得． 【详解】解：如图，设上面的直尺与射线的交点为，直尺宽度为过点作于点， 则由直尺宽度可得， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，平分交于点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识．由角平分线的定义可得，结合得到，即可得证． 【详解】证明：平分， ， ， ， ． 考点二十 角平分线性质的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择． 【答案】4 【分析】本题考查角平分线的性质．角的平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：如图， 三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择． 故答案为：4． 【变式训练】（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点． 故选：A． 【基础通关能力提升】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，点在同一条直线上，，根据全等三角形的判定方法，不能证明的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，结合，再分别添加四个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 又 A、添加，利用不能判定，故此选项符合题意； B、添加，可得，利用能判定，故此选项不合题意； C、添加，可得，利用能判定，故此选项不合题意； D、添加，利用能判定，故此选项不合题意． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，点A、D、C、F在同一直线上，，添加下列条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定方法逐一判定即可求解． 【详解】解：已知， 添加，运用边边角不能判定，故A选项符合题意； 添加，则，运用角角边可以判定，故B选项不符合题意； 添加，运用角边角可以判定，故C选项不符合题意； 添加，运用边角边可以判定，故D选项不符合题意； 故选：A ． 3．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，将一等腰放置在直角坐标系中，直角顶点的坐标为，另两顶点、分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作轴于点D，过点C作轴于点E，根据题意得出，，证明，推出，再根据，求出，进而求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点C作轴于点E， ∵， ∴，， ∵等腰中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 4．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，点O到的三边距离相等，，则________． 【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可推出是三条角平分线的交点，即是的角平分线，是的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：到三边的距离相等， 是三条角平分线的交点， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是______． 【答案】 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果．本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图画角平分线，角平分线定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，是的平分线，根据角平分线定理可得，结合三角形的面积公式可求出． 【详解】解：如图，作，垂足为， 由作图可知，是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，的面积为平分，且于点，则的面积是___________． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线求面积；延长交于，由判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：9． 8．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，，有如下条件： ①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件_____（只填写一个序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，若，求． 【答案】(1)②或③或④；证明见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可； （3）先根据全等三角形的性质得到，再由线段间的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：选择②或③或④ ∵， ∴， ∴， 选择②， ∵，， ∴； 选择③， ∵，， ∴； 选择④， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：②或③或④； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，． (1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由； (2)若用纸面积为30，求的用纸面积． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)30 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，线段和差问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质； （1）由得，利用证明，得； （2）先利用证明，得，由（1）知，进而得，利用证明，根据用纸面积为30，求的用纸面积． 【详解】（1）解：正确； 理由：，，， ， 在与中， ， ， ，即测得的长就是的长； （2）（2）由（1）可知， ，， 在与中， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，点D，点E分别在边上，满足，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由证得，即可得出结论； （2）先证，推出，再由，得出，推出，再由三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即， ∴． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线．点P是上任意一点，于点D，点Q是边上任意一点，连接．若，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作法得是的平分线，由垂线段最短，得时，的值最小，由角平分线的性质即可求解； 本题考查了垂线段最短，角平分线的性质；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作法得是的平分线，由垂线段最短，得时，的值最小， 又， 故， 故， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，五边形中，，，，则五边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形的面积转化为两个的面积是解决问题的关键． 可延长至F，使，利用可证明，连接，再利用证明，可将五边形的面积转化为两个的面积，进而求解即可． 【详解】解：延长至F，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴五边形的面积是：． 故选D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，若使，点E运动秒数为 （    ） A．3或5 B．3或4 C．2或5 D．2或4 【答案】C 【分析】本题核心是通过角度关系证明，得到，再分点在延长线、延长线两种位置，结合线段长度与速度公式计算运动时间．解题思路为利用直角三角形的角度关系证明三角形全等，确定对应边相等后，分点在延长线、延长线两种位置讨论，结合速度公式计算运动时间． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，于点D，E是上一动点，F是射线上一点，且，，当取得最小值时， ________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，证明，故，，当G、E、C三点共线时，的值最小，即点与重合，点F与重合，证明是等腰直角三角形，则，故，即可作答． 【详解】解：过点A作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， 当G、E、C三点共线时，的值最小，即点与重合，点F与重合， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在中，，，，点D是上的动点，连接，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连接． （1）若，则___________； （2）若点D是边的中点，则与的和为___________． 【答案】 【分析】（1）利用三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求解； （2）设 ，过点作交的延长线于点，证明，可得．又点是的中点，即得，从而可得，得，即可得． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，； （2）设 ， 过点作交的延长线于点，如图： ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ∵点D是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 即与的和为． 故答案为：；． 6．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在等腰直角中，，，E是上一点，连接，，点A关于直线的对称点F恰好落在上，则的度数为________；连接交于点G，若，则的长为________． 【答案】 2 【分析】本题考查了轴对称性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，，由对称得到，，，，证明出，得到；如图所示，连接，证明出，得到，然后证明出，得到． 【详解】解：∵在等腰直角中，，， ∴，， ∵点关于直线的对称点恰好落在上， ∴，，，， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：，2． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知在中，，是的中线，是的角平分线，与交于点，则的面积为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，含角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，，求得，过作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的中线，， ∴， 过点作于，过点作于， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）先用证明可得，再根据角的和差即可证明结论； （2）由可得、，易证可得，进而得到，再证明，最后运用全等三角形的对应边相等即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）在中，平分交于点，平分交于点，，相交于点． (1)如图1，当时， ①求______； ②证明：； (2)如图2，当时，若，， ①求的值； ②直接写出______． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①；② 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的辅助线作法是解题的关键． （1）①根据角平分线的性质与三角形外角和定理即可求解；②在上截取，证明与即可得到； （2）①根据角平分线的性质得出距离相等，结合三角形面积即可求解；②在上取一点G使得，在上取点H使得，证明与，结合（2）①，即可解得． 【详解】（1）①解： ， ， 平分，平分， ，， ， 故答案为：60； ②证明：如图，在上截取， 平分，平分， ，， 在和中， ， ， ，， ， 又 ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：①设点F到距离为，点F到距离为，点A到距离为h， 平分， ， ， ， ，， ； ②在上取一点G使得，在上取点H使得， 在与中， ， ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 平分， 由（2）①， ， ，． 10．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析（2），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，得到，进而推出，角的和差关系求出，即可得证； （2）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、周角为解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 在延长线上找一点，使得，连接， ， 又， ， 在和中，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null