专题04 二元一次方程组的解法与应用【思维导图+知识卡片+知识梳理+二十二大考点讲练+真题强化 共64题】-2026-2027学年人教版数学七升八年级暑假衔接金牌培优讲义

2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学七升八年级暑假衔接精编培优讲义【复习篇】 七年级/下册（新教材） 初中数学 专题04 二元一次方程组的解法与应用 思维导图+知识回顾+二十二大考点讲练+真题强化 （共64题） 【解析版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点三 二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 知识点四 二元一次方程组的解 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况 知识点五 三元一次方程组的概念与解 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点六 解二元（三元）一次方程组 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 考点一 已知二元一次方程组的解求参数 【典例精讲】（25-26七年级下·浙江·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【思路引导】本题利用二元一次方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，得到关于a，b的关系式，直接变形即可求出的值． 【规范解答】解：∵是原方程组的解， ∴ 将代入原方程组，得：， ，得： 化简得：． 【变式训练】（23-24七年级下·山东聊城·阶段检测）若方程组与有公共解，求的值． 【答案】 【思路引导】先把两个方程组中的有数字系数的方程联立组成新的方程组，求解得到、的值，再分别代入两个方程组的字母系数方程得到关于、的二元一次方程组求解得到、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【规范解答】解：方程组与有公共解， 方程组的解也是方程组的解， 解方程组得， 把代入方程组，得， 解得， ． 考点二 代入消元法 【典例精讲】（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）计算与解方程组 (1)计算：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）分别计算算术平方根与立方根，再化简绝对值，最后计算加减，即可求解； （2）根据代入消元法解二元一次方程组，即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 由①得③， 把③代入②，， ∴， ∴， ∴， 将代入③得． ∴方程组的解为． 【变式训练】（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）已知方程组的解x、y互为相反数，求m的值． 【答案】m的值为0 【思路引导】根据相反数的定义得出，将代入原方程组并化简，再利用代入法求解即可得出m的值． 【规范解答】解：∵ x、y互为相反数，∴ ， 将代入原方程组，得， 化简得：， 将①代入②，得 ，即， 解得：， 答：m的值为0． 考点三 加减消元法 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆开州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【规范解答】（1）解：将①代入②可得， 解得：， 将代入①可得：， ∴方程组的解为； （2）解：由可得：， 解得：， 将代入①可得， 解得：， ∴方程组的解为． 【变式训练】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）已知的算术平方根是1，的立方根是2，解关于x的方程． 【答案】 【规范解答】解：∵的算术平方根是1，的立方根是2， ∴ 由①，得．③ 将③代入②，得．解得． 将代入③，得． ∴关于x的方程可化为． 解得． 考点四 二元一次方程组的特殊解法 【典例精讲】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得， ，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，根据方法二求的值． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）将并化简即可得到，将即可得到； （2）先根据题干的定义列出方程组，再写出的计算式，利用整体思想构造即可． 【规范解答】（1）解：， 将，得， 两边同除以，得， 将，得； （2）解：∵，， ∴， 将，得， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可以采用以下方法： 解：②①，得，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于x，y的方程组，的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【规范解答】（1）解： ①②，得， ③， 将，得：④， ①④，得，解得：， ， ， （2）解：解为，理由如下： ， ①②，得， 即③， 将，得④， ①④，得：，， ， 方程组的解为． 考点五 二元一次方程组的错解复原问题 【典例精讲】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）小轩在解方程组时，本应解出，由于看错了系数c，从而得到解，求a，b，c的值． 【答案】，， 【思路引导】正确解：必须同时满足方程组中的每一个方程．错误方程的解：它满足的是“被看错系数后”的新方程组，因此，它一定满足那些没有被看错系数的方程，就能将看似混乱的条件清晰地转化为几个简单的方程，从而轻松求解． 【规范解答】解：将代入方程组得到， 将代入方程得到， 整理得， 解得． 【变式训练】（25-26七年级下·山东聊城·期中）在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的b，求得的解为．求正确的的值． 【答案】6 【思路引导】把代入方程可求出b的值，把代入方程可求出c的值，再根据乙看错了方程组中的b，得解为，可知是方程的解，继而求出a的值；将a，b，c，的值代入原式后，计算即可． 【规范解答】解：把代入方程中，得， 解得， 把代入方程中，得， 解得， 把代入方程中，得， 解得； ∴． 考点六 构造二元一次方程组求解 【典例精讲】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点为点的“系伴随点”．例如，点的“1系伴随点”为，即． (1)已知点的“2系伴随点”为，直接写出点的坐标（____，____）；点到轴的距离为________； (2)已知点的“系伴随点”为，求点的坐标； 【答案】(1)，， (2)点的坐标为 【思路引导】（1）根据“系伴随点”的定义即可作答； （2）设点的坐标为，根据“系伴随点”的定义列出方程组，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵点的“2系伴随点”为， ∴点的坐标为，即点； ∴点到轴的距离为8； （2）解：设点的坐标为， ∵点的“系伴随点”为， ∴， 解得． ∴点的坐标为． 【变式训练】．（25-26七年级下·山西吕梁·期中）在平面直角坐标系中，三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到三角形． (1)请画出三角形； (2)若是三角形内部的一点，则平移后对应点的坐标为，请直接写出的值． 【答案】(1)画图见详解 (2) 【思路引导】（1）由题中图形的平移过程，将的三个顶点平移后连线即可得到； （2）由题中图形的平移过程，三角形内部的一点也是先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到点，利用平移前后点的坐标列方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示即为所求； （2）解：三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到三角形， 三角形内部的一点也是先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到点， 则，解得， ． 考点七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例精讲】（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】解法一：利用相反数的性质得到x与y的关系，再代入方程组依次求解，即可得到k的值． 解法二：由相反数的性质可得，把两个方程相加，整体代入得到关于的方程，求解即可． 【规范解答】解法一：∵已知方程组的解互为相反数 ∴ 把代入方程得 解得 ∴ 把，代入得． 解法二：， ，得， ∵方程组的解互为相反数， ∴， ∴，即， 解得：． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【思路引导】本题先通过代入消元法得到原方程组中,关于的表达式，再将,代入公共解满足的方程，即可求出的值． 【规范解答】解：， ①代入②得 ， 化简得， 即， 代入①得， ， ∵原方程组的解也是的解， 把，， 代入得， 解得． 考点八 方程组相同解问题 【典例精讲】（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路引导】将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出m，n的值即可． 【规范解答】解：由题意得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·期末）已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 【答案】1 【规范解答】解：依题意可得， 解得． 把代入和中，可得方程组， 解方程组可得， ． 考点九 根据实际问题列二元—次方程组 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）某班级组织去公园划船，如果每条船坐6人，则空出2条船；如果每条船坐4人，则还有8人没有船坐．设船有条，学生有人，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据两种坐船方案，抓住总人数不变的等量关系，分别用船数表示总人数即可得到正确方程组. 【规范解答】解：∵ 设船有条，学生有人， 第一种情况：每条船坐6人，空出2条船，实际使用的船数为条，总人数等于每条船人数乘实际用船数， ∴ ； 第二种情况：每条船坐4人，还有8人没有船坐，总人数等于已经上船的人数加没有上船的人数， ∴ ； 因此得到方程组. 【变式训练】（25-26七年级下·重庆·期中）2026年新春，重庆无人机表演大放异彩，点亮山城夜空．重庆某工厂计划批量生产表演专用无人机，现有工人共40名，每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机翼12片．已知1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套．设安排人生产机身，人生产机翼，恰好使每天生产的机身与机翼配套，则可列方程组为：_______． 【答案】 【思路引导】等量关系为：生产机身的人数生产机翼的人数；无人机机身的数量机翼的数量，把相关数值代入即可求解． 【规范解答】解：∵工人共40名， ∴， ∵每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机翼12片， ∴总共生产无人机机身台或生产机翼片， ∵1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套，恰好使每天生产的机身与机翼配套， ∴， ∴可列方程组为． 考点十 根据几何图形列二元一次方程组 【典例精讲】（25-26七年级下·甘肃天水·期中）将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的大长方形；或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽．若设小长方形的长为，宽为，则下列可列方程组________． 【答案】 【思路引导】根据长方形的对边相等及正方形的邻边相等，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【规范解答】解：依题意，得 ， 整理得． 【变式训练】（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．48 B．52 C．58 D．6 【答案】B 【思路引导】设小长方形的长为a，宽为b，观察图形，根据各边之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可求出a，b的值，再利用阴影部分的面积等于大长方形的面积减去7个小长方形的面积求解即可． 【规范解答】解：设小长方形的长为a，宽为b， 根据题意得：， 解得：， ∴阴影部分面积为． 考点十一 方案问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·河北承德·期中）《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场．已知：购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问： (1)哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元？ (2)若小军现有200元，买了两种玩具后恰好用完，写出一种购买方案． 【答案】(1)哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是30元和20元 (2)购买哪吒玩具2个，则购买敖丙玩具7个（答案不唯一） 【思路引导】（1）设哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是x元和y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设小军可以购买哪吒玩具个，则购买敖丙玩具个，根据小军现有200元，买了两种玩具后恰好用完列出二元一次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设哪吒玩具的单价是元和敖丙玩具的单价是元． 由题意可得：． 解得：， 答：哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是30元和20元； （2）解：设小军可以购买哪吒玩具个，则购买敖丙玩具个， 由题意得：， ∵m,n为正整数， ∴， ∴购买方案有：购买哪吒玩具2个，购买敖丙玩具7个； 或购买哪吒玩具4个，购买敖丙玩具4个或购买哪吒玩具6个，购买敖丙玩具1个． 【变式训练】（25-26七年级下·北京通州·期中）某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式． 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法迭代，共需要14小时 (1)求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ (2)若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安排方案？ 【答案】(1)完成1次电机参数调试需要3小时，完成1次动态算法迭代需要5小时； (2)只有1种符合条件的安排方案 【思路引导】（1）设完成1次电机参数调试需要小时，完成1次动态算法迭代需要小时，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设完成电机参数调试次，动态算法迭代次，根据题意求得，结合，为正整数即可求解． 【规范解答】（1）解：设完成1次电机参数调试需要小时，完成1次动态算法迭代需要小时， 根据题意得， 解得， 答：完成1次电机参数调试需要3小时，完成1次动态算法迭代需要5小时； （2）解：设完成电机参数调试次，动态算法迭代次（，为正整数）， 根据题意得，即， 当，，符合题意； 当，，不符合题意； 答：只有1种符合条件的安排方案． 考点十二 行程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）某体育场的环形跑道长，甲、乙分别以一定的速度练习慢跑和自行车，如果反向而行，他们每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．则甲的速度是______． 【答案】 【思路引导】本题存在两个等量关系，反向而行时，甲和乙的路程和等于环形跑道长，同向而行时，乙的路程比甲多，根据等量关系列二元一次方程组求解即可． 【规范解答】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意得： 解得：， 所以甲的速度为． 【变式训练】（25-26七年级下·山东日照·期中）骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； (3)①，；②应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里 【思路引导】（1）设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）由题意得，，则，再求出符合题意的整数解即可； （3）①根据“本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为”即可求解每行驶的磨损量； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意得，，则， ∵m，n均为非负整数，且“保证新工人和熟练工在工作上有照应”， ∴， ∴或 ∴共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：①∵本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为 ∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为，后轮每行驶的磨损量为； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为， 由题意得， 解得， 答：应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里． 考点十三 工程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·云南玉溪·期中）为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【答案】 甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天 【思路引导】根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可. 【规范解答】解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天， 根据题意列方程组得， 解得， 答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天. 【变式训练】（25-26七年级下·山西临汾·期中）山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【答案】(1)甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【思路引导】（1）根据题意及小红同学列出的方程组即可得到答案； （2）设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天，由题意列二元一次方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 考点十四 数字问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中________． 【答案】14 【思路引导】设右上角上的数为m，中间数为n，右下角上的数为b，根据，求出，根据，求出，根据，得出，根据，求出，最后代入求出结果即可． 【规范解答】解：设右上角上的数为m，中间数为n，右下角上的数为b，如图所示： x 21 m 5 n 20 y b 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·河南周口·期中）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 【答案】，的值分别为，． 【思路引导】根据题意列方程组，然后解方程组即可． 【规范解答】解：根据题意得， 解得， ∴，的值分别为，． 考点十五 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【思路引导】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 【变式训练】（2026七年级下·全国·专题练习）爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解． 【规范解答】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁 ∵ 今年子女年龄和， 两年后爸爸年龄为岁， 且， 化简得：， 联立方程： ， ② − ①得：， ， 代入①得：. 故原方程组的解为 ∴ 哥哥岁，妹妹岁； 故选：B. 考点十六 分配问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·山东东营·期中）某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【思路引导】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解． 【规范解答】解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 【变式训练】（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图． 方案1：裁剪________块椅座，________块椅背； 方案2：裁剪________块椅座，________块椅背． (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ 【答案】(1)1，6，； 4，2， (2)有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪 【思路引导】（1）根据题意可得可以裁剪1块椅座，6块椅背或裁剪4块椅座，2块椅背，即可解答； （2）设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意，列出方程组，即可求解； 【规范解答】（1）略 （2）解：设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意得： ， 解得：， 答：有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪． 考点十七 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，经了解，2辆A型汽车、3辆型汽车的进价共计60万元；4辆型汽车、1辆型汽车的进价共计70万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别是多少万元？ (2)公司计划用100万元购进以上两种型号的新能源汽车，两种型号的汽车都要购买．求该公司共有哪几种购买方案？ (3)销售一辆A型汽车可获利5500元，销售一辆B型汽车可获利4000元．在（2）中购买的新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为10万元 (2)该公司有3种购买方案，分别是：A型汽车2辆，B型汽车7辆；A型汽车4辆，B型汽车4辆；A型汽车6辆，B型汽车1辆 (3)最大利润是39000元 【思路引导】（）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解； （）设购买A型汽车辆，B型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （）利用总利润单辆利润销售车辆数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 【规范解答】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元 由题意，得 ， 解得， 答：A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为10万元． （2）解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆． 由题意，得， ， 为正整数， 或或． ∴该公司有3种购买方案，分别是： A型汽车2辆，B型汽车7辆； A型汽车4辆，B型汽车4辆； A型汽车6辆，B型汽车1辆． （3）解：当购买A型汽车2辆，B型汽车7辆时，获得的利润为： （元）； 当购买型汽车4辆，型汽车4辆时，获得的利润为： （元）． 当购买型汽车6辆，型汽车1辆时，获得的利润为： （元）． 答：最大利润是39000元． 【变式训练】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）漫葡小镇是银川文旅热门打卡景区，带火了汉服体验，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某汉服专卖店用5200元购进甲、乙两种汉服共60套，这两种汉服的进价和售价如下表所示： （利润=售价-进价） 甲 乙 进价（元/套） 80 100 售价（元/套） 120 160 (1)这两种汉服各购进了多少套？ (2)① 一套甲种汉服的利润为________元，一套乙种汉服的利润为________元； ② 该汉服专卖店销售完这批汉服获得的总利润是多少元？ 【答案】(1)购进甲种汉服40套，乙种汉服20套 (2)①40，60；②销售完这批汉服获得的总利润是2800元 【思路引导】（1）设这两种汉服各购进了套和套，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）根据利润等于售价减进价，总利润等于单件利润乘以销量，列式计算即可. 【规范解答】（1）解：设这两种汉服各购进了套和套，由题意，得： ，解得； 答：购进甲种汉服40套，乙种汉服20套； （2）解：①一套甲种汉服的利润为（元）；一套乙种汉服的利润为（元）； ②（元）； 答：销售完这批汉服获得的总利润是2800元. 考点十八 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）箱子里装有若干个红球和白球，小明、小丽分别按固定方式不放回取球：小明每次取4个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩6个红球；小丽每次取6个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩9个白球． (1)设小明取了x次，则原有红球个数为 ，白球个数为 ．（请用含x 的代数式表示）； (2)求小明和小丽各取了多少次？ (3)求箱子里红球、白球各自的数量． 【答案】(1)； (2)小明取了12次，小丽取了9次 (3)红球有54个，白球36个 【思路引导】（1）根据每次取球数量与剩余球数，用取球次数x直接列代数式表示红、白球总数． （2）设小丽取y次，依托红、白球总数不变列二元一次方程组，解方程组得到两人取球次数． （3）把求得的x或y代入对应代数式，算出红、白球实际数量． 【规范解答】（1） 小明每次取个红球，取次后剩个红球， 原有红球：． 每次取个白球，白球全部取完， 原有白球：． （2）解：设小明取了x次，小丽取y次，根据题意，得 解得 答：小明取了12次，小丽取了9次． （3）解：根据题意得： 红球数量： 白球数量：（个） 答：红球有54个，白球36个． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 【答案】 每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元 【思路引导】根据题意找出等量关系，设未知数列出方程组求解即可； 【规范解答】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得：， 解得：， 答：每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元． 考点十九 几何问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，大长方形是由7个形状大小完全相同的小长方形组成的，大长方形的周长为，则小长方形的两边长分别为（   ） A．3、4 B．2、5 C．3、6 D．4、5 【答案】B 【思路引导】设小长方形的长为，宽为，再结合长方形的性质可得方程组，再解方程组即可． 【规范解答】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，， 解得：， ∴小长方形的两边长分别为，． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江台州·期中）用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【思路引导】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【规范解答】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． 考点二十 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等． 3 2 (1)求和的值（用含，的代数式表示）； (2)试用等式表示，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据题意列方程求解即可； （2）用，表示格子左下角的代数式，即可得，之间的数量关系． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， 解得． （2）解：根据题意， 格子左下角的代数式可以表示为： 格子左下角的代数式还可以表示为： ， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 【答案】 【规范解答】解∶根据题意，得， 解得． 考点二十一 古代问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可以列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据题意可知每枚黄金重两，每枚白银重两，根据“甲袋原有9枚黄金，乙袋原有11枚白银，两袋重量相等”，得出第一个方程 ，交换1枚后，甲袋变为8枚黄金加1枚白银，总重量为，乙袋变为10枚白银加1枚黄金，总重量为，根据交换后甲袋比乙袋轻13两，即乙袋重量减去甲袋重量等于13，即可得第二个方程，据此即可建立方程组． 【规范解答】解：根据题意可得方程组． 【变式训练】（25-26七年级下·吉林·期中）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，则母鸡有_________只． 【答案】11 【思路引导】根据总只数为只，总钱数为钱，建立二元一次方程组，求解方程组得到母鸡的数量． 【规范解答】解：设母鸡有只，小鸡有只， 根据题意，得 整理①得， 整理②得， 得，解得， 把代入③得，解得， ∴原方程组的解为，符合题意， ∴母鸡有11只． 考点二十二 三元一次方程组的解法与应用 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】（1）三个式子相加即可求解； （2）根据方程组的结构可得，再加减消元即可； （3）利用整体法结合加减消元即可． 【规范解答】（1）解：， 得：， 解得； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 且关于p，q的二元一次方程组为 ∴， 解得； （3）解：由题可得， 得：， 解得， 把代入，得， 解得， ，． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)一共有四种购买方案 (3)该班级共需花费元 【思路引导】（1）设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只，根据题意列出二元一次方程组，根据，都是正整数，确定方程的整数解，即可求解； （3）设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元，根据题意得出，共需花费，消去字母，即可求解． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案． （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元． 1．（25-26七年级下·全国·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住人，那么有人无房可住；如果每间客房住人，那么就空出1间房．问有多少间客房，多少位客人．设有间客房，位客人，则下列方程组中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设有间客房，位客人，根据两种住宿情况分别列出方程即可得到方程组 【规范解答】解：设有间客房，位客人， ∵每间客房住人，有人无房可住，总人数等于间房住的人数加上无房的人，可得， 整理得， ∵每间客房住人，空出间房，实际住了间房，总人数等于乘以实际使用房间数，可得， 即， ∴方程组为． 2．（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，也是中国古代一部百科全书式的科学技术著作，作者是明代科学家宋应星．《天工开物》中记载了灯具骨架的制作工艺．某非遗工坊用竹篾和彩绢制作灯具，每盏大灯用竹篾1.2米，彩绢5米；每盏小灯用竹篾0.5米，彩绢2米．若该工坊恰好用完了90米竹篾和370米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则下列方程组正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：设制作大灯x盏，小灯y盏， 由题意得，． 【考点剖析】 3．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）在平面直角坐标系中有两点，若将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后与点重合，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用平面直角坐标系中点的平移规律得到坐标对应关系，列二元一次方程组求解和，再代入计算得到点B的坐标． 【规范解答】解：根据点的平移规律：点向右平移个单位，向下平移个单位后坐标变为． ∵点平移后与点重合， ∴可得方程组， 解得：， 将代入点B坐标， 得，， ∴点B坐标为． 4．（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【思路引导】将方程组中两个方程相加，整理得到与的关系式，再结合已知即可求出的值． 【规范解答】解：， 得， 两边同除以得， ∵， ∴． 5．（2026·湖北武汉·一模）若，，，，是从，1，2这三个数中取值的一列数（三个数都要取到），且，则的值是（     ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】D 【思路引导】设这列数中，有个，个，个，均为正整数，根据总项数和数列和列出关系式，利用y、z为正整数且均至少为1的条件，求出z的值，再代入计算平方和即可． 【规范解答】解：设这列数中，有个，个，个，均为正整数， ∵总共有个数， ∴①， ∵， ∴②， 将①变形为，代入②整理得：， ∵均为正整数（三个数都要取到）， ∴， ∴，即， 当时，，，符合要求； 当时，，不是整数，不符合要求； ∴， 令， 又∵， ∴． 6．（25-26七年级下·福建莆田·期中）定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是根据题意，得到二元一次方程组． 根据题意可得，，即，代入二元一次方程可得，化简可得，根据题意可得，求解即可． 【规范解答】解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得， 由题意可得，，解得，B选项符合题意． 7．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】利用整体思想，将待求方程组整理为与原方程组结构一致的形式，对应得到新方程组即可求解． 【规范解答】解：整理待求方程组的第二个方程：， 移项得， 提取公因式得， 待求方程组可变形为， 方程组的解为， ，解得． 8．（25-26七年级下·福建厦门·期中）用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：．如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24． 若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中较大的数大于较小数的3倍，则这两个正整数中较大数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【思路引导】令较大的正整数为x，较小的正整数为y，则，然后分四步进行解答即可得到答案． 【规范解答】解：令较大的正整数为x，较小的正整数为y， ， ，， 第一步，，此时两个数为和y； 第二步，，此时两个数为和y； 第三步：，此时两个数为和y， 第四步有两种情况： 当时，， 两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为， ， 解得； 当时，， 两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为， ， 解得； 综上可得，这两个正整数中较大数是或． 9．（25-26七年级下·重庆开州·期中）关于，的二元一次方程组的解中与的和为4，则的算术平方根为________． 【答案】 【思路引导】本题可通过将二元一次方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，再结合已知条件，列方程求出的值，最后计算的算术平方根． 【规范解答】解： 得 ， ∴ ， ∵ 与的和为4， ∴ ， 解得 ， 的算术平方根为． 10．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）已知有理数满足，则_____． 【答案】16 【思路引导】先根据第一个方程得到与的关系，再代入第二个方程计算得到结果. 【规范解答】解：设，， 则， 将式子代入第一个方程得： 化简得：，即， 此时， 将，代入第二个方程得： 合并同类项得： 解得， 则. 11．（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是_____． 【答案】 【思路引导】设小长方形的长为米，宽为米，根据图中长方形活动场地的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可． 【规范解答】解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意得， 解得， ∴布置文化展示区域的面积是． 12．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足，平移线段至，其中，的对应点分别为，，交轴正半轴于点．若点的坐标为，三角形的面积为，则点的坐标为________ 【答案】 【思路引导】利用非负数的性质求解，可得，，结合平移方式可得，如图，过作于，过作轴于，过作轴于，求解，结合三角形的面积梯形的面积梯形的面积 的面积，进一步可得答案． 【规范解答】解：∵， ， 解得， ∴，； ∵平移线段至，点的坐标为， ∴向左平移了2个单位， ∴， 如图，过作于，过作轴于，过作轴于， ∵三角形的面积为， ∴， 解得：， ∵三角形的面积梯形的面积梯形的面积 的面积， ∴， 解得：， ∴． 13．（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值为____． 【答案】 【思路引导】根据二元一次方程定义，未知数最高次数为1，且对应未知数系数不为0，列出关于的关系式求解即可． 【规范解答】解：方程是关于，的二元一次方程， ， 解得或， 解得， ． 14．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 【答案】0或或 【思路引导】先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【规范解答】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得，， ∴， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，． 15．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）若方程组的解是，则方程组的解为_______． 【答案】 【思路引导】对所求方程组变形后，通过整体换元对应得到新未知数的方程，即可求解． 【规范解答】解：将所求方程组两边同时除以7，整理得， ∵已知原方程组的解是， ∴对比原方程组可得， 解得． 16．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）已知四个互不相等的整数a、b、c、M满足：． （1）则M与b的关系式为________； （2）若，则的值为________． 【答案】 【思路引导】（1）观察方程组中，的系数，利用加减消元法消去和，即可得到与的关系式； （2）根据的取值范围结合为整数，求出的值，再由原方程组推导出与的关系，代入所求代数式计算即可得到结果． 【规范解答】解：（1）， 得：， 得：， 得：； （2）∵， ∴， 解得：， ∵b为整数， ∴， ∵， ∴得：， ∴， ∴， ∴的值为2100． 17．（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用代入法解答即可； （2）利用代入法解答即可． 【规范解答】（1）解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③，得， 所以原方程组的解是； （2）解：， 由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以原方程组的解是． 18．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在呼和浩特某超市购买盒豆沙月饼和购买盒水果月饼花费的金额相同，购买盒豆沙月饼和盒水果月饼共花费元． (1)求豆沙月饼和水果月饼的单价分别是多少元？ (2)小明购买豆沙月饼和水果月饼两种都购买共花费元，请找出能够使小明购买的月饼盒数最多的方案． 【答案】(1)豆沙月饼的单价是80元/盒，水果月饼的单价是120元/盒 (2)小明选择购买4盒豆沙月饼，2盒水果月饼 【思路引导】（1）设豆沙月饼的单价为x元/盒，水果月饼的单价为y元/盒，根据题意列方程组，进而解方程组即可； （2）设购买豆沙月饼a盒，水果月饼b盒，根据题意，得，则．根据a、b均为正整数，可得或，进而分析可得答案． 【规范解答】（1）解：设豆沙月饼的单价为x元/盒，水果月饼的单价为y元/盒， 根据题意，得 ​​​​​​​解得 答：豆沙月饼的单价是80元/盒，水果月饼的单价是120元/盒； （2）解：设购买豆沙月饼a盒，水果月饼b盒， 根据题意，得， 所以． 因为a、b均为正整数， 所以或， 所以共有两种购买方案： ①购买4盒豆沙月饼，2盒水果月饼，（盒）； ②购买1盒豆沙月饼，4盒水果月饼， （盒）． 因为要使小明购买的月饼盒数最多，所以小明选择购买4盒豆沙月饼，2盒水果月饼． 19．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)具有 (2)或 (3)时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系” 【思路引导】（1）先解二元一次方程组求出、的值，再代入验证，判断是否具有友好关系． （2）先通过方程组消元，用含的代数式表示，再根据友好关系的定义列方程求解的值． （3）先通过加减消元法用含的代数式表示，结合、、为正整数的条件，分情况讨论的取值，再验证是否满足，判断是否具有友好关系． 【规范解答】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①-②得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为， ∴， ∴方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②-①得， ∴ ∵方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 解得或， ∴的值为或； （3）解： ， 得，， 解得， 与，都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 20．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）已知，，平分，点为射线上一点，连接． (1)如图，若点为线段上一点，，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由； (2)如图，若点为延长线上一点，上述（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出，，之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，如果，，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为，证明见解析 (3) 【思路引导】（1）如图，过点作，根据平行线的性质得，根据平行公理的推论得，继而得到，可得结论； （2）（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为．如图，过点作，根据平行线性质得，根据平行公理的推论得，继而得到，即可得证； （3）根据已知得推出，由角平分线的定义得，再根据平行线性质得，继而得到 ，即可得解． 【规范解答】（1）解：． 理由：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为． 证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴的度数为． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年人教版数学七升八年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学七升八年级暑假衔接精编培优讲义【复习篇】 七年级/下册（新教材） 初中数学 专题04 二元一次方程组的解法与应用 思维导图+知识回顾+二十二大考点讲练+真题强化 （共64题） 【原卷版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点三 二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 知识点四 二元一次方程组的解 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况 知识点五 三元一次方程组的概念与解 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点六 解二元（三元）一次方程组 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 考点一 已知二元一次方程组的解求参数 【典例精讲】（25-26七年级下·浙江·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 【变式训练】（23-24七年级下·山东聊城·阶段检测）若方程组与有公共解，求的值． 考点二 代入消元法 【典例精讲】（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）计算与解方程组 (1) 计算：； (2)解方程组：． 【变式训练】（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）已知方程组的解x、y互为相反数，求m的值． 考点三 加减消元法 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆开州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）已知的算术平方根是1，的立方根是2，解关于x的方程． 考点四 二元一次方程组的特殊解法 【典例精讲】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得， ，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，根据方法二求的值． 【变式训练】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可以采用以下方法： 解：②①，得，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于x，y的方程组，的解，并说明理由． 考点五 二元一次方程组的错解复原问题 【典例精讲】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）小轩在解方程组时，本应解出，由于看错了系数c，从而得到解，求a，b，c的值． 【变式训练】（25-26七年级下·山东聊城·期中）在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的b，求得的解为．求正确的的值． 考点六 构造二元一次方程组求解 【典例精讲】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点为点的“系伴随点”．例如，点的“1系伴随点”为，即． (1)已知点的“2系伴随点”为，直接写出点的坐标（____，____）；点到轴的距离为________； (2)已知点的“系伴随点”为，求点的坐标； 【变式训练】．（25-26七年级下·山西吕梁·期中）在平面直角坐标系中，三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到三角形． (1)请画出三角形； (2)若是三角形内部的一点，则平移后对应点的坐标为，请直接写出的值． 考点七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【典例精讲】（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（     ） A．4 B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西安康·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 考点八 方程组相同解问题 【典例精讲】（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】（25-26七年级下·全国·期末）已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 考点九 根据实际问题列二元—次方程组 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）某班级组织去公园划船，如果每条船坐6人，则空出2条船；如果每条船坐4人，则还有8人没有船坐．设船有条，学生有人，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·重庆·期中）2026年新春，重庆无人机表演大放异彩，点亮山城夜空．重庆某工厂计划批量生产表演专用无人机，现有工人共40名，每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机翼12片．已知1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套．设安排人生产机身，人生产机翼，恰好使每天生产的机身与机翼配套，则可列方程组为：_______． 考点十 根据几何图形列二元一次方程组 【典例精讲】（25-26七年级下·甘肃天水·期中）将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的大长方形；或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽．若设小长方形的长为，宽为，则下列可列方程组________． 【变式训练】（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．48 B．52 C．58 D．6 考点十一 方案问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·河北承德·期中）《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场．已知：购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问： (1)哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元？ (2)若小军现有200元，买了两种玩具后恰好用完，写出一种购买方案． 【变式训练】（25-26七年级下·北京通州·期中）某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式． 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法迭代，共需要14小时 (1)求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ (2)若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安排方案？ 考点十二 行程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）某体育场的环形跑道长，甲、乙分别以一定的速度练习慢跑和自行车，如果反向而行，他们每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．则甲的速度是______． 【变式训练】（25-26七年级下·山东日照·期中）骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 考点十三 工程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·云南玉溪·期中）为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【变式训练】（25-26七年级下·山西临汾·期中）山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 考点十四 数字问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中________． 【变式训练】（25-26七年级下·河南周口·期中）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 考点十五 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【变式训练】（2026七年级下·全国·专题练习）爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 考点十六 分配问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·山东东营·期中）某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【变式训练】（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图． 方案1：裁剪________块椅座，________块椅背； 方案2：裁剪________块椅座，________块椅背． (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ 考点十七 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，经了解，2辆A型汽车、3辆型汽车的进价共计60万元；4辆型汽车、1辆型汽车的进价共计70万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别是多少万元？ (2)公司计划用100万元购进以上两种型号的新能源汽车，两种型号的汽车都要购买．求该公司共有哪几种购买方案？ (3)销售一辆A型汽车可获利5500元，销售一辆B型汽车可获利4000元．在（2）中购买的新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 【变式训练】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）漫葡小镇是银川文旅热门打卡景区，带火了汉服体验，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某汉服专卖店用5200元购进甲、乙两种汉服共60套，这两种汉服的进价和售价如下表所示： （利润=售价-进价） 甲 乙 进价（元/套） 80 100 售价（元/套） 120 160 (1)这两种汉服各购进了多少套？ (2)① 一套甲种汉服的利润为________元，一套乙种汉服的利润为________元； ② 该汉服专卖店销售完这批汉服获得的总利润是多少元？ 考点十八 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）箱子里装有若干个红球和白球，小明、小丽分别按固定方式不放回取球：小明每次取4个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩6个红球；小丽每次取6个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩9个白球． (1)设小明取了x次，则原有红球个数为 ，白球个数为 ．（请用含x 的代数式表示）； (2)求小明和小丽各取了多少次？ (3)求箱子里红球、白球各自的数量． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 考点十九 几何问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，大长方形是由7个形状大小完全相同的小长方形组成的，大长方形的周长为，则小长方形的两边长分别为（   ） A．3、4 B．2、5 C．3、6 D．4、5 【变式训练】（25-26七年级下·浙江台州·期中）用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 考点二十 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等． 3 2 (1)求和的值（用含，的代数式表示）； (2)试用等式表示，之间的数量关系． 【变式训练】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 考点二十一 古代问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可以列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·吉林·期中）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，则母鸡有_________只． 考点二十二 三元一次方程组的解法与应用 【典例精讲】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 1．（25-26七年级下·全国·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住人，那么有人无房可住；如果每间客房住人，那么就空出1间房．问有多少间客房，多少位客人．设有间客房，位客人，则下列方程组中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，也是中国古代一部百科全书式的科学技术著作，作者是明代科学家宋应星．《天工开物》中记载了灯具骨架的制作工艺．某非遗工坊用竹篾和彩绢制作灯具，每盏大灯用竹篾1.2米，彩绢5米；每盏小灯用竹篾0.5米，彩绢2米．若该工坊恰好用完了90米竹篾和370米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则下列方程组正确的为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）在平面直角坐标系中有两点，若将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后与点重合，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 5．（2026·湖北武汉·一模）若，，，，是从，1，2这三个数中取值的一列数（三个数都要取到），且，则的值是（     ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 6．（25-26七年级下·福建莆田·期中）定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·福建厦门·期中）用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：．如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24． 若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为，且这两个数中较大的数大于较小数的3倍，则这两个正整数中较大数是（    ） A． B． C． D．或 9．（25-26七年级下·重庆开州·期中）关于，的二元一次方程组的解中与的和为4，则的算术平方根为________． 10．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）已知有理数满足，则_____． 11．（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是_____． 12．（24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足，平移线段至，其中，的对应点分别为，，交轴正半轴于点．若点的坐标为，三角形的面积为，则点的坐标为________ 13．（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值为____． 14．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 15．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）若方程组的解是，则方程组的解为_______． 16．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）已知四个互不相等的整数a、b、c、M满足：． （1）则M与b的关系式为________； （2）若，则的值为________． 17．（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 18．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在呼和浩特某超市购买盒豆沙月饼和购买盒水果月饼花费的金额相同，购买盒豆沙月饼和盒水果月饼共花费元． (1)求豆沙月饼和水果月饼的单价分别是多少元？ (2)小明购买豆沙月饼和水果月饼两种都购买共花费元，请找出能够使小明购买的月饼盒数最多的方案． 19．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 20．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）已知，，平分，点为射线上一点，连接． (1)如图，若点为线段上一点，，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由； (2)如图，若点为延长线上一点，上述（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出，，之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，如果，，求的度数．（用含的式子表示） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学七升八年级暑假衔接精编培优讲义【复习篇】 暑假衔接 专题04二元一次方程组的解法与应用 思维导图+知识回顾+二十二大考点讲练+真题强化 (共64题) 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 初中数学 七年级/下册（新教材） 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习人教版新教材七年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内 容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等 四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型， 整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学， 教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 1 二元一次方程组的概念 ④解二元（三元）一次方程组的思路 概念：方程中含有两个未知数，井且未知数的次数都是1， 个未知数的式子表示出来 像这样的方程叫做二元一次方程。 要点：①有两个来知敬②次敬都是1③二元一次方程 加减消元法：通过等式两边时加上（或减去）同一个式子，消去一个未知数 得到一个一元一次方程。 息错吉括 .方程中的“元”是指未知数， ③三元一次方程组：利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另外两个方程 “二元”指有两个未知数 分别组成两组，消去两个方程中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的 “来知数的次数为1”是指各含有未知数的项（单项式）的次数是1。 二元一次方程组 3.二元一次方程的左边和右边都必须是整式。 2 5二元一次方程组的解法 二元一次方程组的概念 1代入消元法的一酸步调 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值， 叫 二元一次方程的解。 ①从方程组中取一个系数比较商单的方程进行变形，用含x(成y)的式子表示y(： 一个方程（不能代入原形方）消去y( 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起， 就组成了一个二元一次方程组：此外，组成方程组的 解这个一元一次方程， 求出x（或y)的值 各个方程也不必同时含有两个未知数， 二元一次方程组 把：（或y)的值代入 0中 争用“联立两个来知数的值，就是方程组的解 易错点削析 的解法与应用 2加减消元法的一般步要 1一般地，二元一次方程组的解有可能是一个，也可能是无数个 (人教版七年级下册专题04】 ①根据“等式的两边都以（或腺以）同一个不等干0的数，等式仍成立”的性质， 2.方程组的解是把两个方程的“未知数的值”代入后同时成立， 将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式： 不是分别计算两个方程的解。 2根据“等式两边相加（成减去】同一个整式，所得的方程与原方程同解”的性质 将变形后的两个方程相加（或相减)，消去一个来知数，得到一个一元一次方程： 3二元一次方程组的解的概念与解 解这个一元一次方程，求出一个未知致的值： ④巴求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程，求出另一个未知数的值 移两个未知数的值用“《"联立在一起即可。 概意：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解， 叫做二元一次方程组的解。 3:解三元一次方程组的一望步理 小贴土三 局情点别析 1方程组中每个未却数的值应园时葛足两个方程 2解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值 制完后一定题给动 所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程】 若两个方程同时成立，才是方程组的解 6 二元一次方程组的应用 2方程组的解要用大括号联立表示：，=b的形式 常见等量关系 注意事项 一般步瀑 3.一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况： ·行理同题：路程=遗度x时瓶 可能无解（如任+少=1 ·价格问题：总价=单价×数量 +=2),也可能有无数多个解 D 2 3 审数理解 设表如数 列方程组 求解 检验与答 。工程问题：工作量，工作效率x工作时间 2,列方程时一定要找到等量关系 。和差倍分间项：和第.倍数：份数之词的美黑 提感，找出已主司 冲产两胖海表标日中帽◆相国盟中然尚夏关黑三少解所阿前二无一-支坊用服 修结所用相保是香芳 不要速周条件。 24 如管（一后量红y》, 想编青个宝数销二元一文 出再个表数学植 实标童义料写出蓄清 ·利润问题：利调=售价一成本 3,解完后要检验答案是否会理 方程组 数二2鸡数+4免数：头数=鸡数兔数 4答案要写清楚单位（如有）。 ★掌握概念·熟练方法· 多加练习·灵活应用★ 知识梳理 温故知新 知识点一二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程 【易错点剖析】 (1)在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数 第2页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) (2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式)的次数是1. (3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式 知识点二二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二 元一次方程的解通常表示为 x=a 的形式 y=b 知识点三二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.此外， 组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数 【易错点剖析】 (1)它的一般形式为 ax+by=c ax+bay=C (其中4,4，，b,不同时为零)· (2)更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组 (3)符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思. 知识点四二元一次方程组的解 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 【易错点剖析】 （1)方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代 入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一 定是方程组的解 (2)方程组的解要用大括号联立； （3)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况 知识点五三元一次方程组的概念与解 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三 个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方 程组叫做三元一次方程组 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： 第3页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) (1)方程组中的每一个方程都是一次方程； (2)如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组 知识点六解二元（三元)一次方程组 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示y(或 x)，即变成y=x+b（或x=y+b)的形式； ②将y=x+b(或x=y+b)代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x), 得到一个关于x(或y)的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x（或y)的值； ④把x(或y)的值代入y=x+b（或x=y+b)中，求y(或x)的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以)同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方 程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将 变形后的两个方程相加（或相减)，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一 个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方 程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起 第4页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 优选题型考点讲练 考点一已知二元一次方程组的解求参数 【典例精讲】（2525七年级下·浙江·阶段检测)若关于x,的二元一次方程组2十4的解 为况二1则代数式a+2b的值是〈 A.3 B.-3 C.5 D.-5 【变式训练】(23-24七年级下·山东聊城·阶段检测)若方程组 ax+by=-10与3x+y=93 (4x-y=5②(3ax-4by=18④ 有公共解，求a+b的值. 考点二代入消元法 【典例精讲】(25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测)计算与解方程组 (1)计算：V4+27+|1-√21： (2)解方程组： 4+y=15 3x-2y=3 【变式训练】(2526七年级下·广东东莞·阶段检测)已知方程组十30的解不y互为相反数， 3x-y=2m 求m的值。 考点三加减消元法 【典例精讲】(25-26七年级下·重庆开州·期中)解方程组： (1)x=y+5① ②3x+2y=90 (2x-y=8②1 (5x-y=15② 第5页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测)已知a-b的算术平方根是1,3a+2b的立方 根是2，解关于x的方程(a+2)x+b2=a-1. 考点四二元一次方程组的特殊解法 【典例精讲】(25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测)【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值. 世如实数a,城过2动G6有05动的 方法一：解方程组，分别求出a,b的值，再代入代数式求值： 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值. 解法如下： ①-②，得a-4b=-2, ①+②×2，得7a+5b=19. 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”， 【解决问题】 ①己知二元一次方程组径议二2，则x-2y-,x+= (2)对于实数x,y,定义新运算：x※y=ax一by,其中a,b是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算.如： 2※1=2a-b.己知2※3=4,3※5=10，根据方法二求3※4的值. 第6页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中)解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简 化计算，例如，解方程组17x+18y=160时，可以采用以下方法： 20x+21y=19② 解：②-①，得3x+3y=3,所以x+y=1③，将③×17，得17x+17y=17④，①-④，得y=-1,从 而可得x=2,所以原方程组的解为x=2,」 y=-1· (1)请你用上述方法解方程组： 2024x+2026y=2022① (2017x+2019y=2015② ②)猜测关于x,y的方程组a+1)x+(a+3)y=a-1 6+1)x+b+3)y=b-1'(a≠b)的解，并说明理由. 考点五二元一次方程组的错解复原问题 8-y=8时，本应解出二 【典例精讲】(2526七年级下黑龙江齐齐哈尔期中)小纤在解方程组Cx+二？ 由于有绩了系数从而得到解化=子，求品么c的位。 【变式训练】〈525七年级下·山东期减·期中)在解关于点少的方程组径十时，甲把方程 组中的a看成了-4，求符的解为北=子：乙百错了方程组中的么求得的解为y=了.求正确的a+b+c 的值. 第7页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点六构造二元一次方程组求解 【典例精讲】(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中)在平面直角坐标系中，对于点A(x,y),若点B的 坐标为(x+ky,kx-y),则称点B为点A的k系伴随点”.例如，点A(2,3)的“1系伴随点”为B(2+1×3,1×2- 3),即(5，-1). (1)己知点P(3,-2)的“2系伴随点”为P1,直接写出点P1的坐标（一一，一一-）：点P1到x轴的距离为 (2)己知点Q的“-1系伴随点”为Q1(-3,5),求点Q的坐标： 【变式训练】.(25-26七年级下·山西吕梁·期中)在平面直角坐标系中，三角形ABC先向左平移5个 单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到三角形A'BC'· 5-4-3-2-10 (1)请画出三角形A'B'C'; (2)若P(m,4-n)是三角形ABC内部的一点，则平移后对应点Q的坐标为(2m-8,n-2),请直接写出m+n 的值. 考点七已知二元一次方程组的解的情况求参数 典例精讲)(2525七年级下·云南曲靖·阶段检测)已知关于x,y的二元一次方程组Xy的 解互为相反数，则k的值为( A.4 B.-4 c. 第8页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-6七年级下·陕西安康·阶段检若关于红y的二元一次方程组{)6k的解 也是二元一次方程x-2y=12的解，则k的值为() A.4 B.6 C.8 D.10 考点八方程组相同解问题 【典例精讲】(25-26七年级下·福建南平·阶段检测)已知方程组5c一3二y与5x+y=1 x+5y=4与x-2y=5有相同 的解，则m,n的值为( ) A.m=1,n=-2 B.m=-2,n=1C.m=2,n=14D.m=14,n=2 【变式训练】(535年锻下·个国·期未)P阳关于的方程+0与1=。的 解相同，求(a+b)2026的值. 考点九根据实际问题列二元一次方程组 【典例精讲】(25-26七年级下·重庆·期中)某班级组织去公园划船，如果每条船坐6人，则空出2条 船；如果每条船坐4人，则还有8人没有船坐.设船有x条，学生有y人，则下列方程组正确的是( -8B A. (y=6x+2 y=4x-8 cB+日 )-±8 【变式训练】(25-26七年级下·重庆·期中)2026年新春，重庆无人机表演大放异彩，点亮山城夜空.重 庆某工厂计划批量生产表演专用无人机，现有工人共40名，每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机 翼12片.已知1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套.设安排x人生产机身，y人生产机翼，恰好 使每天生产的机身与机翼配套，则可列方程组为：-一一一· 考点十根据几何图形列二元一次方程组 【典例精讲】(25-26七年级下·甘肃天水·期中)将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图 1所示的大长方形：或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为2cm的小正方形，求小长方形 的长和宽.若设小长方形的长为xcm,宽为ycm,则下列可列方程组 ① 第9页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·山东淄博·期中)如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同 的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为() 个 6 16 A.48 B.52 C.58 D.6 考点十一方案问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】(25-26七年级下·河北承德·期中)《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程， 情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦.在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场.已知： 购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问： (1)哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元？ (2)若小军现有200元，买了两种玩具后恰好用完，写出一种购买方案. 【变式训练】(25-26七年级下·北京通州·期中)某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采 用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法 迭代，共需要14小时 (1)求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ (2)若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安 排方案？ 第10页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十二行程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】(25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中)某体育场的环形跑道长400m,甲、乙分别以 一定的速度练习慢跑和自行车，如果反向而行，他们每隔40s相遇一次.如果同向而行，那么每隔80s乙 就追上甲一次.则甲的速度是m/s. 【变式训练】(25-26七年级下·山东日照·期中)骑自行车出行，己经成为了人们健康环保的出行方式， 根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆.由于抽调不出足够的熟 练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装.调研部门 发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车. (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调m名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工 人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为4000km;如安装在后轮， 安全行驶路程为6000k,更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎， 则维护成本会提高.为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议， ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶1m的磨损量为 后轮每行驶1km的 磨损量为 ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮， 能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程。 考点十三工程问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】(25-26七年级下·云南玉溪·期中)为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔” 的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市 民游客打造宜居宜游的休闲胜地.现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工 程队先后接力完成.甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务.则 甲、乙工程队分别整治了多少天？（用二元一次方程组求解） 第11页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】（25-26七年级下·山西临汾·期中)山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指 导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升.为了提高居 民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条000米的道 路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建150米，乙队每天修建100米，两队 施工总时间是16天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ 命+。-16那么这个方程组中未知数x表示的是 x+y=2000 (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组} 未知数y表示的是 (2)小丽同学设甲工程队修建了m天，乙工程队修建了天.请你按照小丽的思路解答上面的问题. 考点十四数字问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】(25-26六年级下·上海金山·阶段检测)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中 记载了最早的幻方一一九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之 和都相等，则图中x+y= 21 5 2 9 20 y 图1 图2 【变式训练】(25-26七年级下·河南周口·期中)我国古代夏禹时期的“洛书”（如图1所示）就是一 个三阶“幻方”（如图2所示），观察图1、图2，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每 行、每列和对角线的数字之和必须相等.在显示部分数据的新“幻方”（如图3所示)中，求x,y的值. 000000000 4 9 2 ● ● 3 5 7 a o 8 1 6 图1 图2 图3 第12页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十五年龄问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 两年后，妹妹年 我今年34岁 龄的3倍与我的 年龄相加恰好等 我和哥哥 于爸爸的年龄 的年龄和 是16岁 【变式训练】(2026七年级下·全国·专题练习)爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后， 妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄.哥哥和妹妹今年的年龄分别是() A.9岁、7岁B.10岁、6岁 C.12岁、4岁 D.12岁、6岁 考点十六分配问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】(25-26七年级下·山东东营·期中)某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产 玩具车架20个或车轮40个，如果1个车架与4个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多 少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【变式训练】(25-26七年级下·广东汕头·阶段检测)学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁 架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图.因学校需要，某工厂配合制作该款椅子.椅子的铁架直 接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装 椅背 30cm 40cm 椅座 40cm 40cm 一40cm 220cm 图1 图2 图3 第13页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为220cm,宽为40cm(裁切时不计损耗)，请你在不造成板材浪 费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图。 方案1：裁剪 块椅座， 块椅背； 方案2：裁剪 块椅座， 块椅背。 (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分 配板材？ 考点十七销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】(25-26七年级下·河南安阳·阶段检测)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能 源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，经了解，2辆A 型汽车、3辆B型汽车的进价共计60万元；4辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计70万元. (1)求A,B两种型号的汽车每辆进价分别是多少万元？ (2)公司计划用100万元购进以上两种型号的新能源汽车，两种型号的汽车都要购买.求该公司共有哪几种 购买方案？ (3)销售一辆A型汽车可获利5500元，销售一辆B型汽车可获利4000元.在(2)中购买的新能源汽车全 部售出，最大利润是多少元？ 【变式训练】(25-26七年级下·宁夏吴忠·期中)漫葡小镇是银川文旅热门打卡景区，带火了汉服体验， “汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某汉服专卖店用5200元购进甲、乙两种汉服共60套，这 两种汉服的进价和售价如下表所示：（利润=售价-进价） 甲 乙 进价（元/套） 80 100 售价（元/套） 120 160 (1)这两种汉服各购进了多少套？ 第14页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) (2)①一套甲种汉服的利润为元，一套乙种汉服的利润为 元： ②该汉服专卖店销售完这批汉服获得的总利润是多少元？ 考点十八和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】(25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测)箱子里装有若干个红球和白球，小明、小丽分别 按固定方式不放回取球：小明每次取4个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩6个红球；小丽每 次取6个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩9个白球. (1)设小明取了x次，则原有红球个数为_，白球个数为_·（请用含x的代数式表示）； (2)求小明和小丽各取了多少次？ (3)求箱子里红球、白球各自的数量. 【变式训练】(25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测)为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城 市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱.经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4 个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型 垃圾箱少20元.求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 第15页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十九几何问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】(25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测)如图，大长方形ABCD是由7个形状大小完全相 同的小长方形组成的，大长方形的周长为34Cm,则小长方形的两边长分别为() A.3、4 B.2、5 C.3、6 D.4、5 【变式训练】(25-26七年级下·浙江台州·期中)用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方 形的边长相等)作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器. 横式 图1 图2 (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则a=」 b= _ (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长 方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个.若五金店老板计划支付1000元用于 采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 第16页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点二十图表信息题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】(25-26七年级下·江苏南通·期中)如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式，各行 上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等. 2x 3 2 A x+2y -3 B (1)求A和B的值（用含x,y的代数式表示）： (2)试用等式表示x,y之间的数量关系. 【变式训练】(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测)如图，3×3的格子内填写了一些数和代数 式.为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则x= 2x 3 2 x+2y -3 4y 考点二十一古代问题（二元一次方程组的应用） 【典例精讲】(25-26七年级下·广东汕头·阶段检测)《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中 有一道题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重 几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚每枚白银重量相同，称重 两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多 少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可以列出方程组为( ) o+9”a》-1B .CIy(13 9x=11y c{w+”a》=1s clav+g》=1s 第17页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26七年级下·吉林·期中)我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公 鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡.若公鸡有8只，则母鸡有 只. 考点二十二三元一次方程组的解法与应用 【典例精讲】(25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测)在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单. 例如，解二元一次方程组 x+y=3① 时，将x+y看成一个整体，则②可变为3(x+y)+y=10,从而 3x+4y=10② 解得y=1.请用整体思想完成： (a+b=3 (1)已知关于a,b,c的三元一次方程组{a+c=4,则a+b+c=一一： (b+c=5 (2)已知关于x,y的二元一次方程 5x+21y=子的解为=2， (2x+17y=e 心=1，那么关于p,9的二元一次方程组 (2(p-3q)+17(p+3q)=e 150-30)+210+30)=F的解为 (3)已知关于a,b的方程组：{，a,-2ab+b=1, 2a+ab+2b=-3,求a+b,ab的值. 【变式训练】(25-26七年级下·浙江杭州·期中)2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借 可爱的形象“圈粉”无数.某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买1只甲型玩 偶、2只乙型玩偶和4只丙型玩偶的总价格为360元，购买2只甲型玩偶、3只乙型玩偶和1只丙型玩偶的 总价格为310元. (1)若丙型玩偶的单价为50元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在(1)的条件下，某班级计划用540元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有)作为班级活 动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买12只甲型玩偶、19只乙型玩偶和13只丙型玩偶给班级的44位学生每人一只玩偶，请 问该班级共需花费多少元？ 第18页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 真题汇编能力强化 1.(25-26七年级下·全国·期末)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公， 众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中 住宿，如果每间客房住7人，那么有7人无房可住：如果每间客房住9人，那么就空出1间房.问有多少 间客房，多少位客人.设有x间客房，y位客人，则下列方程组中正确的是( (7x=y+7 (7x=y-7 A.{9x+1)=y B.9(x-1)=y (7x=y+7 c.9x-1)=y 61的-7 2.(25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测)《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合 性著作，也是中国古代一部百科全书式的科学技术著作，作者是明代科学家宋应星.《天工开物》中记载 了灯具骨架的制作工艺.某非遗工坊用竹篾和彩绢制作灯具，每盏大灯用竹篾1.2米，彩绢5米；每盏小 灯用竹篾0.5米，彩绢2米.若该工坊恰好用完了90米竹篾和370米彩绢，设制作大灯x盏，小灯y盏，则 下列方程组正确的为( 1.2x+0.5y=370 A. 5x+2y=90 B. 1.2x+0.5y=90 15x+2y=370 C. （1.2x+5y=90 ∫1.2x+5y=370 (0.5x+2y=370 D.{0.5x+2y=90 3.(25-26七年级下·河南安阳·阶段检测)在平面直角坐标系中有两点A(3m-1,n+1),B(m-n,m), 若将点A先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后与点B重合，则点B的坐标为( A.(-1,-1) B.（-2,1) C.(2,1) D.(-1,-2) 4,《255七年级下·云商大理·阶段检测》若关于五y的方程新积十3位+有的解满是x+y=2 则k的值为( ) A.2 B.-2 c. D.-月 第19页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 5.(2026·湖北武汉·一模)若a1,a2,a3,…,a2026是从-1,1,2这三个数中取值的一列数（三个数 都要取到)，且a1+a2+a3+…+a2026=-2017,则a1+a2+a+…+a吃026的值是( A.2026 B.2027 C.2028 D.2029 6.(25-26七年级下·福建莆田·期中)定义一种新运算：a☆b=2a-b,若a☆b=0,且关于x,y的二元一 次方程(a-1)x+by+6-2a=0,当a,b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为() a=2 8.人ts6 ly=-2 c&= .is 7。(25-26七年级下·四川乐山·期中)已知关于x、的方程组十的的解为y=2.则关丁x (cx+dy=n y的方程的Oa的解是( a.y=2 x=-3 B6-4 Cty =8 8.(25-26七年级下·福建厦门·期中)用《九章算术》记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数， 运算步骤如下： 第一步：168-72=96： 第二步：96-72=24； 第三步：72-24=48： 第四步：48-24=24.如果继续操作，可得24-24=0，因此，经过上述四步运算，求得168和72的最 大公约数是24. 若两个正整数经过“更相减损术”的四步运算，所求得的最大公约数为m,且这两个数中较大的数大于较小 数的3倍，则这两个正整数中较大数是( A.4m B.5m C.7m D.5m或7m 9.。(25s七年级下·重庆开州·板中）关于，y的=元一次方起组十刻=m十名的解中x与y的和为 4,则m的算术平方根为 10.(25-26七年级下江苏泰州…阶段检测)已知有理数a,b,c满足{2a-+3b-9+4(c-0)=0 (3(a-b)2+(b-c)2+2(c-a)2=361 则(b-c)2=一一 11.(25-26七年级下·河南许昌·阶段检测)如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为24m,宽为18m 的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则 布置文化展示区域的面积是一一· 第20页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 18m 24m 12.(24-25七年级下·四川绵阳·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，A(0,a),B(5,b),且a,b满足 |3a+2b+14+VQ-2b-6=0,平移线段AB至CD,其中A,B的对应点分别为C,D,CD交y轴正半轴于 点E.若点C的坐标为(-2，m),三角形D0的面积为号，则点D的坐标为 、B 13.（25-26七年级下·云南大理·阶段检测)若关于x,y的方程x-1+(2-a)y=1是二元一次方程， 则a的值为一· 14,(25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测)已知关于x,y的方程组3x+y=26的解满足 y=3n+2,其中m,n都是实数，且m-n=5.若a,b均为正整数，则符合条件的整数n的值为 (x=m-1 5.(25-26七年级下·江苏南京·阶段检测)若方程组C1X十三2的解是 azx+b2y=c2" 则方程组 3a1x+2by=7C1的解为 3a2x+2b2y=7c2 16.(24-25七年级下·北京朝阳·期中)己知四个互不相等的整数a、bcM满足： M=7a+5b+7c M=6a+7b+6c (1)则M与b的关系式为 (2)若381<M<400,则a+98b+c的值为 17.（2026七年级下·全国·专题练习)用代入法解下列方程组： a{o2+®-i, C 第21页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 18.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测)在呼和浩特某超市购买6盒豆沙月饼和购买4盒水果 月饼花费的金额相同，购买3盒豆沙月饼和2盒水果月饼共花费480元. (1)求豆沙月饼和水果月饼的单价分别是多少元？ (2)小明购买豆沙月饼和水果月饼（两种都购买）共花费560元，请找出能够使小明购买的月饼盒数最多的 方案 19.(25-26七年级下·江苏连云港·期中)对于未知数为x,y的二元一次方程组，如果方程组的解x,y 满足x-y川=1，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”. 方程矩+二的解x与y一一（填“具有”成“不具有”）“友好关系”： 回若方型距化十原的与其有“友好关系”，求m的值。 图末知数为x,y的方程细XX十十”2y5,其中Q与x,都是正整数，是否存在满足条件的正整数α，使该方 程组的解x与y具有“友好关系”？如果存在，请求出α的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由. 第22页共23页 2026-2027学年人教版数学七升入年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 20.(25-26七年级下·辽宁大连·期中)己知，AB∥CD,BD平分∠ABC,点P为射线DB上一点，连接CP. D D B B 图1 图2 (1)如图1，若点P为线段DB上一点，∠BPC,∠ABP,∠PCD之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说 明理由； (2)如图2，若点P为DB延长线上一点，上述(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写 出∠BPC,∠ABP,∠PCD之间的数量关系，并证明； (3)在(2)的条件下，如果∠BPC=a,∠PBA=8∠BCP,求∠BCD的度数.（用含a的式子表示） 第23页共23页