（复习篇）专题02 认识三角形和四边形【思维导图+知识卡片+知识梳理+十二大考点讲练+真题强化 共56题】-2026-2027学年北师大版数学四升五年级暑假衔接金牌讲义

2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 四年级/下册 小学数学 专题02 认识三角形和四边形 北 师 大 版 思维导图+知识回顾+十二大考点讲练+真题强化 （共56题） 【原卷版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一：三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高 1. 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法：因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类 1. 三角形按角分类 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180° 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八：认识平行四边形 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九：认识梯形 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十：平行四边形与梯形的关系 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 考点一 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图，要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？ 【变式训练1】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）生活中有很多应用数学知识解决问题的例子，如图，工人师傅建房时，常用木条固定门框，使其不变形。请用学过的数学知识解释为什么？ 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课前预习）李奶奶要给一块地围上篱笆，有下面四种方案可以选择，你建议李奶奶选择哪种方案？为什么？ 考点二 三角形的分类 【典例精讲】（24-25四年级下·重庆合川·期末）三个角都是锐角的三角形叫（    ）三角形。 A．等边三角形 B．钝角 C．锐角 【变式训练1】（25-26四年级下·河北邢台·期末）如图，点B在∠A的边上不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，连接则形成的三角形可能是（    ）。 ①直角三角形    ②钝角三角形    ③锐角三角形    ④等腰三角形 A．只有③ B．有③② C．有①②③ D．①②③④ 【变式训练2】（25-26四年级下·陕西榆林·阶段检测）露出的是三角形的一个内角，这个三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错） 考点三 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（24-25四年级下·河南周口·期末）用一根长36厘米的铁丝围成一个三角形，若围成腰长是10厘米的等腰三角形，则底边长是( )厘米，若围成底边长是10厘米的等腰三角形，则一条腰长( )厘米。（铁丝无剩余） 【变式训练1】（24-25四年级下·西藏林芝·期末）一个等腰三角形中两条边分别是4.03米和1.74米，这个等腰三角形的周长是______米。 【变式训练2】（24-25四年级下·陕西商洛·期末）妙妙和妈妈分别拿同样长的两根彩绳给自己制作的风铃进行装饰，妈妈用它围成了一个边长为8厘米的等边三角形，妙妙用它围成了一个底边长是6厘米的等腰三角形，妙妙围成的等腰三角形的腰长是多少厘米？ 考点四 画三角形 【典例精讲】（25-26四年级下·陕西咸阳·期中）在方格纸上分别画一个钝角三角形、一个平行四边形和一个有两条边相等的梯形。 【变式训练1】（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）在点子图上按要求画出图形。 （1）在点子图上找到点C和点D，顺次连接A、B、C、D，使四边形ABCD是一个梯形。 （2）在点子图上找到点E，顺次连接A、B、E，使三角形ABE既是等腰三角形又是直角三角形。 【变式训练2】（24-25四年级下·河南商丘·期中）下图是一个锐角三角形的一部分。 （1）将下图中的三角形补充完整。 （2）将补全的三角形用一条线分为两个直角三角形。 考点五 三角形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，小明不小心将一张三角形纸片剪去了一个角，被剪掉的这个角是多少度？ 【变式训练1】（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）在一个三角形中，一个内角是86°，是另一个内角的2倍，第三个内角是( )°，这是一个( )三角形。 【变式训练2】（25-26四年级下·山东菏泽·阶段检测）公园有一块三角形草地，草地的最大角是120°，是最小角的5倍，这块三角形草地的第三个角是多少度？按角分类，这块草地的形状是什么三角形？ 考点六 多边形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·广东东莞·期末）如图，足球比赛所用的球体表面是由许多黑色和白色的小皮块缝制而成的，足球上一个黑色皮块的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．720° 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西安康·期末）如图，有一个六边形，从A点开始将图形切割成数个三角形，求出这个六边形的内角和是多少？ 【变式训练12一个零件如下图，∠1＝32°，∠2＝25°，∠3＝90°才符合要求，工人师傅在检验时，只量了∠4＝145°，他说这个零件不符合要求。你知道是为什么吗？ 考点七 三角形三边关系 【典例精讲】（25-26四年级下·广东广州·阶段检测）一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边长分别是7厘米和9厘米。第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【变式训练1】（2026四年级下·辽宁·专题练习）一个三角形最小的角是45°，这个三角形按照角分可能是( )三角形，也可能是( )三角形，不可能是( )三角形；一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和12厘米，那么这个三角形的周长是( )厘米。 【变式训练2】（2025四年级下·全国·专题练习）一根长12厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。园园在4厘米处剪了一刀，再在哪个刻度处剪一刀就能围成一个三角形？（边长为整厘米数） 考点八 平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（2026四年级下·辽宁·专题练习）在下面各梯形上画一条直线，将其分成要求的图形。 【变式训练1】（25-26四年级下·四川遂宁·期中）如图，将一个底长8cm的平行四边形，沿高剪下一个直角三角形，然后拼成一个长方形，这个长方形的周长为28cm。这个平行四边形的高是（    ）。 A．8cm B．10cm C．6cm 【变式训练2】如图所示，四边形ABDE是等腰梯形，四边形ABCE是平行四边形，三角形ECD是等腰三角形。已知CD＝2.5厘米，平行四边形ABCE的周长是17厘米，那么等腰梯形ABDE的周长是( )厘米。 考点九 平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（25-26四年级下·江苏·单元复习）如图，剪两根长度相等的长吸管和两根长度相等的短吸管，用线穿起来做成一个长方形，拉成平行四边形，下列说法错误的是（    ）。 A．可以拉成不同的平行四边形 B．周长变了 C．长方形容易变形 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课后作业）谁的篱笆更牢固，为什么？ 【变式训练2】（24-25四年级下·山西吕梁·期中）看一看，想一想，标出各角的度数，你有什么发现？ （1）活动一：笑笑用3根同样长的小棒围三角形。 （2）活动二：奇思用4根同样长的小棒围四边形。 （3）对比上面两个活动，你有什么发现？ 考点十 梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级下·甘肃张掖·阶段检测）按要求在下面各图中分别画一条线段。 【变式训练1】（24-25四年级下·重庆合川·期末）下面是军军家周围的平面图。 (1)数对（3，4）表示公园的位置，学校的位置用数对表示为( )。 (2)一天，军军在户外锻炼。某一时刻，军军的位置与公园、超市、学校恰好围成了一个梯形，用数对表示军军此时可能的一个位置，这个数对是（    ）。请在上图中画出此时围成的梯形。 【变式训练2】数一数。 ( )个平行四边形        ( )个梯形 考点十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级上·河北廊坊·期末）琳琳把两个三角尺的锐角重叠在一起，如图。发现两个三角尺的重叠部分也有一个60°的锐角。阴影部分的四边形是一个( )形。∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠1、∠2、∠3的度数和是( )°。 【变式训练1】（25-26四年级下·江苏·单元复习）如下图，由3个完全一样的等腰三角形拼成的图形是( )，已知三角形的一条腰长为5厘米，如果每个三角形的周长是17厘米，那么拼成的图形的周长是( )厘米。 【变式训练2】（25-26四年级上·陕西安康·期末）按要求画一画。（小方格的边长均表示1cm） （1）增加一个点D，并连接四个点，使四边形ABCD是一个等腰梯形，并标出高。 （2）画一个底长5厘米，高4厘米的平行四边形。 （3）在（2）中所画的平行四边形中画一条线，将其分成一个直角梯形和一个三角形。 考点十二 四边形的分类及关系 【典例精讲】（24-25三年级上·福建泉州·期末）下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一定是正方形的是图（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练1】（23-24四年级上·陕西延安·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形 B．平行四边形的一个角是直角时，这个图形是长方形或正方形 C．角的两边越长，这个角就越大 D．任何一个四边形不是平行四边形，就是梯形 【变式训练2】（25-26四年级上·陕西安康·期末）下图中的a∥b，下面描述错误的是（    ）。 A．线段AC和线段BD长度相等 B．四边形ABEC是等腰梯形 C．四边形ABDC是特殊的平行四边形 1．（25-26四年级下·广东广州·阶段检测）下面的几组线段（单位：厘米），能围成三角形的一组是（    ）。 A．2、8、6 B．10、2、7 C．6、3.1、9 D．5.5、11、5.5 2．（22-23四年级下·广东揭阳·期中）把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（    ）。 A．和 B．和 C．和 3．用10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是（    ）。 A． B． C． 4．（2025四年级下·全国·专题练习）一个等腰三角形的两条边的长度分别是11厘米和5厘米，那么第三条边的长度是（    ）厘米。 A．11 B．7 C．5 5．（2025四年级下·全国·专题练习）一个三角形的一个内角大于另外两个内角之和，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 6．（25-26四年级下·广东广州·阶段检测）若一个多边形的内角和是720°，则它是一个( )边形。 7．（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测）下面是可调节的手机支架示意图，底座、支撑架和手机槽构成一个三角形。 (1)若将支撑架调节成图①的样子，，，则( )；按角分，这是一个( )角三角形。 (2)若将支撑架调节成图②的样子，则变成一个( )角三角形。 8．（25-26四年级下·云南大理·期中）一个等腰三角形的顶角是100°，底角是( )°；另一个等腰三角形一条边是5cm，另一条边是10cm，这个等腰三角形的周长是( )cm。 9．（2024四年级下·辽宁·专题练习） 图中带眼睛的梯形共有( )个。 10．（25-26四年级下·山东枣庄·期中）把一个平行四边形框架拉成一个长方形，它的周长会发生变化。( )（判断对错） 11．（24-25四年级下·重庆永川·期末）有一根长33米的铁丝，截成三段，第一段长8米，第二段长17米，截成的三段铁丝能围成一个等腰三角形。( )（判断对错） 12．（25-26四年级下·广东河源·期中）求∠A的度数。 AC＝BC 13．（25-26四年级下·广东深圳·阶段检测）下图是3块三角形玻璃破碎后的样子，请你算一算它们破碎的角各是多少度？ 14．（25-26四年级下·广东广州·阶段检测）在一个直角三角形中，最大的角的度数是最小的角的3倍。最小的角是多少度？ 15．（25-26四年级下·黑龙江大兴安岭·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”风筝是中国古代劳动人民发明的。在深圳风筝节上，有一个等腰三角形风筝，其中两条边分别长1.2米和2.4米。这个等腰三角形风筝的周长是多少米？ 16．（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测）李爷爷用木条钉栅栏，如图，可是这样很容易变形，文文建议李爷爷再加一根木条（图中灰色木条），这样栅栏就不容易变形了。 (1)文文这样建议的理由是什么？ (2)若图中，。 ①木条围成的三角形按角分是一个（    ）三角形，按边分是一个（    ）三角形。 ②求出图中和的度数。 17．（24-25四年级下·湖北黄冈·期末）某古建筑中有一个等腰三角形窗框，顶角比底角大15°。工匠需要根据角度制作窗框木条，这个等腰三角形的三个内角分别是多少度？若周长是24分米，腰长比底边长3分米，三条边各长多少分米？ 18．（25-26四年级下·全国·课后作业）木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 19．（25-26四年级下·全国·课前预习）如图，用这样的两个三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的周长最大是多少厘米？ 20．（24-25四年级下·山西运城·期末）小芮准备将一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，然后首尾相接摆成一个三角形。 （1）如果按照下图所示的方式将这张纸条剪成三段，（    ）摆成三角形。（填“能”或“不能”） （2）如果按照下图所示的方式剪下第一段，第二段和第三段应该从哪个等分点剪开才能摆成一个三角形？请在下图中用竖线画出来，并说明你的理由。 理由： 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题02认识三角形和四边形 思维导图+知识回顾+十二大考点讲练+真题强化（共56题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 小学数学 四年级/下册 北 师 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 5 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内容强化复习， 讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内 容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。 解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！ 希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 ①一、三角形的概念与表示 ④四、两点间线段最短 ⑥六、三角形的内角和 1三角形的定义 与两点间的距离 ①三角形的内角和是180°。 由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的 蠕点相连)叫做三角形。 两点间所有连线中线段最短， ②在三角形中，已知两个角的度数 ②三角形的组成 这条线段的长度叫做两间的距离 求第三个角的度数： 顶点 用180°连续减去已知的两个角的度数 三角形有3条边、3个角和3个顶点。 ③四边形的内角和是360°。 边 边 ④多边形的内角和公式： 顶点人角 角入顶点 (边数-2)×180 3三角形的表示方法 (1】顶点表示法：用三个大雪字母表示三角形的顶点 3条高都在 1条高在三角形的 条高在三角形 ⑦七、平行四边形 例如，△ABC表示由点A、B、C组成的三角形。 三角形的内部 另外2 在角的外部 三角形的外 ①平行四边形的定义 00-0-00 (3)角度表示法：用三个角的大小表示三角形。 ②特点 例如，三个角分别为∠A、∠B和∠C, 北师大版四年级数学下册 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线 可以用a,B和y表示， 专题02 这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高， 面足所在的边叫做平行四边形的底。 ②二、三角形的性质 A认识三角形 高 三角形具有稳定性，不易变形， 例如：三脚架、房柔加固、斜钉木条固定窗框等 和四边形 底 ③三、三角形的高 ⑤三、三角形的分类 8八、认识梯形 1=鱼形的应知底 ①梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 从三角形的 个顶点到它的对边作一条垂线， 顶点和垂足之间的线 ①按角分类 做三角形的高 ②两疆相等的梯形叫做等暖梯形。等顾梯形两肢相等 这条对边叫做三角形的底。 (1)锐角三角 三个角都是锐角（小于90） 两庄角相等。 2)直角三角形 B底 :有一个角是90°，其余两个角为锐角。 ③梯形内，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。 (3)纯角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°）， 上底 注贲事项： 其余两个角为锐角 三角形的底与高是相对应的，它们是一组 高 \腰 条边上作高 ②按边分类 不等边三角形 下底 ②三角形高的画法 三角形按边分 等腰三角形（两边相等） 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以 8九、平行四边形与梯形的关系 向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形 等边三角形（三边相等） 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 都可以作3条高。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 ☆小贴士·面高时要注意垂直，并标出直角符号。 ·分类时，先按角分，再按边分，或根据髓意选择合适的方法。 ·多阅读形，动手面一面，加深理解和记亿！ 知识梳理温故知新 知识点一：三角形的概念与表示 1.三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连)叫做三角 第2页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 形。 2.三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 顶点 △ 角 边 边 顶点人角 角 顶点 3.三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法 和角度表示法。 ()顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的 顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 (2)边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角 形ABC的三条边分别为AB、BC和AC,可以用a、b和c表示。 (3)角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三 角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用a、B和Y表示。 知识点二：三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高 1.三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫 做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图)。 A 高 底 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这 条高所对应的底。 2.三角形高的画法：因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以 任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。 (如下图) 第3页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 高 高 高 高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 ￥ ￥ ￥ :3条高都在三角形 条高在三角形的内部，男外2条 条高在兰角形的内部，另外 的内部。 :高是三角形的两条直角边。 2条高在三角形的外部。 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类 1.三角形按角分类 (1)锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 (2)直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 (3)钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°)，其余两个角为锐角。 2.三角形按边分类 三角形按边分类 不等边三角形 等腰三角形松 等腰三角形（两边相等）】 等边三角形（三边相等） 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和 1.三角形的内角和是180° 2.在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的 度数或用180°减去这两个角的度数和。 3.四边形的内角和是360°。 4.多边形的内角和公式。 (1)多边形的内角和是180°×（边数一2）。 (2)通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 第4页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 四边形 五边形 边开形 分割 分割 分割 知识点八：认识平行四边形 1,平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形 的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 高 底 知识点九：认识梯形 1.梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2.两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3.梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 上底 高 下底 知识点十：平行四边形与梯形的关系 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 优选题型考点讲练 考点一三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习)如下图，要使四边形木架（用4根木条钉成）不 变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？边形木架呢？ 第5页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练1】(24-25四年级下·安徽阜阳·期末)生活中有很多应用数学知识解决问题的例子， 如图，工人师傅建房时，常用木条固定门框，使其不变形。请用学过的数学知识解释为什么？ 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课前预习)李奶奶要给一块地围上篱笆，有下面四种方案 可以选择，你建议李奶奶选择哪种方案？为什么？ ② ③ ④ 考点二三角形的分类 【典例精讲】(24-25四年级下·重庆合川·期末)三个角都是锐角的三角形叫（)三角形。 A.等边三角形 B.钝角 C.锐角 【变式训练1】(25-26四年级下·河北邢台·期末)如图，点B在∠A的边上不动，点C在∠A的 一条边上可以任意移动，连接BC则形成的三角形可能是()。 ①直角三角形②钝角三角形 ③锐角三角形④等腰三角形 A.只有③ B.有③② C.有①②③ D.①②③④ 【变式训练2】（25-26四年级下·陕西榆林·阶段检测) 露出的是三角形的一个内角，这个 三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错) 第6页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点三等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（24-25四年级下·河南周口·期末)用一根长36厘米的铁丝围成一个三角形，若围成 腰长是10厘米的等腰三角形，则底边长是( )厘米，若围成底边长是10厘米的等腰三角形，则 一条腰长()厘米。（铁丝无剩余） 【变式训练1】（24-25四年级下·西藏林芝·期末)一个等腰三角形中两条边分别是4.03米和1.74 米，这个等腰三角形的周长是米。 【变式训练2】（24-25四年级下·陕西商洛·期末)妙妙和妈妈分别拿同样长的两根彩绳给自己制 作的风铃进行装饰，妈妈用它围成了一个边长为8厘米的等边三角形，妙妙用它围成了一个底边长是6 厘米的等腰三角形，妙妙围成的等腰三角形的腰长是多少厘米？ 考点四画三角形 【典例精讲】(25-26四年级下·陕西咸阳·期中)在方格纸上分别画一个钝角三角形、一个平行四 边形和一个有两条边相等的梯形。 【变式训练1】(24-25四年级下·辽宁沈阳·期末)在点子图上按要求画出图形。 A ● (1)在点子图上找到点C和点D,顺次连接A、B、C、D,使四边形ABCD是一个梯形。 (2)在点子图上找到点E,顺次连接A、B、E,使三角形ABE既是等腰三角形又是直角三角形。 第7页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练2】（24-25四年级下·河南商丘·期中)下图是一个锐角三角形的一部分。 (1)将下图中的三角形补充完整。 (2)将补全的三角形用一条线分为两个直角三角形。 考点五三角形的内角和 【典例精讲】(25-26四年级下·陕西榆林·阶段检测)如图，小明不小心将一张三角形纸片剪去了 一个角，被剪掉的这个角是多少度？ 744° 680 【变式训练1】(25-26四年级下·河南周口·阶段检测)在一个三角形中，一个内角是86°，是另 一个内角的2倍，第三个内角是( )°，这是一个( )三角形。 【变式训练2】（25-26四年级下·山东菏泽·阶段检测)公园有一块三角形草地，草地的最大角是 120°，是最小角的5倍，这块三角形草地的第三个角是多少度？按角分类，这块草地的形状是什么三 角形？ 考点六多边形的内角和 【典例精讲】(24-25四年级下·广东东莞·期末)如图，足球比赛所用的球体表面是由许多黑色和 白色的小皮块缝制而成的，足球上一个黑色皮块的内角和是(）。 A.180° B.360 C.540° D.720° 第8页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西安康·期末)如图，有一个六边形，从A点开始将图形切割 成数个三角形，求出这个六边形的内角和是多少？ 【变式训练12一个零件如下图，∠1=32°，∠2=25°，∠3=90°才符合要求，工人师傅在检验时， 只量了∠4=145°，他说这个零件不符合要求。你知道是为什么吗？ 考点七三角形三边关系 【典例精讲】(25-26四年级下·广东广州·阶段检测)一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中 两条边长分别是7厘米和9厘米。第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【变式训练1】（2026四年级下·辽宁·专题练习)一个三角形最小的角是45°，这个三角形按照 角分可能是( )三角形，也可能是( )三角形，不可能是( )三角形；一个等腰三角形 的两条边长分别是6厘米和12厘米，那么这个三角形的周长是( )厘米。 【变式训练2】（2025四年级下·全国·专题练习)一根长12厘米的铁丝，要把它分成三段，再首 尾相连成一个三角形。园园在4厘米处剪了一刀，再在哪个刻度处剪一刀就能围成一个三角形？（边 长为整厘米数) 012 3 89101112 第9页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点八平行四边形的概念及特点 【典例精讲】(2026四年级下·辽宁·专题练习)在下面各梯形上画一条直线，将其分成要求的图形。 钝角三角形 三角形和 梯形和 和锐角三角形 平行四边形 平行四边形 【变式训练1】（25-26四年级下·四川遂宁·期中)如图，将一个底长8cm的平行四边形，沿高剪 下一个直角三角形，然后拼成一个长方形，这个长方形的周长为28cm。这个平行四边形的高是()。 A.8cm B.10cm C.6cm 【变式训练2】如图所示，四边形ABDE是等腰梯形，四边形ABCE是平行四边形，三角形ECD是等腰 三角形。已知CD=2.5厘米，平行四边形ABCE的周长是17厘米，那么等腰梯形ABDE的周长是（) 厘米。 B 考点九平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】(25-26四年级下·江苏·单元复习)如图，剪两根长度相等的长吸管和两根长度相等 的短吸管，用线穿起来做成一个长方形，拉成平行四边形，下列说法错误的是（)。 A.可以拉成不同的平行四边形 第10页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 B.周长变了 C.长方形容易变形 【变式训练1】(25-26四年级下·全国·课后作业)谁的篱笆更牢固，为什么？ 小张 小王 【变式训练2】(24-25四年级下·山西吕梁·期中)看一看，想一想，标出各角的度数，你有什么 发现？ (1)活动一：笑笑用3根同样长的小棒围三角形。 发现 (2)活动二：奇思用4根同样长的小棒围四边形。 发现 (3)对比上面两个活动，你有什么发现？ 考点十梯形的概念及特点 【典例精讲】(25-26四年级下·甘肃张掖·阶段检测)按要求在下面各图中分别画一条线段。 将长方形分成一个 将平行四边形分成 将梯形分成一个钝角 三角形和一个梯形 两个锐角三角形 三角形和一个直角三角形 第11页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练1】（24-25四年级下·重庆合川·期末)下面是军军家周围的平面图。 (行)8超市 学较 > 6 公园 3 2 1234567891011(列) (1)数对(3,4)表示公园的位置，学校的位置用数对表示为( )。 (2)一天，军军在户外锻炼。某一时刻，军军的位置与公园、超市、学校恰好围成了一个梯形，用数对 表示军军此时可能的一个位置，这个数对是()。请在上图中画出此时围成的梯形。 【变式训练2】数一数。 )个平行四边形 ( )个梯形 考点十一直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】(25-26四年级上·河北廊坊·期末)琳琳把两个三角尺的锐角重叠在一起，如图。发 现两个三角尺的重叠部分也有一个60°的锐角。阴影部分的四边形是一个( )形。∠2= ( )°，∠3=（ )°，∠1、∠2、∠3的度数和是( 3 60° 【变式训练1】(25-26四年级下·江苏·单元复习)如下图，由3个完全一样的等腰三角形拼成的 图形是( ),已知三角形的一条腰长为5厘米，如果每个三角形的周长是17厘米，那么拼成的 图形的周长是( )厘米。 第12页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练2】（25-26四年级上·陕西安康·期末)按要求画一画。（小方格的边长均表示1cm) B A (1)增加一个点D,并连接四个点，使四边形ABCD是一个等腰梯形，并标出高。 (2)画一个底长5厘米，高4厘米的平行四边形。 (3)在（2)中所画的平行四边形中画一条线，将其分成一个直角梯形和一个三角形。 考点十二四边形的分类及关系 【典例精讲】(24-25三年级上·福建泉州·期末)下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一 定是正方形的是图()。 ① ② ③ A.① B.② C.③ D.④ 【变式训练1】（23-24四年级上·陕西延安·期末)下列说法正确的是（)。 A.两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形 B.平行四边形的一个角是直角时，这个图形是长方形或正方形 C.角的两边越长，这个角就越大 D.任何一个四边形不是平行四边形，就是梯形 【变式训练2】(25-26四年级上·陕西安康·期末)下图中的a∥b,下面描述错误的是()。 B a E 第13页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 A.线段AC和线段BD长度相等 B.四边形ABEC是等腰梯形 C.四边形ABDC是特殊的平行四边形 真题汇编能力强化 1.(25-26四年级下·广东广州·阶段检测)下面的几组线段（单位：厘米)，能围成三角形的一组 是()。 A.2、8、6 B.10、2、7 C.6、3.1、9 D.5.5、11、5.5 2.(22-23四年级下·广东揭阳·期中)把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角 三角形的两个锐角分别是()。 A.30°和60 B.45°和45 C.60°和60° 3.用10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是（）。 A.1800% B.900° C.180 4.(2025四年级下·全国·专题练习)一个等腰三角形的两条边的长度分别是11厘米和5厘米，那 么第三条边的长度是（)厘米。 A.11 B.7 C.5 5.(2025四年级下·全国·专题练习)一个三角形的一个内角大于另外两个内角之和，这个三角形是 ()。 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 6.(25-26四年级下·广东广州·阶段检测)若一个多边形的内角和是720°，则它是一个( 边形。 7.(25-26四年级下·陕西西安·阶段检测)下面是可调节的手机支架示意图，底座、支撑架和手机 槽构成一个三角形。 (1)若将支撑架调节成图①的样子，∠1=50°，∠2=80°，则∠3=( )；按角分，这是一个 )角三角形。 (2)若将支撑架调节成图②的样子，则变成一个( )角三角形。 第14页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 8.(25-26四年级下·云南大理·期中)一个等腰三角形的顶角是100°，底角是（ )°； 一个等腰三角形一条边是5cm,另一条边是10cm,这个等腰三角形的周长是( )cm。 9. (2024四年级下·辽宁·专题练习) 图中带眼睛的梯形共有( )个。 10.（25-26四年级下·山东枣庄·期中)把一个平行四边形框架拉成一个长方形，它的周长会发生变 化。( )(判断对错) 11.（24-25四年级下·重庆永川·期末)有一根长33米的铁丝，截成三段，第一段长8米，第二段 长17米，截成的三段铁丝能围成一个等腰三角形。（)（判断对错） 12.（25-26四年级下·广东河源·期中)求∠A的度数。 AC=BC 110° 40° C 13.（25-26四年级下·广东深圳·阶段检测)下图是3块三角形玻璃破碎后的样子，请你算一算它们 破碎的角各是多少度？ MN 609 509 30 40°入 60°N 14.（25-26四年级下·广东广州·阶段检测)在一个直角三角形中，最大的角的度数是最小的角的3 倍。最小的角是多少度？ 第15页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 15.(25-26四年级下·黑龙江大兴安岭·期中)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”风筝是中国 古代劳动人民发明的。在深圳风筝节上，有一个等腰三角形风筝，其中两条边分别长1.2米和2.4米。 这个等腰三角形风筝的周长是多少米？ 16.（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测)李爷爷用木条钉栅栏，如图，可是这样很容易变形，文 文建议李爷爷再加一根木条（图中灰色木条），这样栅栏就不容易变形了。 (1)文文这样建议的理由是什么？ (2)若图中AB=AC,∠1=105°。 ①木条围成的三角形ABC按角分是一个()三角形，按边分是一个()三角形。 ②求出图中∠2和∠3的度数。 17.(24-25四年级下·湖北黄冈·期末)某古建筑中有一个等腰三角形窗框，顶角比底角大15°。 工匠需要根据角度制作窗框木条，这个等腰三角形的三个内角分别是多少度？若周长是24分米，腰长 比底边长3分米，三条边各长多少分米？ 第16页共17页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 18.(25-26四年级下·全国·课后作业)木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边 长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 19.（25-26四年级下·全国·课前预习)如图，用这样的两个三角形拼成一个平行四边形，拼成的平 行四边形的周长最大是多少厘米？ 5厘米 3厘米 4厘米 20.（24-25四年级下·山西运城·期末)小芮准备将一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，然后 首尾相接摆成一个三角形。 (1)如果按照下图所示的方式将这张纸条剪成三段，()摆成三角形。（填“能”或“不能”） 1LL1LLL小 山 。 (2)如果按照下图所示的方式剪下第一段，第二段和第三段应该从哪个等分点剪开才能摆成一个三角 形？请在下图中用竖线画出来，并说明你的理由。 理由： 第17页共17页nullnull2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 四年级/下册 小学数学 专题02 认识三角形和四边形 北 师 大 版 思维导图+知识回顾+十二大考点讲练+真题强化 （共56题） 【解析版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一：三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高 1. 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法：因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类 1. 三角形按角分类 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180° 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八：认识平行四边形 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九：认识梯形 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十：平行四边形与梯形的关系 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 考点一 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（25-26四年级下·全国·课前预习）如下图，要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？ 【答案】1根；2根；3根；（n－3）根。 【思路引导】根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发与和它不相邻的点的连线的条数，即可确定需要再钉上几根木条，可以使该图形不变形。 【规范解答】如图：要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条；五边形木架至少要再钉上2根木条；六边形木架至少要再钉上3根木条；n边形木架至少要再钉上（n－3）根木条。 【变式训练1】（24-25四年级下·安徽阜阳·期末）生活中有很多应用数学知识解决问题的例子，如图，工人师傅建房时，常用木条固定门框，使其不变形。请用学过的数学知识解释为什么？ 【答案】见详解 【思路引导】工人用木条固定长方形门框时，在门框上钉一根斜拉的木条，就和门框的两边构成了一个三角形。由于三角形具有稳定性，这种结构能有效防止门框变形，而原本长方形门框是四边形形态（属于不稳定结构）。据此解答。 【规范解答】答：因为长方形具有不稳定性的特点，而三角形具有稳定性，所以工人师傅建房时，常用木条固定门框。（合理即可） 【变式训练2】（25-26四年级下·全国·课前预习）李奶奶要给一块地围上篱笆，有下面四种方案可以选择，你建议李奶奶选择哪种方案？为什么？ 【答案】我建议李奶奶选择：；理由见详解 【思路引导】依据是三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性，方案①②④中包含四边形，容易变形，而方案③由多个三角形组成，能保持稳固不易变形。 【规范解答】应选择方案③，因为三角形具有稳定性，由三角形组成的篱笆结构比含四边形的结构更牢固。 考点二 三角形的分类 【典例精讲】（24-25四年级下·重庆合川·期末）三个角都是锐角的三角形叫（    ）三角形。 A．等边三角形 B．钝角 C．锐角 【答案】C 【思路引导】按角的分类分为：锐角三角形：三个内角都小于90°；直角三角形：有一个内角等于90°；钝角三角形：有一个内角大于90°。 三角形按三条边的长度分为：三条边长度全都不相等的是不等边三角形；有两条边长度相等的是等腰三角形；三条边长度全部相等的是等边三角形。 【规范解答】A．等边三角形是按边分类的三角形，它的三个角均为60°，属于特殊的锐角三角形，但不是按角分类的，不符合题意。 B．钝角三角形是有一个内角大于90°，与题干“三个角都是锐角”的条件矛盾，排除。 C．“锐角三角形”是三个内角都小于90°，符合要求。 【变式训练1】（25-26四年级下·河北邢台·期末）如图，点B在∠A的边上不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，连接则形成的三角形可能是（    ）。 ①直角三角形    ②钝角三角形    ③锐角三角形    ④等腰三角形 A．只有③ B．有③② C．有①②③ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】①三角形按角分类：有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形；②三角形按边分类：有两条边相等的是等腰三角形；③动态点移动时，三角形的内角和边长会随之改变，可形成不同类型的三角形。结合点C的移动，分析∠B的大小变化和边的长度关系，即可得到结果。 【规范解答】点B固定，点C在∠A的另一条边上移动时： 当点C移动到合适位置时，∠B可以是直角，此时三角形为直角三角形，①可能； 当点C向左移动时，∠B会大于90°，此时三角形为钝角三角形，②可能； 当点C向右移动时，∠B会小于90°，且三个角均为锐角时，此时三角形为锐角三角形，③可能； 当点C移动到AC＝AB的位置时，三角形为等腰三角形，④可能。 因此，①②③④都可能。 【变式训练2】（25-26四年级下·陕西榆林·阶段检测）露出的是三角形的一个内角，这个三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】三个内角都是锐角的三角形，即为锐角三角形。据此进行判断。 【规范解答】因为此三角形只知道一个角为锐角，其他角可能有钝角或直角，也可能都是锐角，所以不一定就是锐角三角形。 故答案为：× 考点三 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（24-25四年级下·河南周口·期末）用一根长36厘米的铁丝围成一个三角形，若围成腰长是10厘米的等腰三角形，则底边长是( )厘米，若围成底边长是10厘米的等腰三角形，则一条腰长( )厘米。（铁丝无剩余） 【答案】 16 13 【思路引导】封闭图形的一周边线的长度就是它的周长。等腰三角形的两腰相等，铁丝长就是它的周长。用铁丝长减去两个腰长，就是等腰三角形的底边长；用铁丝长减去底边长再除以2，就是等腰三角形的一条腰长。据此解答。 【规范解答】底边长： 36－10－10 ＝26－10 ＝16（厘米） 一条腰长： （36－10）÷2 ＝26÷2 ＝13（厘米） 【变式训练1】（24-25四年级下·西藏林芝·期末）一个等腰三角形中两条边分别是4.03米和1.74米，这个等腰三角形的周长是______米。 【答案】9.8 【思路引导】等腰三角形的两条腰长度相等，根据三角形任意两边之和大于第三边的规则判断：若腰长为1.74米，两腰和为1.74＋1.74＝3.48（米），3.48＜4.03，不满足三边关系，这种情况不成立。若腰长为4.03米，两腰和为4.03＋4.03＝8.06（米），8.06＞1.74，满足三边关系。所以等腰三角形的三条边分别是4.03米、4.03米和1.74米，将它们相加即可。 【规范解答】根据分析可得： 4.03＋4.03＋1.74 ＝8.06＋1.74 ＝9.8（米） 【变式训练2】（24-25四年级下·陕西商洛·期末）妙妙和妈妈分别拿同样长的两根彩绳给自己制作的风铃进行装饰，妈妈用它围成了一个边长为8厘米的等边三角形，妙妙用它围成了一个底边长是6厘米的等腰三角形，妙妙围成的等腰三角形的腰长是多少厘米？ 【答案】9厘米 【思路引导】等边三角形三条边都相等，8×3计算出彩绳的长度；等腰三角形两腰相等，已知等腰三角形的底边，可以用彩绳的长度减去底边，求得两条腰的长，再除以2就可以求得等腰三角形的腰长是多少厘米。 【规范解答】彩绳的长度：8×3＝24（厘米） 等腰三角形两条腰的长：24－6＝18（厘米） 等腰三角形腰的长：18÷2＝9（厘米） 答：等腰三角形的腰长是9厘米。 考点四 画三角形 【典例精讲】（25-26四年级下·陕西咸阳·期中）在方格纸上分别画一个钝角三角形、一个平行四边形和一个有两条边相等的梯形。 【答案】见详解 【思路引导】钝角三角形是三角形中最大的角大于直角的三角形；平行四边形是两组对边分别平行且相等的四边形；有两条边相等的梯形是等腰梯形，等腰梯形是只有一组对边平行，且两条腰长度相等的梯形。 【规范解答】钝角三角形：选3个点，让其中最大的角明显大于直角，连接3个点； 平行四边形：画两条等长、平行的对边，连接端点，形成对边平行且相等的四边形； 等腰梯形：画两条平行的水平线段，连接端点，让左右两条腰长度相等。 作图如下： 【变式训练1】（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）在点子图上按要求画出图形。 （1）在点子图上找到点C和点D，顺次连接A、B、C、D，使四边形ABCD是一个梯形。 （2）在点子图上找到点E，顺次连接A、B、E，使三角形ABE既是等腰三角形又是直角三角形。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【思路引导】（1）只有一组对边平行的四边形是梯形，根据梯形定义画图（答案不唯一）； （2）等腰直角三角形的定义是：两条直角边相等的直角三角形，或一个角是直角的等腰三角形。根据等腰直角三角形的定义画图（答案不唯一）。 【规范解答】（1）如图所示： （2）如图所示 【变式训练2】（24-25四年级下·河南商丘·期中）下图是一个锐角三角形的一部分。 （1）将下图中的三角形补充完整。 （2）将补全的三角形用一条线分为两个直角三角形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，据此特征画图。 （2）有一个角是直角的三角形为直角三角形。从顶点向对边画出合适的线，使这条线与对边形成直角即可。 【规范解答】（1）（2）作图如下： 考点五 三角形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，小明不小心将一张三角形纸片剪去了一个角，被剪掉的这个角是多少度？ 【答案】 68度 【思路引导】三角形的内角和是180度 ，已知三角形中两个角的度数，用180度减去这两个角的度数，即可求出被剪掉的第三个角的度数。 【规范解答】180－44－68 ＝136－68 ＝68（度） 答：被剪掉的这个角是68度。 【变式训练1】（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）在一个三角形中，一个内角是86°，是另一个内角的2倍，第三个内角是( )°，这是一个( )三角形。 【答案】 51 锐角 【思路引导】已知一个角86°，是第二个角的2倍，先用除法求出第二个内角度数；三角形内角和180°，用180°减去前两个角得到第三个角；根据三个角大小判断三角形类型：三个角都＜90°是锐角三角形。 【规范解答】86°÷2＝43° 180°－86°－43°＝94°－43°＝51° 所以第三个内角是51°。 三个内角分别是86°、43°、51°，全都小于90°，所以是锐角三角形。 【变式训练2】（25-26四年级下·山东菏泽·阶段检测）公园有一块三角形草地，草地的最大角是120°，是最小角的5倍，这块三角形草地的第三个角是多少度？按角分类，这块草地的形状是什么三角形？ 【答案】36°；钝角三角形 【思路引导】先用草地的最大角除以5，即可计算出最小角的度数，三角形的内角和为180°，因此用180°减最大角的度数后，再减最小角的度数即可得到第三个角的度数，然后再根据三角形按角的分类标准进行解答即可。 【规范解答】 答：这块三角形草地的第三个角是36°，按角分类，这块草地是钝角三角形。 考点六 多边形的内角和 【典例精讲】（24-25四年级下·广东东莞·期末）如图，足球比赛所用的球体表面是由许多黑色和白色的小皮块缝制而成的，足球上一个黑色皮块的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【思路引导】根据题意，如图；在五边形中画辅助线，把五边形分成3个三角形，三角形的内角和是180°，求出五边形的内角和即可。 【规范解答】180°×3＝540° 足球上一个黑色皮块的内角和是540°。 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西安康·期末）如图，有一个六边形，从A点开始将图形切割成数个三角形，求出这个六边形的内角和是多少？ 【答案】720° 【思路引导】三角形的内角和是180° ，从A点分割这个六边形，一共可以分出4个三角形，这个六边形的所有内角和，正好等于这4个三角形的内角和总和。 【规范解答】4×180°＝720° 答：这个六边形的内角和是720°。 【变式训练12一个零件如下图，∠1＝32°，∠2＝25°，∠3＝90°才符合要求，工人师傅在检验时，只量了∠4＝145°，他说这个零件不符合要求。你知道是为什么吗？ 【答案】不符合；理由见详解 【思路引导】四边形的内角和是360°，周角为360°，可求出∠4的度数，然后和测量的∠4度数进行比较，即可知道是否合格。 【规范解答】∠4＝360°－（360°－∠1－∠2－∠3） ＝360°－（360°－32°－25°－90°） ＝360°－213° ＝147° 而测得∠4＝145°。 答：这个零件不符合要求。 考点七 三角形三边关系 【典例精讲】（25-26四年级下·广东广州·阶段检测）一个三角形的三条边长都是整厘米数，其中两条边长分别是7厘米和9厘米。第三条边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【答案】 15 3 【思路引导】根据三角形的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来求解。 【规范解答】7＋9＝16（厘米） 9－7＝2（厘米） 第三条边大于2厘米小于16厘米，三条边都是整厘米数，所以 最长是：16－1＝15（厘米） 最短是：2＋1＝3（厘米） 【变式训练1】（2026四年级下·辽宁·专题练习）一个三角形最小的角是45°，这个三角形按照角分可能是( )三角形，也可能是( )三角形，不可能是( )三角形；一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和12厘米，那么这个三角形的周长是( )厘米。 【答案】 锐角 直角 钝角 30 【思路引导】三角形的内角和为180°，已知最小的角是45°，因此剩下两个角的和是：，且第二小的角不小于45°，因此最大角＝第二小的角≤90°；若最大角＜90°，就是锐角三角形；若最大角＝90°，就是直角三角形；最大角＞90°，那第二小的角就会小于45°，和题干矛盾，因此不可能是钝角三角形；据此解答。 根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”：如果腰长是6厘米，，不满足三边关系，不能构成三角形；因此腰长只能是12厘米，底为6厘米，据此计算。 【规范解答】根据分析可得： 一个三角形最小的角是45°，这个三角形按照角分可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，不可能是钝角三角形； （厘米） 因此，一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和12厘米，那么这个三角形的周长是30厘米。 【变式训练2】（2025四年级下·全国·专题练习）一根长12厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。园园在4厘米处剪了一刀，再在哪个刻度处剪一刀就能围成一个三角形？（边长为整厘米数） 【答案】可以在7厘米处或8厘米处或9厘米处剪一刀 【思路引导】已知条件可求出其余两条线段的长度之和即为（厘米）；找出和为8的两个非零自然数，继而得出其余两条线段的长度；接下来找出能与4厘米围成三角形的一组线段长，由此可求出答案。 【规范解答】（厘米）    ，，不能围成三角形。 ，，不能围成三角形。 能围成三角形的三段可以是4厘米、3厘米和5厘米或4厘米、4厘米和4厘米，所以可以在7厘米或8厘米或9厘米处剪一刀。 【考点剖析】本题考查的是三角形边的关系，解题的关键是明白两边之和大于第三边。 考点八 平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（2026四年级下·辽宁·专题练习）在下面各梯形上画一条直线，将其分成要求的图形。 【答案】 （画法不唯一） 【思路引导】（1）三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。过梯形上底的一个顶点，画一条线段连接这个顶点和下底的一个顶点，即可将其分成一个钝角三角形和一个锐角三角形； （2）平行四边形对边平行且相等。要想将一个梯形分成一个三角形和一个平行四边形，过梯形上底的一个顶点，作腰的平行线，即可把梯形分成一个三角形和一个平行四边形； （3）只有一组对边平行的四边形是梯形。要想将一个梯形分成一个梯形和一个平行四边形，过梯形上底的一点，作腰的平行线，即可把梯形分成一个梯形和一个平行四边形。 【规范解答】略 【变式训练1】（25-26四年级下·四川遂宁·期中）如图，将一个底长8cm的平行四边形，沿高剪下一个直角三角形，然后拼成一个长方形，这个长方形的周长为28cm。这个平行四边形的高是（    ）。 A．8cm B．10cm C．6cm 【答案】C 【思路引导】拼成长方形后，长方形的长等于原平行四边形的底（8cm），长方形的宽等于原平行四边形的高。根据长方形周长＝（长＋宽）×2，已知周长是28cm，可得：长＋宽＝28÷2＝14cm，再减去8，计算宽（即平行四边形的高）的长度即可。 【规范解答】28÷2－8 ＝14－8 ＝6（cm） 如图，将一个底长8cm的平行四边形，沿高剪下一个直角三角形，然后拼成一个长方形，这个长方形的周长为28cm。这个平行四边形的高是6cm。 【变式训练2】如图所示，四边形ABDE是等腰梯形，四边形ABCE是平行四边形，三角形ECD是等腰三角形。已知CD＝2.5厘米，平行四边形ABCE的周长是17厘米，那么等腰梯形ABDE的周长是( )厘米。 【答案】19.5 【思路引导】根据题意，平行四边形ABCE的周长17cm＝AB×2＋BC×2，根据四边形ABDE是等腰梯形，则AB＝DE，所以平行四边形ABCE的周长＝DE×2＋BC×2，等腰梯形ABDE的周长＝DE×2＋AE＋BD，BD＝BC＋2.5，即等腰梯形ABDE的周长＝DE×2＋AE＋BC＋2.5，根据四边形ABCE是平行四边形AE＝BC，所以等腰梯形ABDE的周长DE×2＋BC×2＋2.5，由此解答。 【规范解答】由分析可知：平行四边形ABCE的周长＝DE×2＋BC×2＝17cm 等腰梯形ABDE的周长＝DE×2＋BC×2＋2.5 ＝17＋2.5 ＝19.5（cm） 【考点剖析】本题考查梯形周长的计算，正确地观察图形之间存在的相等关系是解决本题的关键。 考点九 平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（25-26四年级下·江苏·单元复习）如图，剪两根长度相等的长吸管和两根长度相等的短吸管，用线穿起来做成一个长方形，拉成平行四边形，下列说法错误的是（    ）。 A．可以拉成不同的平行四边形 B．周长变了 C．长方形容易变形 【答案】B 【思路引导】四边形具有不稳定性，长方形拉成平行四边形，可以拉成不同的平行四边形。长方形的长是平行四边形的底，长方形的宽是平行四边形的另一组对边，四边条的长度不变，所以周长不变。 【规范解答】A．平行四边形具有不稳定性，容易变形，可以拉成不同的平行四边形。可以拉成不同的平行四边形说法正确。 B．长方形拉成平行四边形，周长不变。周长变了说法错误。 C．四边形都具有不稳定性，容易变形。长方形容易变形说法正确。 【变式训练1】（25-26四年级下·全国·课后作业）谁的篱笆更牢固，为什么？ 【答案】小王的篱笆更牢固，因为三角形具有稳定性。 【思路引导】根据三角形的特性：三角形具有稳定性；据此进行分析。 【规范解答】小张的篱笆是由多个长方形组成的，小王的篱笆是由多个三角形组成的，三角形具有稳定性，所以小王的篱笆更牢固。 答：小王的篱笆更牢固，因为三角形具有稳定性。 【变式训练2】（24-25四年级下·山西吕梁·期中）看一看，想一想，标出各角的度数，你有什么发现？ （1）活动一：笑笑用3根同样长的小棒围三角形。 （2）活动二：奇思用4根同样长的小棒围四边形。 （3）对比上面两个活动，你有什么发现？ 【答案】见详解 【思路引导】（1）（2）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此量出各个角的度数。观察发现，拼成的三角形只有一种，拼成的四边形有有很多种。 （3）通过对比，围绕内角和以及三角形的稳定性、四边形的不稳定性提出合理发现即可。 【规范解答】 （3）对比上面两个活动，我发现用3根同样长的小棒只能拼成一种三角形，而用4根同样长的小棒能拼成很多种四边形。进而可知三角形具有稳定性，而四边形有易变形性。三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°。（答案不唯一） 考点十 梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级下·甘肃张掖·阶段检测）按要求在下面各图中分别画一条线段。 【答案】见详解； 【思路引导】有一个钝角的三角形叫做钝角三角形，有一个直角的三角形叫做直角三角形，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形，据此画图，图一答案不唯一。 【规范解答】 【变式训练1】（24-25四年级下·重庆合川·期末）下面是军军家周围的平面图。 (1)数对（3，4）表示公园的位置，学校的位置用数对表示为( )。 (2)一天，军军在户外锻炼。某一时刻，军军的位置与公园、超市、学校恰好围成了一个梯形，用数对表示军军此时可能的一个位置，这个数对是（    ）。请在上图中画出此时围成的梯形。 【答案】(1)（9，7） (2)（2，4）；（答案不唯一） 【思路引导】数对书写规则为（列数，行数）；梯形判定标准是只有一组对边互相平行的四边形。已知地点坐标：超市（2，7）、公园（3，4）、学校（9，7）。超市与学校同在第7行，两点连线为水平平行线，要围成梯形，只需选取一个点，使该点与公园的连线和这条水平线不平行，保证图形仅一组对边平行即可。 【规范解答】（1）观察平面图，学校在第9列、第7行，数对表示为（9，7）。 （2）示例选取军军位置（2，4）。 四点依次为超市（2，7）、学校（9，7）、军军（2，4）、公园（3，4），上下两条水平线段互相平行，左右两条斜边不平行，符合梯形定义； 画图方法：顺次连接超市、学校、军军、公园四个点，闭合图形即为梯形。图略 （11，4）、（5，4）等均可。（答案不唯一） 【变式训练2】数一数。 ( )个平行四边形        ( )个梯形 【答案】 3 9 考点十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级上·河北廊坊·期末）琳琳把两个三角尺的锐角重叠在一起，如图。发现两个三角尺的重叠部分也有一个60°的锐角。阴影部分的四边形是一个( )形。∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠1、∠2、∠3的度数和是( )°。 【答案】 直角梯形 15 120 180 【思路引导】三角尺的两种类型，等腰直角三角尺：90°、45°、45°，直角三角尺：90°、60°、30°； 观察阴影四边形，有两个直角，一组对边平行，是直角梯形； ∠1是等腰直角三角尺的锐角，所以∠1＝45°； ∠2就是等腰直角三角尺的45°角减去直角三角尺的30°角； 用加法求∠1、∠2、∠3的度数和，据此解答。 【规范解答】根据分析可知：阴影部分的四边形是一个直角梯形； ∠3：180°－60°＝120°； ∠2：45°－30°＝15°； ∠1为45°， 45°＋120°＋15° ＝165°＋15° ＝180° 所以∠1、∠2、∠3的度数和180°。 【变式训练1】（25-26四年级下·江苏·单元复习）如下图，由3个完全一样的等腰三角形拼成的图形是( )，已知三角形的一条腰长为5厘米，如果每个三角形的周长是17厘米，那么拼成的图形的周长是( )厘米。 【答案】 等腰梯形 31 【思路引导】观察图可知，梯形是由3个完全一样的等腰三角形拼成的，三角形的一条腰长度为5厘米，且每个三角形的周长是17厘米，可用三角形的周长减去两条腰的长度，即17－5×2，得到底边的长度7厘米；从图中可知：梯形的上底是三角形的底，即7厘米，下底是2个底，即7×2，得14厘米，梯形的腰就是三角形的腰，即5厘米；所以该梯形为等腰梯形；求梯形的周长，就是求围成梯形的四条边的长度和。据此解答。 【规范解答】拼成的梯形的腰是三角形的腰，所以该梯形为等腰梯形， 17－5×2 ＝17－10 ＝7（厘米） 7＋7×2＋5×2 ＝7＋14＋10 ＝31（厘米） 所以，拼成的梯形的周长是31厘米。 【变式训练2】（25-26四年级上·陕西安康·期末）按要求画一画。（小方格的边长均表示1cm） （1）增加一个点D，并连接四个点，使四边形ABCD是一个等腰梯形，并标出高。 （2）画一个底长5厘米，高4厘米的平行四边形。 （3）在（2）中所画的平行四边形中画一条线，将其分成一个直角梯形和一个三角形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）画等腰梯形时，要保证两腰长度相等且只有一组对边平行，不要画成平行四边形。 （2）平行四边形的高是上下底的垂直距离，要确保高的长度为4格，底长度为5格。 （3）分割平行四边形时，线段的端点要落在平行四边形的顶点和对边上，确保分割出的直角梯形有两个直角。 【规范解答】（1）等腰梯形的特点：一组对边平行，另一组对边长度相等。已知AB为上底，长2厘米，要让CD作为下底并且AD＝BC。由图可知，C在B的左侧2格处，所以点D应在A的右侧2格处，与C在同一条直线上，连接AD、CD，就可得到等腰梯形ABCD；过点B向下底作垂线段，交CD于点H，BH就是等腰梯形ABCD的高。 （2）平行四边形的特点：两组对边分别平行并且相等。先确定一点C，向右横向数5个小格，画出一条5厘米的线段作为底，端点为D。从C点向上数4个小格，确定一个点B（与C不在一条直线上），再画出与底平行并且长度为5个小格的对边，端点为A，最后连接两边的端点BC、AD，形成平行四边形ABCD。（答案不唯一） （3）过平行四边形的一个端点D，向对边作垂线段，交AB于点E，这条线段会把平行四边形分成一个直角梯形和一个三角形。 考点十二 四边形的分类及关系 【典例精讲】（24-25三年级上·福建泉州·期末）下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一定是正方形的是图（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【思路引导】四个角都是直角且四条边都相等的四边形是正方形；两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形，一腰垂直于底的梯形叫直角梯形；据此分析每个选项。 【规范解答】 A．，可能是长方形，正方形，直角梯形，不符合； B．，可能是长方形，直角梯形，不符合； C．，一定是正方形；符合； D．，可能是长方形，正方形，直角梯形或者是有一个直角的普通四边形；不符合。 故答案为：C 【变式训练1】（23-24四年级上·陕西延安·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形 B．平行四边形的一个角是直角时，这个图形是长方形或正方形 C．角的两边越长，这个角就越大 D．任何一个四边形不是平行四边形，就是梯形 【答案】B 【思路引导】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，把平行四边形对角连线会分成两个完全相同的三角形； 平行四边形的两组对边分别平行且相等，对角相等；两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形是长方形；正方形两组对边分别平行且相等、四个角都是直角； 角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大，叉开得越小，角越小； 四边形的特点：四边形就是四条线段围成的图形，有四条边，四个角；只有一组对边平行的四边形是梯形；不存在对边平行的四边形是不规则四边形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形四边形；除了梯形和平行四边形之外，还有很多，如长方形、正方形、 【规范解答】 A．两个完全一样的直角三角形才能拼成一个平行四边形，如图：这两个直角三角形就不能拼成一个平行四边形；原题说法不正确，不符合题意； B．长方形与平行四边形不同的是长方形的四个角都是直角，如果平行四边形的一个角是直角，那么其他三个角也是直角，这就符合长方形的特征，就是长方形了，当原来的平行四边形的邻边也相等时，它就成为一个正方形，所以原题说法正确，符合题意。 C．角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关；原题说法不正确，不符合题意； D．如图：，除了梯形和平行四边形是四边形之外，还有很多，如长方形、正方形、不规则四边形等；原题说法不正确，不符合题意。 故答案为：B 【变式训练2】（25-26四年级上·陕西安康·期末）下图中的a∥b，下面描述错误的是（    ）。 A．线段AC和线段BD长度相等 B．四边形ABEC是等腰梯形 C．四边形ABDC是特殊的平行四边形 【答案】B 【思路引导】平行线间的垂线段长度相等；只有一组对边平行的四边形是梯形，两条腰相等的梯形是等腰梯形；两组对边平行且相等的四边形是平行四边形，长方形是特殊的平行四边形（因为四个角是直角）。据此逐项判断各选项的描述是否错误从而选择。 【规范解答】A．已知a∥b，AC、BD都是这两条平行线之间的垂线段。根据“平行线间的垂线段长度相等”，所以AC＝BD，A描述正确。 B．四边形ABEC中，AB∥CE（因为a∥b），且只有一组对边平行，符合“梯形”的定义；同时，AC和BE是梯形的腰，而AC＝BD（选项A已证），但BE是斜线、AC是垂线段，AC≠BE，因此不是等腰梯形，B描述错误。 C．四边形ABDC中，AB∥CD（因为a∥b），且AC∥BD（均垂直于b），所以是平行四边形；又因为AC⊥CD，所以它是长方形（特殊的平行四边形），C描述正确。 1．（25-26四年级下·广东广州·阶段检测）下面的几组线段（单位：厘米），能围成三角形的一组是（    ）。 A．2、8、6 B．10、2、7 C．6、3.1、9 D．5.5、11、5.5 【答案】C 【思路引导】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，逐个分析判断每个选项即可。 【规范解答】A．2＋6＝8，两条较短线段之和等于最长线段，不能围成三角形，此选项错误； B．2＋7＝9＜10，两条较短线段之和小于最长线段，不能围成三角形，此选项错误； C．3.1＋6＝9.1＞9，两条较短线段之和大于最长线段，能围成三角形，此选项正确； D．5.5＋5.5＝11，两条较短线段之和等于最长线段，不能围成三角形，此选项错误。 2．（22-23四年级下·广东揭阳·期中）把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（    ）。 A．和 B．和 C．和 【答案】A 【思路引导】等边三角形的三个内角都相等，三角形的内角和是180°，将180°平均分成3份，每份的度数就是等边三角形每个内角的度数，即180÷3＝60°，所以等边三角形的三个内角都是60°； 把这个等边三角形分成两个直角三角形后，其中的一个锐角是60°，则另一个锐角是90°－60°＝30°，据此解答。 【规范解答】180°÷3＝60° 90°－60°＝30° 所以其中一个直角三角形中的两个锐角分别是30°和60°。 3．（2014四年级·全国·课后作业）用10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】放大镜只会放大三角形边的长度，不会改变角的度数，而任意三角形的内角和固定为180°，因此放大后三角形的内角和还是180°。 【规范解答】用10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形的内角和是180°。 4．（2025四年级下·全国·专题练习）一个等腰三角形的两条边的长度分别是11厘米和5厘米，那么第三条边的长度是（    ）厘米。 A．11 B．7 C．5 【答案】A 【思路引导】等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形。根据已知边长可能作为腰或底边的情况，分两种可能性分析。由三角形任意两边之和大于第三边排除不满足条件的情况。若假设两条相等的边为5厘米，则无法满足三角形三边关系，因此只能以11厘米为腰长，5厘米为底边。验证：，满足任意两边之和大于第三边的条件。 【规范解答】选项A：三边长为11厘米、11厘米、5厘米，满足等腰三角形的条件且满足任意两边之和大于第三边的条件，选项正确； 选项B：三边长为11厘米、5厘米、7厘米，不满足等腰三角形的条件，选项错误； 选项C：三边长为11厘米，5厘米，5厘米，满足等腰三角形的条件，但，不满足任意两边之和大于第三边的条件，选项错误。 故答案选：A 【考点剖析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的应用，结合相应知识点得出答案。 5．（2025四年级下·全国·专题练习）一个三角形的一个内角大于另外两个内角之和，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 【答案】C 【思路引导】三角形的内角和是180˚，若三角形的两个内角和等于第三个角，则第三个角为：。而这个三角形中，一个内角大于另外两个内角之和，这个角应大于90˚，是个钝角，据此解答。 【规范解答】一个三角形的一个内角大于另外两个内角之和，这个三角形是钝角三角形。 故答案为：C 【考点剖析】解决本题的关键是灵活运用三角形的内角和，求出这个角是个钝角，再根据三角形的分类解答。 6．（25-26四年级下·广东广州·阶段检测）若一个多边形的内角和是720°，则它是一个( )边形。 【答案】六 【思路引导】多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°；用内角和除以180°再加上2就是多边形的边数。 【规范解答】720°÷180°＝4，4＋2＝6，所以一个多边形的内角和是720°时，它是六边形。 7．（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测）下面是可调节的手机支架示意图，底座、支撑架和手机槽构成一个三角形。 (1)若将支撑架调节成图①的样子，，，则( )；按角分，这是一个( )角三角形。 (2)若将支撑架调节成图②的样子，则变成一个( )角三角形。 【答案】(1) 50 锐 (2)钝 【思路引导】根据三角形的内角和180°，计算出∠3的度数，根据三个角的度数可以判断出三角形的类型；根据图②三角形的样子，观察三个角的形状，判断三角形的类型。三角形类型按角分：1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90°；2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90°；3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90°且小于180°。 【规范解答】（1）180°－50°－80° ＝130°－80° ＝50° ∠3＝50°，三个角均小于90°，所以按角分类，这是一个锐角三角形。 （2）图②的三角形，观察图形可知，有一个角大于90°且小于180°，所以图3是一个钝角三角形。 8．（25-26四年级下·云南大理·期中）一个等腰三角形的顶角是100°，底角是( )°；另一个等腰三角形一条边是5cm，另一条边是10cm，这个等腰三角形的周长是( )cm。 【答案】 40 25 【思路引导】三角形内角和是180度，等腰三角形两个底角都相等，用内角和减去顶角的度数，再除以2，就可以计算出底角的度数； 等腰三角形的两条边相等，那么另一条边可能是5cm，也可能是10cm；根据三角形三边关系，两边之和必须大于第三边，由此确认第三条边的长度，最后把三条边长度相加即可。 【规范解答】（180－100）÷2＝80÷2＝40（度），底角是40度； 假如第三条边是5厘米，5＋5＝10（cm），10＝10，不能围成三角形； 假如第三条边是10厘米，5＋10＝15（cm），15＞10，能围成三角形； 三角形的周长：5＋10×2＝5＋20＝25（cm）。 9．（2024四年级下·辽宁·专题练习） 图中带眼睛的梯形共有( )个。 【答案】16 【思路引导】以一个小梯形为单位，分别计算。（1）1个小梯形组成的带眼睛的梯形有1个。（2）2个小梯形组成的带眼睛的梯形有4个。（3）3个小梯形组成的带眼睛的梯形有2个。（4）4个小梯形组成的带眼睛的梯形有4个。（5）6个小梯形组成的带眼睛的梯形有4个。（6）9个小梯形组成的带眼睛的梯形有1个。 【规范解答】1＋4＋2＋4＋4＋1 ＝5＋2＋4＋4＝1 ＝7＋4＋4＋1 ＝11＋4＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 图中带眼睛的梯形共有16个。 10．（25-26四年级下·山东枣庄·期中）把一个平行四边形框架拉成一个长方形，它的周长会发生变化。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】周长是围成图形所有边的长度和。把平行四边形框架拉成长方形时，框架的四条边长度没有发生改变，因此周长不变。 【规范解答】把一个平行四边形框架拉成一个长方形，它的周长不会发生变化。原题说法错误。 故答案为：× 11．（24-25四年级下·重庆永川·期末）有一根长33米的铁丝，截成三段，第一段长8米，第二段长17米，截成的三段铁丝能围成一个等腰三角形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】用总长度减去前两段长度求出第三段长度，观察三边长度，看是否有两条边相等判断是否等腰，用三角形两边之和大于第三边验证能否围成三角形。 【规范解答】33－8－17 ＝25－17 ＝8（米） 三边长度8米、17米、8米；8＝8存在两条相等边；8＋8＝16，16＜17不满足两边之和大于第三边，无法围成三角形。说法错误。 故答案为：× 12．（25-26四年级下·广东河源·期中）求∠A的度数。 AC＝BC 【答案】70° 【思路引导】因为AC＝BC，所以三角形ABC是等腰三角形，即∠A＝∠ABC，从图中可以看出∠ABC与110°的角组成平角，因此，用180°减去110°即可解答。 【规范解答】因为AC＝BC，所以三角形ABC是等腰三角形。 ∠A＝∠ABC＝180°－110°＝70° 13．（25-26四年级下·广东深圳·阶段检测）下图是3块三角形玻璃破碎后的样子，请你算一算它们破碎的角各是多少度？ 【答案】110°；60°；40° 【思路引导】三角形内角和是180°，直角度数是90°。根据三角形内角和与已知角的度数计算破碎的角度数。 【规范解答】180°－30°－40° ＝150°－40° ＝110° 180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° 180°－50°－90° ＝130°－90° ＝40° 14．（25-26四年级下·广东广州·阶段检测）在一个直角三角形中，最大的角的度数是最小的角的3倍。最小的角是多少度？ 【答案】30° 【思路引导】根据直角三角形的特征，直角三角形中最大的角是直角，度数为90°。题目已知最大的角的度数是最小的角的3倍，即最小角的3倍是90°，求最小角的度数，用除法计算。 【规范解答】则最小的角的度数为： 90÷3＝30° 答：最小的角是30°。 15．（25-26四年级下·黑龙江大兴安岭·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”风筝是中国古代劳动人民发明的。在深圳风筝节上，有一个等腰三角形风筝，其中两条边分别长1.2米和2.4米。这个等腰三角形风筝的周长是多少米？ 【答案】6米 【思路引导】先根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断哪条边是腰、哪条边是底，再计算周长。如果假设腰长为1.2米，那么两条腰的和为1.2＋1.2＝2.4米，不满足三角形三边关系；因此只能是腰长为2.4米，底边长为1.2米，再将三条边的长度相加即可得到周长。 【规范解答】若腰长为1.2米，1.2＋1.2＝2.4，不满足“两边之和大于第三边”，舍去； 若腰长为2.4米，2.4＋2.4＞1.2，2.4＋1.2＞2.4，符合三边关系。 2.4＋2.4＋1.2＝6（米） 答：这个等腰三角形风筝的周长是6米。 16．（25-26四年级下·陕西西安·阶段检测）李爷爷用木条钉栅栏，如图，可是这样很容易变形，文文建议李爷爷再加一根木条（图中灰色木条），这样栅栏就不容易变形了。 (1)文文这样建议的理由是什么？ (2)若图中，。 ①木条围成的三角形按角分是一个（    ）三角形，按边分是一个（    ）三角形。 ②求出图中和的度数。 【答案】(1)三角形具有稳定性 (2)① 锐角；等腰 ② ∠2＝75°，∠3＝30° 【思路引导】（1）四边形容易变形，具有不稳定性；三角形不容易变形，具有稳定性。加一根木条将四边形分成两个三角形，利用了三角形的稳定性。 （2）已知AB＝AC，所以按边分是等腰三角形；∠1和∠ABC组成平角，用180°减去∠1的度数，求出∠ABC的度数，∠2＝∠ABC，再用180°减去2个底角，求出顶角∠3。三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。在三角形中，两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 【规范解答】（1）答：文文这样建议的理由是三角形具有稳定性。 （2）若图中AB＝AC，∠1＝105°。 ①木条围成的三角形ABC按角分是一个锐角三角形，按边分是一个等腰三角形。 ②∠ABC＝180°－105°＝75° ∠2＝∠ABC＝75° ∠3＝180°－75°－75°＝105°－75°＝30° 答：∠2的度数是75°，∠3的度数是30°。 17．（24-25四年级下·湖北黄冈·期末）某古建筑中有一个等腰三角形窗框，顶角比底角大15°。工匠需要根据角度制作窗框木条，这个等腰三角形的三个内角分别是多少度？若周长是24分米，腰长比底边长3分米，三条边各长多少分米？ 【答案】55°、55°、70°；腰长9分米，底边长6分米。 【思路引导】等腰三角形的两个底角相等，两条腰的长度相等。三角形的内角和是180°，用180°减去15°算出结果，再除以3，就是底角的度数。再用底角的度数加上15°就是顶角的度数。 用周长减去两个3分米。算出结果再除以3，就是底边的长。再加上3分米就是腰长。 【规范解答】（180°－15°）÷3 ＝165°÷3 ＝55° 55°＋15°＝70° （24－2×3）÷3 ＝（24－6）÷3 ＝18÷3 ＝6（分米） 6＋3＝9（分米） 答：这个等腰三角形的三个内角分别是55°、55°、70°。腰长9分米，底边长6分米。 18．（25-26四年级下·全国·课后作业）木匠王叔叔要用木条做一个等腰三角形的框架，它的一条边长是5分米，另一条边长是9分米。王叔叔至少需要多长的木条？ 【答案】19分米 【思路引导】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算两种情况下，需要木条的总长度并比较得出最小值。 等腰三角形两条腰长度相等，情况一：若腰长为5分米，则另一条腰长也为5分米，底边长为9分米。根据三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，再计算木条的总长度。三条边长度分别为5分米，5分米，9分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度； 情况二：若腰长为9分米，则另一条腰长也为9分米，底边长为5分米。同样根据三角形三边关系判断能否构成三角形，三条边长度分别为9分米，9分米，5分米，因为（分米），，满足两边之和大于第三边，再把三条边的长度相加即可算出木条的总长度，据此解答。 【规范解答】情况一：木条的总长度为： （分米） 情况二：木条的总长度为： （分米） 答：王叔叔至少需要19分米的木条。 【考点剖析】先确定等腰三角形的腰长和底边长的两种可能情况，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算木条的总长度，是解题的关键。 19．（25-26四年级下·全国·课前预习）如图，用这样的两个三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的周长最大是多少厘米？ 【答案】18厘米 【思路引导】观察图形可知，用图中两个三角形拼成一个平行四边形，有三种不同的拼接方式，可以用5厘米和4厘米的边作为平行四边形的边长，也可以用5厘米和3厘米的边作为平行四边形的边长，还有可以用3厘米和4厘米的边作为平行四边形的边长，将三种方法用四个边相加来求出周长，然后进行比较，则可解答此题。 【规范解答】由分析可知： 当5厘米和4厘米的边作为平行四边形的边长时：5＋5＋4＋4＝18（厘米） 当5厘米和3厘米的边作为平行四边形的边长时：5＋5＋3＋3＝16（厘米） 当3厘米和4厘米的边作为平行四边形的边长时：3＋3＋4＋4＝14（厘米） 18厘米＞16厘米＞14厘米 答：拼成的平行四边形的周长最大是18厘米。 20．（24-25四年级下·山西运城·期末）小芮准备将一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，然后首尾相接摆成一个三角形。 （1）如果按照下图所示的方式将这张纸条剪成三段，（    ）摆成三角形。（填“能”或“不能”） （2）如果按照下图所示的方式剪下第一段，第二段和第三段应该从哪个等分点剪开才能摆成一个三角形？请在下图中用竖线画出来，并说明你的理由。 理由： 【答案】（1）不能 （2）见详解 【思路引导】（1）观察图可知：一张被等分成8份的彩色卡纸条剪成三段，第一段是4份，第二段是2份，第三段是2份，三角形任意两边之和大于第三边，据此判断； （2）先确定剩余份数，再通过尝试不同分法，找到满足三角形三边关系的剪法即可。 【规范解答】（1）由分析可知：2＋2＝4 不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以不能摆成三角形。 （2）纸条共8份，截下第一段后剩余6份。要摆成三角形，需满足任意两边之和大于第三边。将6份分成两段，有下面几种可能： 1份和5份：1＋2＜5，不符合三角形三边关系； 2份和4份：2＋2＝4，不符合三角形三边关系； 3份和3份：2＋3＞3，符合三角形三边关系； 围成三角形的三段长度为2份、3份、3份，所以将6份从中间等分点剪开。 【考点剖析】掌握三角形任意两边之和大于第三边，是解题的关键。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $