（复习篇）专题05 图形的密铺与优化问题【思维导图+知识卡片+知识梳理+四大考点讲练+真题强化 共36题】-2026-2027学年北师大版数学四升五年级暑假衔接金牌讲义

2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 四年级/下册 小学数学 专题05 图形的密铺与优化问题 北 师 大 版 思维导图+知识回顾+四大考点讲练+真题强化 （共36题） 【解析版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 图形的密铺 定义：用一种或多种图形既无空隙、又不重叠地铺在平面上，这种铺法就是密铺。 原理：图形能够密铺的关键在于，拼接点处所有角的度数之和必须恰好为360°。 可密铺的图形： 单独密铺：任意三角形、任意四边形、正方形、正六边形都可以单独进行密铺。 组合密铺：一些不能单独密铺的图形（如正五边形），可以通过与其他图形组合的方式实现密铺。 不可密铺的图形：圆形和正五边形无法单独密铺。以正五边形为例，其内角为108°，无论几个角拼在一起都无法恰好组成360°。 知识点二 奥运中的数学 知识应用：将数学知识应用于解决奥运会中的实际问题，感受数学与体育的结合。 小数运算：熟练运用小数的加减法来计算比赛成绩。例如，计算田径比赛中运动员的成绩差，或射击、跳水等项目中选手的总分与分差。 数据分析：根据比赛数据（如时间、分数）判断赛场情况。例如，通过成绩差距的大小来推断冲刺时选手间的距离远近。 知识点三 沏茶问题 核心思想：初步体会运筹学中的“优化”思想，即如何科学、合理地安排时间。 解题策略： 1.明确顺序：分析完成一项任务需要做的所有事情，并确定哪些步骤有先后顺序（例如，必须先接水才能烧水）。 2.同时进行：找出哪些事情可以同时做（例如，在烧水的同时可以洗茶杯、找茶叶）。 目标：通过合理安排流程，找到用时最少的“最优方案”，从而节省时间，提高效率。 知识点四 烙饼问题 核心思想：同样是“优化”思想的应用，重点在于如何在资源有限（锅的大小固定）的情况下，使总基本规则：通常设定为锅里每次最多只能烙两张饼，两面都要烙，每面需要一定时间（如3分钟）。 最优策略：让锅里每次都尽可能烙满两张饼，避免锅有空余，这是节省时间的关键。 规律总结： 烙双数张饼：可以2张2张地同时烙。 烙单数张饼：先2张2张地烙，最后剩下的3张采用“交替烙”的方法（即保证锅内始终有2个饼面在烙）。 计算公式：烙多张饼（1张除外）的最短时间 = 饼的张数 × 烙一面所需的时间。 考点一 图形的密铺 【典例精讲】（25-26四年级下·辽宁·单元复习）某城市进行老城区人行道的路面翻新，准备重新铺地砖。如果只能选择一种形状和大小的地砖，（    ）形状不能密铺。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】密铺是指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断一个图形能否单独密铺，关键看在拼接点处，几个图形的内角之和能否等于360°。任意三角形和任意四边形都能单独密铺，而正五边形的内角不能整除360°，因此不能单独密铺。 【规范解答】 A．平行四边形是四边形，四边形的内角和是360°，4个平行四边形的不同内角可以拼成一个周角，能密铺，不符合题意； B．正五边形的每个内角是108°，360°不是108°的整数倍，在拼接点处无法保证没有空隙或重叠，不能密铺，符合题意； C．等边三角形的每个内角是60°，360°÷60°＝6，即6个等边三角形的内角可以拼成一个周角，能密铺，不符合题意； D．正方形的每个内角是90°，360°÷90°＝4，即4个正方形的内角可以拼成一个周角，能密铺，不符合题意。 所以，不能密铺。 【变式训练1】（25-26四年级下·辽宁沈阳·阶段检测）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个（    ）时，能密铺成一个平面图形。 A．直角 B．钝角 C．平角 D．周角 【答案】D 【思路引导】图形的密铺是指用一种或几种图形进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠。要实现密铺，围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和必须恰好填满该点周围的空间，即角度之和为360°。在角的分类中，360°的角称为周角。直角是90°，钝角是大于90°且小于180°的角，平角是180°，只有周角等于360°。据此即可选择。 【规范解答】根据分析可知，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角时，能密铺成一个平面图形。 【变式训练2】下图是由正六边形密铺而成的，黑色正六边形周围第一层有6个白色正六边形，第二层有( )个正六边形，第十二层有( )个正六边形。 【答案】 12 72 【思路引导】通过观察可知，黑色正六边形周围第一层有6×1＝6个白色正六边形，第二层有6×2＝12个白色正六边形，第三层有6×3＝18个白色正六边形，……，第n层有6×n＝6n个白色正六边形。 【规范解答】6×2＝12（个） 6×12＝72（个） 【考点剖析】本题主要考查学生的观察和分析能力，找出白色正六边形个数与层数的关系是解答本题的关键。 【变式训练3】（24-25四年级下·吉林长春·期末）下面两个图形，一个能密铺，一个不能密铺，说明密铺时在同一个顶点上的几个角的度数和正好是（    ）。 A．180° B．360° C．540° 【答案】B 【思路引导】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺；观察题图可知第二幅图能密铺，将图二中的同一个顶点上的几个角的度数相加，即可得出这几个角的度数之和；据此解答。 【规范解答】80°＋90°＋60°＋130° ＝170°＋60°＋130° ＝230°＋130° ＝360° 所以密铺时在同一个顶点上的几个角的度数和正好是360°。 故答案为：B 考点二 奥运中的数学 【典例精讲】（24-25四年级上·福建三明·期中）在巴黎奥运会女子10米跳台决赛中，中国选手全红婵夺得冠军。主管教练陈若琳透露，全红婵每天都在苦练207C（向后翻腾三周半抱膝）。“向后翻腾三周半”，即旋转( )度。 【答案】1260 【思路引导】周角是360°的角，平角是180°的角。周角度数的一半等于平角的度数。由题意得，跳水动作207C需要向后翻腾三周半，也就是3个完整的周角再加上一个平角。据此解答。 【规范解答】360°×3＋180° ＝1080°＋180° ＝1260° 故“向后翻腾三周半”，即旋转1260度。 【变式训练1】（23-24四年级下·四川成都·期末）在第32届夏季奥运会跳水女子10米跳台决赛中，我国年仅14岁的全红婵以466.2分的总成绩夺冠。此项比赛需要选手跳5次，记5次得分的总分排名。全红婵第1跳的得分是82.50分，第2跳比第1跳高出了13.51分，第3跳又比第2跳低了0.30分，第3跳得分是多少？ 【答案】95.71分 【思路引导】根据题意，用第1跳的得分加上13.51，求出第2跳的得分，再用第2跳的得分减去0.30，即可求出第3跳得分是多少。 【规范解答】82.50＋13.51－0.30 ＝96.01－0.30 ＝95.71（分） 答：第3跳得分是95.71分。 【变式训练2】（23-24四年级下·辽宁·课后作业）在2022年北京冬奥会男子速滑500米决赛中，韩国选手车旼奎、日本选手森重航的成绩分别是34秒39和34秒49，中国选手高亭宇滑出了34秒32的成绩。先比较大小，然后把他们的名字写在相应的领奖台上。 【答案】见详解 【思路引导】在速滑比赛中滑行的长度相同时，用的时间越少，则表示越靠前，比较三人滑行时间即可确定冠军、亚军和季军。 【规范解答】34秒49＞34秒39＞34秒32 答：冠军是高亭宇，亚军是车旼奎，季军是森重航。 【变式训练3】北京冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，中国小将苏翊鸣以182.50分的成绩夺冠，比获得铜牌的加拿大选手马克斯—帕罗特高出12.25分，而马克斯—帕罗特比获得银牌的挪威选手蒙斯—勒伊斯韦兰仅差了1.5分。 （1）画示意图：请根据提供的数据，用线段表示出三位选手的成绩及他们成绩之间的关系。 （2）算一算：银牌选手蒙斯—勒伊斯韦兰的成绩是多少分？ 【答案】（1）见详解 （2）171.75分 【规范解答】（1）先画一条线段表示中国选手的成绩182.50分，在下方画一条比中国选手成绩的线段短一些的线段表示获得铜牌的加拿大选手的成绩，然后在这两条线段的中间再画一条比加拿大选手的成绩的线段长一点的线段表示获得银牌的挪威选手的成绩，据此画出示意图，并标上数据。 （2）中国选手以182.50分夺冠，比获得铜牌的加拿大选手高出12.25分，用182.50分减去12.25分，即是获得铜牌的加拿大选手的成绩；他又比获得银牌的挪威选手少1.5分，再用加拿大选手的成绩加上1.5分，即是获得银牌的挪威选手的成绩。 【思路引导】（1）如图： （2）182.5－12.25＋1.5 ＝170.25＋1.5 ＝171.75（分） 答：银牌选手蒙斯·勒伊斯韦兰的成绩是171.75分。 【考点剖析】本题考查小数加减法的混合运算和实际应用，用线段图找出数量之间的关系更直观。 考点三 沏茶问题 【典例精讲】（25-26四年级上·陕西安康·期末）如图，周一至周五小明早晨在家要完成以下五件事情后才出门上学，请帮助小明合理安排时间，做完这五件事，用时最短需要________分钟。 【答案】20 【思路引导】根据题意，要想用时最短，则可以同时做的事情一起做；先起床，然后整理床铺，再刷牙洗脸，最后再吃早饭，做这些事情的同时可以听新闻，据此填空即可。 【规范解答】 （分钟） 因此，做完这五件事，用时最短需要20分钟。 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西西安·期末）热爱劳动是一种非常可贵的品质和良好的习惯。小林放学后准备做晚饭，妈妈告诉他：洗锅约2分，淘米约2分，用电饭锅煮饭约35分，洗菜、切菜20分，炒菜5分。小林最快要( )分才能让全家吃上这餐饭。 【答案】39 【思路引导】先洗锅用2分钟，再淘米用2分钟，接下来再煮饭用35分钟（煮饭的同时再洗、切菜，炒菜），共用时39分钟。 【规范解答】2＋2＋35 ＝4＋35 ＝39（分钟） 小林最快要39分才能让全家吃上这餐饭。 【变式训练2】（24-25四年级下·陕西西安·期末）热爱劳动是一种非常可贵的品质和良好的习惯。小林放学后准备做晚饭，妈妈告诉他：洗锅约2分，淘米约2分，用电饭锅煮饭约35分，洗菜、切菜20分，炒菜5分。小林最快要( )分才能让全家吃上这餐饭。 【答案】39 【思路引导】这是时间优化问题，煮饭的35分钟内可同时完成洗菜切菜和炒菜，前置步骤洗锅和淘米需依次进行，先算前置步骤时间再加上煮饭时间。 【规范解答】2＋2＋35 ＝4＋35 ＝39（分） 小林最快要39分才能让全家吃上这餐饭。 【变式训练3】（2025四年级下·全国·专题练习）王阿姨每天起床后要做的事情如下：穿衣（3分），整理床铺（4分），洗脸梳头（7分），扫地（5分），煮粥（20分），烤面包（4分），吃早饭（10分），逐一完成这些事情需要53分。你认为最合理的安排需要多少分？ 【答案】33分。 【思路引导】合理的安排好时间，要看哪些事情可以同时进行。此题中：煮粥的这段时间内，可以安排整理床铺、洗脸梳头、扫地、烤面包这些事，且不需要单独安排时间。据此解答。 【规范解答】煮粥的这段时间内，同时做整理床铺、洗脸梳头、扫地、烤面包这些事。 整理床铺、洗脸梳头、扫地、烤面包共需要：（分）和煮粥同步进行。 （分） 答：王阿姨先穿衣，然后开始煮粥，煮粥的同时整理床铺、洗脸梳头、扫地、烤面包，煮粥完成后开始吃早饭，需要33分钟。 【考点剖析】合理的安排好时间，要看哪些事情可以同时进行且不需重复计算时间。 考点四 烙饼问题 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西汉中·期末）天天准备烙3张饼，如果每张饼的正反两面都要烙，且每面都需要5分钟，煎锅每次最多能同时烙2张饼。那么天天烙完这3张饼至少要( )分钟。 【答案】15 【思路引导】一次放入两张饼，5分钟后拿出一个，把另一个翻个面，然后放入第三张饼。5分钟后翻面的那个饼熟了，把它取出来，将第一张的另一面放入，同时把第三张饼也翻个面，5分钟后就都熟了。所以一共需要3个5分钟，据此解答即可。 【规范解答】3×5＝15（分钟） 天天准备烙3张饼，如果每张饼的正反两面都要烙，且每面都需要5分钟，煎锅每次最多能同时烙2张饼。那么天天烙完这3张饼至少要15分钟。 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西西安·期末）周末，小宇的朋友要来家里做客，妈妈决定在电饼铛里烙些香喷喷的饼招待大家，电饼铛每次只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要2分，烙5张饼至少需要( )分。 【答案】10 【思路引导】求5张饼的总面数，用每张饼的面数×饼的数量；求出烙5张饼需要的次数，用烙5张饼的面数÷每次电饼铛最多烙的面数，用除法；计算总时间，用每次烙饼需的时间×次数。 【规范解答】5×2＝10（张） 10÷2＝5（次） 5×2＝10（分钟） 【变式训练2】（23-24四年级下·吉林长春·期末）一个平底锅一次最多能煎2条鱼，两面都要煎，每面需要3分，要煎5条鱼，最少需要（    ）分能煎好。 A．20 B．18 C．15 D．12 【答案】C 【思路引导】要煎好5条鱼，需考虑平底锅一次最多煎2条鱼的限制，合理安排煎鱼顺序，让平底锅尽量不空闲，从而找出最短用时。 【规范解答】先煎前2条鱼：同时煎2条鱼的正面，用时3分钟，再同时煎反面，用时3分钟，共用时3×2＝6（分钟）。 再煎后3条鱼：第1步：煎第3条鱼和第4条鱼的正面，用时3分钟；第2步：煎第3条鱼反面和第5条鱼正面，用时3分钟，此时第3条鱼煎好；第3步：煎第4条鱼和第5条鱼反面，用时3分钟，此时第4条鱼和第5条鱼煎好；共3×3＝9（分钟）。 总共用时：6＋9＝15（分钟） 所以一个平底锅一次最多能煎2条鱼，两面都要煎，每面需要3分，要煎5条鱼，最少需要15分能煎好。 故答案为：C 【考点剖析】关键在于对前2条鱼和后3条鱼分别规划煎制流程使用时最短，再计算各部分时间求和。 【变式训练3】小明在平底锅里煎鸡翅，每次只能煎2个鸡翅，两面都要煎，每面需要2分钟，煎5个鸡翅至少需要( )分钟。 【答案】10 【思路引导】第一次先煎2个鸡翅，剩下的3个鸡翅可以这样煎：先煎2个鸡翅的正面；煎熟后拿出第一个，放入第三个，煎第二个的反面和第三个的正面；煎熟后第二个就熟了，再煎第一个和第三个的反面，据此计算出时间即可。 【规范解答】前2个鸡翅煎2面，用时间4钟。剩下3个鸡翅： 第一次：放①的正面和②的正面，煎熟后①拿出； 第二次：放②的反面和③的正面，煎熟后，此时②完全熟了； 第三次：放①的反面和③的反面，煎熟后，此时①和③完全熟了。 用时：（分钟） 全部时间：（分钟） 所以煎5个鸡翅至少需要10分钟。 【考点剖析】此题考查的是烙饼问题的应用，一次最多烙2张，所需时间＝个数×煎一面所用时间。 1．（25-26四年级下·河南焦作·期末）妈妈感冒了，小明准备为妈妈冲“感冒清热颗粒”。洗杯子2分钟，烧水5分钟，找药2分钟，冲药3分钟，他最少需要（    ）。 A．12分钟 B．8分钟 C．7分钟 D．10分钟 【答案】B 【思路引导】烧水过程无需人持续操作，先判断洗杯子和找药的总时长是否可以在烧水过程完成，再计算最短总时长。如果可以利用烧水的时间完成洗杯子和找药，最短总时长为烧水时间与冲药时间之和。如果不行，最短总时长为洗杯子、找药与冲药时间之和。 【规范解答】洗杯子和找药所需总时间为：2＋2＝4（分钟） 4＜5 因此可完全在烧水过程中完成。 最短总时长： 5＋3＝8（分钟） 因此他最少需要8分钟。 2．（2026四年级下·辽宁·专题练习）小梦早上起床后要锻炼身体15分钟，用电饭锅熬粥35分钟，背英语单词10分钟，收拾书包5分钟，吃早餐10分钟，她做完这些事情至少需要（    ）分钟。 A．40 B．45 C．75 【答案】B 【思路引导】锻炼身体、背英语单词和收拾书包总时间为15＋10＋5＝30（分钟），30＜35，故用电饭锅熬粥的同时可以完成锻炼身体、背英语单词和收拾书包，然后吃早餐，据此计算出最少时间即可。 【规范解答】最少时间：35＋10＝45（分钟） 3．（25-26四年级上·河北沧州·期末）妈妈准备一顿午餐需要做以下几件事：洗菜5分钟，择菜7分钟，淘米2分钟，用电饭煲煮饭20分钟，切菜2分钟，炒菜5分钟，做完这顿饭至少（    ）分钟。 A．22 B．21 C．41 D．27 【答案】A 【思路引导】解题的关键在于合理安排工序，识别出哪些事情可以同时做。电饭煲煮饭是自动过程，不需要人一直看守，因此可以在煮饭的同时进行洗菜、择菜、切菜和炒菜等人工操作，从而节省总时间。 【规范解答】先淘米2分钟，再用电饭煲煮饭20分钟（煮饭期间可同时洗菜5分钟、择菜7分钟、切菜2分钟、炒菜5分钟，这几件事共需5＋7＋2＋5＝19分钟，小于煮饭的20分钟，可同步完成），因此做完这顿饭至少需要2＋20＝22（分钟）。 4．（23-24四年级下·安徽阜阳·期末）妈妈用电饼铛烙饼，每次只能烙2张，两面都要烙，每面需要2分，烙5张饼。最短需要（    ）。 A．8分 B．10分 C．12分 D．20分 【答案】B 【思路引导】烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅可烙的数量×烙每面的时间，代入数据计算即可。 【规范解答】5×2÷2×2 ＝2÷2×5×2 ＝1×5×2 ＝5×2 ＝10（分钟） 答：最短需要10分。 故答案为：B 【考点剖析】此题考查了烙饼问题的应用，需熟记公式。 5．下面图形不能进行密铺的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】平面图形密铺的特点： （1）用一种或几种全等图形进行拼接； （2）拼接处不留空隙、不重叠； （3）连续铺成一片。 能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。圆就不具备这样的特点。 【规范解答】A．圆是由一条封闭的曲线围成的，圆与圆之间有间隙，不能密铺。 B．正六边形每个内角为120°，能整除360°，能密铺，故此选项不符合题意。 C．平行四边形内角和为360°，用4个同一种平行四边形就可以在同一顶点镶嵌，即能密铺，故此选项不符合题意。 故答案为：A 【考点剖析】考查了平面镶嵌（密铺）问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。 6．（24-25四年级下·湖南娄底·期末）游乐场有一种游乐项目可以一个人玩，也可以两个人玩，玩一次需要5分钟。欣欣、乐乐和欢欢每人玩2次，至少需要( )分钟。 【答案】15 【思路引导】要用时最少，每次尽量安排两个人同时玩，可以这样安排：第一次：欣欣和乐乐；第二次：欣欣和欢欢；第三次：乐乐和欢欢；此时三个人每人都刚好玩了2次。 【规范解答】第一次：欣欣和乐乐，用时5分钟； 第二次：欣欣和欢欢，用时5分钟； 第三次：乐乐和欢欢，用时5分钟。 3×5＝15（分钟） 7．（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）老师需要复印5张资料，正反面都要复印。如果一次最多放2张，复印一面需要5秒，那么至少要复印( )秒。 【答案】25 【思路引导】先计算出总面数：5×2＝10（面）； 再计算复印的次数：一次最多放2张，即每次最多复印2面，因此需要的次数为：10÷2＝5（次）； 最后计算总时间：复印一面需要5秒，每次复印2面耗时5秒，总时间为：5×5＝25（秒） 【规范解答】总面数：5×2＝10（面） 复印次数为：10÷2＝5（次） 复印时间为：5×5＝25（秒） 因此老师需要复印5张资料，正反面都要复印。如果一次最多放2张，复印一面需要5秒，那么至少要复印25秒。 8．（24-25四年级下·陕西汉中·期末）小虎准备冲一杯橙汁，洗杯子和洗汤匙各1分钟，烧开水7分钟，取出橙汁粉冲泡2分钟，至少需要( )分钟，小虎才能冲好橙汁。 【答案】9 【思路引导】烧开水的7分钟里，不需要一直操作，可以同时完成洗杯子、洗汤匙这两个准备步骤，所以7分钟里可以烧开水，洗杯子，洗汤匙， 水烧开后，才能进行冲泡操作，所以只需要利用加法计算烧水和冲泡橙汁粉的时间即可。 【规范解答】（分钟） 所以至少需要9分钟，小虎才能冲好橙汁。 9．（23-24四年级下·四川成都·期末）周末笑笑一行4人去参观自然博物馆，博物馆中有相同的3台体验设备，每台设备提供2个项目供游客体验，笑笑他们每人都要体验2个不同的项目，他们全部体验完至少需要( )分钟。 体验项目 所需时间 地壳探秘 4分钟 探索星空 2分钟 【答案】8 【思路引导】要想用时最短，那么每台设备尽量的不留空闲的时间。把4个小朋友编号为①②③④，他们可以让①②号小朋友先去第一、二台设备体验探索星空2分钟，③号小朋友去第三台设备体验地壳探秘4分钟，第一台设备体验完后继续让①号小朋友继续体验地壳探秘4分钟，第二台设备让④号小朋友体验地壳探秘4分钟，第三台设备体验完后让②号小朋友体验地壳探秘4分钟，然后等第一、二台设备地壳探秘体验完以后让③④号小朋友体验探索星空2分钟。这样他们4人都把所有的项目体验完了，并且3台设备同时开始和结束，中间没有空闲时间。 【规范解答】第一台设备：2＋4＋2＝8（分钟） 第二台设备：2＋4＋2＝8（分钟） 第三台设备：4＋4＝8（分钟） 他们全部体验完至少需要8分钟。 【考点剖析】此题考查了优化问题，要把能同时进行的事情安排同一时间进行，这样用时最少。 10．（24-25四年级下·陕西汉中·期末）妈妈感冒了，乐乐准备为妈妈冲感冒颗粒。找感冒颗粒2分钟，烧水5分钟，倒水冲药1分钟，她至少需要6分钟完成。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】乐乐烧水的同时可以找感冒颗粒，所以只需要计算出烧水和倒水冲药一共的时间，即是她至少需要的时间。据此解答 【规范解答】乐乐冲感冒颗粒的流程和时间如下： 烧水5分钟（找感冒颗粒2分钟）→倒水冲药1分钟 5＋1＝6（分钟） 所以，她至少需要6分钟完成，原说法正确。 故答案为：√ 11．（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）用一个平底锅煎小黄鱼，每次最多只能煎2条小黄鱼，煎熟一条小黄鱼要8分钟（两面都要煎，每面4分钟），煎熟3条小黄鱼至少需要12分钟。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据总时间＝鱼数×2÷每锅可煎的数量×煎每面的时间，即可求出煎熟3条小黄鱼至少需要多少分钟，再与12分钟进行比较即可。 【规范解答】3×2÷2×4 ＝6÷2×4 ＝3×4 ＝12（分钟） 用一煎熟3条小黄鱼至少需要12分钟。原题说法正确。 故答案为：√ 12．（25-26四年级下·广东深圳·阶段检测）妈妈把饺子包好了，接下来需要完成以下事项：洗煮锅2分钟，锅中接清水1分钟，烧水7分钟，准备饺子蘸料4分钟，摆放碗筷1分钟，水开后把饺子放入锅中煮3分钟。从包好饺子到吃饺子至少还要多长时间？请画图说明。 【答案】画图见详解；13分钟 【思路引导】合理安排时间，将能同时进行的步骤合并。先洗煮锅再接清水，之后在烧水的同时可以准备饺子蘸料和摆放碗筷，最后煮饺子，据此画图并解题即可。 所需时间为洗煮锅、接清水、烧水和煮饺子的时间和。 【规范解答】用下图表示出最合理的步骤顺序，如下图： 2＋1＋7＋3＝13（分钟） 答：从包好饺子到吃饺子至少还要13分钟。 13．（25-26四年级下·广东深圳·期末）【图形奥秘再探究】 (1)小华在学习“三角形内角和”一课时发现：可以用三角形内角和来得到其他多边形的内角和。他的方法如图： 请你照样子在五边形内画一画，算一算五边形内角和＝_________。 (2)正多边形是指各边、各角都相等的多边形，请你借助上题中内角和知识，求出下面图形中每个角的度数。 (3)下面是仅用一种正多边形进行密铺的图案。 你认为仅用正五边形能密铺吗？（能    不能）打“√” 你发现仅用一种正多边形可以密铺的“奥秘”是：____________________。 【答案】(1)； (2)；；；； (3)；图形拼接后，在每个拼接点处的各个角的和恰好是，这样才能没有空隙、不重叠地铺满整个平面。 【思路引导】三角形内角和为；同一个拼接点处几个内角相加刚好等于，这种正多边形可以单独密铺。 【规范解答】（1）参照例题分割法，把五边形拆分成三角形计算内角和。 所以五边形内角和＝。 （2）将正多边形拆分成三角形计算出内角和， ； ，； ，。 所以填写如下： （3），，无法凑出，不能密铺。 图形拼接后，在每个拼接点处的各个角的和恰好是，这样才能没有空隙、不重叠地铺满整个平面。 14．（2025四年级下·全国·专题练习）在一个工厂的废料堆里，堆放着大量不规则的四边形木料（如下图），这些木料的大小和形状是一样的。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料。有人建议用这些木料来铺地板，你认为这些木料能密铺吗？为什么？ 【答案】能。因为四边形的内角和是360°，按题图所示的拼法拼接就能填满这个平面，而且无缝隙、不重叠。因此，凡是有着同样大小和形状的任意四边形木块都可用来密铺。 【思路引导】判断图形能否密铺，关键是看拼接点处几个角的度数之和是否为360°。对于任意四边形，其内角和是360°。 【规范解答】这些不规则四边形木料大小和形状一样，当把它们拼接时，每个拼接点处正好可以摆放4个四边形的不同内角，这4个内角的度数之和等于四边形的内角和360°，能保证拼接后无缝隙、不重叠。所以这些木料能密铺。   答：能。因为四边形的内角和是360°，按题图所示的拼法拼接就能填满这个平面，而且无缝隙、不重叠。因此，凡是有着同样大小和形状的任意四边形木块都可用来密铺。 15．（24-25四年级下·河南商丘·期末）明明一家4口到云台山旅游。他们一家和当地旅行团的24名成员打算一起租观光车，现有大、小两种观光车可以选择。 （1）明明列出算式：（元），明明解决的是什么问题？ （2）怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 【答案】（1）明明的算式解决的问题是：所有人都租小车需要多少钱？ （2）租3辆大车1辆小车最省钱。最少需要2220元钱。 【思路引导】（1）根据题意，4＋24求的是总人数；除以4就是求出租小观光车需要多少辆；再乘420，就是租小观光车所花的钱数；据此答题即可。 （2）分别用420÷4，600÷8，求出大观光车和小观光车的人均费用，选择便宜的多租；用总人数除以便宜车型的载人量，求出需要车的数量；如果有余数，合理安排其它车型，确保车上的空位最少；最后用车辆数乘车的租金，就是花费的钱数；列式计算即可。 【规范解答】（1）明明的算式解决的问题是：所有人都租小车需要多少钱？ （2）420÷4＝105（元） 600÷8＝75（元） 75＜105，所以多租大车。 （24＋4）÷8 ＝28÷8 ＝3（辆）……4（人） 4÷4＝1（辆） 此时租3辆大车，1辆小车正好坐满。 3×600＋1×420 ＝1800＋420 ＝2220（元） 答：租3辆大车1辆小车最省钱。最少需要2220元钱。 16．（24-25四年级下·安徽宿州·期末）小涛要做一次晚饭。淘米要1分，用电饭锅煮饭需要18分，洗菜需要3分，切菜需要4分，炒菜需要10分。小涛怎样安排做事情的顺序才能尽快做好这顿饭？最少需要多少分？ 【答案】先淘米，然后在煮饭的同时去洗菜、切菜和炒菜；19分 【思路引导】由题意得，要想尽快做好这顿饭，小涛需要合理安排这些事情的顺序。他可以先淘米，接着用电饭锅煮饭。在电饭锅煮饭的同时，小涛可以去洗菜、切菜和炒菜。据此解答。 【规范解答】3＋4＋10 ＝7＋10 ＝17（分） 17＜18，即小涛洗菜、切菜和炒菜完成后，饭还没熟。 1＋18＝19（分） 答：小涛需要先淘米，接着用电饭锅煮饭。在电饭锅煮饭的同时去洗菜、切菜和炒菜。最少需要19分。 17．（24-25四年级下·广东深圳·期末）淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 【答案】（1）剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张 （2）锐角；钝角；直角 （3）两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【思路引导】（1）等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺，再根据第三步下面的图，提出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形能否密铺呢，剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 （2）通过观察第三步的图可知，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形都能密铺。 （3）结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【规范解答】淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），因此，任意三角形同样具备密铺的能力。 18．（2025四年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四人过桥，分别需要1分、2分、5分、10分。因为天黑，必须借助手电筒过桥，可是他们只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，每次最多过两人。现在希望用最短的时间过桥，你来帮他们安排一下吧，最短时间是多少分呢？ 【答案】甲、乙过桥→甲返回→丙、丁过桥→乙返回→甲、乙过桥 2＋1＋10＋2＋2＝17（分） 【思路引导】甲过桥需1分，乙过桥需2分，两人一起过桥以较慢者时间为准，耗时2分；然后甲返回送手电筒，耗时1分，此步骤共耗时3分； 丙过桥需5分，丁过桥需10分，两人一起过桥耗时10分；接着乙返回送手电筒，耗时2分，此步骤共耗时12分； 甲和乙一起过桥耗时2分，此步骤耗时2分，将三步耗时相加，总时间为17分。 【规范解答】 答：按照甲、乙过桥→甲返回→丙、丁过桥→乙返回→甲、乙过桥的顺序，最短时间是17分。 【考点剖析】要使四人过桥时间最短，需让用时短的人多往返送手电筒，减少总耗时。 19．（2025四年级下·全国·专题练习）烤面包时，烤正面要2分，烤反面只要1分。乐乐用的烤面包箱一次只能放两片面包，她每天早上要吃三片面包，那么最少需要多少分？ 【答案】 5分 【思路引导】第一片与第二片同时烤正面需要2分钟，第一片反面与第三片正面同时烤需要2分钟，第二片的反面与第三片的反面同时烤需要1分钟，把这些时间加在一起就是烤三片面包最少需要的时间。据此解答。 【规范解答】（分） 答：最少需要5分。 【考点剖析】解答此题的关键是要考虑怎样充分的利用空间，缩短时间，这样才能节约时间，减少不必要的浪费。 20．奥运会的一次女子跳水比赛中，中国、俄罗斯和美国各有一名选手进入决赛，俄罗斯选手以领先美国选手25的优势进入到最后一跳，中国选手则落后美国选手1.05分，排名第三。 下面是三名运动员最后一跳的得分： 俄罗斯 美  国 中  国 61.70分 87.10分 94.21分 （1）请问谁是冠军，谁是亚军，谁是季军？ （2）冠军比亚军领先多少分，季军比亚军少多少分？ （3）第一名和第三名相差多少分？ 【答案】（1）中国运动员是冠军，美国运动员是亚军，俄罗斯运动员是季军。 （2）6.06分；0.4分。 （3）6.46分 【规范解答】（1）25+1.05=26.05（分） 61.70+26.05=87.75（分）； 87.10+1.05=88.15（分）； 94.21>88.15>87.75 中国运动员是冠军；美国运动员是亚军；俄罗斯运动员是季军。 （2）94.21-88.15=6.06（分）； 88.15-87.75=0.4（分） （3）94.21-87.75=6.46（分） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题05图形的密铺与优化问题 思维导图+知识回顾+四大考点讲练+真题强化 (共36题) 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 小学数学 四年级/下册 北 师 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习， 讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内 容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。 解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！ 希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 定义 用一种或多种图形既无空隙、又不重叠地铺在平面上，这种铺法就是密铺 一、图形的密铺 原理图形能够密铺的关键在于，拼接点处所有角的度数之和必须恰好为360°。 可密铺的图形单独密铺：任意三角形、任意四边形、正方形、正六边形都可以单独 进密铺。 1△口▣O 组合密铺 —些不能单独密铺的圈形（如正五边形），可以通过与其他图形组合的方式实现密铺。+口= 不可密铺的图形 圆形和正五边形无法单独密铺。以正五边形为例，其内角为08° 无论几个角拼在一起都无法恰好组成360°。 666666 知识应用 将数学知识应用于解决奥运会中的实际问题，感受数学与体育的结合】 北师大版四年级数学下册 二、奥运中的数学 熟练运用小数的加减法来计算比赛成绩。 专题05 司 小数运算 例如，计算田径比赛中运动员的成绩差，或射击、跳水等项目中选手的总分与分差。 图形的密铺与 数据分析 根据比赛数据（如时间、分数）判断赛场情况。 优化问题 例如，通过成绩差距的大小来推断冲刺时选手间的距离远近。 核心思想一初步体会运等学中的“优化”思想，即如何科学、合理地安排时间。 例：烧水泡茶的最优方案 三、淘汰问题 ①明确顺序：分析完成一项任务需要做的所有事情，井确定哪些步骤有先后顺序 □接水(1分) ☆☆ 解题策略 (例如，必须先接水才能烧水)。 合烧水8分别 ②同时进行：找出哪些事情可以同时做（例如，在烧水的同时可以洗茶杯、找茶叶）。 目标：通过合理安排流程，找到用时最少的“最优方案”，从而节省时间，提高效率。 洗茶杯(2分)+找茶叶(1分别 核心思想 同样是“优化”思想的应用，重点在于如何在资源有限（锅的大小固定）的情况下 立泡茶(1分) 使总用时最少 最少需要9分钟 四、烙饼问题 基本规则 通常设定为锅里每次最多只能格两张饼，两面都要烙，每面需要一定时间（如3分钟）。 亨小贴士 P 最优策略 让锅里每次都尽可能烙满两张饼，避免锅有空余，这是节省时间的关键 多思考，多尝试， 烙双数张饼：可以2张2张地同时烙 刚：焰4张饼一月©©@ 找到最省时、最省力 规律总结 最少需要6分钟 的好方法！ 烙单数张饼：先2张2张地烙，最后剩下的3张采用 刚：烙5张饼→ “交替烙”的方法（即保证锅内始终有2个饼面在烙） 量少需要9分钟 ⑧©©⊙ 知识梳理温故知新 知识点一图形的密铺 定义：用一种或多种图形既无空隙、又不重叠地铺在平面上，这种铺法就是密铺。 原理：图形能够密铺的关键在于，拼接点处所有角的度数之和必须恰好为360°。 可密铺的图形： 第2页共11页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 单独密铺：任意三角形、任意四边形、正方形、正六边形都可以单独进行密铺。 组合密铺：一些不能单独密铺的图形（如正五边形)，可以通过与其他图形组合的方式实现密铺。 不可密铺的图形：圆形和正五边形无法单独密铺。以正五边形为例，其内角为108°，无论几个角拼在 一起都无法恰好组成360°。 知识点二奥运中的数学 知识应用：将数学知识应用于解决奥运会中的实际问题，感受数学与体育的结合。 小数运算：熟练运用小数的加减法来计算比赛成绩。例如，计算田径比赛中运动员的成绩差，或射击、 跳水等项目中选手的总分与分差。 数据分析：根据比赛数据（如时间、分数）判断赛场情况。例如，通过成绩差距的大小来推断冲刺时 选手间的距离远近。 知识点三沏茶问题 核心思想：初步体会运筹学中的“优化”思想，即如何科学、合理地安排时间。 解题策略： 1.明确顺序：分析完成一项任务需要做的所有事情，并确定哪些步骤有先后顺序（例如，必须先接水 才能烧水)。 2.同时进行：找出哪些事情可以同时做（例如，在烧水的同时可以洗茶杯、找茶叶）。 目标：通过合理安排流程，找到用时最少的“最优方案”，从而节省时间，提高效率。 知识点四烙饼问题 核心思想：同样是“优化”思想的应用，重点在于如何在资源有限（锅的大小固定)的情况下，使总 基本规则：通常设定为锅里每次最多只能烙两张饼，两面都要烙，每面需要一定时间（如3分钟）。 最优策略：让锅里每次都尽可能烙满两张饼，避免锅有空余，这是节省时间的关键。 规律总结： 烙双数张饼：可以2张2张地同时烙。 烙单数张饼：先2张2张地烙，最后剩下的3张采用“交替烙”的方法（即保证锅内始终有2个饼面 在烙)。 计算公式：烙多张饼（1张除外)的最短时间=饼的张数×烙一面所需的时间。 优选题型考点讲练 考点一图形的密铺 第3页共11页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【典例精讲】(25-26四年级下·辽宁·单元复习)某城市进行老城区人行道的路面翻新，准备重新 铺地砖。如果只能选择一种形状和大小的地砖，()形状不能密铺。 D 【变式训练1】(25-26四年级下·辽宁沈阳·阶段检测)当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角 和加在一起恰好组成一个()时，能密铺成一个平面图形。 A.直角 B.钝角 C.平角 D.周角 【变式训练2】下图是由正六边形密铺而成的，黑色正六边形周围第一层有6个白色正六边形，第二 层有( )个正六边形，第十二层有( )个正六边形。 【变式训练3】(24-25四年级下·吉林长春·期末)下面两个图形，一个能密铺，一个不能密铺， 说明密铺时在同一个顶点上的几个角的度数和正好是（)。 80° 909 108° 108108° 60°Y130° B6 缝隙 A.180° B.360° C.540° 考点二奥运中的数学 【典例精讲】(24-25四年级上·福建三明·期中)在巴黎奥运会女子10米跳台决赛中，中国选手全 红婵夺得冠军。主管教练陈若琳透露，全红婵每天都在苦练207C（向后翻腾三周半抱膝)。“向后翻 腾三周半”，即旋转( )度。 【变式训练1】(23-24四年级下·四川成都·期末)在第32届夏季奥运会跳水女子10米跳台决赛 中，我国年仅14岁的全红婵以466.2分的总成绩夺冠。此项比赛需要选手跳5次，记5次得分的总分 排名。全红婵第1跳的得分是82.50分，第2跳比第1跳高出了13.51分，第3跳又比第2跳低了0.30 分，第3跳得分是多少？ 第4页共11页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练2】(23-24四年级下·辽宁·课后作业)在2022年北京冬奥会男子速滑500米决赛中， 韩国选手车旼奎、日本选手森重航的成绩分别是34秒39和34秒49，中国选手高亭宇滑出了34秒32 的成绩。先比较大小，然后把他们的名字写在相应的领奖台上。 2 3 2022北京 男子速滑 【变式训练3】北京冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，中国小将苏翊鸣以182.50分的成绩夺冠， 比获得铜牌的加拿大选手马克斯一帕罗特高出12.25分，而马克斯一帕罗特比获得银牌的挪威选手蒙 斯一勒伊斯韦兰仅差了1.5分。 (1)画示意图：请根据提供的数据，用线段表示出三位选手的成绩及他们成绩之间的关系。 (2)算一算：银牌选手蒙斯一勒伊斯韦兰的成绩是多少分？ 考点三沏茶问题 【典例精讲】(25-26四年级上·陕西安康·期末)如图，周一至周五小明早晨在家要完成以下五件 事情后才出门上学，请帮助小明合理安排时间，做完这五件事，用时最短需要 分钟。 起床穿衣3分钟整理床铺2分钟洗脸刷牙5分钟吃早饭10分钟 听新闻15分钟 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西西安·期末)热爱劳动是一种非常可贵的品质和良好的习惯。 小林放学后准备做晚饭，妈妈告诉他：洗锅约2分，淘米约2分，用电饭锅煮饭约35分，洗菜、切菜 20分，炒菜5分。小林最快要（ )分才能让全家吃上这餐饭。 第5页共11页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练2】（24-25四年级下·陕西西安·期末)热爱劳动是一种非常可贵的品质和良好的习惯。 小林放学后准备做晚饭，妈妈告诉他：洗锅约2分，淘米约2分，用电饭锅煮饭约35分，洗菜、切菜 20分，炒菜5分。小林最快要( )分才能让全家吃上这餐饭。 【变式训练3】（2025四年级下·全国·专题练习)王阿姨每天起床后要做的事情如下：穿衣(3分)， 整理床铺(4分)，洗脸梳头(7分)，扫地(5分)，煮粥（20分)，烤面包(4分)，吃早饭（10 分)，逐一完成这些事情需要53分。你认为最合理的安排需要多少分？ 考点四烙饼问题 【典例精讲】(24-25四年级下·陕西汉中·期末)天天准备烙3张饼，如果每张饼的正反两面都要 烙，且每面都需要5分钟，煎锅每次最多能同时烙2张饼。那么天天烙完这3张饼至少要( 分钟。 【变式训练1】(24-25四年级下·陕西西安·期末)周末，小宇的朋友要来家里做客，妈妈决定在 电饼铛里烙些香喷喷的饼招待大家，电饼铛每次只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要2分，烙5张 饼至少需要( )分。 【变式训练2】(23-24四年级下·吉林长春·期末)一个平底锅一次最多能煎2条鱼，两面都要煎， 每面需要3分，要煎5条鱼，最少需要()分能煎好。 A.20 B.18 C.15 D.12 【变式训练3】小明在平底锅里煎鸡翅，每次只能煎2个鸡翅，两面都要煎，每面需要2分钟，煎5 个鸡翅至少需要( )分钟。 真题汇编能力强化 1.(25-26四年级下·河南焦作·期末)妈妈感冒了，小明准备为妈妈冲“感冒清热颗粒”。洗杯子 2分钟，烧水5分钟，找药2分钟，冲药3分钟，他最少需要()。 A.12分钟 B.8分钟 C.7分钟 D.10分钟 2.(2026四年级下·辽宁·专题练习)小梦早上起床后要锻炼身体15分钟，用电饭锅熬粥35分钟， 背英语单词10分钟，收拾书包5分钟，吃早餐10分钟，她做完这些事情至少需要（)分钟。 A.40 B.45 0.75 3.(25-26四年级上·河北沧州·期末)妈妈准备一顿午餐需要做以下几件事：洗菜5分钟，择菜7 分钟，淘米2分钟，用电饭煲煮饭20分钟，切菜2分钟，炒菜5分钟，做完这顿饭至少（)分钟。 第6页共11页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 A.22 B.21 C.41 D.27 4.（23-24四年级下·安徽阜阳·期末)妈妈用电饼铛烙饼，每次只能烙2张，两面都要烙，每面需 要2分，烙5张饼。最短需要（)。 A.8分 B.10分 C.12分 D.20分 5.下面图形不能进行密铺的是()。 A. B. C. 6.(24-25四年级下·湖南娄底·期末)游乐场有一种游乐项目可以一个人玩，也可以两个人玩，玩 一次需要5分钟。欣欣、乐乐和欢欢每人玩2次，至少需要（ )分钟。 7.(24-25四年级下·陕西咸阳·期末)老师需要复印5张资料，正反面都要复印。如果一次最多放 2张，复印一面需要5秒，那么至少要复印( )秒。 8.(24-25四年级下·陕西汉中·期末)小虎准备冲一杯橙汁，洗杯子和洗汤匙各1分钟，烧开水7 分钟，取出橙汁粉冲泡2分钟，至少需要( )分钟，小虎才能冲好橙汁。 9.(23-24四年级下·四川成都·期末)周末笑笑一行4人去参观自然博物馆，博物馆中有相同的3 台体验设备，每台设备提供2个项目供游客体验，笑笑他们每人都要体验2个不同的项目，他们全部 体验完至少需要( )分钟。 体验项目 所需时间 地壳探秘 4分钟 探索星空 2分钟 10. (24-25四年级下·陕西汉中·期末)妈妈感冒了，乐乐准备为妈妈冲感冒颗粒。找感冒颗粒2 分钟，烧水5分钟，倒水冲药1分钟，她至少需要6分钟完成。（)（判断对错） 11.(24-25四年级下·陕西咸阳·期末)用一个平底锅煎小黄鱼，每次最多只能煎2条小黄鱼，煎熟 一条小黄鱼要8分钟（两面都要煎，每面4分钟），煎熟3条小黄鱼至少需要12分钟。（)（判 断对错) 12.（25-26四年级下·广东深圳·阶段检测)妈妈把饺子包好了，接下来需要完成以下事项：洗煮锅 2分钟，锅中接清水1分钟，烧水7分钟，准备饺子蘸料4分钟，摆放碗筷1分钟，水开后把饺子放入 锅中煮3分钟。从包好饺子到吃饺子至少还要多长时间？请画图说明。 第7页共11页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 13.（25-26四年级下·广东深圳·期末)【图形奥秘再探究】 (1)小华在学习“三角形内角和”一课时发现：可以用三角形内角和来得到其他多边形的内角和。他的 方法如图： ② 三角形内角和=180 四边形形内角和=180°×2=360° 请你照样子在五边形内画一画，算一算五边形内角和= (2)正多边形是指各边、各角都相等的多边形，请你借助上题中内角和知识，求出下面图形中每个角的 度数。 正三角形 正四边形（正方形） 正五边形 2 180°÷3= )。( )°÷4=( )°÷5=( )。 (3)下面是仅用一种正多边形进行密铺的图案。 90° 0 能密铺 你认为仅用正五边形能密铺吗？（能不能）打“√” 你发现仅用一种正多边形可以密铺的“奥秘”是： 14.(2025四年级下·全国·专题练习)在一个工厂的废料堆里，堆放着大量不规则的四边形木料（如 下图)，这些木料的大小和形状是一样的。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就 要浪费很多木料。有人建议用这些木料来铺地板，你认为这些木料能密铺吗？为什么？ 第8页共11页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 15.（24-25四年级下·河南商丘·期末)明明一家4口到云台山旅游。他们一家和当地旅行团的24 名成员打算一起租观光车，现有大、小两种观光车可以选择。 限乘4人，420元/辆 限乘8人，600元/辆 (1)明明列出算式：(4+24)÷4×420=2940（元)，明明解决的是什么问题？ (2)怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 16.（24-25四年级下·安徽宿州·期末)小涛要做一次晚饭。淘米要1分，用电饭锅煮饭需要18分， 洗菜需要3分，切菜需要4分，炒菜需要10分。小涛怎样安排做事情的顺序才能尽快做好这顿饭？最 少需要多少分？ 17.(24-25四年级下·广东深圳·期末)淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图)。这个正六 边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边 三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步： 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 )三角形能密铺()三角形能密铺()三角形能密铺 第9页共11页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 (1)淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 (2)请将第三步的研究结论在()里补充完整。 (3)请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 18.（2025四年级下·全国·专题练习)甲、乙、丙、丁四人过桥，分别需要1分、2分、5分、10 分。因为天黑，必须借助手电筒过桥，可是他们只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，每次最多 过两人。现在希望用最短的时间过桥，你来帮他们安排一下吧，最短时间是多少分呢？ 19.（2025四年级下·全国·专题练习)烤面包时，烤正面要2分，烤反面只要1分。乐乐用的烤面 包箱一次只能放两片面包，她每天早上要吃三片面包，那么最少需要多少分？ 第10页共11页 2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 20.奥运会的一次女子跳水比赛中，中国、俄罗斯和美国各有一名选手进入决赛，俄罗斯选手以领先 美国选手25的优势进入到最后一跳，中国选手则落后美国选手1.05分，排名第三。 下面是三名运动员最后一跳的得分： 俄罗斯 美国 中国 61.70分 87.10分 94.21分 (1)请问谁是冠军，谁是亚军， 谁是季军？ (2)冠军比亚军领先多少分，季军比亚军少多少分？ (3)第一名和第三名相差多少分？ 第11页共11页2026-2027学年北师大版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 四年级/下册 小学数学 专题05 图形的密铺与优化问题 北 师 大 版 思维导图+知识回顾+四大考点讲练+真题强化 （共36题） 【原卷版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 图形的密铺 定义：用一种或多种图形既无空隙、又不重叠地铺在平面上，这种铺法就是密铺。 原理：图形能够密铺的关键在于，拼接点处所有角的度数之和必须恰好为360°。 可密铺的图形： 单独密铺：任意三角形、任意四边形、正方形、正六边形都可以单独进行密铺。 组合密铺：一些不能单独密铺的图形（如正五边形），可以通过与其他图形组合的方式实现密铺。 不可密铺的图形：圆形和正五边形无法单独密铺。以正五边形为例，其内角为108°，无论几个角拼在一起都无法恰好组成360°。 知识点二 奥运中的数学 知识应用：将数学知识应用于解决奥运会中的实际问题，感受数学与体育的结合。 小数运算：熟练运用小数的加减法来计算比赛成绩。例如，计算田径比赛中运动员的成绩差，或射击、跳水等项目中选手的总分与分差。 数据分析：根据比赛数据（如时间、分数）判断赛场情况。例如，通过成绩差距的大小来推断冲刺时选手间的距离远近。 知识点三 沏茶问题 核心思想：初步体会运筹学中的“优化”思想，即如何科学、合理地安排时间。 解题策略： 1.明确顺序：分析完成一项任务需要做的所有事情，并确定哪些步骤有先后顺序（例如，必须先接水才能烧水）。 2.同时进行：找出哪些事情可以同时做（例如，在烧水的同时可以洗茶杯、找茶叶）。 目标：通过合理安排流程，找到用时最少的“最优方案”，从而节省时间，提高效率。 知识点四 烙饼问题 核心思想：同样是“优化”思想的应用，重点在于如何在资源有限（锅的大小固定）的情况下，使总基本规则：通常设定为锅里每次最多只能烙两张饼，两面都要烙，每面需要一定时间（如3分钟）。 最优策略：让锅里每次都尽可能烙满两张饼，避免锅有空余，这是节省时间的关键。 规律总结： 烙双数张饼：可以2张2张地同时烙。 烙单数张饼：先2张2张地烙，最后剩下的3张采用“交替烙”的方法（即保证锅内始终有2个饼面在烙）。 计算公式：烙多张饼（1张除外）的最短时间 = 饼的张数 × 烙一面所需的时间。 考点一 图形的密铺 【典例精讲】（25-26四年级下·辽宁·单元复习）某城市进行老城区人行道的路面翻新，准备重新铺地砖。如果只能选择一种形状和大小的地砖，（    ）形状不能密铺。 A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26四年级下·辽宁沈阳·阶段检测）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个（    ）时，能密铺成一个平面图形。 A．直角 B．钝角 C．平角 D．周角 【变式训练2】下图是由正六边形密铺而成的，黑色正六边形周围第一层有6个白色正六边形，第二层有( )个正六边形，第十二层有( )个正六边形。 【变式训练3】（24-25四年级下·吉林长春·期末）下面两个图形，一个能密铺，一个不能密铺，说明密铺时在同一个顶点上的几个角的度数和正好是（    ）。 A．180° B．360° C．540° 考点二 奥运中的数学 【典例精讲】（24-25四年级上·福建三明·期中）在巴黎奥运会女子10米跳台决赛中，中国选手全红婵夺得冠军。主管教练陈若琳透露，全红婵每天都在苦练207C（向后翻腾三周半抱膝）。“向后翻腾三周半”，即旋转( )度。 【变式训练1】（23-24四年级下·四川成都·期末）在第32届夏季奥运会跳水女子10米跳台决赛中，我国年仅14岁的全红婵以466.2分的总成绩夺冠。此项比赛需要选手跳5次，记5次得分的总分排名。全红婵第1跳的得分是82.50分，第2跳比第1跳高出了13.51分，第3跳又比第2跳低了0.30分，第3跳得分是多少？ 【变式训练2】（23-24四年级下·辽宁·课后作业）在2022年北京冬奥会男子速滑500米决赛中，韩国选手车旼奎、日本选手森重航的成绩分别是34秒39和34秒49，中国选手高亭宇滑出了34秒32的成绩。先比较大小，然后把他们的名字写在相应的领奖台上。 【变式训练3】北京冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，中国小将苏翊鸣以182.50分的成绩夺冠，比获得铜牌的加拿大选手马克斯—帕罗特高出12.25分，而马克斯—帕罗特比获得银牌的挪威选手蒙斯—勒伊斯韦兰仅差了1.5分。 （1）画示意图：请根据提供的数据，用线段表示出三位选手的成绩及他们成绩之间的关系。 （2）算一算：银牌选手蒙斯—勒伊斯韦兰的成绩是多少分？ 考点三 沏茶问题 【典例精讲】（25-26四年级上·陕西安康·期末）如图，周一至周五小明早晨在家要完成以下五件事情后才出门上学，请帮助小明合理安排时间，做完这五件事，用时最短需要________分钟。 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西西安·期末）热爱劳动是一种非常可贵的品质和良好的习惯。小林放学后准备做晚饭，妈妈告诉他：洗锅约2分，淘米约2分，用电饭锅煮饭约35分，洗菜、切菜20分，炒菜5分。小林最快要( )分才能让全家吃上这餐饭。 【变式训练2】（24-25四年级下·陕西西安·期末）热爱劳动是一种非常可贵的品质和良好的习惯。小林放学后准备做晚饭，妈妈告诉他：洗锅约2分，淘米约2分，用电饭锅煮饭约35分，洗菜、切菜20分，炒菜5分。小林最快要( )分才能让全家吃上这餐饭。 【变式训练3】（2025四年级下·全国·专题练习）王阿姨每天起床后要做的事情如下：穿衣（3分），整理床铺（4分），洗脸梳头（7分），扫地（5分），煮粥（20分），烤面包（4分），吃早饭（10分），逐一完成这些事情需要53分。你认为最合理的安排需要多少分？ 考点四 烙饼问题 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西汉中·期末）天天准备烙3张饼，如果每张饼的正反两面都要烙，且每面都需要5分钟，煎锅每次最多能同时烙2张饼。那么天天烙完这3张饼至少要( )分钟。 【变式训练1】（24-25四年级下·陕西西安·期末）周末，小宇的朋友要来家里做客，妈妈决定在电饼铛里烙些香喷喷的饼招待大家，电饼铛每次只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要2分，烙5张饼至少需要( )分。 【变式训练2】（23-24四年级下·吉林长春·期末）一个平底锅一次最多能煎2条鱼，两面都要煎，每面需要3分，要煎5条鱼，最少需要（    ）分能煎好。 A．20 B．18 C．15 D．12 【变式训练3】小明在平底锅里煎鸡翅，每次只能煎2个鸡翅，两面都要煎，每面需要2分钟，煎5个鸡翅至少需要( )分钟。 1．（25-26四年级下·河南焦作·期末）妈妈感冒了，小明准备为妈妈冲“感冒清热颗粒”。洗杯子2分钟，烧水5分钟，找药2分钟，冲药3分钟，他最少需要（    ）。 A．12分钟 B．8分钟 C．7分钟 D．10分钟 2．（2026四年级下·辽宁·专题练习）小梦早上起床后要锻炼身体15分钟，用电饭锅熬粥35分钟，背英语单词10分钟，收拾书包5分钟，吃早餐10分钟，她做完这些事情至少需要（    ）分钟。 A．40 B．45 C．75 3．（25-26四年级上·河北沧州·期末）妈妈准备一顿午餐需要做以下几件事：洗菜5分钟，择菜7分钟，淘米2分钟，用电饭煲煮饭20分钟，切菜2分钟，炒菜5分钟，做完这顿饭至少（    ）分钟。 A．22 B．21 C．41 D．27 4．（23-24四年级下·安徽阜阳·期末）妈妈用电饼铛烙饼，每次只能烙2张，两面都要烙，每面需要2分，烙5张饼。最短需要（    ）。 A．8分 B．10分 C．12分 D．20分 5．下面图形不能进行密铺的是（    ）。 A． B． C． 6．（24-25四年级下·湖南娄底·期末）游乐场有一种游乐项目可以一个人玩，也可以两个人玩，玩一次需要5分钟。欣欣、乐乐和欢欢每人玩2次，至少需要( )分钟。 7．（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）老师需要复印5张资料，正反面都要复印。如果一次最多放2张，复印一面需要5秒，那么至少要复印( )秒。 8．（24-25四年级下·陕西汉中·期末）小虎准备冲一杯橙汁，洗杯子和洗汤匙各1分钟，烧开水7分钟，取出橙汁粉冲泡2分钟，至少需要( )分钟，小虎才能冲好橙汁。 9．（23-24四年级下·四川成都·期末）周末笑笑一行4人去参观自然博物馆，博物馆中有相同的3台体验设备，每台设备提供2个项目供游客体验，笑笑他们每人都要体验2个不同的项目，他们全部体验完至少需要( )分钟。 体验项目 所需时间 地壳探秘 4分钟 探索星空 2分钟 10．（24-25四年级下·陕西汉中·期末）妈妈感冒了，乐乐准备为妈妈冲感冒颗粒。找感冒颗粒2分钟，烧水5分钟，倒水冲药1分钟，她至少需要6分钟完成。( )（判断对错） 11．（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）用一个平底锅煎小黄鱼，每次最多只能煎2条小黄鱼，煎熟一条小黄鱼要8分钟（两面都要煎，每面4分钟），煎熟3条小黄鱼至少需要12分钟。( )（判断对错） 12．（25-26四年级下·广东深圳·阶段检测）妈妈把饺子包好了，接下来需要完成以下事项：洗煮锅2分钟，锅中接清水1分钟，烧水7分钟，准备饺子蘸料4分钟，摆放碗筷1分钟，水开后把饺子放入锅中煮3分钟。从包好饺子到吃饺子至少还要多长时间？请画图说明。 13．（25-26四年级下·广东深圳·期末）【图形奥秘再探究】 (1)小华在学习“三角形内角和”一课时发现：可以用三角形内角和来得到其他多边形的内角和。他的方法如图： 请你照样子在五边形内画一画，算一算五边形内角和＝_________。 (2)正多边形是指各边、各角都相等的多边形，请你借助上题中内角和知识，求出下面图形中每个角的度数。 (3)下面是仅用一种正多边形进行密铺的图案。 你认为仅用正五边形能密铺吗？（能    不能）打“√” 你发现仅用一种正多边形可以密铺的“奥秘”是：____________________。 14．（2025四年级下·全国·专题练习）在一个工厂的废料堆里，堆放着大量不规则的四边形木料（如下图），这些木料的大小和形状是一样的。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料。有人建议用这些木料来铺地板，你认为这些木料能密铺吗？为什么？ 15．（24-25四年级下·河南商丘·期末）明明一家4口到云台山旅游。他们一家和当地旅行团的24名成员打算一起租观光车，现有大、小两种观光车可以选择。 （1）明明列出算式：（元），明明解决的是什么问题？ （2）怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 16．（24-25四年级下·安徽宿州·期末）小涛要做一次晚饭。淘米要1分，用电饭锅煮饭需要18分，洗菜需要3分，切菜需要4分，炒菜需要10分。小涛怎样安排做事情的顺序才能尽快做好这顿饭？最少需要多少分？ 17．（24-25四年级下·广东深圳·期末）淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 18．（2025四年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四人过桥，分别需要1分、2分、5分、10分。因为天黑，必须借助手电筒过桥，可是他们只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，每次最多过两人。现在希望用最短的时间过桥，你来帮他们安排一下吧，最短时间是多少分呢？ 19．（2025四年级下·全国·专题练习）烤面包时，烤正面要2分，烤反面只要1分。乐乐用的烤面包箱一次只能放两片面包，她每天早上要吃三片面包，那么最少需要多少分？ 20．奥运会的一次女子跳水比赛中，中国、俄罗斯和美国各有一名选手进入决赛，俄罗斯选手以领先美国选手25的优势进入到最后一跳，中国选手则落后美国选手1.05分，排名第三。 下面是三名运动员最后一跳的得分： 俄罗斯 美  国 中  国 61.70分 87.10分 94.21分 （1）请问谁是冠军，谁是亚军，谁是季军？ （2）冠军比亚军领先多少分，季军比亚军少多少分？ （3）第一名和第三名相差多少分？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $