11.4一次函数与实际问题 课件 2025--2026学年青岛版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数与实际问题，通过复习一次函数与二元一次方程关系，结合温度换算数据引导描点分析，搭建新旧知识衔接的学习支架，帮助学生从旧知过渡到实际问题建模。 其亮点是以温度换算、种子购买等案例为载体，通过描点判断数据、列方程组求解析式，培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力），总结“建模—分析—求解—验证”流程强化模型观念。学生能掌握解决实际问题步骤，教师可直接使用完整案例提升教学效率。

11.4一次函数与实际问题 第十一章 一次函数 学 习 目 标 1 2 3 能从实际问题中抽象出一次函数模型，建立变量之间的函数表达式。 能运用一次函数的图象和性质解决实际问题，包括最值求解、分段函数应用等。 掌握 “建模 — 分析 — 求解 — 验证” 的实际问题解决流程。 导入新课 问题1：一次函数与二元一次方程之间有什么关系？ 一般地，二元一次方程ax+by=c(a≠0，b≠0)可看作一个一次函数y=-x+.以二元一次方程ax+by=c(a≠0，b≠0)的任意一个解为坐标的点，都在直线y=-x+上；反之，直线y=-x+上任意一个点的坐标，都是二元一次方程ax+by=c(a≠0，b≠0)的一个解. 3 导入新课 问题2：常用的温度计量单位有摄氏度(℃)和华氏度(℉)两种.它们之间的部分对应温度数据如下表所示： 设摄氏温度为x(单位：℃)，华氏温度为y(单位：℉)，在平面直角坐标系中描出表格中的数据对应的点，你能用描点法画出图象吗？ 4 基础　主干落实 新知要点 一次函数关系识别 1.两个变量对应数值的差之比是一个常数k,那么这两个变量之间是一次函 数关系. 可以表示为=k,则y是x的一次函数. 2.表示两个变量的图象是一条直线,则图象表示的函数是一次函数关系. 对点小练 某市规定了每月用水不超过18立方米和超过18立方米两种不同的收费标准,该市 用户每月应缴水费y(元)是关于用水量x(立方米)的函数,其图象如图所示.已知小 王家这个月缴了水费60元,则小王家这个月的用水量为_________立方米.  　19.5　 知识探究 探究 1：温度换算中的一次函数模型 观察与发现 常用的温度计量单位有摄氏度(℃)和华氏度(℉)两种。它们之间的部分对应温度数据如下表所示: 知识探究 探究 1：温度换算中的一次函数模型 观察与发现 设摄氏温度为x(单位:℃),华氏温度为y(单位:℉),在平面直角坐标系中 描出表格中的数据对应的点,如图11.4-1所示。 问题1：这些点所在的位置有什么特征? 1.描点后发现，这些点都在同一条直线上，说明 y与x满足一次函数关系。 2.摄氏温度每增加 10℃，华氏温度增加18 ℉，变化率恒定，符合一次函数特征。 高效课堂 活动一：自主探究一次函数的概念 问题：华氏温度(单位：℉)关于摄氏温度(单位：℃)的函数表达式是什么？ 9 高效课堂 设y关于x的函数表达式为y=kx+b.当x=0时，y=32；当x=10时，y=50. 列方程组得 解得 所以y关于x的函数表达式为y=1.8x+32. b=32， 10k+b=50. k=1.8， b=32. 10 高效课堂 问题：一地某日最高气温为95 ℉，此地当日最高气温为多少摄氏度？华氏温度值与对应的摄氏温度值有可能相等吗？ (1)将y=95代入y=1.8x+32，解得x=35.所以此地当日最高气温为35 ℃. (2)将y=x代入y=1.8x+32，解得x=-40.所以华氏温度值与对应的摄氏温度值相等时为-40，即-40 ℃=-40 ℉. 11 重点　典例研析 重点1利用一次函数的关系式计算求值(模型观念、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P97观察与发现拓展)秤是我国传统的计重工具,它的应用方便了人们的生活.如图1,可以用秤砣到秤纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的质量.称重时,若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时,秤钩所挂物重为y(斤),则y是x的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据. x(厘米) 1 2 4 7 11 12 y(斤) 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 (1)在上表x,y的数据中,发现有一对数据记录错误.在图2中,通过描点的方法,观察判断哪一对是错误的. (2)根据(1)的发现,问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时,秤钩所挂物重是多少? 【自主解答】(1)描点如图所示,观察图象可知:x=7,y=2.75这对数据错误. (2)设y=kx+b,把x=1,y=0.75,x=2, y=1代入可得,解得, ∴y=0.25x+0.5, 当x=18时,y=5, 答:秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为18厘米时,秤钩所挂物重是5斤. 知识探究 探究 1：温度换算中的一次函数模型 观察与发现 设摄氏温度为x(单位:℃),华氏温度为y(单位:℉),在平面直角坐标系中 描出表格中的数据对应的点,如图11.4-1所示。 问题2：若增加表格中的数据,那么这些数据所对应的点是否依然有此特征? 增加表格中的数据,这些数据所对应的点依然有此特征 知识探究 探究 1：温度换算中的一次函数模型 观察与发现 问题3：华氏温度y(单位:℉)关于摄氏温度x(单位:℃)的函数表达式是什么? 通过表格可以看出,摄氏温度每增加10℃,华氏温度都增加18℉。y关于x的函数是一次函数。 解：设y关于x的函数表达式为y=kx+b。当x=0时,y=32;当x=10时,y=50。列方程组得： b=32 10k+b=50 解得： b=32 k=1.8 所以y关于x的函数表达式为y=1.8x+32。 知识探究 探究 1：温度换算中的一次函数模型 观察与发现 问题4：由此可以解决相关的实际问题:一地某日最高气温为95℉,此地当日最高气温为多少摄氏度? 华氏温度值与对应的摄氏温度值有可能相等吗? 将y=95代入y=1.8x+32,解得x=35。所以,此地当日最高气温为35℃。 将y=x代入y=1.8x+32,解得x=-40。所以,华氏温度值与对应的摄氏温度值相等时为-40,即-40℃=-40℉。 高效课堂 活动二：归纳总结一次函数与实际问题的联系，巩固提升 问题：某种玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子的价格打8折，你能写出购买种子质量x(单位：千克)关于付款金额y(单位：元)的函数表达式，并画出函数图象吗？ 当0≤x≤2时，种子价格为5元/千克，y=5x； 当x>2时，超出的(x-2)千克打8折，即按4元/千克计价，y=10+4(x-2)，即y=4x+2. 5x(0≤x≤2)， 4x+2(x>2). 综上，y= 18 高效课堂 活动三：例题讲解，知识迁移与运用 例1 学校准备购进A型和B型两种消毒液共90瓶.已知A型消毒液每瓶7元，B型消毒液每瓶9元.学校要求购进B型消毒液的数量不少于 A型消毒液数量的.请设计最省钱的购买方案. 19 高效课堂 解：设购进A型消毒液x瓶，购买费用为W元. 由题意得W=7x+9(90-x)=-2x+810. 所以W是x的一次函数，且一次项系数-2<0. 所以W随着x的增大而减小，x最大时，W有最小值. 根据题意得90-x≥x，解得x≤67.5. 由x是整数，得x的最大值为67，此时 W=810-2×67=676. 购进B型消毒液90-67=23(瓶). 所以最省钱的购买方案是购进67瓶A型消毒液、23瓶B型消毒液，费用为676元. 20 【举一反三】 (2025·陕西中考)研究表明,一定质量的气体,在压强不变的条件下,气体体积y(L)与气体温度x(℃)成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下,对一定质量的某种气体进行加热,测得的部分数据如下表: 气体温度x(℃) … 25 30 35 … 气体体积y(L) … 596 606 616 … (1)求y与x的函数关系式; (2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热.求停止加热时的气体温度. 【解析】(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b, 则,解得, 故y与x的函数关系式为y=2x+546. (2)令y=700,则2x+546=700,解得:x=77. 答:停止加热时的气体温度为77 ℃. 知识探究 探究 1：一次函数与二元一次方程的联系 结合上述探究，归纳二次根式的乘法法则： 二次根式的乘法法则： 概括与表达 如果现实生活中的两个变量之间满足一次函数关系,就可以用一次函数的图象和性质等知识研究其变化规律,进而解决问题。 课堂总结 课堂总结 一次函数解决实际问题的一般步骤： ① 设变量：明确自变量和因变量； ② 建模型：根据题意列出函数表达式（注意分段函数）； ③ 定范围：根据实际约束确定自变量取值范围； ④ 析性质：利用一次函数单调性分析最值或求解问题； ⑤ 验结果：验证结果是否符合实际意义。 课堂总结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 2.学习了本节课你有何感想？请畅所欲言. 25 $