11.4一次函数与实际问题（教学课件）数学新教材青岛版八年级下册

11.4一次函数与实际问题 第十一章 一次函数 学 习 目 标 1 2 3 能从实际问题中抽象出一次函数模型，建立变量之间的函数表达式。 能运用一次函数的图象和性质解决实际问题，包括最值求解、分段函数应用等。 掌握 “建模 — 分析 — 求解 — 验证” 的实际问题解决流程。 知识回顾 问题1：一次函数的图象： 是一条直线，当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小。 问题2：一次函数的性质： 当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大； 当k<0时，y随x的增大而减小。 知识导入 生活中很多变化都有规律，比如温度换算、购物费用、水费计算等。这些变化能不能用我们学过的一次函数来表示？我们又该如何用一次函数帮我们解决实际问题呢？ 知识探究 探究 1：温度换算中的一次函数模型 观察与发现 常用的温度计量单位有摄氏度(℃)和华氏度(℉)两种。它们之间的部分对应温度数据如下表所示: 知识探究 探究 1：温度换算中的一次函数模型 观察与发现 设摄氏温度为x(单位:℃),华氏温度为y(单位:℉),在平面直角坐标系中 描出表格中的数据对应的点,如图11.4-1所示。 问题1：这些点所在的位置有什么特征? 1.描点后发现，这些点都在同一条直线上，说明 y与x满足一次函数关系。 2.摄氏温度每增加 10℃，华氏温度增加18 ℉，变化率恒定，符合一次函数特征。 知识探究 探究 1：温度换算中的一次函数模型 观察与发现 设摄氏温度为x(单位:℃),华氏温度为y(单位:℉),在平面直角坐标系中 描出表格中的数据对应的点,如图11.4-1所示。 问题2：若增加表格中的数据,那么这些数据所对应的点是否依然有此特征? 增加表格中的数据,这些数据所对应的点依然有此特征 知识探究 探究 1：温度换算中的一次函数模型 观察与发现 问题3：华氏温度y(单位:℉)关于摄氏温度x(单位:℃)的函数表达式是什么? 通过表格可以看出,摄氏温度每增加10℃,华氏温度都增加18℉。y关于x的函数是一次函数。 解：设y关于x的函数表达式为y=kx+b。当x=0时,y=32;当x=10时,y=50。列方程组得： b=32 10k+b=50 解得： b=32 k=1.8 所以y关于x的函数表达式为y=1.8x+32。 知识探究 探究 1：温度换算中的一次函数模型 观察与发现 问题4：由此可以解决相关的实际问题:一地某日最高气温为95℉,此地当日最高气温为多少摄氏度? 华氏温度值与对应的摄氏温度值有可能相等吗? 将y=95代入y=1.8x+32,解得x=35。所以,此地当日最高气温为35℃。 将y=x代入y=1.8x+32,解得x=-40。所以,华氏温度值与对应的摄氏温度值相等时为-40,即-40℃=-40℉。 知识探究 探究 1：一次函数与二元一次方程的联系 结合上述探究，归纳二次根式的乘法法则： 二次根式的乘法法则： 概括与表达 如果现实生活中的两个变量之间满足一次函数关系,就可以用一次函数的图象和性质等知识研究其变化规律,进而解决问题。 典例解析 例1 学校准备购进A型和B型两种消毒液共90瓶。已知 A型消毒液每瓶7元,B型消毒液每瓶9元。学校要求购进B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的。请设计最省钱的购买方案。 分析： 步骤 1：设变量，列函数表达式 设购进 A 型消毒液 x 瓶，总费用为 W 元，则 B 型消毒液为 (90−x) 瓶。 费用表达式：W=7x+9(90−x)=−2x+810。 原理：总费用 = A 型费用 + B 型费用，整理后得到一次函数。 典例解析 例1 学校准备购进A型和B型两种消毒液共90瓶。已知 A型消毒液每瓶7元,B型消毒液每瓶9元。学校要求购进B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的。请设计最省钱的购买方案。 步骤 2：分析函数单调性 一次项系数k=−2<0，所以W随x的增大而减小。 原理：一次函数性质，k<0 时函数递减，要使 W 最小，需 x 取最大值。 典例解析 例1 学校准备购进A型和B型两种消毒液共90瓶。已知 A型消毒液每瓶7元,B型消毒液每瓶9元。学校要求购进B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的。请设计最省钱的购买方案。 步骤 3：根据约束条件求 x 的取值范围 约束条件：90−x≥31​x，解得 x≤67.5。 因为 x 为整数，所以 x 的最大值为 67。 典例解析 例1 学校准备购进A型和B型两种消毒液共90瓶。已知 A型消毒液每瓶7元,B型消毒液每瓶9元。学校要求购进B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的。请设计最省钱的购买方案。 步骤 4：计算最小费用与方案 当 x=67 时，W=−2×67+810=676 元。 B 型数量：90−67=23 瓶。 结论：最省钱方案是购进 67 瓶 A 型、23 瓶 B 型，费用 676 元。 典例解析 解:设购进A型消毒液x瓶,购买费用为W 元。根据题意得 W=7x+9(90-x)=-2x+810。 所以W 是x的一次函数,且一次项系数-2<0。 所以W 随着x的增大而减小,x最大时,W 有最小值。根据题意得 90-x≥x, 解得：x≤67.5。 由x是整数,得x的最大值为67,此时 W=810-2×67=676。 购进B型消毒液90-67=23(瓶)。 所以,最省钱的购买方案是购进67瓶 A型消毒液、23瓶B型消毒液,费用为676元。 典例解析 例2 某市为鼓励居民节约用水,自今年1月1日起居民用水收费标准按两档分阶梯计价。如图11.4-2,l1,l2分别表示去年、今年水费y(单位:元)与用水量x(单位:m3)之间的关系。小亮家去年用水量为150m3,若想保持用水费用不变,今年需要节水多少立方米? 解析：步骤 1：求去年水费函数表达式 设 l1​:y=k1​x，过点 (140,420)，代入得 140k1​=420，解得 k1​=3。 所以 l1​:y=3x。 计算去年 150m3水费：y=3×150=450 元。 典例解析 例2 某市为鼓励居民节约用水,自今年1月1日起居民用水收费标准按两档分阶梯计价。如图11.4-2,l1,l2分别表示去年、今年水费y(单位:元)与用水量x(单位:m3)之间的关系。小亮家去年用水量为150m3,若想保持用水费用不变,今年需要节水多少立方米? 步骤 2：求今年水费分段函数表达式 当 0≤x≤120 时，l2​ 过原点与 (120,420)，斜率 k=120420​=27​，表达式为 y=27​x。 当 x>120 时，设l2​:y=k2​x+b，代入 (120,420)、(140,520)： 典例解析 例2 某市为鼓励居民节约用水,自今年1月1日起居民用水收费标准按两档分阶梯计价。如图11.4-2,l1,l2分别表示去年、今年水费y(单位:元)与用水量x(单位:m3)之间的关系。小亮家去年用水量为150m3,若想保持用水费用不变,今年需要节水多少立方米? 120k2+b=420 140k2+b=520 解得 :k2​=5，b=−180，表达式为 y=5x−180。 综上，l2​:y= x, 0≤x≤120 5x-180,x＞120 典例解析 例2 某市为鼓励居民节约用水,自今年1月1日起居民用水收费标准按两档分阶梯计价。如图11.4-2,l1,l2分别表示去年、今年水费y(单位:元)与用水量x(单位:m3)之间的关系。小亮家去年用水量为150m3,若想保持用水费用不变,今年需要节水多少立方米? 步骤 3：求今年 450 元对应的用水量 当 y=450 时，5x−180=450，解得 x=126。 步骤 4：计算节水量 节水量：150−126=24(m3)。 结论：今年需节水 24m3。 典例解析 解:设l1 的函数表达式为y=k1x。 因为直线y=k1x过点(140,420),所以140k1=420, 解得 k1=3。 所以l1 的函数表达式为y=3x。 当x=150时, y=3×150=450。 当y>420时,l2 为过B,C点的射线,设它的函数表达式为y=k2x+b。 将B(120,420),C(140,520)代入y=k2x+b,得 120k2+b=420 140k2+b=520 解得 :k2​=5，b=−180， 所以当y>420时,l2 的函数表达式为y=5x-180 典例解析 当y=450时, 5x-180=450, 解得 x=126。 因为150-126=24(m3),所以小亮家要想支付与去年相同的水费,今年需节水24m3。 课堂练习 1.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当x________时，选用个体车较合算． ＞1500 课堂练习 2．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价 y(元)与销售量 x（件）之间的函数图象．下列说法, 其中正确的说法有             ．（填序号） ①售2件时甲、乙两家售价一样； ②买1件时买乙家的合算； ③买3件时买甲家的合算； ④买1件时，售价约为3元. ①②③ 课堂练习 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式. 课堂练习 1.哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？ A、B会变化，C不变 2.在A、B两种方式中，上网费由哪些部分组成？ 上网费=月使用费+超时费 3.影响超时费的变量是什么？ 上网时间 4.这三种方式中有一定最优惠的方式吗？ 没有一定最优惠的方式，与上网的时间有关 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 课堂练习 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 5.设月上网时间为x小时，则方式A、B的上网费y1、y2都是x的函数，要比较它们，需在 x > 0 的条件下，考虑何时 （1） y1 = y2； （2） y1 < y2； （3） y1 > y2. 课堂练习 6.在方式A中，超时费一定会产生吗？什么情况下才会有超时费？ 不一定，只有在上网时间超过25小时时才会产生． 合起来可写为： 当0≤x≤25时，y1=30； 当x＞25时，y1=30+0.05×60（x-25）=3x-45. 课堂练习 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 7.你能自己写出方式B的上网费y2关于上网时间 x之间的函数关系式吗? 方式C的上网费y3关于上网时间x之间的函数关系式呢? 当x≥0时，y3=120. 课堂练习 当上网时间__________时，选择方式A最省钱. 当上网时间_________时，选择方式C最省钱. 在同一坐标系画出它们的图象： 当上网时间__________时，选择方式B最省钱. 课堂总结 课堂总结 一次函数解决实际问题的一般步骤： ① 设变量：明确自变量和因变量； ② 建模型：根据题意列出函数表达式（注意分段函数）； ③ 定范围：根据实际约束确定自变量取值范围； ④ 析性质：利用一次函数单调性分析最值或求解问题； ⑤ 验结果：验证结果是否符合实际意义。 课堂总结 课堂总结 核心思想： 数学建模思想：将实际问题抽象为一次函数模型； 数形结合思想：借助图象分析函数关系； 优化思想：利用函数单调性求最值。 感谢聆听! $