第三章 课时6 利用导数研究函数的零点课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究函数的零点”专题，依据高考评价体系梳理了零点个数判断、范围确定两大核心考点，分析了三次函数、复合函数零点及交汇问题的高频考查方向，归纳了数形结合法等常考题型，结合2025新高考II卷等真题示例，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+规律提炼+素养培养”，如例1通过分离参数转化为图像交点问题，用导数分析单调性与极值，培养数学思维与数学眼光。规律方法指导学生掌握参数范围求解步骤，助力教师精准教学，提升学生高考压轴题得分率。

课时6利用导数 研究函数的零点 、考情分析 函数零点问题在高考中占有很重要的地位 围.高考常考查三次函数与复合函数的零 汇问题，一般作为解答题的压轴题出现. ,主要涉及判断函数零点的个数或范 京问题，以及函数零点与其他知识的交 二、考点扫描 考点一数形结合法研究函数零点 例1(2025·江西南昌市模拟节选)已知函数x)=(x =0时，函数y=x)有3个零点，求b的取值范围 a2+be(a,b∈R).若当a 【解】函数y=x)有3个零点，即关于x的方程x)=0有3个根， 也即关于x的方程b=_心有3个根 令0= 则直线y=b与)=-￡的图象有3个交点 g0=xr-2》, 由gx)0解得0<<2；由g(x)>0解得x<0或>2， 所以gx)在(-o,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，十oo)上单调递增 80)=0,g2)=-4 ' 当>0时，gx)K0；当x→+o时，g(x)→0；当x→一o时， 作出gx)的大致图象如图所示，作出直线y=b. 2 =b 4 4 由图可知，若直线y=b与g(x)的图象有3个交点，则一 e 即6的取简范用发〔令)小 gx)→-0， <b<0, 规律方法： 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数， 出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象 若能分离参数，可将参数分离 ,根据图象特征求参数的范围 对点训练 设函数x)=ln x十m,m∈R,试讨 X 论函数g)=fx)-零点的个数 【解】由题意知g)=f)- m 3 x2 3 0,设06)）=-}+x(x>0y,则o6)=-r+ >0,p(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1， 单调递减.所以x=1是px)的唯一极值点， 最大值点，所以(x)的最大值为0(I)= 2 3 结合y=p(x)的图象（如图）可知， x≥0)，令g9=0,得m=-+r> 1=-(x-1)c+1).当x∈(0,1)时，0(x) +o)时，p'x)<0,px)在(1，十o)上 且是极大值点，所以x=1也是x)的 23 vo(x) ①当m>2时，函数g0)无零点： 3 ②当m=2时， 函数gx)有且只有一个零点； ③当0<m<2时， 函数g(x)有两个零点； ④当m≤0时，函数(x)有且只有一个零点 综上所述，当m>2时，函数gx)无零点；当m=二或m 一个零点；当0<m<2时， 函数g(x)有两个零点， 0时，函数gx)有且只有 例2(2025河南安阳一中期末节选) 零点个数 求函数在⑨上的 s) 【解】令上，则=昏二 当≥时，三恒成立，所以f在[匹对上递增， 所以 因此.9在匹>上无零点； 当©时，签恒成立，所以（刈单调递增， 又·，所以f(在Q四上存在唯一的零点x, 当《建单调递减；当单调递增： 又， 因此.f©在Q四上仅有1个零点 综上，四在⑨上仅有1个零点 规律方法： 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的 符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定 函数存在零点的条件 考点二研究函数零点的性质 例3(2025•新高考Ⅱ卷)已知函数 9李A.其中0k3 (1)证明：，)在区间○父存在唯一的极值点和唯一的零点 (2)设x飞分别为f9在区间⑨>的极值点和零点 设函数，证明：g)在区间(Qx)上单调递减； ②试比较2x与：的大小，并证明你的结论。 【解】(1)由题得 因为国所以父-。设五 则季一（书t在O恒成立，所以在O9单调递减， 4妇4，令4台*头， 所以当丰O树时，寸(，则 少；当s时，对(，则.寸， 所以f八)在(Q6)上单调递增，在(。©对上单调递减，所以f(x)在⑨上 存在唯一极值点，对函数头有《1一在⑨+上恒 成立，所以=在©上单调递减，所以三写 在Q上恒成立又因为⑨毛，x时去条餐车， 所以®时y(,所以存唯一④与，使得毛，即(x在 Q上存在唯一零点 公104刻则女不 则年 才 ((并申 长HH 2 (12子 6所子圣， ( 即g)在1O上单调递减 2 2xx证明如下： 由①知：函数g(t)在区间(Qx)上单调递减 所以中即O人②，又毛， 由(1)可知f(d)在（上单调递减，s 且对任意0.寸(，所以 , 规律方法： 涉及函数的零，点（方程的根）问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点， 根据函数零，点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端，点的函数值与0 的关系，从而求得参数的取值范围. 对点训练 已知函数， (1)1<1 X 2 (2) x1 S 设，s是f(x的两 个零点求证： 【证明】(1)由题意，不妨设xs,则 之设 93+1>0,则gw)在©3上递增且g0, X 所以x∈(0,1)时，gx)<0,即9<0，x∈C+时，gx)>0,即fx)>0,所以 x)在(0,1)上单调递减，在Q+)上单调递增方三 (,0<1<1,所以 X 七设以 所以函数gx)单调递增，所以‘， 所以因，即= 又函数()在(O,)上单调递减，所以 0x11,所以1< 光X3 ll 士s (2)注意到 所以 2 类生生 】 要证 2 ,只需，即只需 INH Ix H Hx Y 芝令 对空，当时，对.州可单 x,则 调递增，当x时，吼对(，单调递减，又 ,所以 所以要证，只需 即 不妨设 则c美当时，7，A)单调递增，当 x>时，(，()单调递增，因为O,所以 学码江廊g因大 74s,所以 上石综上所述，命题证 米 感谢观看 THANKS