第五章 课时3 平面向量数量积课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量数量积”专题，依据课标要求梳理了概念、运算、投影、垂直关系等核心考点，结合近三年高考真题分析了数量积运算、模与夹角求解等高频题型，构建了“知识梳理-真题解析-规律总结”的备考体系。 课件亮点在于“真题导向+方法归纳+素养提升”，如以2025八省联考真题为例，详解基底法与坐标法运算技巧，培养学生数学思维与运算能力，针对投影向量、垂直参数等易错点设置辨析训练，助力学生掌握得分关键，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

课时 3平面 向量数量积 课标要求 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积， 2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角，会用数量 积判断两个平面向量的垂直关系 二、知识梳理 1.向量的夹角 (1)条件：平移两个非零向量 叫作a与b的夹角. a和b至同一起点， A a 8 b B 结论：∠A0B=0(0°≤0≤180) (2)范围：0≤0≤180°.特殊情况：当0=0°时，a与b共线同向；当0=180°时，a 与b共线反向；当0=90时，a与b互相垂直 2.向量的数量积 (1)条件：两个向量a与b,夹角0，结论：数量abcos0叫作a与b的数量积（或 内积)，记作ab,即ab=abcos0 (2)数量积的几何意义 条件：a的长度a,b在a方向上的投影bcos0(或b的长度b,a在b方向上 的投影acos0),结论：数量积ab等于a与bcos0的乘积（或b与alcose0的 乘积). (3)投影向量 设a,b是两个非零向量，如图，OA表示向量a,OB表示向量b,过点A作OB所 在直线的垂线，垂直为A,.我们将上述由向量a得到OA的变换称为向量a向向 量b投影，OA称为向量a在向量b上的投影向量. A a b a B A 图① 图② 3.平面向量数量积的运算律 (1)ab=ba(交换律) (2)λa⋅b=λ(a⋅b)=a⋅(λb) (结合律). (3)(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c (分配律). 4.平面向量数量积的有关结论 己知非零向量a=(1,y1),b=X2y2),0=〈a,b). 结论 几何表示 坐标表示 向量的模 a=呀 夹角余弦 c0s0= ab xYh0 ab cos 0=V a⊥b充要条件 ab=0 5 X1X2十 ab与ab的关系 lab≤abl yiy2sxi+yx3+y3 【拓展知识】 1.求平面向量的模的公式 (1)a2= 00 a2或a=1u ②abh=Va山-V222 (③)若a=(&,y),则a=V5 V d 2.有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab>0, 成立) (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab<0 成立) 3.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)(a-b)=a2-b2; (2)(a±b)2=a2±2ab+b2. 反之不成立（因为夹角为0时不 反之不成立（因为夹角为π时不 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打V”,错误的打×） (1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量， V【解析】向量在另一个向量方向上的投影为数量 而不是向量.() (2)由ab=0可得a=0或b=0.() ×【解析】反例：a⊥b. (3)(ab)c=(bc.() ×【解析】向量数量积不满足向量结合律 (4)若ab>0,则a和b的夹角为锐角；若ab<0,则a和b <【解析】ab>0,则a和b的夹角为锐角或者同向共线； 夹角为钝角或者反向共线 的夹角为钝角.( ) 若ab<0,则a和b的 2.(2024·全国新课标I卷)己知向量一三厚若 A.-2 B.-1 C.1 D.2 D【解析】因为 平.所以不再4 忌<，故2.故选D. ,则=( ) 所以乃名， 即 3.(多选题)已知向量a=(1 A.a∥b C.b⊥(a-b) ABD【解析】因为1×4=一2 =-5.a-b=(3,-6),b(4 ABD. ,一2)，b=(-2,4),则有() B.(a十b)a=-5 D.24=b (-2),所以a∥b.又a+b=(-1,2),所以(a+b)a b)≠0，C错误，ld=V5,b=2V5,24=b1.故选 4、(2025山东淄博市统考)已知向量a,b满足王，且五6多，则a在b上 的投影向量为 【解析】因为向量6华，且万，那么6究，所以 向量a在向量6上的投影向量为 四、考点扫描 考点一平面向量数量积的运算 例1(1)(2025·八省联考)已知向量言€其，则( A.2 B.1 C.0 D.-1 B【解析】列，9,4,4 故选B. (2(2025·天津高考)在△ 则 (用， 中，为边 的中点， , 表示)；若 ,且 ,则 ● 【解析】因为为边中点， ,所以 因为 ,所以 ①. 因为 ,且 ， 所以 ② 由①②可得： 因为 所以 A D E C B 规律方法： 计算平面向量数量积的两种类型 (1)基底法：ab=abcos〈a,b〉。 (2)定义法：若a=(X1,y1),b=(2,y2), 则ab=x1X2十y1y2 对点训练( 1)设向量a, 11【解析】(2a+b)·b= =11. b的夹角的余弦值为，a= 2a·b+b2=2 abcos(a,b〉 ,b=3,则(2a十b)·b +br=2X1×3X+3 3 (2)在梯形ABCD中，AB∥DC,AD⊥DC, 的中点，F为线段AE的中点，则CD=( A 31 B 3 16 16 AD=AB=2DC=2,E为边BC ) C 35 D 37 16 16 ol) 等B【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 1 则Aoem0a.a2所以(42座 所w防-汁到-8益B 考点二平面向量数量积的应用 考向1求向量的模 例2(2025：新高考Ⅱ卷)已知平面向量 5二若（净，则 |a4= 2【解折】三，因为月，则女布飞，则- 解得曰则，则三 规律方法： 求平面向量的模的方法 ①公式法：利用a=aa及(a±b=a±2ab ②几何法：利用向量的几何意义 +b2; 考向2求两向量的夹角 例3 (2025·湖北部分市州1 与b的夹角为() A. B 3 6 月联考)已知单位向量 C 3 ,b满足(GE办上，则a S元 D 6 C【解析】 “4c- 则好音散吐C 规律方法： 求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos0=ab ab ②坐标法. 考向3利用向量垂直求参数 例4(2025·广东深圳市一模)已知向量卡事若4亦，则入= A.-2 B.-1 C.1 D.2 B【解析】由于喜龟些年，则克=， 则2三1.故选B 规律方法： 两个向量垂直的充要条件 a⊥b台ab=0台la-b=a+b( 其中a≠0，b≠0). 考向4求投影向量 例5(2025·山东青岛市 影向量为( a〔5到 B C. D 模)已知向量( 9 停 1,万1实，则在上的投 【解街上的投影狗企为和a/修·东 密（ 故选A 对点训练（1)(2024·全国新课标I‖卷)已知向量a,b满足a=1,a十2b=2, 且(b-2a)⊥b,则bl=() A. B. 2 2 C. 1V3 D.1 2 B【解析】因为(b-2a)Lb,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b.又因为a=1, A2b=2,所以士4a·b+4b=十66=4，解得b= 故选B. (2) (2025·江苏南京市期初)已知向量a,b满足|三，1b=1若D上， 则c=() A、 B. C, D 2 3 2 A【解析】因为)上， 所以 令又气，所以 ab b 3 2,所以 2故选A. (3)(2025·安徽安庆上二模)已知平面向量 是“8布方向上的製影狗为》 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 业y则“乃” ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 C【解折】由于本2 在6 ab 1 则 2 2 选C. 方向上的投影向量 若 -刘 (4)(多选题)己知向量a=(m,一1)，b=(-2,1),则下 A.若m=1,则a-b=V13 B.若a⊥b,则m=2 C.“m-” 是“a与b的夹角为锐角”的充要条件 D.者m-1.则b在a的投影向量的坐〔分 列说法正确的有( ) ACD【解析】对于选项A,因为m=1, M一b=(3,-2),故a-b=V子+3 对于选项B,因为a⊥b,所以一2m一1 所以a=(1,-1),又b=(-2,1),所以 13,所以选项A正确： =0, 解得m=- 所以选项B错误； 2 对于选项C,当a与b的夹角为锐角时，由cos〈a,b) = ab >0,得mb>0, a b 即-2m-10,得m当m时，可得sa,6= ab >0,而(a,b》 2 a b ∈[0，元，又当a∥b时，m-2=0得m=2,此时a=(2,-1),b=(-2,1),a, 6反向共线，所以a,b∈Q》即mr一可以得出a与5的夹角为锐 所以选项C正确； 对于选项D,当m= ab a 2-1, aa 、×(-1, 1时，a=(-1,-1),b=( -(2 所以选项 2,1),b在4上的投影向量为 D正确.故选ACD 考点三 向量数量积的实际应用 例6（多选题）在日常生活中，我价 行李包所受的重力为G,所受的两 的夹角为0，则下列结论正确的有( A.国的最小值为G c.当0到.1-3c ]会看到两个人共提一个行李包的情况.假设 个拉力分别为F1,F2.若F=F2,且F1与F2 ) B.0的取值范围是[0，] D.当9=2时，=1G 3 ACD【解析】由题意知，F+F2十G=0,可得F+F2=一G,两边同时平方得 GP=F2+F22+2F1F2cos0=2F2+2F|2cos0,所以F12= 1G 当0 21+co9 =0时，F1m=2G:当0-时，F=2G:当0-3时，F=G,故A,C, D正确. 当0=π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以∈「0，)，故B错 误.故选ACD 对点训练在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横 梁上.在其中一个秤盘中放入重量为60N的物品，在另一个秤盘中放入重量60 N的砝码，天平平衡3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1,F2, F),若3根细绳两两之间的夹角均为”，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F 的大小为 N. 106【解析】依题意，F=F2 =F2+F22+F32+2FF+2F2 600,解得F1=106. =F且F+F2+F3 F3十2F3F1=3600, 60,所以F1+F2十F2 即3F+323 米 感谢观看 THANKS