精品解析：湖南省岳阳市第九中学2023-2024学年八年级下学期数学入学考试试卷

湖南省岳阳市第九中学2024年八年级下学期数学入学考试试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　） A. 1cm，1cm，8cm B. 3cm，3cm，6cm C. 3cm，4cm，5cm D. 3cm，2cm，1cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、1+1＝2＜8，不能组成三角形，故此选项不合题意； B、3+3＝6，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、3+4＝7＞5，能组成三角形，故此选项符合题意； D、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，掌握“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 2. 在下列各数：，0.2，，，，中，无理数的个数（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即整数，分数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：，， 故无理数有，共2个． 故选：． 【点睛】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 3. 要使式子有意义，x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得且，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是根据题意列出不等式． 4. 用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设　　 A. 三角形的三个外角都是锐角 B. 三角形的三个外角中至少有两个锐角 C. 三角形的三个外角中没有锐角 D. 三角形的三个外角中至少有一个锐角 【答案】B 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角， 故选B． 【点睛】考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据负整数指数幂的计算即可判断A；根据同底数幂的除法可判断B；根据同类二次根式才能合并，可判断C；根据二次根式的除法可判断D． 【详解】，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； 和不是同类二次根式，不能合并，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查负整数指数幂，同底数幂的除法，二次根式的加法和除法．掌握各运算法则是解题关键． 6. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若，，，，当c＞0时， 故选：B 7. 两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第二组的步行速度为x千米/小时，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第二组的速度可得出第一组的速度，依据“时间=路程÷速度”即可找出第一、二组分别到达的时间，再根据第一组比第二组早15分钟（小时）到达乙地即可列出分式方程，由此即可得出结论． 【详解】解：设第二组的步行速度为x千米/小时，则第一组的步行速度为1.2x千米/小时， 第一组到达乙地的时间为：7.5÷1.2x； 第二组到达乙地的时间为：7.5÷x； ∵第一组比第二组早15分钟（小时）到达乙地， 据此可得方程：. 故选D 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出分式方程．解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键． 8. 若x，y都是实数，且，则的值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，最后计算出的值即可． 【详解】解：∵和 都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． ∴， ∴， ∴． 故选C． 9. 已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m说法中，正确的是（ ） ①m是无理数；②m是方程的解；③m满足不等式组；④m是12的算术平方根 A. ①② B. ①③ C. ③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据边长为m的正方形面积为12，可得，所以，然后根据是一个无理数，可得m是无理数，据此判断即可．②把代入方程验证，据此判断即可．③首先求出不等式组的解集是，然后根据，可得m不满足不等式组，据此判断即可．④根据，而且，可得m是12的算术平方根，据此判断即可 【详解】解：∵边长为m的正方形面积为12， ∴， ∴， ∵是无理数， ∴是无理数，故①正确； 把代入，左边，右边，∴左边右边， ∴m是方程的解，故②正确； 解不等式组得， ∵， ∴m不满足不等式组，故③错误； ∵，， ∴m是12 的算术平方根，故④正确， 综上可知，正确的是①②④． 10. 如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【详解】解：由作图步骤可得平分， 如图，过点作于点． ， ∴垂直平分， ，关于对称， 作点关于的对称点，则点N落在上，连接， ， 的最小值为的长． ，平分， ，， ，， ∴ ， ∴的最小值为． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 将0.00002024用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是_____（只写一个条件即可）． 【答案】∠B=∠C（答案不唯一） 【解析】 【详解】由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS、ASA进行全等的判定，答案不唯一： 添加∠B=∠C，可由AAS判定△ABE≌△ACD； 添加AB=AC或DB=EC可由SAS判定△ABE≌△ACD； 添加∠ADC=∠AEB或∠BDC=∠CEB，可由ASA判定△ABE≌△ACD． 故答案为：∠B=∠C 13. 已知：，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的混合运算，计算出及，再把原式因式分解，代入及即可求解．解题的关键是熟知因式分解的应用． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 14. 如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程，得，由题意，该方程有增根，因为增根为，所以，由此可求出m的值． 【详解】解： 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， ∵关于x的分式方程有增根， ∴，即， 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了含参分式方程的解法，增根的概念，正确理解以上概念并进行正确的计算，是解题的关键． 15. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：由数轴得，a>2且a<5， 所以a-5<0，a-2>0， 原式=5-a+a-2=3． 故答案为：3 16. 如图，中，DE是AC的垂直平分线，，的周长为16cm，则的周长为______． 【答案】24cm 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，结合条件可求得，代入可求得答案． 【详解】解： 是AC的垂直平分线， ，， 的周长为16cm， ， ， 即的周长为24cm， 故答案为24cm． 【点睛】考查线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等把的周长转化成的周长与2AE的和是解题的关键． 17. （2016湖南省娄底市）当a、b满足条件a＞b＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆．若表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______________． 【答案】3＜m＜8． 【解析】 【分析】根据定义列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：∵表示焦点在x轴上的椭圆，a＞b＞0， ∵表示焦点在x轴上的椭圆， ∴， 解得3＜m＜8， ∴m的取值范围是3＜m＜8． 【点睛】本题主要考查了新定义及一元一次不等式组的应用，正确理解新定义列出一元一次不等式组是解题的关键． 18. 如图，在中，．以为腰向内作等腰，以为腰向外作等腰，且，已知点A到直线的距离为3，，则_______，点D到直线的距离为_______． 【答案】 ①. 10 ②. 2.5 【解析】 【分析】根据题意证明，即可得到；设点D到直线的距离为h，利用三角形面积求解即可． 【详解】解：∵以为腰向内作等腰，以为腰向外作等腰， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设点D到直线的距离为h， ∵点A到直线的距离为3，， ∴， ∴， 解得， ∴点D到直线的距离为2.5． 三、解答题（8题，共66分） 19. 计算和解不等式组 （1） （2） 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， 解①得，， 解②得，， ∴． 20. 解方程：． 【答案】x=-2． 【解析】 【详解】试题分析：观察可得最简公分母是（x+1）（x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 试题解析：方程的两边同乘（x+1）（x-1），得 x（x+1）+1=x2-1， 解得x=-2． 检验：把x=-2代入（x+1）（x-1）=3≠0． ∴原方程的解为：x=-2． 考点：解分式方程． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的混合运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键． 22. 已知：如图，，，点B、E、F、D在同一直线上，求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质得，再利用得到，则可根据”AAS“判断≌，从而得到结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 在和中 ， ≌， ． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 23. 如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）32 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质并结合角平分线的定义得出，即可得证； （2）由（1）知，，再证明得出，最后求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：由（1）知，． ∵点F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的周长为． 24. 某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ （2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有哪几种进货方案，请列举出来？ 【答案】（1）甲种玩具的进价是15元/件，乙种玩具的进价是25元/件 （2）共有4种方案：①甲玩具20件，乙玩具28件；②甲玩具21件，乙玩具27件；③甲玩具22件，乙玩具26件；④甲玩具23件，乙玩具25件 【解析】 【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为元/件，根据“用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同”列方程求解即可； （2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件，根据“甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元”列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为元/件， ， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意． ∴． 答：甲种玩具的进价是15元/件，乙种玩具的进价是25元/件； 【小问2详解】 解：设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件， ， 解得． ∵y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数， ∴y取20，21，22，23， 共有4种方案即：①甲玩具20件，乙玩具28件；②甲玩具21件，乙玩具27件；③甲玩具22件，乙玩具26件；④甲玩具23件，乙玩具25件． 25. 定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）对偶式与之间的关系为______． A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 D．没有任何关系 （2）已知，，求的值． （3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 【答案】（1）B （2） （3）x=-1 【解析】 【分析】（1）计算对偶式（）×（）=4-3=1，可得两数互为倒数； （2）根据已知先分别化简x，y，求出x+y，x-y，xy的值，将所求分式分解因式后代入计算即可； （3）令，则两边同乘以，得24-x-（8-x）=2t，求出t，根据①，②，解得=10，即可求出x值，检验即可． 【小问1详解】 解：∵（）×（）=4-3=1， ∴对偶数与之间的关系是互为倒数， 故选：B； 【小问2详解】 由题意得=，=， ∴x+y=2，x-y=4，xy=1， ∴； 【小问3详解】 令，则两边同乘以，得 24-x-（8-x）=2t， 解得t=8， ∵①，②， ∴①+②，得=10， 两边同时平方得4（24-x）=100， 解得x=-1， 经检验，x=-1是原方程的解． 【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化及求分式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化方法及求分式的值的计算是解题的关键． 26. 如图①，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，设运动时间为t（s）． （1）当时，是等边三角形； （2）连接、，交于点M，则在P、Q运动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出它的度数； （3）当时，是直角三角形； （4）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上向前运动，直线、交于点M，请直接写出的度数． 【答案】（1）3 （2）不变， （3）2或4 （4） 【解析】 【分析】（1）由，得．当为等边三角形时，且，解得． （2）利用证明，得．在中，由，，得，从而为定值． （3）中恒定，故直角只能在或处取得．利用勾股定理分类讨论求解． （4）当、运动到延长线上时，利用证明，得．由对顶角相等得，进而． 【小问1详解】 解：由题意，，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ． 【小问2详解】 解：的度数不发生变化，始终为．理由如下： 是等边三角形， ，， 由题意，， 在和中： ， ， ， （SAS）， ， 、、三点共线，、、三点共线， ， ， 在中， ， ， ． 【小问3详解】 解：在中，，，， 直角只能在或处取得， ①当时， 在中，， ， ， ， ②当时， 同理，， ， ， 综上所述，或． 【小问4详解】 解：当、在延长线上时，，， ， ， ， 在和中： ， ， ， （SAS）， ， 、、三点共线，、、三点共线， ， ， 在中， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省岳阳市第九中学2024年八年级下学期数学入学考试试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　） A. 1cm，1cm，8cm B. 3cm，3cm，6cm C. 3cm，4cm，5cm D. 3cm，2cm，1cm 2. 在下列各数：，0.2，，，，中，无理数的个数（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 要使式子有意义，x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 4. 用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设　　 A. 三角形的三个外角都是锐角 B. 三角形的三个外角中至少有两个锐角 C. 三角形的三个外角中没有锐角 D. 三角形的三个外角中至少有一个锐角 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第二组的步行速度为x千米/小时，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 若x，y都是实数，且，则的值是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 不能确定 9. 已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m说法中，正确的是（ ） ①m是无理数；②m是方程的解；③m满足不等式组；④m是12的算术平方根 A. ①② B. ①③ C. ③ D. ①②④ 10. 如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 将0.00002024用科学记数法表示为______． 12. 如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是_____（只写一个条件即可）． 13. 已知：，，则______． 14. 如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为______． 15. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简＋|a－2|的结果为____________． 16. 如图，中，DE是AC的垂直平分线，，的周长为16cm，则的周长为______． 17. （2016湖南省娄底市）当a、b满足条件a＞b＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆．若表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是______________． 18. 如图，在中，．以为腰向内作等腰，以为腰向外作等腰，且，已知点A到直线的距离为3，，则_______，点D到直线的距离为_______． 三、解答题（8题，共66分） 19. 计算和解不等式组 （1） （2） 20. 解方程：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知：如图，，，点B、E、F、D在同一直线上，求证：． 23. 如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的周长． 24. 某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ （2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有哪几种进货方案，请列举出来？ 25. 定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）对偶式与之间的关系为______． A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 D．没有任何关系 （2）已知，，求的值． （3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 26. 如图①，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，设运动时间为t（s）． （1）当时，是等边三角形； （2）连接、，交于点M，则在P、Q运动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出它的度数； （3）当时，是直角三角形； （4）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上向前运动，直线、交于点M，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $