预习03 集合的基本运算（2知识点+8题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习03 集合的基本运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：交并补集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．补集 （1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. （2）补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 知识点 2 ：并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 【题型1 并集的运算】 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知集合，， 则. 故选：B 2．设集合，，则的元素个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．2 【答案】C 【详解】由题意可得，则有7个元素. 故选：C. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，所以． 故选：D． 4．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合的不等式为：，可求解为. 所以集合. 从而集合的并集为：. 故选：B. 5．已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由中元素的互异性，得，即且， 而，则当且时，与均互异， 因此中至少有元素，取，此时，有4个元素， ∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 【题型2 交集的运算】 6．已知集合，，则的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为集合，，则，则集合的元素个数为3， 所以的真子集个数是， 故选：C. 7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 8．设全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以. 故选：D. 9．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 10．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由， 当，，当，，当，，当，，当，， 所以，所以中有3个元素， 故选：B. 【题型3 由集合的并集、交集求参数】 11．已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【答案】B 【详解】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 12．已知集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，且，则得. 故选：B. 13．设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有即． 14．已知数集满足：，，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以且或且，二者皆有可能，所以A，B错误； 由，所以，所以C正确，D错误． 故选：C． 15．已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得，又因为， 所以，解得． 故答案为：. 16．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 【题型4 补集的运算】 17．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故. 故选：A 18．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集，集合， 所以或． 故选：D. 19．已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，可得， 所以，，，. 故选：D. 20．若全集，集合或，则 . 【答案】 【详解】由或及补集定义即得. 故答案为： 【题型5 交、并、补集的混合运算】 21．已知全集，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以． 故选：． 22．已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为，，所以， 所以或， 故选：. 23．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 24．设全集，集合，集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ，故 故选：A 25．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 则， 故或，故A错误； ，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 26．设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，，故， 故选：B 27．已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 【答案】(1)，； (2)，. 【详解】（1）因为，， 所以，， （2）因为，， 所以，又， 所以， 由（1），， 所以. 【题型6 维恩图的应用】 28．已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出Venn图，如图， 对于A，，故A错误； 对于B，与集合交集是空集， 若，则不是的子集，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，与集合交集是空集， 若，则不是的子集，故D错误； 故选：C. 29．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 30．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 31．若集合、、满足：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示： 由韦恩图可知，，，，， 故选：C. 32．图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 【题型7 容斥原理】 33．高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 34．我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为， 则楼下食堂用午餐的学生数大约为， 原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即， 从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即， 所以，解得. 所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为. 故选：C 35．1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 【题型8 集合混合运算中的求参问题】 36．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 37．已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. 38．已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 39．设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为全集，集合，则， 因为集合，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 40．已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【详解】（1）因为 所以，所以或 （2）因为，且，即集合数轴表示要有公共部分， 所以，即的取值范围是. 41．设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 【答案】(1)9 (2) 【详解】（1）由题意，即只有一个实数解，    （2）由题意知，  得 的根为或， 又     得   42．已知全集，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 则， 又，， 所以. （2）由题意，，，， 则，，即， 所以，此时， 所以集合的真子集为：. 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，则. 故选：D. 2．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知集合，解一元二次方程，可得或 所以集合. 已知，所以. 所以. . 故选：A. 3．设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】全集，集合， 则集合，且， 所以集合. 故选：B. 4．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，所以， 故选：B． 5．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则，且集合或，. 当时，则，合乎题意； 当时，则， 因为，则，解得； 当时，， 因为，则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 6．已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】易知，所以中有且仅有一个元素一定为0， 所以，因此可得或， 即实数的取值范围为或. 故选：B 二、多选题 7．关于集合的性质，以下说法正确的是（   ） A．若，则 B．若A，B为全集U的子集，且，则A和B互为补集 C． D． 【答案】ACD 【详解】 选项A，若，即A是B的真子集，所以，故A正确．选项B，若，则A，B不一定互为补集，故B错误．选项C，是由集合A，B的公共元素构成，所以，故C正确．选项D，根据并集的知识可知，故D正确． 8．已知集合，．若，则实数的值可能为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】ACD 【详解】由题意得集合． 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合． 综上，或3或4． 故选：ACD 三、填空题 9．设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 【答案】 【详解】，， 显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是. 故答案为：. 10．已知集合，．若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】依题意，集合，由，得，则或或或， 当时，，解得； 当时，，此时方程组无解； 当时，，解得； 当时，，此时方程组无解， 所以实数的范围是． 故答案为： 11．已知，，若，则m的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，可得， 若，则，符合题意； 当时，，此时，要使， 则，解得，因此， 综上，m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 12．已知全集，集合或，，求、； 【答案】，或. 【详解】因为全集，集合或，， 所以 或 所以 或. 13．已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【详解】（1）若，，， 所以，． （2）， 当时，此时，即； 当时，此时，即， 则，且两个不等式不能同时取等，解得， 综上，实数的取值范围为． 14．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 15．已知全集为不大于20的质数}，是的两个子集，且满足，求集合和． 【答案】 【详解】（方法一）由题意得， 由得，且， 由得，且， 由得，且． 下面讨论11和13． 情形一：，但，与矛盾． 情形二：，但，与矛盾． 情形三：，且，与矛盾． 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． （方法二）结合韦恩图（如图）， 将条件，所涉及的元素填入，得． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习03 集合的基本运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：交并补集的概念及表示 1．并集 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“A并B") 2．交集 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B") 注意：（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．补集 （1）全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 符号表示：全集通常记作. （2）补集的定义及性质 定义 文字语言 对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作 符号语言 图形语言 性质 （1）； （2）， 注意：（1）表示一个集合； （2）是的子集，即； （3）是中不属于的所有元素组成的集合． 知识点 2 ：并集、交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 【题型1 并集的运算】 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设集合，，则的元素个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．2 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2 交集的运算】 6．已知集合，，则的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．设全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型3 由集合的并集、交集求参数】 11．已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 12．已知集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．已知数集满足：，，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 15．已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 16．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【题型4 补集的运算】 17．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 18．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 19．已知全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 20．若全集，集合或，则 . 【题型5 交、并、补集的混合运算】 21．已知全集，，，则（    ）． A． B． C． D． 22．已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 23．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 24．设全集，集合，集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 25．设集合，则（    ） A． B． C． D． 26．设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 27．已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 【题型6 维恩图的应用】 28．已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（    ） A． B． C． D． 29．设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 30．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 31．若集合、、满足：，则（   ） A． B． C． D． 32．图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【题型7 容斥原理】 33．高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 34．我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（    ） A．700 B．800 C．900 D．1000 35．1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【题型8 集合混合运算中的求参问题】 36．已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．已知或，，若，则m的取值范围是 . 39．设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 40．已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 41．设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 42．已知全集，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求出集合的所有真子集. 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 7．关于集合的性质，以下说法正确的是（   ） A．若，则 B．若A，B为全集U的子集，且，则A和B互为补集 C． D． 8．已知集合，．若，则实数的值可能为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 三、填空题 9．设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 10．已知集合，．若，则实数的取值范围为 ． 11．已知，，若，则m的取值范围为 . 四、解答题 12．已知全集，集合或，，求、； 13．已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 14．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 15．已知全集为不大于20的质数}，是的两个子集，且满足，求集合和． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$