2025-2026学年度高一下学期数学期末考试复习题(必修1,2全册)

**基本信息** 覆盖高一数学必修1、2全册核心知识，通过科学情境（如复合音模型）与分层设计，考查抽象能力、空间观念及数据意识，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、函数性质|基础巩固，如集合运算结合参数最值| |多选题|3/18|概率、三角函数图像|能力提升，如独立事件判断与函数对称性分析| |填空题|3/15|分位数、解三角形|中档应用，如分位数计算与向量数量积| |解答题|5/77|立体几何、函数零点、统计|综合创新，如动态立体几何（19题）考查空间观念，统计案例（16题）培养数据意识|

2025-2026学年度高一年级期末考试复习题(必修1,2全册) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，若，则的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】B 【解析】依题意，，，由于， 所以，解得，所以的最大值为. 2.已知复数满足条件，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设，所以，又因为， 所以，所以，解得. 3．已知，则“”是“为偶函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】为偶函数有，，， ,，而，即充分不必要． 4.已知,在上满足，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以.综上，. 5.如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为( ) A. B. C.2 D. 【答案】B 【解析】在中，设，则. 由余弦定理知. 中，,又，为等边三角形. 所以,,即,所以可通过判断和全等. 故. 所以当，即时，. 6.如图，点在圆锥的底面圆上，是直径，，，圆锥的母线与底面成的角为，则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为是直径，则，且，，可得，, 又因为底面圆O，则圆锥的母线与底面成的角为， 可知为等边三角形，所以圆锥的母线，, 设点到平面的距离为，利用等体积法，即， 解得，即点到平面的距离为. 7.三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面， 则实数的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面，所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似，则，又在中，由可得. 所以，即. 8.定义在上的函数满足，且当时,()，对，，使得，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当时，，此时单调递减，所以， 当时，，此时单调递增，所以， 在上的值域为，， 当时，，在上的值域为， 当时，在上为增函数，所以在上的值域为， 依题意，，解得， 当时，在上为减函数，所以在上的值域为， 依题意，，解得， 当：，值域为，不包含，舍去. 故的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是( ) A.若与互斥，则 B.若与相互独立，则 C.若与相互独立，则 D.若发生时一定发生，则 【答案】ABC 【解析】A：与互斥，则，正确； B：与相互独立，所以， 从而，正确； C：，正确； D：发生时一定发生，则，，不正确. 10.声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为， 记()，则( ) A.的最小正周期为 B.在区间上恰有3个零点 C.的图象关于点()中心对称 D.的最大值为 【答案】BC 【解析】A：，因为， 所以不是的最小正周期，因此A错误； B：，令，则：，或， 情形1：在上的解为,,， 情形2：，即，在上的解为（与上述解重合）， 因此零点为,,，共3个，B正确。 C：因为 所以，图象关于点中心对称，C正确； D：，因为 所以的最大值不是，D错误. 11.如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形是边长为2的正方形，是中点，在正方形（含边界）内运动，点,分别在线段和上运动，则下列结论正确的是( ) A.点到平面的距离为 B.二面角的余弦值为 C.当//平面时，点的轨迹长度为 D.线段长度的最小值为2 【答案】ABD 【解析】A:连接，交于，连接， 因为四边形为正方形，则为，的中点， 又因为， 所以，， 由于，，平面， 所以平面，， 所以四棱锥的的体积， 设点D到平面的距离为，， 由，得，解得：，故A正确； 对于B，取中点，连接，， 因为，，则，， 所以二面角的平面角为， 因为，，所以，故B正确； 对于C，取中点，连接，，，， 因为，分别为，的中点，所以，由于平面，平面，所以平面， 同理可得平面，由于，且，平面，所以平面平面， 由于在正方形（含边界）内运动，//平面，则点运动轨迹为平面 与正方形（含边界）的交线，即线段，长度为，故 C错误； 对于D，连接，，，交于， 由 A选项可知与垂直平分，则四边形为菱形，因为，， 所以，即，所以菱形为正方形， 所以当点分别在线段和上运动时，，故 D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.一组数据19,5,4,13,,,1,2,16,3的第60%分位数为9（其中），则最小值为_______． 【答案】 【解析】对10个数先排序：1,2,3,4,5,,,13,16,19，，则， 由，则，当且仅当时，等号成立. 13.已知中，角,,的对边分别为，，，且，点在线段上， 且，，则的值为_______． 【答案】 【解析】，由正弦定理得，则， 由于，，所以，而，所以． 由题意，是角平分线，，设，则， 由，所以，， 由得，，解得，所以． 14.若，，若对任意实数，都有恒成立，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】由题意，对任意实数，都有恒成立． 因为等价于且，所以原条件等价于对任意实数， 都有且． (i)对任意实数恒成立． 因为该式左边是关于的二次函数，且二次项系数为，所以需判别式不大于， 即，整理得，即， 故． (ii)对任意实数恒成立． 同理，需判别式不大于，即． 因为，所以必须有，即； 并且由，得． 结合与，可得． 令，则，且． 由，得． 因此． 当时，，且取，解得．此时，并满足上述两个判别式条件，所以原不等式对任意实数恒成立． 综上，的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.已知函数(). (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象， 求函数在上的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，增区间为().(2) 【解析】(1)因为 ，所以函数的最小正周期为， 由()可得，() 故函数的单调递增区间为(). (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象， 则， 当时，，则，故. 故函数在上的取值范围为. 16.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六组：、、…、，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数(同一组数据用该组数据的中间值代替)和中位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4， 求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1)(2)平均数为74，中位数为75(3)， 【解析】(1)由题意得，解得． (2)平均数为: 设中位数为；因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为，所以， 则，解得，故中位数为75． (3)由题意得，成绩在有人，成绩在有人， 则这两组成绩的总平均数为， 总方差为． 17.已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】(1)由于是偶函数， 所以即， 即 化简，得 所以， 要使等式恒成立，则， 经检验，当时，函数是偶函数. (2)由于 所以，， 设，则 因为函数在上只有一个零点，那么 由可得 即在上只有一个零点 所以，关于的方程在上只有一个实根，那么， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时， 根据函数图象可知，要使关于的方程在上只有一个实根， 则或，即或 故实数的取值范围为. 18．(17分)在中，设角,,所对的边分别为，，，已知，且三角形外接圆半径为． (1)求的大小； (2)若的面积为，求的值； (3)设的外接圆圆心为，且满足，求的值． 【解析】(1),由正弦定理：， 得，由内角和定理：, 得,显然，得，，得. (2)若的面积为，即，，，于是， 根据正弦定理：,其中,则，得 由于，得,解得. . (3),, 其中，，，得 得得，得, . 19．(17分)如图，长方体的底面是正方形，,,,分别为棱,的中点，()． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）详见解析（2）（3）详见解析 【解析】（1）连接，，，因为是长方体， ，分别为棱，的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， ， 则有，则有； 同理，，并且，，平面， 所以平面，又因为，所以平面． （2）分别取，的中点为，，连接，则有，所以， 又因为是边长为的正三角形，则有， 则即为二面角的平面角，且，，， 由余弦定理，，所以二面角的余弦值为． （3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为，则． 因为，平面，平面，所以平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离，根据， 即，解得， 又因为与平面所成角的正弦值为， 则． 连接，是边长为的正三角形， 在中，由余弦定理得，， 即，整理得：， 即，解得或， 又因为，所以或． 第页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一年级期末考试复习题(必修1,2全册) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，若，则的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.5 2.已知复数满足条件，则( ) A. B. C. D. 3．已知，则“”是“为偶函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知,在上满足，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为( ) A. B. C.2 D. 6.如图，点在圆锥的底面圆上，是直径，，，圆锥的母线与底面成的角为，则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 7.三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面， 则实数的值为( ) A. B. C. D. 8.定义在上的函数满足，且当时, ()，对，，使得，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是( ) A.若与互斥，则 B.若与相互独立，则 C.若与相互独立，则 D.若发生时一定发生，则 10.声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为， 记()，则( ) A.的最小正周期为 B.在区间上恰有3个零点 C.的图象关于点()中心对称 D.的最大值为 11.如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形是边长为2的正方形，是中点， 在正方形（含边界）内运动，点,分别在线段和上运动，则下列结论正确的是( ) A.点到平面的距离为 B.二面角的余弦值为 C.当//平面时，点的轨迹长度为 D.线段长度的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.一组数据19,5,4,13,,,1,2,16,3的第60%分位数为9（其中），则最小值为_______． 13.已知中，角,,的对边分别为，，，且，点在线段上， 且，，则的值为_______． 14.若，，若对任意实数，都有恒成立，则的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.已知函数(). (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象， 求函数在上的取值范围. 16.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六组：、、…、，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数(同一组数据用该组数据的中间值代替)和中位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4， 求两组成绩合并后的平均数和方差. 17.已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 18．(17分)在中，设角,,所对的边分别为，，，已知，且三角形外接圆半径为． (1)求的大小； (2)若的面积为，求的值； (3)设的外接圆圆心为，且满足，求的值． 19．(17分)如图，长方体的底面是正方形，,,,分别为棱,的中点，()． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值． 第页 学科网（北京）股份有限公司 $