上海市民立中学2025-2026学年高一下学期数学练习20260525

**基本信息** 高一数学周测试卷聚焦三角函数、向量、复数等核心知识，通过5G基站距离计算（解三角形）、“斜坐标”创新应用等情境，考查数学眼光观察现实、数学思维推理及数学语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|9/36|三角函数定义、扇形弧长、复数模、向量运算|坐标旋转（题7）、5G基站距离（题9）考查空间观念| |单选题|3/12|象限角概念、投影向量、数列应用|辨析象限角命题（题10）培养推理意识，快递派件（题12）体现应用意识| |解答题|4/52|五点法作图、数列证明、三角恒等式、斜坐标|“斜坐标”（题16）创新情境发展抽象能力，三角恒等式证明（题15）强化逻辑推理|

高一数学练习20260525 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义进行求解即可. 【详解】由题意可得，. 所以. 故答案为：. 2．已知扇形的圆心角是，，则该扇形的弧长______. 【答案】 【难度】0.92 【知识点】弧长的有关计算 【分析】直接代入扇形公式求解即可. 【详解】，. 3．若，则________. 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】由， 得，即，故. 故答案为： 4．已知关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，则实数的取值为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根、由复数模求参数 【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出实数的取值为 【详解】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以方程的判别式小于零，即， 关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以两根是互为共轭的虚根，设为，而由题意可知：，由根与系数的关系可得：，而，因此有. 故答案为： 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚根的条件，考查了实系数一元二次方程有虚根的性质，考查了互为共轭的两个复数乘积的性质，考查了数学运算能力. 5．向量，，其中，且.则_________. 【答案】/ 【难度】0.78 【知识点】数量积的坐标表示、二倍角的正弦公式 【详解】因为，所以即，即， 又，即. 代入，解得， 又，所以，. 所以. 6．在中，在上，且，在上，且.若，则__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据已知条件先确定，，再根据平面向量基本定理，把向量与向量作为一组基底表示出向量即可. 【详解】因为，所以，因为，所以， 因为， 所以，则， 因为，所以，则. 故答案为： 7．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为__________. 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】结合三角函数的定义可先求出经过点的角的三角函数值，然后结合两角和的正弦及余弦公式及三角函数定义可求． 【详解】设点的坐标，则， 设为终边上的一点，则，， 则， ， 即，， 故点的坐标为，． 故答案为：，． 8．已知复数满足(i为虚数单位)，则(为的共轭复数)在复平面内对应的点位于第___________象限. 【答案】三 【难度】0.94 【知识点】求共轭复数的复数特征、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法求得，由共轭复数的概念可知的代数形式，进而确定它所在的象限 【详解】由知： ∴，即对应的点为，在第三象限 故答案为：三 【点睛】本题考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念，首先应用复数的除法得到复数，再由共轭复数概念求出它的共轭复数，进而确定所在象限 9．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A、B两个基站的距离为__________. 【答案】 【难度】0.71 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理列式求解. 【详解】在中，，则， 由正弦定理得，在中，， 则，在中，由余弦定理得， 所以A、B两个基站的距离为. 二、单选题 10．给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角； ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若，则与的终边相同； ⑤若，则是第二或第三象限的角. 其中正确命题的序号是（    ）. A．②④⑤ B．③⑤ C．③ D．①③⑤ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、任意角的概念、由三角函数式的符号确定角的范围或象限、确定已知角所在象限 【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论． 【详解】解：①由于是第二象限角，是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，即①不正确． ②直角不属于任何一个象限，故三角形的内角是第一象限角或第二象限角错误，即②不正确； ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，即③正确， ④若，则与的终边相同或终边关于轴对称，即④不正确． ⑤若，则是第二象限角或第三象限角或的终边落在轴的负半轴上，即⑤错误． 其中正确命题的序号是③， 故选：C． 11．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求投影向量 【分析】利用投影向量公式可求投影向量. 【详解】在上的投影向量为， 故选：D 12．已知快递员甲一周（7天）的第一天派件90件，之后每天的派件量比前一天多件，若甲第7天的派件量是其该周前3天的派件总量的，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【难度】0.88 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的简单应用 【分析】由等差数列的通项公式与前项和公式结合题设列等量关系即可求解. 【详解】由题意，解得． 故选：C 三、解答题 13．用“五点法”作函数的图象． 列出下表，      0 1 3 7 9 0 2 0 0 根据表中信息： (1)请求出 的值； (2)请写出表格中对应的值； (3)作出函数在一个周期内的图象． 【答案】(1)； (2)； (3)图象见解析. 【难度】0.85 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）（2）根据给定的数表，结合五点法作图求出及. （3）由数表描出点，进而作出函数图象. 【详解】（1）由表格知，，由，解得，， 所以. （2）由，得， 当时，，， 所以. （3）作出一个周期的图象，如图， 14．已知数列满足，且（）． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【难度】0.84 【知识点】由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）将题目的条件变形，然后结合等比数列的定义证明即可. （2）利用等比数列的通项公式结合分组求和即可. 【详解】（1）由已知，变形得， 又因为，所以，故，故． 又因为，所以， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知数列是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以．因此数列的通项公式为． 数列前n项和： . 15．（1）设，，，请运用任意角的三角函数定义证明：. （2）设，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】三角函数定义的其他应用、无条件的恒等式证明 【分析】（1）设出角终边上任意一点，然后根据任意角的三角比定义表示出六个三角比，分别计算等式的左右两边，说明左边右边即可完成证明； （2）根据二倍角的正弦公式以及正切、余切的半角公式化简等式的左边，当化简至左边右边即可完成证明. 【详解】（1）设是角终边上任意一点，且， 则由任意角的三角比定义，有，，，，，， ∴左边，右边. ∴左边右边，即原式成立； （2）证法一：左边右边. 证法二：. 16．已知，单位向量的夾角为．若向量，则把有序数对叫做向是由表示的“斜坐标”，记． (1)设，若，求的值； (2)若，求在上的投影的“斜坐标”； (3)若，若，求的取值范围． 【答案】(1)5； (2)； (3) 【难度】0.4 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】（1）由向量垂直数量积为0计算可得； （2）先由数量积的定义和运算律以及模长的定义运算，再由投影向量公式可得； （3）由数量积和模长的运算表示出，再结合换元法令，利用函数的单调性求出最值. 【详解】（1）， ，， ， 所以； （2）， ， ， 在上的投影向量为， 即在上的投影斜坐标为； （3）， ， ，又 令，则， 又，在上单调递增， ，即的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学练习20250525 姓名：___________班级：___________学号：___________成绩；________ 一、填空题（每题4分，共9个小题，满分36分） 1．在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则______． 2．已知扇形的圆心角是，，则该扇形的弧长______. 3．若，则________. 4．已知关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，则实数的取值为______. 5．向量，，其中，且.则_________. 6．在中，在上，且，在上，且.若，则____. 7．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为__________. 8．已知复数满足(i为虚数单位)，则(为的共轭复数)在复平面内对应的点位于第______象限. 9．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A、B两个基站的距离为__________. 二、单选题（每题4分，共3个小题，满分12分） 10．给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角； ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若，则与的终边相同；⑤若，则是第二或第三象限的角. 其中正确命题的序号是（    ）. A．②④⑤ B．③⑤ C．③ D．①③⑤ 11．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 12．已知快递员甲一周（7天）的第一天派件90件，之后每天的派件量比前一天多件，若甲第7天的派件量是其该周前3天的派件总量的，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 三、解答题（14+10+12+16） 14．用“五点法”作函数的图象．列出下表，      0 1 3 7 9 0 2 0 0 根据表中信息： (1)请求出 的值； (2)请写出表格中对应的值； (3)作出函数在一个周期内的图象． 13．已知数列满足，且（）． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及前n项和． 15． （1）设，，，请运用任意角的三角函数定义证明： . （2）设，求证：. 16．已知，单位向量的夾角为．若向量，则把有序数对叫做向是由表示的“斜坐标”，记． (1)设，若，求的值； (2)若，求在上的投影的“斜坐标”； (3)若，若，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $