暑假作业01 三角形中的线段和角12大题型（预习作业）七年级数学新教材苏科版

**基本信息** 以三角形线段和角为核心，通过“概念-性质-应用”三层架构系统整合三边关系、三线性质，提炼分类讨论、等积法等解题策略，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三边关系|5题型（构成条件/取值范围等）|第三边范围公式/等腰三角形分类讨论|从“两边和差”公理推导应用，衔接实际问题建模| |三线性质|7题型（中线求面积/角平分线计算等）|中线分面积相等/等积法转化|从定义到性质（高垂直/中线分边等），递进至综合证明与计算|

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 恩恩图图 暑假作业01三角形中的线段和角 新知初探 位置 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高 热考内容 三角形中的线段 等面积法 可推高的比例 有关的线段 中线一性质一平分对边、分等面积 角平分线一性质一线上点到角两边距相等 三边性质一两边之差<第三边<两边之和 三角形的性质 边和角的关系一在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大 角 【知识点1 三角形的三边关系】 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的 在△ABC中，a+b>c: 两点之间 1)判断三条已知线段能否组成三角 任意两边 a+c>b;b+c>a 线段最短 形 之和大于 2)已知三角形两边的长度分别为a, 第三边 b,求第三边长度的范围： 三角形的 在 a-b|<c<a+b △ABC中， 任意两边 3)【易错】所有通过周长相加减求 a-bl<c;la-c|<b; 之差小于 三角形的边，求出两个答案的，要注 b-cl<a 意检查每个答案能否组成三角形， 第三边 【补充】三角形三边关系定理及其推论是判定三条线段能否构成三角形的依据，也是用于证明几何图形中 1/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 线段不等关系的重要依据， 【知识点2三角形的边和角的关系】 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 【知识点3三角形的高、中线、角平分线】 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对 三角形一个内角的平分线与它的对 三角形中，连接一个顶点和它对边中 定义 边所在的直线作垂线，顶点和垂 边相交，这个角的顶点与交点之间的 点的线段 足之间的线段. 线段. 图示 B D D 作法 过点A作AD⊥BC于点D. 取BC边的中点D,连接AD. 作∠BAC的平分线AD,交BC于点D. ,AD是△ABC中BC边的高 ,AD是△ABC中BC边的中线 ,AD是△ABC中∠BAC的角平分线 ∴.∠ADB=∠ADC=90 SAA-SAMDSA ∴.∠BAD-=∠DAC=克∠BAC 性质 ∴BD=CD ABC 基础检测 【题型1构成三角形的条件】 1.(25-26八年级上·江苏徐州·期末)下列长度的三条线段，首尾相接能构成直角三角形的是() A.1,2,3 B.4,5,6 C.6,8,8 D.5,12,13 2.(25-26八年级上·江西上饶阶段检测)如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得 到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是（填“甲”或“乙”）· 甲 3. (22-23八年级上·河北邯郸阶段检测)已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周 长是；若一个等腰三角形的一个角为50°，则另两个角分别为 4.(22-23八年级上·浙江金华阶段检测)已知三角形三边长分别为2，x,13,若x为正整数，则这样的 三角形有个. 【题型2确定第三边的取值范围】 5.(25-26八年级上江苏泰州期末)三角形的两边长分别为3和6，若第三条边的长为x,则x的值可能 2/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2025河北唐山二模)三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示.若三根小 棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是() 10 A.2 B.3 C.4或5 D.6 7.(25-26八年级上·江苏无锡阶段检测)已知三角形的三边分别为2，x,13,若x为奇数，则这个三角形 的周长是 8.(24-25八年级上江苏南通·阶段检测)已知三角形两边的长分别为2、4，且该三角形的周长为偶数， 则第三边的长为 【题型3三角形边关系的实际应用】 9.(25-26八年级上江苏泰州期末)如图，人字梯支架AB,AC的长度都是2.2米（连接处的长度忽略不 计)，B、C两点间的距离可能是() B A.6米 B.5.5米 C.5米 D.4米 10.(25-26八年级上·江苏泰州阶段检测)轩轩在做贺卡时需要用细绳围成一个等腰三角形（重叠部分不 计)，这个等腰三角形的两条边长分别是4cm和8cm,则需要细绳cm. 11.(23-24七年级下·陕西榆林·期末)初中生体能训练中有一项跳跃泥潭障碍训练，如图，小刚平时助跑 跳跃距离约为4.5±0.1)米，他不确定自己是否能够跳过这个泥潭(AB的长度)，于是测量了相关长度， 由于米尺长度有限，小刚测得AC=2.1米，BC=2米，根据小刚的测量，他完成这项训练挑战.（填 “能”或“不能”) 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.(25-26七年级上山东烟台期中)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝 的大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、4、5，且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时 不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为() Q 4 5 A.5 B.6 C.9 D.12 【题型4应用三角形三边关系解决线段的和差比较问题】 13.(23-24七年级上·河北保定·期末)如图，将三角形ABC沿虚线剪去一个角得到四边形BCDE,设三角 形ABC与四边形BCDE的周长分别为m和n,则m与n的大小关系是() B A.m>n B.m 2n C.m<n D.m=n 14.(25-26八年级上江苏阶段检测)(1)如图，在ABC中，点D在边BC上.求证： AC+CB>AD+DB. D (2)如图，在ABC中，∠B=90°，点D在AB上，比较AC,CD的大小，并说明理由. A D B C 15.(22-23八年级上·湖北恩施阶段检测)如图1，点P是ABC内部一点，连接BP,并延长交AC于点 D B 图1 图2 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系； (2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系： (3)如图2，点D,E是ABC内部两点，试探究AB+AC与BD+DE+CE的大小关系. 16.(25-26八年级上江苏盐城期中)如图①，P为ABC内一点，连接PA,PB. 图① 图② (I)证明：AP+BP<AC+BC; (2)如图②，过点P的线段MN分别交AC、BC于点M、N,且M、N分别在PA、PB的垂直平分线上.若 ∠ACB=80°，求∠APB的度数. 17.(25-26八年级上河北衡水期中)龟兔举行了新跑步比赛.比赛路线是从点A跑到点B,但A,B之 间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B; 路线②A→D→B;路线③A→E→F→B. B (①)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时.有以下思路，请你继续解答。 如图，延长AD交BC于点P.在△APC中，AC+CP>AD+DP, (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 【题型5三角形的边和角之间的关系】 18.（25-26八年级上江苏无锡期中)如图，已知LADB>∠B>∠C,下列说法正确的是() D A.AC>AB>AD B.AC>AD>AB 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.AB>AD>AC D.AB>AC>AD 19.(25-26八年级上江苏盐城期中)在ABC中，己知AB=5,BC=6,那么∠A ∠C(填“>”、 “<”或“=”). 20.(25-26八年级上江苏宿迁阶段检测)如图，己知：AB与CD相交于点0，C0>AC,∠B>∠A,求 证：OD>BD. D 【题型6根据三角形中线求长度】 21.(24-25七年级下.陕西咸阳·期末)如图，ABC的周长为30cm,AD是边BC上的中线，若CD=6cm ,AC=1Icm,则AB的长为() D A.11cm B.7cm C.6cm D.5cm 22.（25-26八年级上·全国单元测试)如图，在ABC中，AB>AC,D是BC边上的中点，AB=10, △ABD与△ADC的周长之差为2，则AC的长为() D A.6 B.7 C.8 D.9 23.（25-26八年级上·全国.单元测试)已知等腰三角形的底边长为7cm,一边上的中线把其周长分成两部 分，这两部分的差为3cm,则腰长为() A.20cm B.10cm C.10cm或4cm D.4cm 24.(25-26八年级上·安微安庆期中)如图，AD是ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF1BC于点F. 若S4Bc=30,BC=10,则EF长为 DE 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型7根据三角形中线求面积】 25.(25-26八年级上江苏扬州期末)如图，在ABC中，己知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点， 且ABC的面积为8cm,则阴影部分面积等于() B D C A.1cm2 B.2cm2 C.3cm2 D.4cm2 26.(25-26八年级上·江苏南通期中)如图，已知AD平分ABC中的∠BAC,过点D作AD⊥BD，点E 是边AC的中点，若DC=AC=4,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为() D B A.10 B.8 C.6 D.4 27.(2025八年级上·江苏连云港·专题练习)如图，ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB,BC, CA得到△AB,C,再分别倍长AB,B,C,CA得到△A,B,C2,…按此规律，倍长n次后得到的 △A2025B2025C2025的面积为 B C2 28.(24-25八年级上河北保定·期中)(1)如图1，在ABC中，若AD是边BC上的中线，则 S△AB2= S△ABC 趣：如图2，在ABC中，若BDBC·则SN (2)如图3，若CD,BE分别是ABC的边AB,AC上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法. 连接A0,由AD=DB,得，SADO=S,BDo, 同理，可得S,cB0=SAB0· 设S4Do=x,SHEo=y,则SBDo=X,ScEo=y, 7/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设S。ABc=2a, 由题意，得S,4E=2氵 =LS.wc-a 1,c=d,S..c 可列方程组 2x+y=a 解得x+y=- x+2y=a S县边形ADoE=一 S△ABC 3》如图+D-写484E-号4C,者S=21,求3o8 D D D B 图1 图2 图3 图4 【题型8根据三角形角平分线的定义求角的度数】 29.(24-25七年级下·全国课后作业)如图，AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,AD,CE交于点O,连 接BO.若∠ACB=30°，∠BAC=80°，则LDB0= E B D 30.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，在ABC中，BD平分∠ABC,与边AC交于点D,AE是 ABC的边BC上的高，BD,AE交于点F.己知∠C=70°，∠BAE=42°，则LBDC的度数为： 31.(25-26八年级上广西柳州阶段检测)如图，在ABC中，∠C=84°，图中所作直线MN与射线BP交 于点D,点D在AC边上，根据图中尺规作图痕迹，可得∠ABD的度数是 M D 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 32.(25-26八年级上全国·课后作业)如图，折扇扇骨的A,B两点与扇钉C构成了ABC,AB交扇骨 PC和HC于D,E两点，CD,CE分别是△ACE,△DCB的角平分线，己知∠ACB=90°，则∠I的度数 为 D B 【题型9识别三角形的高、中线、角平分线】 33.(23-24八年级上河北唐山期中)如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是ABC的() B D D B'C B(C)D 图① 图② 图③ A.中线，角平分线，高线 B.角平分线，高线，中线 C.角平分线，中线，高线 D.高线，中线，角平分线 34.(25-26八年级上·江苏徐州·期末)如图，将三角形纸片PMN按下列方式折叠，所得PQ为△PMN中线 的是() A. N M D M:- M2---- Q 35.(25-26八年级上江苏宿迁期末)如图，在ABC中，边AB上的高是() D A.线段AD B.线段BE C.线段CF D.线段BD 9/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型10与三角形高有关的计算问题】 36.(25-26八年级上江苏扬州阶段检测)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，DE1AB,DE=3 ,AB=5,则ABC的面积为 E D 37.(25-26八年级上·广东肇庆期中)如图，线段AD,CE分别是△ABC中边BC,AB上的高.若AD=5 ,CE=4,AB=6,则BC的长是 E 0 38.(25-26八年级上江苏苏州期中)如图，在ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB, OD⊥BC于点D,若OD=3,ABC的面积是75，则ABC的周长为 B D 39.(2023宁夏中卫三模)【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形. 例如：如图①，在ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=AD,则ABC和 △A'B'C'是等高三角形. 图① 图② 图③ 【性质探究】 如图①，用S。4Bc,S。HgC分别表示ABC和△A'B'C'的面积. 则Sa=BcA,Sr=8C0, 10/14 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=AD, S△ABc:S△HBc=BC:B'C. 【性质应用】 (I)如图②，D是ABC的边BC上的一点.若BD=2,CD=3,则S△ABD:S△4Dc=;(直接写出答案) (2)如图③，在ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,SAABC=2,则 SBEC- ，SACDE=;（直接写出答案) (3)如图③，在ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n,S△ABc=a, 请用含m,n,a的式子表示△CDE的面积. 【题型11等积法的应用】 40.(24-25八年级上江苏无锡阶段检测)【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题：如 图1，在ABC中，AB=AC,P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E ,过点C作CF⊥AB,垂足为F,求证：PD+PE=CF, A C 图① 图② 图③ 图④ (1)小毅的证明思路是：如图②，连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于ABC的面积可以证得： PD+PE=CF,请完成证明 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： (2)【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PF-PE=CD; 【结论运用】 (3)如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任一 点，过点P作PG⊥BE,PH⊥BG,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,AB=4,则PG+PH的值为 41.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨周测)如图.在ABC中，∠C=90(∠A<LABC),点D,P分别在 边AB,AC上，且BP=AP,DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分别为E,F,若BC=IO,求DE+DF的值， B D 42.(25-26八年级上·福建泉州阶段检测)阅读材料，回答问题. 11/14 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 面积法解题 【原理】如图I,在ABC中，AB=AC,P是边BC上的一点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F, CW⊥AB于点M,若PE=i,PF=h,CM=h,连接AP,则SABc=SAPB+S。4PC,即 C,B=PE,B+号PF.4C,:8:4C,:PE+PF=CM,即+5=点.利用这个面积法公式可以 解决有关等腰（或等边）三角形的问题， G G M E M 图1 图2 图3 【问题1】如图1，在ABC中，AB=AC,P是底边BC上的一点，PE⊥AB,PF⊥AC,CM⊥AB,垂 足分别是E,F,M,若PE=3,CM=4,则PF= 【问题2】如图2，在等边ABC中，P是ABC内的一点，PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC, 垂足分别为E,F,M,G,若BG=6,求PE+PF+PM的值. 解：如图3，连接AP,BP,CP,则SAABC=SAAPB+S△BCp+S△ACP,:△ABC是等边三角形，·AB=AC=BC, :PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC, 问题： (1)材料中的问题1中应填 (2)补充材料中问题2的剩余解答过程， (3)如图4，P是等边ABC外的一点，PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC,若BG=12,PM=1, 则PE+PF的值为 G P 图4 【题型12分类讨论思想在高线问题中的应用】 43.(浙江省杭州市启正中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷)ABC中，∠BAC=50°， AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，若∠DAE=40°，则∠BAD为 度 44.(24-25七年级下·上海松江·期末)已知ABC中，AB=AC,BD是AC边上的高，LABD=50°，那 么∠A的度数是· 12/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 45.(24-25八年级上江苏宿迁期中)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则其底角的度数 为 小试牛刀 1.(25-26八年级上·江苏无锡阶段检测)如图，AD是ABC的高，CE是ABC的角平分线，BF是 ABC的中线. D (1)若∠ACB=50,∠BAD=65°，求∠AEC的度数： (2)若BC-AB=9,求BCF与△BAF的周长之差. 2.(25-26八年级上安微芜湖期中)己知ABC的三边长分别为a,b,c,且a,b,c都是整数. (I)若a=1,b=4,且c为偶数，求ABC的周长； (2)化简：a+b-c-a-b+c. 3.(25-26八年级上·湖南长沙期末)如图，AD是ABC的边BC上的中线，已知AB=11,AC=9. B (I)边BC的取值范围是 (2)若△ABD的周长为30，则△ACD的周长为 ； (3)己知AB=11,AC=9,若AD是ABC的角平分线，点D到AB边的距离为6，求此时ABC的面积. 4.(25-26八年级上·山东临沂·期末)(1)基础探究：三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形. 如图l:在ABC中，AD是中线，求证：SBD=SACD; B D 图1 图2 (2)类比探究 如图2：在ABC中，AD是角平分线，求证：S4BD:S.4cD=AB:AC; 13/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)进阶探究： 如图2：在ABC中，AD是角平分线，AB=9,AC=6,那么BD:CD=·(直接写出答案) 14/14 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 三角形中的线段和角 【知识点1 三角形的三边关系】 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c； a+c＞b；b+c＞a 两点之间线段最短 1）判断三条已知线段能否组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中，|a-b|＜c；|a-c|＜b；|b-c|＜a 【补充】三角形三边关系定理及其推论是判定三条线段能否构成三角形的依据，也是用于证明几何图形中线段不等关系的重要依据. 【知识点2 三角形的边和角的关系】 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 【知识点3 三角形的高、中线、角平分线】 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 作法 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 【题型1 构成三角形的条件】 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）下列长度的三条线段，首尾相接能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，8 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 先判断三条线段能否构成三角形，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，无法构成三角形，故选项A不符合题意； B、，，，不是直角三角形，故选项B不符合题意； C、，，，不是直角三角形，故选项C不符合题意； D、，，，且，能构成直角三角形，故选项D符合题意． 故选D． 2．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键 通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为， ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即， ∴， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒剪成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是乙． 故答案为：乙 ． 3．（22-23八年级上·河北邯郸·阶段检测）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长是______；若一个等腰三角形的一个角为，则另两个角分别为______． 【答案】 15 ，或，； 【分析】分腰长为3和腰长为6两种情况，结合构成三角形的条件进行求解即可；分顶角和底角为两种情况结合三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长分别为3，3，6， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为6时，则该等腰三角形的三边长分别为3，6，6， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； ∴该等腰三角形的周长为； 当顶角为时，则底角为，此时另外两个角的度数为，； 当底角为时，则顶角为，此时另外两个角的度数为，； 综上所述，另两个角分别为，或，； 故答案为：15；，或，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 4．（22-23八年级上·浙江金华·阶段检测）已知三角形三边长分别为，，，若为正整数，则这样的三角形有_____个． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系求出的取值范围，再求出符合条件的的值即可． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴，即， ∵为正整数， ∴可以为、、，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解题的关键是理解和掌握三角形三边的关系． 【题型2 确定第三边的取值范围】 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）三角形的两边长分别为3和6，若第三条边的长为，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，再结合选项选出符合条件的数值． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为3和6，第三边长为， ∴根据三角形三边关系，得， 即， ∵选项中只有4满足， ∴的值可能是4， 故选：D 6．（2025·河北唐山·二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是_______． 【答案】28 【分析】根据三角形三边关系定理，求出x的取值范围，再结合x为奇数的条件确定x的值，进而计算周长 【详解】解：根据三角形的三边关系，可得，即． 由于为奇数，因此． ∴三角形的周长为． 故答案为：28． 8．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）已知三角形两边的长分别为2、4，且该三角形的周长为偶数，则第三边的长为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系，同时还要注意偶数这一条件．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于2而小于6，又根据周长为偶数得到第三边是偶数，即可解答． 【详解】解：设第三边的长为， 第三边x的范围是：，即， ∵该三角形的周长为偶数，且为偶数， ∴第三边长是偶数， ∴第三边是4． 故答案为：4． 【题型3 三角形三边关系的实际应用】 9．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，人字梯支架，的长度都是2.2米（连接处的长度忽略不计），B、C两点间的距离可能是（    ） A．6米 B．5.5米 C．5米 D．4米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其他两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即． ∴． ∴B、C两点间的距离可能是． 故选：D． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）轩轩在做贺卡时需要用细绳围成一个等腰三角形（重叠部分不计），这个等腰三角形的两条边长分别是和，则需要细绳____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形特征及三边关系的应用．根据等腰三角形的两腰相等以及三角形的三边关系，解答此题即可． 【详解】解：一个等腰三角形其中的两条边长分别是和， 另一条边可能是或， 当另一条边是时，，此情况不存在； 当另一条边是时，， 周长为 需要的细绳长． 故答案为：20． 11．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）初中生体能训练中有一项跳跃泥潭障碍训练，如图，小刚平时助跑跳跃距离约为米，他不确定自己是否能够跳过这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得米，米，根据小刚的测量，他_____完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【分析】此题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握三角形任意两边长之和大于第三边是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∴小明能完成这项训练挑战． 故答案为：能． 12．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝的大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、4、5，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】此题考查的是三角形三边关系，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答问题的关键． 若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可得到答案． 【详解】解：已知4条木棍的边长分别为1、2、4、5； ①选作为三角形，则三边长为3、4、5；，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为5； ②选作为三角形，则三边长为6、1、5；，不能构成三角形，当，即这两边重合时，此时两个螺丝间的最大距离为6； ③选作为三角形，则三边长为9、1、2；，不能构成三角形，此种情况不成立； ④选作为三角形，则三边长为6、2、4；，不能构成三角形，当，即这两边重合时，此时两个螺丝间的最大距离为6； 综上所述，任意两个螺丝间的距离的最大值为6， 故选：B． 【题型4 应用三角形三边关系解决线段的和差比较问题】 13．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是利用三角形的三边关系进行解题．根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到，进而可判断与的大小关系． 【详解】解：如下图， 根据题意，， ， ∵在中，， ∴， ∴． 故选：A． 14．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）（1）如图，在中，点D在边上．求证：． （2）如图，在中，，点D在上，比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的外角性质，不等式的性质等知识点． （1）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可证明； （2）根据三角形的外角性质得到，而，则，再由大角对大边即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 15．（22-23八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点． (1)试探究与的大小关系； (2)试探究与的大小关系； (3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可； （2）在和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可； （3）延长交的延长线于G，交于点F，在、和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可． 【详解】（1）解：，理由为： ， ∴ 即： （2），理由为： 在中，， 在中，， 两式相加得：+ 即： （3），理由为： 如图，延长交的延长线于G，交于点F， 在中，，① 在中，，② 中，，③ 得： 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键． 16．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图①，P为内一点，连接， (1)证明：； (2)如图②，过点P的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的三边关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）延长交于点D，根据三角形的三边关系证明； （2）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】（1）证明：延长交于点D， 在中，， ∵， ∴ 在中，， ①+②，得， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵M、N分别在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·河北衡水·期中）龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 【答案】(1)兔子的路线长，乌龟的路线短，过程见解析 (2)路线②和③相比，路线③更短，见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案； （2）如图，延长交于点，延长交于点．分别在中，根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案． 【详解】（1）解：补全过程如下： 在中，， ∴， ∴， ∴兔子的路线长，乌龟的路线短． （2）解：如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，，① 在中，，② 在中，∵， ∴，③ ∴由①②③式得， ∴， ∴， ∴路线②和③相比，路线③更短． 【题型5 三角形的边和角之间的关系】 18．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 19．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 【题型6 根据三角形中线求长度】 21．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选：B． 22．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，理解题意，结合图形分情况分析求解即可． 【详解】解：是边的中点， ． （1）如图①，当时， 即当时，； （2）如图②，当， 即时，． 综上所述，腰长为或． 故选C． 24．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 【题型7 根据三角形中线求面积】 25．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为，则阴影部分面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，，则可证明，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 26．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形中线等分三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点．设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得.，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交于点，设交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，△的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为8， 故选：B． 27．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到，再分别倍长，，得到，…按此规律，倍长n次后得到的的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索，根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的7倍，依此规律可得结论． 【详解】解：连接，，， 根据等底等高的三角形面积相等，可得，，，，，，，的面积都相等， ∴， 同理， ， ， 以此类推，． 故答案为：． 28．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 【答案】（1）；；（2）；；（3）6 【分析】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，解二元一次方程组，熟练掌握这个结论是解题的关键． （1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，即可求解； （2）根据题意，列出方程组，解出方程组，可得即可得到结果； （3）连接，，若 ，得到，，，设，则，，可列方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）如图，过点A作于点H， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过点A作于点T， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 由得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接， ∵，， ∴，，， 设，则，， 可列方程为， 解得：， ∴． 【题型8 根据三角形角平分线的定义求角的度数】 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平分，平分，，交于点，连接．若，，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线，熟练掌握三角形的三条角平分线交于一点是解题的关键．利用三角形的三条角平分线交于一点得出平分，再利用三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】由已知结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由角平分线的定义可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 31．（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）如图，在中，，图中所作直线与射线交于点，点在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是________． 【答案】/32度 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键． 由图中尺规作图痕迹可得平分，是的垂直平分线，结合角平分线和线段垂直平分线的定义与性质分析，即可求解． 【详解】解：由作图可得：平分，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 32．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【题型9 识别三角形的高、中线、角平分线】 33．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解即可，解题的关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 34．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，将三角形纸片按下列方式折叠，所得为中线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线，熟练掌握折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线是解题的关键； 根据折叠的性质、三角形的中线、高线及角平分线的定义，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A、由折叠可知，，则所得为的中线，符合题意； B、由折叠可知，，则所得不为的中线，不符合题意； C、由折叠可知，，即，则所得为的高，不符合题意； D、由折叠可知，，则所得为的角平分线，不符合题意； 故选：A． 35．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高． 根据图示，线段的所对顶点为，结合高的画法“从三角形的一个顶点到它的对边所在直线作一条垂线段，”即可求解． 【详解】解：线段的所对顶点为， ∴线段是边上的高， 故选：C ． 【题型10 与三角形高有关的计算问题】 36．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，，，，则的面积为_______． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形面积计算，根据三角形中线求三角形面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键．先根据三角形面积公式求出的面积，然后根据三角形中线求出三角形的面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 的面积为15． 故答案为：15． 37．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线的定义，根据三角形的面积求解是解题的关键；根据题意，利用等面积法即可求解． 【详解】解：线段，分别是的边，上的高，，，， 故答案为：． 38．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是75，则的周长为________． 【答案】50 【分析】连接，过点O作于点E，，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解； 本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F， 由，分别平分，，于点，． 故， 故， ， 解得， 故答案为：50． 39．（2023·宁夏中卫·三模）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义 “等高三角形” 的概念及其性质（面积比等于对应底边的比），解题的关键是利用等高三角形面积与对应底边成比例的性质，逐步推导不同三角形的面积关系． （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 【题型11 等积法的应用】 40．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题：如图1，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为F．求证：． （1）小毅的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．请完成证明 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： （2）【变式探究】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，求证：； 【结论运用】 （3）如图4，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G、H，若，则的值为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等角对等边，三角形面积计算， （1）利用面积转换：即可得证． （2）连接，利用面积转换即可得证． （3）过点E作于Q，由平行线的性质证明，再证明，得到，则由（1）可知，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接，如图②所示， ，，，， ， ， ； （2）连接，如图③所示， ，，，， ， ； （3）如图④，过点E作于Q， 由长方形的性质可得，与平行， ， ， ， ， 由折叠的性质得， ， ， ∵， ． 的值为4． 41．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）如图．在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为．若，求的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 42．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 面积法解题 【原理】如图1，在中，是边上的一点，于点，于点，于点，若，，，连接，则，即，，，即．利用这个面积法公式可以解决有关等腰（或等边）三角形的问题． 【问题1】如图1，在中，，是底边上的一点，，，，垂足分别是，若，则______． 【问题2】如图2，在等边中，是内的一点，，，，，垂足分别为，若，求的值． 解：如图3，连接，则．是等边三角形，．，，，，…… 问题： (1)材料中的问题1中应填______． (2)补充材料中问题2的剩余解答过程． (3)如图4，是等边外的一点，，，，，若，则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键． （1）根据，代入数据，即可求解； （2）连接，利用计算即可； （3）连接，利用面积关系得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：依题意， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：如图3，连接，则 ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵ ∴； （3）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， 故答案为：． 【题型12 分类讨论思想在高线问题中的应用】 43．（浙江省杭州市启正中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 【答案】或/15或65 【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解． 先由角平分线得到，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解． 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 44．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知中，，是边上的高，，那么的度数是____． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当为锐角三角形时，当钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图①， 当为锐角三角形时，； 如图②，当为钝角三角形时，， 所以． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 45．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义，分两种情况讨论：①若；②若；先求出顶角，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②若，如图2所示： 同①可得：， ∴， ∵， ∴； 综上所述：等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、高和中线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）在中根据三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，在中根据三角形外角的性质即可求出的度数； （2）根据三角形中线的定义得出，再计算与的周长之差即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差为， ∵， ∴与的周长之差为9． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为9 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为，则的周长为________； (3)已知，，若是的角平分线，点到边的距离为，求此时的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、中线的定义、角平分线的性质以及三角形面积的计算，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）通过倍长中线法（延长到，使）构造全等三角形，将、和转化到同一个三角形中，再利用三边关系求出的范围，进而得到的范围． （2）利用中线定义，结合的周长，通过等量代换计算的周长． （3）利用角平分线的性质得到点到的距离，再分别计算两个小三角形的面积并求和． 【详解】（1）解：在中∵，，． ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵是的角平分线，点到边的距离为， ∴点到边的距离也为， ∵，，， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）基础探究：三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形． 如图1：在中，是中线，求证：； （2）类比探究 如图2：在中，是角平分线，求证：； （3）进阶探究： 如图2：在中，是角平分线，，，那么______．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查三角形中线、角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线的性质定理等知识是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形中线的定义可得，然后由三角形面积公式可得，即可证明结论； （2）过作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，根据三角形面积公式的得到，，即可证明； （3）过点作于点，易证，结合（2）中结论得到，即可解答． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵ 在中，是中线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过作，，垂足分别为，， 平分， ， ，， ，即； （3）解：过点作于点， ，， ，即， 由（2）知， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $