第06讲 实际问题与一元二次方程（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材人教版

第06讲 实际问题与一元二次方程（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 实际问题与一元二次方程 提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究．我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，取得了重要成果．我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与现代的解法相似. 下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)．只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步”．答：“阔二十四步，长三十六步”．用已学过的知识解决这个问题． 【知识点1 一元二次方程实际问题中的常见数量关系】 1. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 2. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 3. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场. 双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 4. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 5. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b， 则增长率公式为，降低率公式为． 6. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 【知识点2 列一元二次方程解应用题的一般步骤】 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 【题型1 传播与裂变问题】 【例1】冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以，即可作答． 【详解】解：∵最初有人患流感， ∴第一轮传染后，患病人数为， ∴第二轮传染后，患病人数为 ∵两轮传染后该班级共有32人患流感， ∴可列方程为． 【变式1-1】春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设主干长出支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方程即可． 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 【变式1-2】有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 【答案】D 【分析】先列方程求出每轮平均传染人数，那么第一轮后患病总人数为，第二轮新增患病人数为，根据“经过两轮传染后共有81个人患流感”，列出方程解得后再计算第三轮传染后的总患病人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， ， 整理得， 解得或， ∵传染人数不能为负数， ∴不符合题意，舍去， 则第三轮传染后总患病人数为（人）． 【变式1-3】数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 【题型2 握手与比赛问题】 【例2】随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，关键是去除重复计算的比赛场次，即可列出对应方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需要与其余支球队各进行一场比赛， 又∵每一场比赛由两支球队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了次， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为，因此可得方程． 【变式2-1】九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．则全班有_____名学生． 【答案】 30 【分析】设全班有名学生，可得每名同学需要给名同学写留言，根据总留言数为列出一元二次方程，求解后舍去不合实际意义的解即可得到答案． 【详解】解：设全班有名学生， 根据题意，列方程得， 整理得， 解得，（舍去）， 则全班有名学生． 【变式2-2】某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 【变式2-3】九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】(1)正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 【题型3 数字问题】 【例3】一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设十位数字为，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为． 依题意得：， 解得:. ∴ 这个两位数为或． 故选：C． 【变式3-1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为53 【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列出代数式． 设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据题意表示出两位数，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：原来的两位数为53． 【变式3-2】在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案． 【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 【变式3-3】一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解数字与每个位上的数字的关系是解题的关键． 设该三位数个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是；再根据这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大 列出方程求解即可． 【详解】解：设该三位数个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是． 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， ∴十位上的数字为，百位上的数字为． 故答案为：． 【题型4 增长率问题】 【例4】某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据逐月增长的关系，从三月份到五月份经过两次匀速增长，结合初始销量和五月份最终销量列方程即可． 【详解】解∵三月份销量为杯，每月平均增长率为x， ∴四月份销量为杯， ∴五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为， 又∵已知五月份销量为杯， ∴可列方程为． 【变式4-1】某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每次降价的百分率为，根据商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 即每次降价的百分率为． 【变式4-2】某商场今年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额达到288万元，若这两个月营业额的月平均增长率相同，则每个月的平均增长率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按增长规律列出方程，求解后舍去不合理的负根即可． 【详解】解：设每个月的平均增长率为， ∵1月份营业额为200万元，经过两个月增长到3月份， ∴3月份营业额可表示为 ， 根据题意列方程得： 整理得 开平方得 ∵增长率为正数， ∴取正根 ，解得 即每个月的平均增长率为． 【变式4-3】2025年安徽省新能源汽车产量、出口量均跃居全国首位．据统计，安徽省2024年新能源汽车产量较2023年增长，2025年较2024年增长．若设这两年安徽省新能源汽车产量的年平均增长率为，则可列出的方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设2023年安徽省新能源汽车产量为基准量1，按逐年实际增长率计算，2024年产量为，2025年产量为； 若两年年平均增长率为，则2025年产量也可表示为， 因此可列方程：． 【题型5 商品营销问题】 【例5】某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 【答案】 【分析】设出每杯奶茶的降价金额，结合已知条件表示出每杯利润和每日销售量，根据总利润每杯利润销售量列方程求解，再根据扩大销量的要求选择符合题意的解即可. 【详解】解：设每杯奶茶应降价元， 由题意得：， 解得，； ∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高， ∴舍去，取， 答：每杯奶茶应降价元. 【变式5-1】红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3元，当购买红薯的质量超过时，每多购买，红薯的单价降低0.2元，但要求红薯的单价不低于2元．已知某零售商购买红薯的质量超过了，且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量． 【答案】该零售商购买红薯的质量为 【分析】设该零售商购买红薯的质量为，根据题意建立一元二次方程求解即可． 【详解】解：设该零售商购买红薯的质量为． 根据题意，得． 解得． 当时，，舍去． 当时，，且． 答：该零售商购买红薯的质量为． 【变式5-2】APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【答案】(1)每个帆布袋单价为 16 元，每套染料单价为 20 元 (2)售价应定为 35 元 【分析】（1）设未知数建立方程组求解帆布袋与染料的单价即可； （2）根据利润公式建立方程求解售价即可． 【详解】（1）解：设每个帆布袋单价为x元，每套染料单价为y元． 根据题意列二元一次方程组， 解得， 答：每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元； （2）解：每套染料可制作5个帆布袋，单个帆布袋分摊染料成本（元）， 单个成品帆布袋总成本：（元）， 设单个售价上涨m元， 则由题意可列方程， 解得， 此时售价：（元）， 答：售价应定为35元． 【变式5-3】为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元． (1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？ (2)在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值． 【答案】(1)黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元 (2)2或7 【分析】（1）根据“每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元”和“张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元”列方程组求解即可； （2）根据售价及销售量的变化，利用“每天销售这两种水果的总利润为960元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设黄金梨每千克的进价为x元，李子每千克的进价为y元，由题意，得 解得． 答：黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元； （2）解：由题意，得 ， 解得，． 当或7时，两种水果的销售量均大于0，符合题意． 答：a的值为2或7． 【题型6 几何图形问题】 【例6】某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，见解析 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）解：设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 【变式6-1】为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． (1)若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边 ． (2)若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 【答案】(1) (2)边的长为． 【分析】（1）由栅栏总长为，即可求出的长； （2）设，则，根据活动区域的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：设，则，依题意得： ， 解得：， ∵， ∴， ∴， 当时，，符合题意． 答：边的长为． 【变式6-2】小澜家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，小澜打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图1，当时， ①____米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为92平方米，求的长． (2)如图2，当时，养蜂场的面积是否可以达到230平方米？并说明理由． 【答案】(1)，的长为23米． (2)不能，见解析 【分析】（1）①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答； （2）根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，，而， ∴ ∴米； ②由题意得，， 解得，． ， ∴， ∴不符合题意， 的长为23米． （2）解：养蜂场的面积不能达到230平方米，理由如下： 由题意得， ， ∵ ∴， ∴， 由题意得， 整理得， ， ∴该方程无实数根， ∴养蜂场的面积不能达到230平方米． 【变式6-3】综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)答：剪去的正方形的边长为． (2)答：剪去的正方形的边长为． 【分析】（1）本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到剪去4个小正方形后底面的长和宽，再根据底面的面积，实际问题中根的合理性检验，最后得出剪去小正方形的边长． （2）本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到剪去矩形的长为，矩形的宽和减去正方形的边长相等，再结合实际问题中根的合理性检验，得到剪去正方形的边长． 【详解】（1）解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的边长为，宽为． 由题意得： 解得． 因为，所以不符合题意，舍去． 所以剪去的正方形的边长为． （2）解：设剪去的正方形的边长为，根据题意，剪去的矩形的长为，宽为，则剪去部分的面积为： 解得或，（不符合题意，舍去）． 所以剪去的正方形的边长为． 【题型7 动态几何问题】 【例7】如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 【变式7-1】如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）分、、三种情况进行讨论，结合三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：存在， 根据题意可知，，， ①当时，， ， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，， ， 整理得：， ，方程无解； ③当时，， ， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． 【变式7-2】如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 【答案】(1)经过1秒时，长为； (2)经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． （1）设经过x秒，的长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，得到关于x的一元二次方程求解； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，的长为， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，（舍去）， 答：经过1秒时，长为； （2）解：设经过t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【变式7-3】如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)能，秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据题意能表示，，然后在中利用勾股定理列方程即可求解； （2）将的面积组合为矩形的面积(面积+面积+面积)，列方程求解即可。 【详解】（1）解：，则 在中，， 即， ， 解得或（舍去）， ∴； 答：能，当为4秒时的长度为； （2）解：矩形面积为， 面积为， 面积为， 面积为， 则面积为 令， 即， 解得或 答：当为2秒或4秒时，的面积为 模块三 课后作业 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 第一轮感染后，被感染的电脑总数为台 第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑 两轮后被感染的电脑总数为 整理得 开平方得或 解得， 感染的电脑数量不能为负数 舍去 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 故选C． 2．某商店月份的利润是万元，此后逐月下降，截至到月份的利润为万元．若设这两个月的月平均下降率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用初始利润乘（月平均下降率）的平方等于最终利润，即可得到正确方程； 【详解】解：设这两个月的月平均下降率为， ∵6月份利润为万元，月平均下降率为， ∴7月份利润为万元， ∴8月份利润为万元， 又∵8月份利润为万元， ∴可列方程为． 3．如图，周末小卫同学帮着爸爸用一段长的铁丝网在院墙（墙长）的一边恰好围成了一个矩形鸡舍，其面积为．若在鸡舍垂直于院墙的一边中间位置留一个宽的门（由其他材料构成），则该鸡舍的长度为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】设鸡舍垂直于院墙的一边长为，则平行于院墙的一边的长为，即．根据题意，得：，再求解即可． 【详解】解：设鸡舍垂直于院墙的一边长为，则平行于院墙的一边的长为，即．根据题意，得： 整理，得： 解这个方程，得： 当时，． 因为墙长只有，而，所以不符合题意，舍去． 当时，． 因为，符合题意． 所以该鸡舍的长度为． 4．如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 5．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 6．在一块面积为的矩形材料的四角，各剪掉一个大小相同的正方形（剪掉的正方形作废料处理不再使用），做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的2倍，则盒子的高为______. 【答案】5 【分析】可将盒子的高设为x，根据题意，列出关于x的方程，解方程即可. 【详解】设盒子的高为，则宽为， 解得：，（舍）， ∴盒子的高为. 故答案为5 7．兴华中学课外活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则这种植物每个支干长出的小分支个数是______． 【答案】4 【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：4． 8．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据题意，得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 当时，，原来的两位数为； 当时，，原来的两位数为； 答：原来的两位数为或． 9．为了推广旅游热度，各地文旅单位推出文创产品．某文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． (1)求该文创产品平均每次降价的百分率； (2)为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”， ①若要求每天销售额为4590元，请结合实际销售情况，求每件应降价的金额； ②小杭同学说：“五一”期间将参与推广该文创产品的销售活动．计划每天销售额达5000元．你认为小杭同学可以实现目标吗？说说你的理由． 【答案】(1)该文创产品平均每次降价的百分率为 (2)①每件应降价36元；②我认为小杭同学不能实现目标，理由见详解 【分析】（1）设该文创产品平均每次降价的百分率为x，由题意可得方程为，进而求解即可； （2）①设每件应降价m元，根据题意可得方程，然后进行求解即可；②设每件应降价t元，由题意易得，然后根据根的判别式可进行求解． 【详解】（1）解：设该文创产品平均每次降价的百分率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：该文创产品平均每次降价的百分率为． （2）解：①设每件应降价m元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵为回馈顾客并减少库存， ∴； 答：每件应降价36元． ②设每件应降价t元，由题意得： ， 整理得：， ∴， ∴原方程无解， ∴我认为小杭同学不能实现目标． 10．某文具店第一次花费600元购进一批文具礼盒，全部售完；第二次花费1950元购进同款文具礼盒，购进数量是第一次的2倍，且每个文具礼盒的进价比第一次上涨了5元． (1)请列分式方程解决以下问题，第二次购进了这批文具礼盒多少盒？ (2)该店12月份共售出该礼盒80盒，每盒售价为35元．为回馈顾客并提升销量，该店决定在次年1月份调整销售方案：线上渠道每盒降价元销售，线下门店每盒降价5元销售；1月份总销量较12月份增加了，其中线上、线下销量各占1月份总销量的，1月份总销售额比12月份总销售额减少了200元，求的值． 【答案】(1)第二次购进文具礼盒150盒 (2)15 【分析】（1）设第一次购进文具礼盒的数量为未知数，或设第一次的进价为未知数，因为第二次购进数量是第一次的2倍，且单价比第一次上涨5元，所以可根据“单价=总价÷数量”的关系，结合两次进价的差值列分式方程，求解后得到第二次的购进数量； （2）先计算12月份的总销售额，再根据1月份销量的增长率表示出1月份的总销量，进而得到线上、线下各自的销量，结合线上、线下的单价，列出1月份总销售额的表达式，因为1月份总销售额比12月少200元，所以可建立关于a的方程，求解得到a的值． 【详解】（1）解：设第一次购进文具礼盒盒，则第二次购进文具礼盒盒， 由题意得， 解得 检验：当时，， ∴是方程的解且符合题意 ∴ 答：第二次购进文具礼盒150盒． （2）解：由题意得， 化简得解得，（舍） 答：的值为15． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 实际问题与一元二次方程（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 实际问题与一元二次方程 提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究．我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，取得了重要成果．我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与现代的解法相似. 下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)．只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步”．答：“阔二十四步，长三十六步”．用已学过的知识解决这个问题． 【知识点1 一元二次方程实际问题中的常见数量关系】 1. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 2. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 3. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场. 双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 4. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 5. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b， 则增长率公式为，降低率公式为． 6. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 【知识点2 列一元二次方程解应用题的一般步骤】 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 【题型1 传播与裂变问题】 【例1】冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 【变式1-3】数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【题型2 握手与比赛问题】 【例2】随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．则全班有_____名学生． 【变式2-2】某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【变式2-3】九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【题型3 数字问题】 【例3】一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式3-1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【变式3-2】在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【变式3-3】一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是________． 【题型4 增长率问题】 【例4】某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】某商场今年1月份的营业额为200万元，3月份的营业额达到288万元，若这两个月营业额的月平均增长率相同，则每个月的平均增长率为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】2025年安徽省新能源汽车产量、出口量均跃居全国首位．据统计，安徽省2024年新能源汽车产量较2023年增长，2025年较2024年增长．若设这两年安徽省新能源汽车产量的年平均增长率为，则可列出的方程是(   ) A． B． C． D． 【题型5 商品营销问题】 【例5】某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 【变式5-1】红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3元，当购买红薯的质量超过时，每多购买，红薯的单价降低0.2元，但要求红薯的单价不低于2元．已知某零售商购买红薯的质量超过了，且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量． 【变式5-2】APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【变式5-3】为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元． (1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？ (2)在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值． 【题型6 几何图形问题】 【例6】某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【变式6-1】为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． (1)若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边 ． (2)若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 【变式6-2】小澜家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，小澜打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图1，当时， ①____米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为92平方米，求的长． (2)如图2，当时，养蜂场的面积是否可以达到230平方米？并说明理由． 【变式6-3】综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【题型7 动态几何问题】 【例7】如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【变式7-1】如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 【变式7-3】如图，在矩形中，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 模块三 课后作业 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 2．某商店月份的利润是万元，此后逐月下降，截至到月份的利润为万元．若设这两个月的月平均下降率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．如图，周末小卫同学帮着爸爸用一段长的铁丝网在院墙（墙长）的一边恰好围成了一个矩形鸡舍，其面积为．若在鸡舍垂直于院墙的一边中间位置留一个宽的门（由其他材料构成），则该鸡舍的长度为（     ） A．或 B．或 C． D． 4．如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 5．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 6．在一块面积为的矩形材料的四角，各剪掉一个大小相同的正方形（剪掉的正方形作废料处理不再使用），做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的2倍，则盒子的高为______. 7．兴华中学课外活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则这种植物每个支干长出的小分支个数是______． 8．有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 9．为了推广旅游热度，各地文旅单位推出文创产品．某文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． (1)求该文创产品平均每次降价的百分率； (2)为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”， ①若要求每天销售额为4590元，请结合实际销售情况，求每件应降价的金额； ②小杭同学说：“五一”期间将参与推广该文创产品的销售活动．计划每天销售额达5000元．你认为小杭同学可以实现目标吗？说说你的理由． 10．某文具店第一次花费600元购进一批文具礼盒，全部售完；第二次花费1950元购进同款文具礼盒，购进数量是第一次的2倍，且每个文具礼盒的进价比第一次上涨了5元． (1)请列分式方程解决以下问题，第二次购进了这批文具礼盒多少盒？ (2)该店12月份共售出该礼盒80盒，每盒售价为35元．为回馈顾客并提升销量，该店决定在次年1月份调整销售方案：线上渠道每盒降价元销售，线下门店每盒降价5元销售；1月份总销量较12月份增加了，其中线上、线下销量各占1月份总销量的，1月份总销售额比12月份总销售额减少了200元，求的值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $