河南商丘市睢县高级中学2025-2026学年高一下学期第一次月考测试数学试卷

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考测试卷20260406 (考试时间：120分钟，分值：150分)命题人：王克轶审题人：刘红超马建伟， 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版2019必修第二册第六章+第七章+第八章（8.1-82)。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.设复数z=3-4i,则z的虚部为() A.4 B.-4 C.4i D.-4i 2.在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，则AB+AC-2AE=() A.0 B.ED C.DE D.2ED 3.下列命题中正确的是() A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 4.设9,8是平面中两个不共线的向量，已知丽=2g+k8,西=9+36，而=28-8， 且A,B,D三点共线，则k的值为() A.-8 B.4 C.8 D.-4 B 在△ABC中，若b=3,c=√6，C=4,则角B的大小为C 2π π2π A.6 B.3 C.3 D.3或3 6.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形AB'CD',已知A'O'=OB'=1,BC=1, CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 则四边形ABCD的周长为() A.6V2 B.122 C:8 D.10 7,圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于 1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性 建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央 主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美， 30 可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为 了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向 找到一座建筑物AB,高为5,5-15)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线) 处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小 明估算索菲亚教堂的高度为() ·A.20m B.30m C.205m D.305m 8。已知平面向量a、万、©满足：a与5的夹角为锐角同=4，同=2，月-1，且5+回的最小 值为4，向意(-习- 的最大值是()· A.1 安点B:3+25: C.3 D.3+25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，·部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在平面直角坐标系中，已知点0(0,0)，M=(1,2),丽=(3,1，则（) A.@=5 B.可A与O丽的夹角为4 。左OB方向上的：影向量的坐标为（2。 0_30 D.背OB垂直的单位向量的坐标为 10’10 10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,则下列说法正确的是（) A.若A>B,则sinA>sinB B.若a:b:c=4:5:6,则AABC是钝角三角形 C.若sin2A=sin2B,则aABC为等腰三角形D.若A=30,b=4,a=3,则△ABC有两解 -1 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 11.如图，P为△ABC内任意一点，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△BPC,△APC,△APB的面 积分别为S,Sa,Sc,总有优美等式S,PA+SPB+SPC=0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标， 故又称为奔驰定理，则以下命题是真命题的有（) A.若P是△ABC的重心，则有PA+PB+PC=O B.若aPA+b.PB+cPC=0,则P是△4BC的内心 C.若亚-号西+号aC,则cpe8pn=22:1 D.若P是BC的外心，且A-牙，则P+sin∠APC历+s(经-∠APCP元=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设k∈R,a=(1,3),b=(k,5),若a/1b,则k= 13.已知圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周， 再回到A点的最短的路线长是 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2B=sin2A+sin Asin C,则tan Atan B 的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)已知复数名=1+2i (1)若复数是方程z2+az+b=0的一个复数根，求实数a,b的值； 五=1-1 (2)若复数满足名名，求 16.(15分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosA(ccosB+bcosC)=4 (1)求A: (2)若a=2,△ABC的面积为5，求b,c的值. 2 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.（15分)已知|a=√2,16=1，a与6的夹角为45°. (1)若2ā+36与a-6共线，求实数1的值： (2)求1a+261的值： (3)若向量(2ā-)与（ā-3b)的夹角为锐角，求实数1的取值范围， 18.(17分)如图，在△ABC中，已知AB=6,AC=9,∠BAC=60°，BM=2MC,点N为AC 边的中点，AM,BN相交于点P, (①求B丽， (2)求cos∠MPN. (3)用西和AC表示A亚. 19.(17分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2C+sin2B=2-cos2A-sin AsinC. (1)求角B: (2)若∠ABC的角平分线交AC于点D,a=3,c=4,求BD: (3)若△ABC的外接圆的半径为√5，求2c-a的取值范围. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP2025-2026学年高一数学下学期第一次月考测试卷解析版 一、选择题： 1.【答案】B 【分析】由复数虚部的概念即可得解. 【解析】由题意复数二=3-4i,则z的虚部为4.故选：B 2.【答案】D 【分析】由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解. 【解析】由已知，D为BC的中点，所以AB+AC=2AD, 所以AB+AC-2AE=2AD-2AE=2ED.故选：D. 3.【答案】D 【来源】8.1基本立体图形【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路 【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解 【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何 体不是棱柱，故A不正确： 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确： 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确： 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形， 所以D正确. 故选：D. 4.【答案】A 【分析】根据三点共线的向量表示方法即可求解. 【解析】由题意可知BD=C⑦-C公=8-4伦」 因为AB,D三点共线，所以A正=BD,即2E+k,=2-4e,)】 「=2 所以-4九=k，解得k=-8故选A 5.【答案】D 【分析】利用正弦定理求得snB,由此求得角B的大小 3√6 3sm3xV2 4 2 32√3 sin B 【解析】由正弦定理得sin B sinC,即 sn →sinB=6 6 262 4 π3π B∈ 又因为b>c,则(44， B=r2元 所以3或3故选：D 6.【答案】D 【分析】根据斜二测画法的原则进行求解即可 【解析】由题设知：原四边形中AB=CD=A'B'=C"D'=2且AB/ICD, 所以原四边形ABCD为平行四边形， 而OC'=5,则原四边形中OC=22,故AD=BC=OC2+OB2=3, 综上，四边形ABCD的周长为AB+CD+AD+BC=I0」 故选：D 7.【答案】D 【分析】在在Rt△ABM中，求出AM,在△ACM中，利用正弦定理求出CM,再解Rt△MCD即可得解 【解析】由题意可知，在Rt△ABM中，AB=15V3-15,∠AMB=15, m4MB0m5(4o30門号之V64y2 则 AM AM=15V3-15 30W2 √6-√2 所以 4 在△4CM中，∠MAC=30°+15°=459，∠AMC=180°-60°-15°=105° 则∠ACM=180°-45°-105°=30°， AM CM 由正弦定理得sin∠4CM sin.∠MAC, 30v2x CM= 1 2-60 所以 2 在Rt△MCD中，∠CMD=60°， im∠CMD=CDV CD=3 60=30√/3 则 CM2,所 2 所以小明估算索菲亚教堂的高度为30√3m 故选：D 8.【答案】D 【分折】由题可知5+材的最小值为3，用含的式了表示5+忒， 利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小 值让其等于3构建方程，解得ab=士4，由ā与b的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解 的，后叫-兮6-0-传a对，.商2长衣人新可化m35oe 利用三角函数的值域，即可得答案 【解折1由题l5+d-矿+2a石+ 因为同=4，月=2.所以b+d=2+2a-压+f×4-16f+2a.+4 2a.b a.b 因+同最小值为5，且由二次函数分析可知，当2x1616时， 历+d取得最小值， 所以 解得.b=±4， t=-a-61 又因为a与5的夹角为锐角，所以a.b=4,故164； 2 xBaa同-ab6-#六店 挎长代〔6-司c-司-+点5（信a-列 g0-信时.用s威+5云-6a+oc号+a1aa0 因为0e所Ed小=3-20+5 因此， e-e- 的最大值为3+2V5 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】BC 【分析】求出AE即可判断A选项，设OA与OB的夹角为日，求出cos8即可判断B选项，设与OB同向的单位向量 10il cos<04.0B>0.0B 为，求出三，根据OA在OB方向上的投影向量的坐标为 1OB即可判断C选项，设与 3x+y=0 OB垂直的单位向量为m=(,),解x+少=1即可判断D选项。 【解析】对A,因为点O(0,0),O1=(12),0B=(3,1) 所以AL,2）,B3,1),所以AB=(2,-), 所以西=2+少=V5,故A选项错误； COs0=_ OA.OB 5-2 对B,设OA与OB的夹角为8，所以1OAOB1V5xV10 2 所以OA与OB的夹角为4，故B选项正确： 8=. OB=3W1010, 对C,设与OB同向的单位向量为，1oB1010 所以OA在OB方向上的投影向量的坐标为 QAco服D4O>g0A.0BE=(103=（22故c选 10B1√1010’10 项正确； 对D,因为OB=(3.1),设与O丽垂直的单位向量为m=(飞，)， V10 √10 x= = 10 10 3x+y=0 3v10 3V10 则x+少=1，解得 V= V= 10或 10, V103V10 v103W10 所以与OB垂直的单位向量的坐标为 10’10 或 10- 10 故D选项错误， 故选：BC 10.【答案】AD 【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解， 【解析】对于A,A>B,所以a>b,由正弦定理得sinA>inB,故A正确： 对于B,a:b:c=4:5:6,故c边最长，角C最大 设a=4k,b=5k,c=6k 0sC=+b-c-162+25k2-361 则 2ab 2x4hx5k8>( 所以角C为锐角，故△ABC是锐角三角形，故B错误： 4+B=I 对于C,in2A=sin2B,则2A+2B=元或2A=2B,即 2或A=B,则△ABC为直角三角形或等腰三角形， 故C错误； 对于D,A=30°，b=4,a=3 a b 3 4 根据正弦定理sin A sinB sin.30°sinB>sinB=2 3 2 1 sinB=。>sinA=。 3 「2，所以B有两解，所以△ABC有两解，故D正确。 故选：AD, 11.【答案】ABD 【解析】对于A,P是△ABC的重心，则Sc=Sc=SAB, 代入S。BPA+ScPB+SRA PC=0就得到PA+PB+PC=0,正确； 对于B,设点P到边BC,AC,AB的距离分别为h,h,h, 由SePA+SeB+SPG=0得，4网+M丽+元-0，即ai+bMB4C=i, 与已知条件aPA+b.PB+c.PC=0比较知，h=h=h,则P是△ABC的内心，正确： 对c5d1号4cmAc4,即2A:B2co, 与S。cPA+SaPAC·PB+SPAPC=0比较得到，Spsc:S。Ac:S,ae=2:1:2,错误； 对于D,P是△MBC的外心，且A=?,则∠BPC=牙，设三角形外接圆半径为R, 所以8a号及号Ac及}R告-∠A 代入奔驰定理即可得到PA+sin∠APC.PB+sin -∠APCc=a正确， 2 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 5 12. ,【答案】3【分析】根据向量平行的坐标运算计算即可. 【解析】设k∈R,a=1,3),5=亿，5) 5 k= 若ā1b,则5=3k,则3. 5 故答案为：3 13.【答案】35 【分析】沿过A点母线把圆锥侧面剪开摊平，得出圆锥侧面展开图，如图.线段A4的长就是所求最短距离. 【详解】如图所示，在圆锥的侧面展开图中，A4的长就是所求最短距离过点S作81A4,则A1=2AB 因为A4为圆锥底面圆的周长，即2元， 由弧长公式得 <44- 3, 所以4=2AB=2ASsn-3V5 3 故答案为：3V5」 B 14..【答案】(1，+0) 【分析】法一：应用正弦边角关系得=a(a+c),再由余弦定理、锐角三角形内角 性质及 匹<A< 二倍角余弦公式可得cosB=cos2A,进而有B=2A,C=兀-3A,即可得6 4,即可求tan Atan B范围；法二： 应用正余弦定理有si(4-B)=sim(A),结合锐角三角形内角性质得B=2A,后续同法一 【解析】法一：由正弦定理角化边得b=a(a+c), cosB-atci-b a'tci-a(atc)c1 由 2ac 2ac =2a2, 所以2 acosB=c-a. coMA=bitci-ai_a(ato)to-d atc 由 2bc 2bc 2b, 因为△ABC为锐角三角形，所以 收4B6,24对， cos24=2c0s4-1-2(a+c)1=atc)1=c1 所以 4b2 2a(a+c）2a2 所以CosB=cos2A,则B=2A,C=兀-3A, 0<A< 2 0<2A<元 因为△ABC为锐角三角形， 0<π-3A< 2,解得6 A<π 4. tan tanB=1.212 ∈1，+0) 设tanA=t,则 (3l 1-t=1 1 法二：由正弦定理角化边得b=a(a+c) 由余弦定理b=+c2-2 accosB,则a(1+2c0B)=C 由正弦定理s1(1+2cosB)=simC,则siA+2si4cosB=sinC=sn(A+B)）. 则sin(A-B）=-sinA=sim(-A)） 2,2A 由△ABC为锐角三角形，得2SAB<汇兀 3 所以A-B=-A,即B=2A,后续同法一 故答案为：(，+∞) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 【答案】(1)a=-2,b=5: 5 (2)2 【分析】(1)根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件，即可列方程求解， ②》由复数的除法运算可得子：2十2，即可由模长人术 【解析】(1)=(1+21)2=-3+4i z+a:3+b=a+b-3+(2a+4)i=0 [a+b-3=0 2a+4=0，所以a=-2,b=5 3 1三=全3江2+ 1-1-12a 2 (2)由223可得 21 325 2+2 故 16. Asπ 【答案】(1)3 (2)b=c=2. 【分析】(1)由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可： (2)由面积公式可得bc=4,再根据余弦定理求解即可. 【解析】(1)由正弦定理及2cosA(ccosB+bcosC)=a 2cos4(sinC cos B+sin B cosC)=sinA 即2 cosAsin(C+B)=sinA 即2 cos Asin A=sinA, 因为0<A<兀，所以simA≠0， osA=1 所以 yA=π 2,所以3. S=IbesinA=3 (2)由题意得△ABC的面积°21 ,所以bc=4①. 又a2=bB2+c2-2bcc0sA,且a=2,所以b2+c2=8②. 由①②得b=c=2. 17. 【容案1a-号 (2)a+26=0 3)4,6)U(6,6 【分析】(1)利用向量共线定理得到方程组，解出即可： (2)根据向量数量积的运算律和定义计算即可： (3)根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【详解】(1)因为2a+35与a-万共线， 所以存在实数使得2ā+3b=u(t位-b)=ta-mb 「m=-3 t=2 2 t=- v1=-2 所以m=3,解得3，所以3； (2)因为a=5,1b=1,a与5的夹角为45， a.B-al1B1.c045-x1x2=1 所以 2 所以a+25=a2+4a.6+452=2+4+4=10, 则a+2b=0. (3)向量(2ā-)与(aā-3b)的夹角是锐角， 可得(2a-)-(aa-36)>0,且(2a-b)与(a-36不同向共线， 即为2+3-(6+2a.6>0, 即有71-(6+2)>0，解得1<1<6， 由(2a-b)与(2ā-3b)共线，可得2-(-3)=-元， 解得1=士V6,当=V6时，两者同向共线， 则实数1的取值范围为1，V6)U(v6,0 18. 【答案】(1) (2)26: AP=1AB+2AC (3)5 5 【分析】(1)由余弦定理计算易得； (2)建立直角坐标系，求出点A,B,M,N的坐标，利用向量AM,BN的夹角求cOs∠MPW; (3)根据A,P,M三点共线得AP=2AM,通过向量线性运算，将AM用A店和AC表示，从而将AP表示成 级 元，4元 =1 3 ,最后利用共线向量定理得到33，求出2的值即得 【解析】(1)：由余弦定理得：BW=AB+AN2-2ABAN.cosA, nBN=36+81-2x6×9x1-17 4 224, ,网 w=33 2 (2)如图，以A为原点，直线AC为x轴建立直角坐标系. 依得到：4Qo.).N号.cQ. P 设点M(,),由BM=2MC可得：(x-3,y-3W③)=29-x,-) A(O [x-3=2(9-x) x=7 即-35=-2y,解得，y=5,所以45)， W=()丽=-3 则网-®3-2店.网-}7- 73 cos∠MPN=cos AM,BN= AM·BN 0 1 B 23x33 26 由 (3)·AP,M三点共线，所以存在使得，AP=AM, ANB+AC-)AC 而w-沥+c子+号衣子+号西 3 元4元 3 =1 九= 又P,B,N三点共线，所以33，即5 而-号4+孤证+4c 5 【点睛】方法点睛：本题主要考查平面向量的线性运算、数量积运算的应用，属于较难题. (1)对于求向量模长，可运用定义法，或者数量积的运算律计算： (2)对于夹角问题，一般转化成两向量夹角处理，通过建系用向量坐标计算可简化过程： (3)在求向量表达式中的参数时，常常需要运用共线向量定理解决 19. 【答案】(1)3 BD=12V3 (2 7 3)(3,6) 【分析】(1)利用正弦定理可得b=a+c2-c,利用余弦定理可得 osB= 1 2,即可得结果： (2)根据面积关系SA4c=SA4D+S△acD,结合面积公式运算求解即可； (3)利用正弦定理结合三角恒等变换可得 -a-6snc 再结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】(1)因为cosC+sin2B=2-cos2A-sin AsinC, 可得sin'B=（1-cosA+(1-cos2C）-sin AsinC=sin2A+sim'C-sin AsinC cosB=a+c-b:1 由正弦定理得b2=d+c2-c,则 2ac 2 兀 B= 且0<B<π，所以3」 ∠ABD=∠CBD= (2)由题意可知： 6, 因为SA4Bc=SAABD+SBcn, rsn∠AC-xexBDxsin /ARD+片axBDxsh/CBD 1 则21 4号-0D 即2 BD=12V3 2,可得 7. c=a=25 (3)由正弦定理可得sinC sinA =2v3sinC,a=23sin A=23sin(C+B)=3sinC+3cosC c-a=43sinc-(3sinC+3cosc)=3sinc-3cosC=6sinC- 可得 6 为则-后到 可c-8(.女a30. 所以2c-a的取值范围为-3,6)