阶段小测(3)[范围：26.1～26.2]（提分小卷）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

阶段小测（三） (范围：26.1~26.2时间：40分钟满分：100分) 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( A.y=4x2-(2x+1)2 B.y=ax2+6x+c (第6题图) (第9题图) 二、填空题（每小题4分，共16分） C.s=2t-2t-1 D.y=x+月 7.请写出一个顶点在y轴上、开口向上的抛物 2.抛物线y=一x2+3x一2的对称轴是直线 线的函数解析式： 8.已知二次函数y=(a-1)x2,当x≤0时， A.x=-3 B.x=3 y随x的增大而增大，则a的取值范围是 C=-含 Dx-号 9.二次函数y=x2+bx十c的图象如图所 3.把抛物线y=x2一1先向右平移2个单位 示，则该函数的最小值是 长度，再向下平移2个单位长度，可得到 10.已知二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的 新抛物线的函数解析式是 图象与x轴交于点A(一1,0)，B(x1,0), A.y=(x+2)2+1 B.y=(x+2)2-3 其中2<x1<3,与y轴的交点C在点 C.y=(x-2)2+1 D.y=(x-2)2-3 (0,2)的上方.有下列结论：①abc>0; 4.关于x的二次函数y=一3(x一2)2，下列 ②a-b+c=0;③2a+b<0;④若点 说法正确的是 M(一2，y1),N(5,y2)在此二次函数图象 A.图象的开口向上 上，则y1>y2,其中正确的结论是 .（填序号) B.图象的顶点坐标为(2,3) 三、解答题（共60分） C.当x>2时，y随x的增大而减小 11.(10分)已知抛物线y=(m-2)x2+x D.图象与y轴的交点坐标为(0,12) 2m. 5.已知二次函数y=2x2一4x一1，当0≤x≤a (1)若该抛物线有最高点，求m的取值 时，y的最大值为15，则a的值为( 范围； A.1 B.-2C.2 D.4 (2)若该抛物线与抛物线y=x2的形状 6.已知一次函数y=名x十c的图象如图所 相同、开口方向相反，求m的值. 示，则二次函数y=ax2十bx十c在平面直 角坐标系中的图象可能是 12.（12分)已知抛物线11：y=2x2-4x+3. (2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0 (1)抛物线11的顶点坐标为 时，y的最大值为3，求b,c的值. (2)将抛物线11先向左平移1个单位长 度，再向上平移2个单位长度，得到 抛物线L2,请判断抛物线L2是否经过 点P(2,3),并说明理由. 15.(14分)如图，已知抛物线y=a(x-h)2十k (a≠0)经过原点O,与x轴的另一个交 点为点B,顶点为A(2,1). (1)求抛物线的函数解析式； 13.(12分)已知二次函数y=ax2十bx+3 (2)已知P(m,n)是此抛物线上一点，若 的图象经过点(3,0)，(4,3). n>一3，则m的取值范围是 (1)求二次函数的解析式； (3)在抛物线上求点M,使△MOB的面 积是△AOB面积的3倍. (2)在如图所示的平面直角坐标系中画 出该函数的图象； (3)当0<x<3时，y的取值范围是 外 3 2 L012345x -2 14.(12分)已知二次函数y=一x2+bx十c. (1)若二次函数的图象经过点（一4，c), 求该抛物线的对称轴； ·85.解：PA,PB切⊙O于A,B,.PA=PB=9.同理可得CD=AC,DE=BE '.△PCE的周长=PC+CD+DE+PE=PC+AC+PE+BE=PA+PB=I8. 6.证明：连接AB,交OP于点D.PA,PB是⊙O的切线，PA=PB,∠APO= ∠BPO.PDLAB.∠ADP=90°.，BC是⊙O的直径，∴∠CAB=90°.∴.∠ADP= ∠CAB..AC∥OP. 30.2三角形的内切圆 知识梳理 内切圆角平分线内心外切三角形 针对训练 1.B2.C3.B4.B 5.解：由题意，得AD=AF=4,CE=CF=6,BD=BE.在Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AB2+BC2=AC,即(4+BD)2+(BE+6)2=(4+6)2.∴.BD=2. 6.解：(1)：⊙0是△ABC的内切圆，∴∠DB0=号∠ABC=25,∠DC0=号∠ACB =37.5°.∠BOC=180°-（∠DB0+∠DCO)=117.5°.(2)，⊙0是△ABC的内切 圆，.AE=AF,BD=BF,CD=CE.设AE=AF=x,则CD=CE=10-x..BF=AB -AF=13-x,BD=BC-CD=11-(10-x)=x十1.BD=BF,∴.x+1=13-x,解 得x=6..AE=6. 30.3正多边形与圆 知识梳理 ①相等相等②中心半径中心角边心距 针对训练 1.B2.B3.B4.18°5.45° 6.解：如图所示. 7.解：连接OB,OC,过点O作OG⊥BC于点G..∠BOC=360°÷6=60°，OC=OB, ÷△OBC是等边三角形.∴OC=OB=BC=6cm.:OG1BC,CG=BG=号BC= 3cm.∴.在Rt△COG中，OG=√OC-CG=3√3cm,即边心距r=3√3cm.∴.S= 6 SA=6x号×6x3v3=54Vcm. 提分小卷 阶段小测（一） 1.A2.A3.C4.A5.C6.C7.-38.号9.直角三角形10.53 11.解：(1)移项，得3(2x-1)2=27,即(2x-1)2=9..2x-1=士3，解得x1=2,x2= -1.(2),a=2,b=-7,c=4,.△=b2-4ac=(-7)2-4×2×4=17>0..方程有两 个不相等的实数根，“x=b士=4c=二（二告亚-生亚，即 2a 2×2 4 7+正，=7二亚(3)因式分解，得(3x+2+2)(3x+2-2x)=0.5x+2=0, 4 2 或x+2=0,解得x=一行w=-2. 52 12.解：(1)配方法二(2)公式法：a=1,b=8,c=一9，.△=b一4ac=82一4X1× (-9)=100>0.x=二8100=二8生10.=1,4=-9.因式分解法：因式分 2×1 2 解，得(x-1)(x十9)=0.x-1=0,或x十9=0.∴x1=1,x2=-9.(任选其中一种方 法即可) 13.解：将x=1代人(a+2)x2+x+a2-2a-9=0,得a+2+1+a2-2a-9=0,即a2- a一6=0，解得a1=一2，a2=3.又，'a十2≠0，即a≠-2，.a=3. 14.(1)证明：由题意，得△=[-(2a-1)]2-4(a2-a)=4a2-4a+1-4a2+4a=1>0, .无论a取何值，该方程总有两个不相等的实数根.(2)解：由题意，得x1十x2=2a一1， x12=a2-a.x(x2+1)+x2(x1+1)=2x1x2++x2=7,∴.2(a2-a)+2a-1=7, 解得a=士2. 15.解：当x十2≥0，即x≥一2时，原方程化为x2+2(x十2)一4=0，即x2+2x=0,解得 x1=0,x2=一2；当x十2<0，即x<-2时，原方程化为x2-2(x十2)-4=0，即x2一2x 一8=0，解得x1=一2，x2=4.(不合题意，舍去)综上所述，原方程的根为=0，x2=一2. 应用专练（一）一元二次方程的实际应用 1.解：(1)400(1十x)400(1+x)2(2)根据题意，得400(1+x)2=576,解得x1=0.2 =20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）.答：九、十两月的销售量的月平均增长率为20%. 2.解：(1)(x-1D号x(x-1)(2)根据题意，得x(2-1)=45,解得x=10,= 一9（不合题意，舍去）.答：共有10家公司参加商品交易会. 3.解：设最小的数为x,则最大的数为x+15.根据题意，得x(x十15)=100，解得x1= 5,x2=一20（不合题意，舍去）.这个最小数为5. 4.解：(1)(12-x)(12-2x)(2)根据题意，得(12一x)(12-2x)=32,解得x1=4,x2 =14.又12-2x>0,∴.x<6.x=4.答：该长方体盒子的高为4cm. 5.解：(1)根据题意，得1十x+x2=111.整理，得x2+x一110=0，解得x1=10,x2= -11(不合题意，舍去)..x的值为10.(2)2 6.解：设运动xs时，P,Q两点间的距离是2/10cm,则AP=2xcm,CQ=xcm.在 △ABC中，∠C=90°，BC=5cm,AB=5V5cm,∴.AC=√AB-BC=l0cm.∴.CP= (10-2x)cm.在Rt△CPQ中，PC+CQ=PQ,.(10-2x)2+x2=(2√10)2，解得x =2,x2=6.当x=6时CP=10-2x=-2<0,不合题意，舍去.x=2.答：运动2s时， P,Q两点间的距离是2/10cm. 7.解：(1)每件衬衫的价格降低了x元(2)设每件衬衫的价格降低了x元.根据题意， 得(80-50-z)(200+号×40）=7920.整理，得x2-20x+96=0,解得=8，x2= 12.又，要让顾客得到更大的实惠，.x=12..80一x=68.答：定价为每件68元时，才 能使这个月的利润达到7920元. 易错章测（二） 1.C 2.A【易错点拨】一元二次方程化成一般形式时，需要把各项移至等号左边. 3.C4.B5.A6.B7.x1=2,x2=-2 8.士8【易错点拨】本题易忽略一个正数的平方根有两个而致错. 9.一2【易错点拨】本题易忽略一元二次方程的二次项系数不为0而致错. 10.4【易错点拨】本题易忽略a2十b2为非负数而多解。 11.解：(1)a=3,b=-7,c=2,△=b2-4ac=(-7)2-4×3×2=25>0.∴.方程有 —53 两个不相等的实数根x=二（一特西-告-2，=子(2)整理，得2 2×3 6 -4x=-3.配方，得(x-2)2=1.x-2=1,或x-2=-1..x1=3,x2=1. 12.解：设前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为x.根据题意，得2(1十x)2 2.88,解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）.答：前三季度该品牌汽车销售 量的平均增长率为20%. 13.(1)解：设一次项系数为a,则原方程为x2十ax-6=0.把x=一2代人，得4一2a-6 =0,解得a=-1.∴.一次项系数为-1.(2)证明：设一次项系数为b,则原方程为x2十 bx一6=0.：△=b2一4×（一6）=b+24>0,.这个方程总有两个不相等的实数根. 14.解：(1)：方程有两个实数根，.△=[-2(k-1)]2一4k2=4k2-8k十4-4k2=-8 十4>0，解得≤分.(2)根据题意，得石十=2(-1D,函西=，由(1)可知≤受 ∴.2(k-1)<0,即x1+x2<0..|x1十x2|=-（x1十x2)=x1x2-1..-2(k-1)=k2 一1，解得1=1（不合题意，舍去），k2=一3.的值为一3. 15.解：（问题1）设垂直于墙的边的长为xm,则平行于墙的边的长为(32-2x)m.根据 题意，得x(32-2x)=78,解得x=3,x2=13.当x=3时，32-2x=26>8,舍去.当x= 13时，32一2x=6<8,符合题意.答：垂直于墙的边的长为13m.(问题2)设垂直于墙的 边的长为ym,则平行于墙的边的长为32一2十8=(20-)m.根据题意，得y(20-) 2 =99,解得力=9，y=11.当y=9或11时，20-y都大于8，y=9或11均符合题 意.答：垂直于墙的边的长为9m或11m. 阶段小测（三） 1.C2.D3.D4.C5.D6.A7.y=x2+2(答案不唯-)8.a<19.-4 10.②③④ 11.解：(1)由题意，得m-2<0,解得m<2.(2)由题意，得m一2=-1，解得m=1. 12.解：(1)(1,1)(2)不经过.理由如下：：抛物线4的函数解析式为y=2x2一4x十 3=2(x一1)2十1，∴.抛物线2的函数解析式为y=2x2十3.令x=2,则y=2×22+3= 11≠3，∴.抛物线12不经过点P(2,3). 19a+3b+3=0, 13.解：(1)把(3,0)，(4,3)代入y=ax2+bx十3，得 解得-1， 16a+4b+3=3 b=-4. 次函数的解析式为y=x2-4x+3.(2)如图所示.(3)一1≤y<3 3 2 345 0一4=一2. 14.解：(1)：二次函数的图象经过点(0，c),(一4，)该抛物线的对称轴为x=2 >0, (2)抛物线的对称轴为直线x=一2xD=?.由题意，得c=2, 解得 4X(-1)c世=3， .4×(-1) 1b=2, c=2. 15.解：(1)由题意，得抛物线的函数解析式为y=α(x-2)2+1.:抛物线经过原点， -54 :4a+1=0,解得a=-冬抛物线的函数解析式为y=一子（红-2）2+1.(2)-2< m<6(3)由题意，得△MOB中边OB上的高是△AOB中边OB上的高的3倍，∴.点 M的纵坐标是一3.由(1)，得抛物线的函数解析式为y=一是(x一2)2十1，令y=-3, 则-3=-子(x一2)2十1，解得五=6，西=-2.“点M的坐标为6，-3)或(-2，-3) 应用专练（二）二次函数的实际应用 1.解：设窗框的高AB为xm,窗户的透光面积为ym2.根据题意，得y=x.6一，3x- 2 名r+3z=-号(z-1)+号.“x>0,6-3>0,0<x<2.当z=1时y有最 大值，最大值为号.答：当窗框的高AB为1m时，窗户的透光面积达到最大，最大透光 面积是号， 40k+b=164, 1k=一4， 2.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b,则{ 解得 ..y 50k+b=124, b=324. 与x之间的函数关系式为y=一4x十324(30≤x≤80，且x是整数).(2)根据题意，得w =x(-4x十324)-2000=-4(x-40.5)2+4561.,30≤x≤80，且x是整数，.当x =40或41时，w有最大值，最大值为4560.答：该影院将电影票售价定为40元/张或 41元/张时每天获利最大，最大利润是4560元. 3.解：(1)①47②6(2)将t=0,h=2;t=1,h=27;t=3,h=47代人h=a+bt+c, c=2, (a=-5, 得a十b十c=27,解得b=30,∴.h=-5t2+30t+2.当h=12时，-5t+30t+2= 9a+3b+c=47, (c=2. 12,解得1=3十+√7，t2=3一√7.答：当炮弹飞行高度为12m时，炮弹的飞行时间为(3十 √7)s或(3-√7)s. 4.解：(1)甲同学不会被水流喷到.理由如下：建立如图所示的平面直角' 坐标系，则P(0,1),抛物线的顶点为(3,10).设抛物线的函数解析式为 y=a(x-3)2+10.将P(0,1)代入，得1=a(0-3)2+10,解得a=-1. P ∴抛物线的函数解析式为y=一(x一3)2+10.当x=10时，y=一(10-A(0) 3)2+10=一39<0，∴.甲同学不会被水流喷到.(2)设喷灌机向前移动bm,此时抛物线 的函数解析式为y=一(x一3-b)2+10.将(9,1)代入，得1=一(9-3-b)2+10,解得 m=3,m2=9(不合题意，舍去).答：需要将喷灌机向前移动3m. 5.解：（任务一）由题意，得B(10,0),C(0,5).设抛物线的函数解析式为y=ax2+5.将 B(10,0)代人，得0=10a+5,解得a=一0抛物线的函数解析式为y=一0r十 5.(任务二)设E(m,-0m+5,且0<m<10,则EF=2m,EH=-20+5.由题 意，得2(EF+EHD=27.5,即2(2m一20m2+5)=27.5,解得m=5,m:=35(不符合 题意，舍去).EH=一20×5+5=3.75.：3.75-3.5=0.25<0.35，该“脚手架” 的安装不符合要求，脚手架至少应调低0.35一0.25=0.1(m) 易错章测（四） 1.A【易错点拨】忽略二次项系数不为0而致错. 2.A【易错点拨】不能正确画出二次函数图象的草图而致错， 55 3.C4.D 5.B【易错点拨】对二次函数y=ax2十bx十c的性质理解不透彻，不能正确比较二次 函数图象上异侧三点的函数值的大小 6.B 7.3【易错点拨】对平移的规律理解不透彻而致错. 8K-1或>49.号 10.一5或一1【易错点拨】根据最值求字母的值时未分情况讨论而致错 11.解：(1)当m=一4时，y=x2+4x一4=(x十2)2一8，.该二次函数图象的顶点坐标 为（一2，一8）.(2)令y=0,则x2一mx+m=0.由题意，得△=（一m)2-4m=m2一4m= 0,解得m1=0,m2=4..m的值为0或4. c=4, 12.解：(1)4(2)把(0,4)，(1,1)，(2,0)代人y=ax2+bx+c,得a十b+c=1,解得 4a+2b+c=0, a=1, b=一4，.该二次函数的解析式为y=x2一4x十4.(3)0<x<4 (c=4. 13.解：(1)易得抛物线的顶点坐标为(2,3).设抛物线的函数解析式为y=α(x一2)2十 3.把A(8,0)代入，得a(8-22+3=0,解得a=一立·抛物线的函数解析式为y- 一立x一2)+3.(2)当x=0时，=一立×4十3=号>2.4，球不能射进球门。 14.解：(1)设每件贝壳饰品的利润y(元)与第x天之间的函数关系式为y=x十b.将 2k+b=7, (2,7),(4,8)代入，得{ 。解得 一乞'：每件贝壳饰品的利润（元）与第x天 4k+b=8,b=6. 之间的函数关系式为y=2x十6.(2)：销售期间栈桥明信片每天的销量不低于25套， .q≥25，即一x十50≥25，解得x≤25.，x为整数，且x≥1，∴.1≤x≤25.设销售期间 该文创店每天销售这两款文创商品的总利润为0，则w=（名x十6）（一2x十80）十 8(-x十50)-500=一(x-10)2十480..当x=25时，w有最小值，最小值为-(25- 10)2十480=255.答：销售期间该文创店每天销售这两款文创商品的总利润至少为255元 函数专练（三）与反比例函数的图象和性质有关的计算 1.解：把A3,2)代入y=兰得2=夸解得=6.y-三把B(4,0)代人y=三得6 -- 1m-m-7=-1, |m一m-7=-1, 2.解：(1)由题意，得{ 解得m=3.(2)由题意，得 解 m-2>0, m-2<0, 得m=一2. 3.解：1)设y与x之间的函数解析式是y=是把x=3,y=8代人，得8=专，解得k =24.y与x之间的函数解析式是y=24(2)当x=3时，y=8;当x=4时，y=6 x .当3≤x≤4时，y的取值范围是6≤y≤8. 4.解：(1)：ABLx轴，“S0=号·k=2,解得及=4.∴反比例函数的解析式为y 56 兰把A(4,)代入y=兰，得6=1.(2)由(1)，得A(4,1).设直线0A的函数解析式为 y=mz.把A(4,1)代人，得4m=1,解得m=子.直线0A的函数解析式为y=子z. 5解：1)把A3,-2)代人y=2,得-2-2写，解得=8.(2)由1)得y=一号分 两种情况讨论：①当x1<0<x2时，yh>y2;②当x1<x2<0或0<x1<x2时，<y2. 6.解：(1)(2,1)(-1，-2)0<x<2或x<-1(2)设直线y=x-1与y轴的交点 为M,则点M的坐标为(0，-1D.由题意知，Sac=5△w十SAau=合X1-1-CX 1+合×-1-%×2=号引e+1=6,解得%=3或30=-5.“点C的坐标为0， 3)或(0，-5). 7.解：(1)易得A(2,4),.OB=2,AB=4.四边形ABCD是正方形，∴.AD=AB=BC =CD=4.0C=0B+BC=6.D(6,4.把D6,4)代入y=冬，得k=4X6=24, “反比例函数的解析式为y=24.(2)由题意，得AD=AB=BC=CD=√m,点D和 点A的纵坐标为m,在y=2x中，当y=Vm时，2z=Vm,解得x=,点A的坐标 为（罗v)0C=0B+BC=3.:点D的坐标为（色V)将D(。 园)代人y=左，得=m=是m 8.解：(I)过点C作CELAB于点E.:AC=BC,AE=BE=AB=4,在R△BCE 中，BC=5,BE=4,.CE=√BC-BE=3.OA=8,∴.点C的坐标为(5,4).把C(5, 0代入y=冬，得=5X4=20.(2)设点A的坐标为(m,0.:BD=BC=5,AD= AB-BD=3..D(m,3).由(1)，得AE=BE=4,CE=3,.C(m-3,4).把C(m-3, 4= ,Dm,3)分别代入y一兰 -3 解得m=12..点D的坐标为(12,3). 3= m' 易错章测（五） 1.C2.B3.A 4.D【易错点拨】利用反比例函数的性质比较大小时，要注意增减性只适用于同一象限. 5.D【易错点拨】当b>0时，a<0;当b<0时，a>0.根据字母的正、负确定函数图象所 在象限时，要注意同时满足一次函数和反比例函数的性质. 6.C7.1(答案不唯一)8.-19.0.510.(W2,2√②) 1.解：1z的取值范国是x≠0.(2②)当y=-2时，-2=一是解得x=号。 12.解：1)把(3，一2)代人y=名，得一2=夸，解得=一6.反比例函数的解析式为y =一是补全该函数图象的另一支如图所示.(2)≤一号或x>0【锡错点按】当5 x 时，x的取值范围要分为两段，容易忽略第四象限的情形。 57