第七章 课时8空间向量的概念与运算课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量的概念与运算”专题，依据课标要求梳理空间向量基本定理、方向向量与法向量、平行垂直关系的向量表示等核心考点，通过2025北京海淀质检等真题分析线性运算、数量积应用等高频题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+素养提升”，如以半正多面体顶点向量表示题培养数学语言表达能力，例3用坐标法证明线面平行体现数学思维推理，提炼“建系-求向量-证关系”解题模板，帮助学生掌握得分技巧，为教师提供系统复习方案，助力高效备考。

课时8 空间向量 的概念与运算 课标要求 1. 理解空间向量的概念、运算、 2.运用向量的方法研究空间基 综合几何方法的共性与差异 3.运用向量方法解决简单的数 有效工具. 基本定理和应用 工图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和 之问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的 二、知识梳理 1.三个基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 得b=a。 u,b(a0),b与a共线的充要 条件是存在实数2，使 o) (2)共面向量定理 如果两个向量4，b不共线，那么向量p与向量， 在有序实数组c,),使得p=xM十b (3)空间向量基本定理 如果三个向量e1,e2,e不共面，那么对空间任一向量 组(x,y,z),使得p=xe1+ye十z3 b共面的充要条件是存 P,存在唯一的有序实数 2。直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量α的有向线段所在直线与直线 1 平行或重合，那么称此向量a为直线1的方向向量 (2)平面的法向量：直线！⊥平面a,取直线1方向向量a,则向量α叫作平面 a的法向量. 3.空间中平行、垂直关系的向量表示 设两直线1，m的方向向量分别为a,b,两平面a,的法向量分别为u,y,则 线线平行 1∥m÷a=kbk∈R) 平 线面平行 l∥o台a⊥u←→M.L=0 行 面面平行 a∥f台u∥y←W=kk∈R) 线线垂直 1⊥m台a.b=0 垂 线面垂直 1L÷a∥uM=ku(k∈R) 直 面面垂直 0⊥B台zh台W.v=0 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打V,错误的打 (1)对于非零向量b,若ab=bc,则 ×”) a-c. (×) (2)在空间直角坐标系中，在yOz 平面内的点的坐标 定是(0，b,c.(√) (3)若两条直线平行， 则它们的方向向量的 方向相同或相反.（√） (4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的 组基底.(×) 2.(2025·北京海淀区质检)如图，在三棱柱AB1C1一ABC 的中心，且AA=a,AB=b,AC=C,则AD=() D.- 中，D是四边形BBCC A B D A C B e)o D 【解析】京 2+d- +峦+-店++西 +-++ =一4++ 故选D 3.如图所示，在正方体 和AC上的点，且AM= A.相交 C.垂直 ABCD一ABCD,中，棱长为a,M,N分别为线段A1B AN=V2a 则W与平面BB1C1C的位置关系是() 3 B.平行 N B D.不能确定 M B【解析】以CB,CD1,CC所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空 们直狗坐标系因内4仪-要.所以女9[学习 所以 w-(0 又C00,0,D0,a,0,所以C=0,a,0,所以C =0,所以MN⊥CD.因为CD是平面BB1CC的一个法向量， B 且MN平面BB1CC,所以MN∥平面BB1C1C.故选B B 4.已知直线1与平面垂直，直线1的一个 一2,1)与平面0平行，则z= 【解析】 3 因为平面的法向量u=(1,3, u.v=1×3+3×(一2)+z×1=0,所以z=3 方向向量为u=(1,3,z),向量v=(3, z),v与平面a平行，所以u⊥y,所以 四、考点扫描 考点一空间向量的运算 考向1线性运算及共面定理 例1（1)如图，在三棱锥0一ABC中， b,O0=c,则D=( ) A. 1 2b- B. D 0- . D-B.死-0i若0i=a,o死= E A D B C【解析】D=Dc+CO+定= -on to cB-040- 故选C oB-) (2)(多选题)下列说法正确的有( A.a-b=a十b是a,b共线的充要条件 B.若AB,C方共线，则AB∥CD C.A,B,C三点不共线，对空间任意一点 A,B,C四点共面 D.若P,A,B,C为空间四点，且有PA =1是A,B,C三点共线的充要条件 0,若0=30+0+心，则P, 48 P序十P心(P序，P心不共线)，则2十u CD【解析】由a一b=a+b,可知向量a,b的方向相反，此时向量a,b共线， 反之，当向量a,b同向时，不能得到4-b=a十b,所以A不正确； 若B,CD共线，则AB∥CD或A,B,C,D四点共线，所以B不正确； 由4，分，C三点不共线，对空间任意一点0，若0-O+O办+6风，因为 ++=1,可得，A,B,C四点共面，所以C正确； 88 若P,A,B,C为空间四点，且有PA 时，即u=1-λ，可得i-元=(Pi 线，反之也成立，即十=1是A,B, 选CD. 序+P(P序，P心不共线)，当十u=1 P,即CA=λC亦，所以A,B,C三点共 C三点共线的充要条件，所以D正确.故 规律方法： 1.求解用基底表示空间向量的问题时， 量加法、减法与数乘运算的几何意义， 就近表示所需向量 应结合已知和所求观察图形，正确理解向 灵活运用三角形法则及平行四边形法则， 2.已知MA,MB不共线，证明空间四点 ①M迹=xA十yM本 ②对空间任一点0，O=OM+xA十 =1)即可. ③PM//AB(或PA/M市或P范∥AM) P,M,A,B共面的方法 y MBOP=xOM+yOA+zOB(x+y+z e) 对点训练(1)(2024·江西南昌市高三月芳)半正多面体又称阿基米德多面体”， 它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面 体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面 体，如图，P,A,B,C,D为该半正多面体的顶点若P=,P3=b,P元 c,则PD=( B.2a-b-2 C.a- e D. A【解析】如图所示，P乙 所以P而=-】+P店 2 =PA +AC =FA +2BD 元-日+6 2 2 B =P4+2P元-2P3, 故选A. (2)已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点 (Oi+Oi+O心. ①试判断i,M亦，心三个向量是否共面； ②试判断点M是否在平面ABC内. O,若点M满足OM= 【解】①由题知OA+O办+O元=3OM,所以OA-OM=(OM-OB)十(OM-O): 即应=M+CM=-亦-，所以M应，心，M心共面： ②方法一：由①知，A,亦，MC共面且基线过同一点M,所以M,A,B,C四 点共面，从而点M在平面ABC内. 方法=：因为04-01+0+o00+}+}元，又丙为+}1， 所以M,A,B,C四点共面，从而M在平面ABC内. 考向2数量积及其应用 例2如图，在四棱柱ABCD一ABCD, 点的三条棱长都为1，且两两夹角为60 (1)求AC的长； (2)求证：AC1⊥BD: 3)求BD1与AC夹角的余弦值. 中，底面为平行四边形，以顶点A为端 C B (1)【解】记AB=a,AD=b,AA=c,则a =〈c,a〉=60°，所以a·b=b·c=c·a= 2 +b+c2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1 1AC=6,即AC的长为6. b=c=1,(a,b〉=b,c) AC1=a+b+c,所以AC2=(a +1H1+2×+月-6，f以 (2)【证明】因为AC1=a十b十c,BD=b-a,所以AC1·BD=(a十b+c)·(b一 a)=a·b+b2+b·c-la2-a·b-a·c=0,所以AC⊥BD,所以AC⊥BD. (3)【解】因为BD=b十c-a,AC=a十b,所以Bi1=2,AC=3,BD1·AC Bi1·AC =(b十c-a·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1.所以cos (BD1,AC〉= BDilAC V6 ,所以BD1与AC夹角的余弦值为 6 6 规律方法： 由向量数量积的定义知， b的夹角与方向有关， 确. 要求a与b的数量积， 定要根据方向正确判定 需已知a,b和〈a,b〉，a与 夹角的大小，才能使ab计算准 对点训练如图，正四面体ABCD(所 别是正四面体ABCD中各棱的中点， 求： (1)E的模； (2)序，G的夹角. 有棱长均相等)的棱长为1，E,F,G,H分 设B=a,心=b,d=c.试采用向量法， G B E 【解】(1)因为正四面体ABCD的棱长为1，E,F,G,H分别是正四面体ABCD 中各棱的中点，=4，衣=，办=c,所以死-)风=，-应=b- -功-，所以-成+A+=b-a+c=c-a6所以 =4《c-a-bP=4e+a2+-2ac+2ab-2he）=41+1+1-2x1x1×cos 60+2x1x1xe0s60-2x1x1c0s609y=2故=2 ②在四面体D中，广-e-& =V2 Er.GH 所以cos(E班，Gi 2 E序G =e+d2-2ca的=l+1-2x1k 90°. 6,=2同理，Gh+c-m.G1 2 坐acg 2√2 2 2 1×cos60°-1)=0，所以与GH的夹角为 考点二利用空间向量证明平行、垂直 例3如图，在四棱锥P一ABCD中，已知底面ABCD是 ABCD,PD=DC,E为棱PC的中点，F⊥BP于点F (1)PA∥平面EDB; (2)PB⊥平面EFD 正方形，侧棱PD⊥底面 求证： E C B 【证明】以D为坐标原点， 立空间直角坐标系D一xyz, DA,DC,DP所在直线分 如图， Z E D B 别为x轴，y轴，z轴，建 e) 设Dc=PD=1,则P0,o.1.4L0,0D0,Q0.B1,10,EQ5 所以PB 11,-1.-函-设，办则际=，yg-少 正-（含因为厅1服，所以七（昌0即ty z=0① 又因为PF∥PB,可设PF=PB,所以x=1,y=,z-1=-1②. 由①②可知，x=1 }子m以-居石0 (1)设n1=s)为平面EDB的 所以 取z1=一1，则M=(- y1=一21. =O.又因为PA丈平面EDB,所以PA n量 30 2 +21+2=0 1,1,-1).因为PA=(1,0,-1),所以PA1 ∥平面EDB. (2) 设2=(x2,2,z2)为平 所以 2三 1 y2=一Z2 所以PB⊥平面EFD 面EFD的一个法向 取z2=1,则n2=( ,因 即 1,-1,1).所以PB∥n2, 规律方法： 利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系（尽可能利用垂直条 件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).注意立体 几何的相关定理与向量共线、垂直之间的联系及区别 对点训练如图，在直三棱柱ADE一BCF中，侧面ABFE和侧面ABCD都是正 方形且互相垂直，M为棱AB的中点，O为DF的中点.求证： (1)OM/∥平面BCF; (2)平面MDF⊥平面EFCD. 【证明】(1)由题意知AB,AD,AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的 空间直角坐标系.设正方形的边长为1，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0), Fun,MC0,062.等以o-,2 ,B=-10,0 所以OM·BA=0,所以OMLBA.因为三棱柱ADE-BCF是直三棱柱，所以 AB⊥平面BCF,所以BA是平面BCF的一个法向量.又OM￠平面BCF,所以 OM/∥平面BCF. (2)设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为1=(&1，y1,z),=(X2,y2, 24小.日i=-,-1.-6-.0D流-0.G年=0.-1. n1·D=0, X1一y1十z=0, 由 lm·D=0 得=0. 令=，符m-（2 同理可得n2 =(0,1,1).因为1·n2=0,所以平面MDF⊥平面EFCD. 考点三坐标法解决几何图形中的探索性问题 例4如图，在长方体ABCD一AB1CD1中，已知AA1= 点. (1)求证：BE⊥AD1 (2)棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若 存在，请说明理由 AD=1,E为棱CD的中 存在，求AP的长；若不 A Bi B 希(I)【证明】以A为原点，AB 向，建立空间角坐标系（如图） 设AB=a,则A(0,0,0),D0,1,0) 乐-（丽为” AD,4的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方 》01,4径0a,a=01. -Cx0+1×1+(-1)×1=0,所以BE⊥AD1. 2 (2)【解】假设在棱A41上存在一点P(0,0,zo),使得DP∥平面B4E,此时DP =(0,一1，zo).又设平面BAE的法向量n=(x,y,z).因为n⊥平面BAE,AB ax十z=0, =aa.亚=（经o 所以nL店，n上形，得四+y=0 取x=1, 则)=分：=a,符平面ME的-个法向正x-（1-2 要使得DP∥平 面BMB,只要nLDm,即g-a=0,解得2-2 又DP平面BAE,所以存 在点P,满足DP∥平面BAE,此时AP= 2 【对点训练】(2025·辽宁大连市统考)如图所示，在 CA-CB=CC,CA=a,CB=b,CG=c,(a,b)(a, N是AB的中点 (1)用a,b,c表示向量AN; (2)在线段CB1上是否存在点M,使得AMLAN? 若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由 三棱柱ABC-A1B1C中， 2n c) C M B A B N 【解】(I)AV=AA 4-G}=+58 CA)-at-b-e. (2)假设存在点M,使AMLA1N,设CM=CB=λbU∈[0,1])， 显然AA4+AG+CM1-c-+b.因为AMLAN,所以AMAN-0, cab(子学co所以 cat-cb-c244 abca-iab-ib-ib-e--0.设CA=CBCC=l,叉〈a,) =〈a,c〉= 3 )×1+水1X1×（)+片0，解得. 所以当 CECB1,AM⊥A1N 米 感谢观看 THANKS