第15天 几何体的切接与嵌套问题 每日专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦几何体与球的切接及嵌套问题，通过14道精选模拟题系统覆盖圆锥、棱柱、台体等核心几何体的内切外接计算，强化空间几何关系推导与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|含圆锥内切球、直三棱柱外接球等|从几何体结构特征推导球心位置及半径，应用勾股定理与体积表面积公式| |多选|3题|涉及球与三棱锥、平行六面体切接|综合空间几何关系分析，结合角度与距离计算| |填空|3题|含正三棱锥外接球、圆柱内双球等|嵌套问题中最值计算，体现几何直观与推理能力|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第15天 几何体的切接与嵌套问题 1.答案　C 解析　因为圆锥的母线长为2,高为3, 所以圆锥底面圆半径=, 则该圆锥的表面积为π×()2+π××2=9π.故选C. 2.答案　A 解析　由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长l=2,高h===, 故圆锥的体积为V=πR2h=π. 故选A. 3.答案　A 解析　在正四棱锥P-ABCD中,令AC∩BD=O,连接PO,PO⊥平面ABCD,则∠PAO=60°,由AO=AC=,得PO=, 所以该正四棱锥的体积为×22×=.故选A. 4.答案　C 解析　当侧面AA1B1B水平放置时,水的形状为直四棱柱,底面是梯形, 设△ABC的面积为S,则S梯形=S, 水的体积V水=S×AA1=9S, 当底面ABC水平放置时,水的形状为直三棱柱,设水面高为h, 则有V水=Sh=9S,得h=9, 即当底面ABC水平放置时,水面高为9. 故选C. 5.答案　D 解析　如图,设点A到平面A1B1C1D1的距离为h,A1B1C1D1的面积为S, 显然有1=Sh, 所以=·S·h=, 因此剩余部分几何体的体积为1-=,故选D. 6.答案　B 解析　设圆锥的底面面积为S,圆台另一个底面的面积为S',高为h, 则圆台的体积为V=h,圆锥的体积为V=Sh, 由题意可知: ==7, 即S'+=6S,变形可得,6×--1=0,解得,=(负值舍去),则=.故选B. 7.答案　D 解析　如图,延长CM,交DA的延长线于点G,连接D1G,交AA1于点P,连接PM, 平面MCD1将此正方体分为两部分,设两部分体积分别为V1和V2(V1<V2), 故台体PAM-D1DC体积为V1,剩余几何体的体积为V2, 设正方体的棱长为4,则正方体体积为43=64, 又AM=AB=1,DC=DD1=4,故AP=AM=1, S△PAM=AP·AM=, =CD·DD1=8, 台体PAM-D1DC的高为AD=4, 故台体PAM-D1DC的体积为 V1=×4=14, 故V2=64-14=50, 所以==. 故选D. 8.答案　B 解析　如图,由题意知,AB=CD=BC=1,三角形ABC的面积为S=×1×1=. 设点P到平面ABC的高为h, 又VA-PBC=VP-ABC=h×S=h, 要使三棱锥A-PBC的体积最大,则需h最大. 当MN∥CD,且CM⊥CB时,h最大,最大为1, (VA-PBC)max=h=.故选B. 9.答案　ACD 解析　记平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为V=6, 对于A,由平行六面体的性质,A1B∥平面D1DCC1,故点P到平面D1DCC1的距离等于点B到平面D1DCC1的距离,故==×V=1,故A正确; 对于B,因为=,底面面积固定,点P在线段A1B上位置不同,高不同,故体积不为定值,故B错误; 对于C,因为A1B∥CD1,A1B⊄平面D1B1C,D1C⊂平面D1B1C,故A1B∥平面D1B1C, 点P到平面D1B1C的距离等于点B到平面D1B1C的距离, 故== =×V=1,故C正确; 对于D,因为A1B∥CD1,A1B⊄平面D1AC,D1C⊂平面D1AC,故A1B∥平面D1AC,点P到平面D1AC的距离等于点B到平面D1AC的距离, 故===×V=1,故D正确.故选ACD. 10.答案　BCD 解析　如图,O1,O分别是上,下底面中心,N,M分别是棱A1B1,AB中点, 对于A,由已知可得每个侧面等腰梯形的面积为=, 所以梯形的高为NM==, 由此可得该正六棱台的高为 OO1==,A错误; 对于B,由正棱台的性质及二面角的概念可知,侧面与下底面的夹角为α=∠NMO, 因为在直角梯形NMOO1中, NM=,OO1=, 所以sin α==, 易知α为锐角,所以α=,B正确; 对于C,由正棱台的性质及二面角的概念可知,侧棱与下底面所成角为θ=∠A1AO, 在直角梯形A1AOO1中, OO1=,A1O1=3,AO=4, 得tan θ==, 所以sin θ=,C正确; 对于D,该棱台上底面面积S1=6××9=,下底面面积S2=6××16=24, 故棱台的体积为 V=××=,D正确.故选BCD. 11.答案　ACD 解析　设圆柱的底面圆半径为r,高为h, 则 因此r2+=,令f(r)=r2+,r>0,求导得f'(r)=2r-, 对于AB,当V=1时, f(r)=r2+,f'(r)=2r-, 当0<r<时,f'(r)<0, 当r>时,f'(r)>0, 函数f(r)在上单调递减,在上单调递增, f(r)min=,于是≥,S3≥54π,而53<54π<63, 因此S=6有解,S=5无解, A可以,B不可以; 对于CD,当V=π时,f(r)=r2+,f'(r)=2r-,当0<r<时,f'(r)<0, 当r>时,f'(r)>0,函数f(r)在上单调递减,在上单调递增, f(r)min=,于是≥,即≥54,而>≥54, 因此S=5π,S=4π都有解,CD均可以.故选ACD. 12.答案　 解析　设正方形ABCD边长为2a,则πa2·2a=2π,得a=1,BC=2, V三棱锥C-ABE=V三棱锥E-ABC=S△ABC·h,h为点E到平面ABC的距离,V三棱锥E-ABC=××2×2·h=h,当E到AB的距离为1,即h=1时,V三棱锥E-ABC有最大值,最大值为,即三棱锥C-ABE体积的最大值为. 13.答案　60 解析　因为BC∥AF,AB⊥BC,所以AB⊥AF, 因为平面ARF⊥平面ABC, 所以AB⊥平面ARF, 因为AB∥CD,AB⊥BC,所以BC⊥CD, 因为平面TCD⊥平面ABC, 所以BC⊥平面TCD, 延长CB与EF相交于点N,延长AB与DE相交于点Q. 所以BN∥EQ,BQ∥EN. 所以BQEN是边长为4的正方形, 点S到BQEN四边距离均为, S到平面BQEN距离为 =. 所以正四棱锥S-BQEN体积为 ×4×4×=8. 多面体ARF-BNS是三棱柱+三棱锥,其体积为 ×4××8+××4××=26. 同理多面体TCD-BQS的体积也为26, 所以所求体积为2×26+8=60.] 14.答案　 解析　如图,在四棱锥P-ABCD中,延长PQ交BC于点R, 令=λ,=μ, 由AB=AD=,∠BAD=90°, 得BD=2,又CB=CD=5, 则S△BCD=BD·=×2×2=10, S△ABD=×=5, 由PB=4,PC=3,得PB2+PC2=BC2,则PB⊥PC, cos∠CBD=,sin∠CBD=, sin∠ABR=sin ==, S△ABR=××5λ×=,S△CDR=10(1-λ). 设点P到底面ABCD的距离为h, 依题意,VQ-ABCD=VQ-PAD=μVR-PAD=μVP-ARD, 由VQ-ABCD=(1-μ)VP-ABCD, 得(1-μ)··15h =μ··h, 则3(1-μ)=μ,μ=, 而=(1-λ)+λ, 则=16(1-λ)2+9λ2, 所以=μ2=36·, 令λ+8=t∈(8,9), =36· =36· =36, 当=,即t=,λ=时,()min=,所以PQ长的最小值为. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第15天 几何体的切接与嵌套问题 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.(2025·河南四市二检)已知圆锥的轴截面为正三角形,圆锥的内切球的表面积为12π,则该圆锥的体积为(　　) A.9π B.12π C.18π D.27π 2.(2025·宝鸡二模)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=1,BC=2,AA1=2,则直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为(　　) A.36π B.18π C.9π D.3π 3.(2025·广州一模)已知球O的表面积为4π,一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上,且下底面过球心O,母线与下底面所成角为,则该圆台的侧面积为(　　) A.π B.π C.π D.3π 4.(2025·浙江天域名校协作体联考)正四棱台侧棱长为5,上下底面边长分别为3和4,所有顶点在同一球面上,则正四棱台的外接球表面积是(　　) A.25π B.100π C. D.500π 5.(2025·长春二模)如图,圆锥PO的轴截面是边长为4的正三角形,过PO的中点O'作平行于底面的截面,以截面为底面挖去一个圆柱,则余下几何体的表面积为(　　) A.11π+π B.11π+2π C.12π+π D.12π+2π 6.(2025·湖南师大附中模拟)一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上,且该球的半径为1,当圆锥的体积取最大值时,圆锥的底面半径为(　　) A. B. C. D. 7.(2025·湖北十一校二联)如图,在棱长为1的正方体内部,有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体Oi(i=1,2,…,8),有1个以正方体中心为球心的球体O0,O0与Oi(i=1,2,…,8)均相切,则该9部分的体积和的最大值为(　　) A. B.(2-3)π C.π D. 8.与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为3,则此正三棱锥的棱切球半径为(　　) A.-2 B.+2 C.6-4 D.6+4 二、多选题(每小题6分,共18分) 9.(2025·衡水联考)半径为3的球O上相异的三点A,B,C构成边长为3的等边三角形,点P为球O上一动点,则当三棱锥P-ABC的体积最大时(　　) A.三棱锥O-ABC的体积为 B.三棱锥O-ABC的内切球半径为 C.三棱锥P-ABC的体积为 D.三棱锥P-ABC的外接球半径为3 10.(2025·承德调研)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,各棱长均为6.∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=,则以下说法正确的是(　　) A.BD1=6 B.异面直线BD1和A1C1所成角的余弦值为 C.四棱锥A1-BCC1B1的体积为36 D.与三棱锥A1-ABD各棱均相切的球的体积为9π 11.(2025·广东模拟)已知正四面体A-BCD的棱长为6,点M,N分别是BC,AD的中点,则下列几何体能够整体放入正四面体A-BCD的有(　　) A.底面在平面BCD上,且底面半径为,高为2的圆锥 B.底面在平面BCD上,且底面半径为,高为1的圆柱 C.轴为直线MN,且底面半径为,高为2的圆锥 D.轴为直线MN,且底面半径为,高为0.2的圆柱 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.(2025·渭南二模)已知正三棱锥P-ABC的体积为,AB=,则该三棱锥外接球的表面积为　　　　.  13.(2025·新高考Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为　　　　 cm.  14.(2025·邵阳二联)已知正六棱锥的高为,它的外接球的表面积是π.若在此正六棱锥内放一个正方体,使正方体可以在该正六棱锥内任意转动,则正方体的棱长的最大值为　　　　.  第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $