专题01 期末真题百练通关（164题45考点常考题型）（高效培优期末专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

**基本信息** 以164道期末真题覆盖45个常考考点，构建从基础概念到压轴综合的递进训练体系，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数|8考点31题|概念辨析/计算/规律探究|从平方根等概念到非负数性质、无理数估算，逐步提升综合化简能力| |不等式|8考点41题|性质判断/解不等式(组)/实际应用|从基本性质到含参问题、整数解，结合方程与实际情境培养建模能力| |整式与因式分解|7考点30题|幂运算/乘法公式/综合分解|从单(多)项式运算到十字相乘法、添拆项法，形成因式分解方法链| |分式|10考点38题|概念/化简/方程应用|从分式意义到含参方程、规律探究，突出运算规范性与实际问题转化| |相交线与平行线|12考点24题|三线八角/性质判定/角度计算|从基础识别到多拐点探究，通过平移与综合证明发展推理能力|

专题01 期末真题百练通关（164题45考点常考题型） 考点01 平方根、算术平方根、立方根辨析（基础） 考点24 十字相乘法（沪科版七下重点） 考点02 实数分类（基础） 考点25 因式分解综合题型（压轴） 考点03 实数简单计算（基础） 考点26分式的概念与有意义/值为0的条件（基础） 考点04 利用非负数性质求值（中档） 考点27分式基本性质（基础） 考点05 实数比较大小（中档） 考点28分式化简（约分、最简分式判断）（基础） 考点06 估算无理数范围（中档） 考点29分式化简求值（中档） 考点07 实数综合化简（含数轴）（压轴） 考点30分式规律探究（压轴） 考点08 平方根估算与探究规律（压轴） 考点31解分式方程标准步骤计算（基础） 考点09 不等式基本性质判断（基础） 考点32已知增根，求方程中参数的值（中档） 考点10 解一元一次不等式（基础） 考点33分式方程无解，求参数范围（中档） 考点11 解一元一次不等式组（基础） 考点34分式方程解的限定条件求参数（中档） 考点12 根据不等式（组）解集求参数范围（中档） 考点35分式方程实际应用题（期末必考大题） 考点13 求不等式（组）整数解（中档） 考点36相交线基础概念（基础） 考点14 不等式与方程结合（中档） 考点37三线八角识别（基础） 考点15 一元一次不等式实际应用（压轴） 考点38平行线的判定（基础） 考点16 不等式组无解/有解/整数解（压轴） 考点39平行线的性质（基础） 考点17 幂的运算（必考基础） 考点40平移基础（基础） 考点18 单×单、单×多、多×多项式（基础） 考点41平行线性质 + 判定综合推理（中档） 考点19 乘法公式直接应用（基础） 考点42折线型平行线角度计算（中档） 考点20 乘法公式灵活变形（中档） 考点43平移相关计算（中档） 考点21 整式化简求值（中档） 考点44根据平行线判定与性质证明（压轴） 考点22 提公因式法分解因式（基础） 考点45多拐点平行线角度探究（压轴） 考点23 公式法分解因式（中档） 考点01 平方根、算术平方根、立方根辨析（基础）（共4小题） 1．(23-24七下·安徽铜陵铜官区·期末)若，，则（    ） A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9 2．(24-25七下·安徽淮南大通区等5地·期末)下列说法中，正确的是（   ） A．9的立方根是3 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的立方根是2 3．(24-25七下·安徽安庆宿松县·期末)下列说法中，错误的是（   ） A．8的立方根是 B．0的算术平方根是0 C．平方根是 D．立方根等于的实数是 4．(24-25七下·安徽池州·期末)下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．9的立方根是3 C．是的算术平方根 D．16的平方根是4 考点02 实数分类（基础）（共3小题） 5．下列实数中，无理数的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25七下·安徽合肥四十六中南校区·期末)下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 7．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)实数、、、中属于分数的是（    ） A． B． C． D．2 考点03 实数简单计算（基础）（共3小题） 8．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)计算： 9．(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)计算：． 10．(24-25七下·安徽淮南寿县·期末)计算： 考点04 利用非负数性质求值（中档）（共3小题） 11．(23-24七下·安徽淮南谢家集区等3地·期末)若式子，则等于（    ） A． B． C． D． 12．(23-24七下·安徽池州贵池区·期末)若、为实数，且，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 13．(23-24七下·安徽安庆怀宁县·期末)已知，则 的值是_______． 考点05 实数比较大小（中档）（共5小题） 14．(24-25七下·安徽安庆外国语学校·期末)下列各数中，最大的数是（   ） A．π B．3.14 C． D． 15．(24-25七下·安徽阜阳·期末)在实数，，0，中，最小的实数是______． 16．(23-24七下·安徽滁州凤阳县·期末)比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 17．(22-23七下·安徽合肥瑶海区·期末)若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______．    18．(23-24七下·安徽六安霍邱县·期末)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． ，，，，， 考点06 估算无理数范围（中档）（共3小题） 19．(24-25七下·安徽铜陵铜官/·期末)若，则估计的值所在的范围是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．(22-23七下·安徽淮南凤台县·期末)若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．(24-25七下·安徽安庆宿松县·期末)司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是_____． 考点07 实数综合化简（含数轴）（压轴）（共3小题） 22．(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)如图，数轴上点A，B表示的数分别是和2，点C表示的数为x．已知点C在数轴的负半轴上，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等． (1)请求出数x的值． (2)化简：． 23．(24-25七下·安徽蚌埠龙子湖区蚌埠第九中学·期末)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是________． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 24．(23-24七上·安徽安庆太湖县·期末)如图，在数轴上点表示数，点表示数，且，满足． (1)求、两点之间的距离； (2)点在点的右侧，点在点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点与点之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点以3个单位长度每秒从点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度每秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇时点表示的数是多少？ 考点08 平方根估算与探究规律（压轴）（共4小题） 25．(23-24七下·安徽合肥高新区·期末)已知实数a的平方根为的整数部分为b． (1)求a，b的值； (2)若的小数部分为c，求的立方根． 26．(23-24七下·安徽淮北·期末)无理数是无限不循环小数，由整数部分和小数部分构成，例如的整数部分是1，小数部分是．若规定无理数的整数部分记为，小数部分记为， 例如：，．请根据上面规定解答以下两题． (1)___________；___________． (2)已知，求的值． 27．(24-25七下·安徽安庆太湖县·期末)请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记作（即），如，3叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：________，________，________． (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？ (3)由（2）猜想：_________（，）． (4)根据（3）计算： ①； ②． 28．(23-24七下·安徽黄山·期末)观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 考点09 不等式基本性质判断（基础）（共4小题） 29．(24-25七下·安徽合肥四十六中南校区·期末)已知，下列不等式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 30．(24-25七下·安徽阜阳颍上县·)若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 31．(24-25七下·安徽滁州全椒县·期末)1．若，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 32．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)已知非负实数，，，且，则下列结论正确的是(    ) A． B． C．的最小值是 D． 考点10 解一元一次不等式（基础）（共4小题） 33．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)解不等式：． 34．(24-25七下·安徽芜湖区·期末)解不等式：． 35．(24-25七下·安徽芜湖第二十七中学·期末)解不等式：． 36．(23-24七下·安徽合肥蜀山区·期末)解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 考点11 解一元一次不等式组（基础）（共5小题） 37．解不等式组：； 38．(24-25七下·安徽安庆桐城·期末)解不等式组：． 39．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)解不等式组： 40．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 41．(23-24七下·安徽合肥巢湖·期末)解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 考点12 根据不等式（组）解集求参数范围（中档）（共5小题） 42．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．(22-23七下·安徽合肥第四十二中学·期中)已知关于的不等式的解集如图所示，则的值等于______ 44．(23-24七下·安徽亳州涡阳县·期末)关于x的不等式组的解集是，则______． 45．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________． 46．(22-23七下·安徽亳州蒙城县·期末)已知关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是______． 考点13 求不等式（组）整数解（中档）（共4小题） 47．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)解不等式组，并写出此不等式组的所有整数解． 48．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)求关于的一元一次不等式组的整数解 49．(24-25七下·安徽淮北淮北五校·期末)解不等式组，并求出不等式组的非负整数解． 50．(24-25七下·安徽安庆外国语学校·期末)先化简，再求值：，其中a是一元—次不等式组的整数解． 考点14 不等式与方程结合（中档）（共3小题） 51．(24-25七下·安徽阜阳·期末)已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x，y互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围． 52．(23-24七下·安徽淮南凤台县·期末)关于x，y的方程组，其中． （1）若x，y的值互为相反数，求a的值； （2）当时，求y的取值范围． 53．(23-24七下·安徽淮南凤台县·期末)已知关于x、y的方程组的解是非负数． (1)求方程组的解（用含k的代数式表示）； (2)求k的取值范围； (3)化简：． 考点15 一元一次不等式实际应用（压轴）（共7小题） 54．(22-23七下·安徽巢湖·期末)某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金980元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1380元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校最多能够提供资金4060元，请问有几种购买方案供这个学校选择． 55．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)为了抓住大别山文化艺术节的商机，某商店决定购进、两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品1件，种纪念品1件，需要150元；若购进种纪念品1件，种纪念品2件，需要250元． (1)求购进、两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于6800元，但不超过6950元，那么该商店共有哪几种进货方案？ 56．(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元，则有哪几种购买方案？哪一种购买方案更省钱？ 57．(24-25七下·安徽芜湖南陵县·期末)【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 58．【观察与思考】 场景1：某奶茶店有一个收银台，每2分钟可以服务一位顾客，店庆活动时，已有4位顾客在排队．收银台开始工作后，每4分钟来一位新顾客．分析问题，完成表格．（单位：分钟） 收银台开始工作前已有4顾客，，，在排队等候，若把，，，到达时间看作0分钟，，，…表示收银台开始工作后到达的“新顾客”． 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 4 8 … 服务开始时间 0 2 4 6 8 10 … 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 … (1)表中第______位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 场景2：若店庆活动时已有6位顾客排队，其他条件不变（每2分钟服务一人，“新顾客”每4分钟来一位）． 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 0 0 4 8 … ▲ 服务开始时间 0 2 4 ６ 8 10 12 14 … ▲ ▲ 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 14 16 … ▲ (2)表中第______位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 【发现与表达】 (3)发现1：“新顾客”服务结束的时间______“新顾客”服务开始时间（填“>”“<”或“=”）． (4)发现2：若______，则当“新顾客”到达时无排队现象．（填“≥”“≤”或“=”） (5)结论：如果服务窗口办理业务的速度为每a分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每b分钟到达一位（）．服务窗口开始服务前已经有m位顾客在等待，假设从第n位“新顾客”开始不需要排队，当______时，排队现象消失（直接写出a，b，m与n的关系）． 59．(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)某商店准备采购甲、乙两种玩具共360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件． (1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元？ (2)若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？ (3)在（2）的采购方案中，哪种方案该商店在销售完这360件玩具可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 60．(24-25七下·安徽黄山·期末)【问题背景】 在“双碳”目标引领下，新能源汽车产业发展驶入快车道．某小区物业发现当前的充电桩的数量已无法满足业主的需求，“一桩难求”现象日益突出．为破解这一难题，物业部门计划利用地下停车场闲置区域和地面公共空间新建地下和地上两类充电桩． 【信息分析】 物业经理经过市场调研发现如下信息： 地下充电桩数量(单位：个) 地上充电桩数量(单位：个) 总金额(单位：万元) （1）该小区新建一个地下充电桩和一个地上充电桩各需多少万元？ （2）若小区计划拨款万元资金全部用于新建充电桩，若设地下充电桩新建个，则地上充电桩新建 个(请用含的代数式表示)； 【任务驱动】 （3）若在（2）的条件下，且已知地下和地上每个充电桩的占地面积分别为平方米和 平方米，小区物业考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求地下和地上充电桩的总占地面积不得超过平方米，且地上充电桩的数量大于个，问共有哪几种建造方案？请给出总占地面积最少的方案． 考点16 不等式组无解/有解/整数解（压轴）（共8小题） 61．(24-25七下·安徽黄山·期末)若关于的不等式组无解，则需要满足的条件是（  ） A． B． C． D． 62．(24-25七下·安徽淮北部分学校·期末)若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是_________________． 63．(23-24七下·安徽合肥锦绣中学·月考)已知关于的不等式组有两个整数解，则的取值范围是______． 64．(22-23七下·安徽黄山·期末)如果关于x的不等式组恰有4个整数解，则m的取值范围是___________． 65．(24-25七下·安徽铜陵铜官/·期末)若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 66．(24-25七下·安徽淮南高新技术开发区·期末)若关于的不等式组的解集中仅有2个整数解，则的整数解之和为__________． 67．(24-25七下·安徽芜湖第二十七中学·期末)若关于x的不等式组的整数解的和为9，则k的取值范围是____________． 68．(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)数学课上，老师写下题目：解一元一次不等式组． 其中需要同学们在“□”中填写数字． （1）小明填入数字后得到该不等式组的解集为，则小明填写的数是______； （2）当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字a的取值范围是______． 考点17 幂的运算（必考基础）（共4小题） 69．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 70．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 71．(24-25七下·安徽六安金安区六安皋城中学·期末)若，，，则的值是（   ） A．24 B．19 C．18 D．16 72．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)中国人民自古以来具有自强不息的精神，经过科学家的不懈努力，中国光刻机取得了显著进展．上海微电子研制出能够生产的光刻机，已知，那么用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 考点18 单×单、单×多、多×多项式（基础）（共5小题） 73．(23-24七下·安徽滁州凤阳县·期末)下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 74．(23-24七下·安徽六安轻工中学·期末)若则代数式的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 75．(24-25七下·安徽芜湖第十一中学·期末)5．要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 76．(24-25七下·安徽合肥·期末)若，则的值分别为（    ） A．7， B．1， C．， D．7，12 77．(24-25七下·安徽合肥蜀山区·期末)计算： 考点19 乘法公式直接应用（基础）（共4小题） 78．(24-25七下·安徽滁州凤阳县·期末)计算：． 79．(24-25七下·安徽安庆宿松县·期末)化简：． 80．(23-24七下·安徽淮北·期末)化简：． 81．(24-25七下·安徽安庆外国语学校·期末)计算：． 考点20 乘法公式灵活变形（中档）（共3小题） 82．(24-25七下·安徽安庆外国语学校·期末)若，则的值为（   ） A． B． C． D． 83．(24-25七下·安徽六安霍邱县·期末)已知，则___________． 84．(24-25七下·安徽蚌埠龙子湖区蚌埠第九中学·期末)若，则的值为 ______ ． 考点21 整式化简求值（中档）（共3小题） 85．(24-25七下·安徽芜湖第十一中学·期末)先化简，再求值：，其中． 86．(24-25七下·安徽芜湖第十一中学·期末)先化简，再求值：，其中，． 87．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)先化简，再求值：，其中，． 考点22 提公因式法分解因式（基础）（共3小题） 88．(23-24七下·安徽六安轻工中学·期末)因式分解：________． 89．(24-25七下·安徽六安金安区六安皋城中学·期末)因式分解： ___________． 90．(24-25七下·安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学·期末)已知，则的值为________． 考点23 公式法分解因式（中档）（共3小题） 91．(24-25七下·安徽合肥·期末)下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 92．(23-24七下·安徽合肥·期末)分解因式：______． 93．(24-25七下·安徽安庆潜山·期末)分解因式： (1)； (2)． 考点24 十字相乘法（沪科版七下重点）（共3小题） 94．(23-24七下·安徽安庆石化第一中学·期末)多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 95．(22-23七下·安徽安庆第四中学·期末)分解因式：__________． 96．(24-25七下·安徽六安金安区六安皋城中学·期末)阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 考点25 因式分解综合题型（压轴）（共4小题） 97．(24-25七下·安徽安庆桐城·期末)对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 98．(24-25七下·安徽滁州全椒县·期末)先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，求的值． 99．(24-25七下·安徽淮南寿县·期末)把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求的最小值． 解：当时，有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)已知：，求的最小值； (3)已知：，求的平方根． 100．(23-24七下·安徽合肥瑶海区·期末)【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 考点26分式的概念与有意义/值为0的条件（基础）（共4小题） 101．(23-24七下·安徽淮北·期末)下列四个代数式中，其中为分式的是（    ） A． B． C． D． 102．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)若分式的值为0，则的值为（   ） A．0 B．2 C．2或 D． 103．(24-25七下·安徽淮南寿县·期末)当时，分式无意义，求的值为___________． 104．若分式有意义，则x的取值范围是______． 考点27分式基本性质（基础）（共4小题） 105．(24-25七下·安徽六安霍邱县·期末)下列各式从左边到右边变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 106．(24-25七下·安徽合肥蜀山区·期末)下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 107．(24-25七下·安徽合肥四十六中南校区·期末)若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小到原来的 108．(24-25七下·安徽蚌埠第五中学、田家炳中学·期末)若把分式中的和都变为原来的倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的倍 B．不变 C．变为原来的 D．变为原来的倍 考点28分式化简（约分、最简分式判断）（基础）（共2小题） 109．(24-25七下·安徽亳州·期末)下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 110．(22-23七下·安徽蚌埠蚌山区·期末)10．下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 考点29分式化简求值（中档）（共3小题） 111．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)先化简，再求值：，其中． 112．(24-25七下·安徽安庆大观区第四中学·期末)先化简，再从，0，1中选取一个适当的数代入求值． 113．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)化简求值：，其中是满足不等式组的整数解． 考点30分式规律探究（压轴）（共3小题） 114．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)分子为1的分数叫做单位分数，如．任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，， (1)根据对上述式子的观察，你会发现，其中，则___________，___________． (2)写出你猜想的第n个等式：___________；（用含有n的等式表示） (3)请说明（2）中等式成立的道理． 115．(24-25七下·安徽芜湖第十一中学·期末)观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式∶ ； (2)写出你猜想的第 n个等式(用含 n 的等式表示)，并证明． 116．(24-25七下·安徽六安·期末)观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 考点31解分式方程标准步骤计算（基础）（共3小题） 117．(24-25七下·安徽滁州天长·期末)解方程：． 118．(24-25七下·安徽亳州·期末)解方程：． 119．(24-25七下·安徽安庆大观区第四中学·期末)解关于x的方程：，其中m为常数． 考点32已知增根，求方程中参数的值（中档）（共3小题） 120．(23-24七下·安徽滁州凤阳县·期末)若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 121．(22-23七下·安徽合肥庐阳中学·期末)若关于的方程有增根，则的值是_________． 122．(24-25七下·安徽淮南高新技术开发区·期末)已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为？ (2)当取何值时，此方程会产生增根？ 考点33分式方程无解，求参数范围（中档）（共3小题） 123．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)已知关于的方程 （1）若，则方程的解是___________． （2）若方程无解，则a的值是___________． 124．(23-24七下·安徽六安叶集区十校·)已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，则的值为________； （2）若分式方程无解，则的值为________． 125．(23-24七下·安徽合肥肥西县·期末)已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 考点34分式方程解的限定条件求参数（中档）（共3小题） 126．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 127．(24-25七下·安徽池州青阳县·期末)已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为______． 128．(24-25七下·安徽合肥合肥新站高新技术产业开发区合肥三十中联考·期末)已知关于的分式方程． （1）当________时，该方程的解等于4； （2）当该方程的解是正数时，则的取值范围是________． 考点35分式方程实际应用题（期末必考大题）（共4小题） 129．(24-25七下·安徽淮南寿县·期末)寿阳建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 130．(24-25七下·安徽阜阳颍上县·)学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一些运动器材．经过市场调查得知一副乒乓球拍和一副羽毛球拍共130元，用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)现从某商家购买两种球拍，总数为25副（两种都要购买），某种球拍超过12副时，则该球拍打八折，当总费用不超过1460元，通过计算说明有多少种购买方案？ 131．(24-25七下·安徽阜阳颍上县·)某公司生产、两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的倍，公司若投入万元生产种设备，万元生产种设备，则可生产两种设备共台，请解答下列问题： (1)、两种设备每台的成本分别是多少万元？ (2)、两种设备每台的售价分别是万元、万元，且该公司生产两种设备各30台，现公司决定对两种设备优惠出售，种设备按原来售价折出售，种设备在原来售价的基础上优惠，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？ 132．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)跳绳是一项高效且易行的运动，能带来多重健康益处：增强心肺功能，促进血液循环，提升身体协调性．某商店计划购进，两款跳绳，款的进价为元/根，款的进价为元/根 (1)若商店计划用不超过元的价格购进，两款跳绳共根，则商店至少购进款跳绳多少根? (2)甲、乙两名同学进行跳绳训练，甲计划跳个，乙计划跳个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因跳绳打结耽搁了秒钟，最后甲比乙提前秒完成跳绳训练，问甲平均每秒跳绳多少个？ 考点36相交线基础概念（基础）（共3小题） 133．如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 134．(23-24七下·安徽安庆石化第一中学·期末)如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 135．(23-24七下·安徽宿州灵璧县·期末)如图，直线a，b相交于点O，若，则___________． 考点37三线八角识别（基础）（共3小题） 136．(24-25七下·安徽宿州泗县·期末)如图，和的位置关系是（  ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 137．(22-23七下·安徽宣城·期末)如图，直线，被直线所截，则的内错角是（    ）    A． B． C． D． 138．(24-25七下·安徽合肥肥西县·期末)如图，与的位置关系是______．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 考点38平行线的判定（基础）（共3小题） 139．(24-25七下·安徽芜湖第十一中学·期末)如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 140．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)如图，直线、都与直线相交，给出下列条件：；；；．其中能判断的条件是（    ） A． B． C． D． 141．(24-25七下·安徽淮南高新技术开发区·期末)如图，写出一个使的条件：__________． 考点39平行线的性质（基础）（共3小题） 142．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)如图，四边形中， 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 143．(24-25七下·安徽淮南高新技术开发区·期末)如图，若，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 144．(23-24七下·安徽宿州埇桥区教育集团·期末)如图，，，，则的度数等于______． 考点40平移基础（基础）（共3小题） 145．(24-25七下·安徽安庆桐城·期末)祥云，寓意祥瑞之云气，表达了吉祥、喜庆、幸福的愿望以及对生命的美好向往．下列选项中可以看作是左面祥云图案平移得到的是（    ） A． B． C． D． 146．(24-25七下·安徽合肥合肥新站高新技术产业开发区合肥三十中联考·期末)6．下列运动属于平移的是（   ） A． B． C． D． 147．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)如图，在方格纸中，有两条线段，．利用方格纸完成以下操作： (1)将线段向右平移得到线段，点、点的对应点分别是点、点； (2)过点作的平行线； (3)过点作的垂线，与交于点． 考点41平行线性质 + 判定综合推理（中档）（共3小题） 148．推理填空： 如图，，，．请将求的过程填写完整． 解：（已知）， （________），又（已知）， （________）， ________（________）， （已知）， ________． 149．已知：如图，，，垂足分别为D，F，．试说明：平分． 解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以____________（___________）． 所以____________（两直线平行，内错角相等）， ____________（___________）． 因为（已知）， 所以____________（___________）． 所以平分（角平分线的定义）． 150．(24-25七下·安徽芜湖南陵县·期末)如图，，，D、E分别在线段、上，、分别与交于点M、N，若，求证：．请补写解答过程和括号内相应的依据． 证明：（________）， （已知）． （等量代换）． （________，________）． （________，________）． ，（已知）， ∴______（__________） ________（内错角相等，两直线平行）． （________，________）． （________）． 考点42平移相关计算（中档）（共4小题） 151．(23-24七下·安徽亳州利辛县·期末)如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，，阴影部分的面积为，则平移距离为（    ） A． B． C． D． 152．(24-25七下·安徽安庆潜山·期末)如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 153．(24-25七下·安徽淮北淮北五校·期末)如图，在中，．把沿着直线的方向平移2.5cm后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④四边形的周长为17cm．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 154．(24-25七下·安徽合肥·期末)在中，，将沿着射线方向平移得到，连接． （1）如图，若平分，则________． （2）若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则________． 考点43折线型平行线角度计算（中档）（共3小题） 155．(24-25七下·安徽芜湖第十一中学·期末)如图，，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1）_______°； （2）若，则 ________°(用含x的式子表示)． 156．(24-25七下·安徽淮南大通区等5地·期末)如图，已知，于点，点在直线上，且位于直线的右侧． (1)若，求的度数； (2)若，，求的度数． 157．(23-24七下·安徽滁州凤阳县·期末)如图，，点A为直线上一定点，B为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点D，使得，设（为锐角）． (1)求的值； (2)当点B在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值． 考点44根据平行线判定与性质证明（压轴）（共2小题） 158．(24-25七下·安徽合肥合肥新站高新技术产业开发区合肥三十中联考·期末)已知线段，点，，在同一条直线上，．      (1)如图1，若，试说明； (2)如图2，若，，则的度数为________． (3)如图3，若，试说明． 159．(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)如图1，已知点B和点C分别是AF和DE上的点，，， (1)求证：； (2)如图2，连接AC，已知，（m为正数）． ①当时，，求的度数； ②若，求的度数（用含m的代数式表示）． 考点45多拐点平行线角度探究（压轴）（共5小题） 160．(24-25七下·安徽合肥庐江实验中学·期末)一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． (1)如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； (2)如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； (3)如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当时，，请你直接写出除外，其他所有可能的度数． 161．(24-25七下·安徽蚌埠第五中学、田家炳中学·期末)【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作，   ∴_____，______， 又∵° ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 162．(23-24七下·安徽安庆桐城·期末)如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，． (1)探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：． (2)问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 163．(24-25七下·安徽阜阳·期末)已知点P为直线，之间的一点，且． (1)如图1，连接，，若，求的度数； (2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点． ①如图2，连接，，，求的度数； ②如图3，连接，，，若，，，求的度数． 164．(23-24七下·安徽六安轻工中学·期末)如图1， 已知直线直线， 点E在上， 点H在上， 点F在之间，连接． (1)若， 求的度数． (2)如图2， 平分，交于点G， 且， 求度数 (3)如图3，平分， 交的延长线于点M ，则 ； ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末真题百练通关（164题45考点常考题型） 考点01 平方根、算术平方根、立方根辨析（基础） 考点24 十字相乘法（沪科版七下重点） 考点02 实数分类（基础） 考点25 因式分解综合题型（压轴） 考点03 实数简单计算（基础） 考点26分式的概念与有意义/值为0的条件（基础） 考点04 利用非负数性质求值（中档） 考点27分式基本性质（基础） 考点05 实数比较大小（中档） 考点28分式化简（约分、最简分式判断）（基础） 考点06 估算无理数范围（中档） 考点29分式化简求值（中档） 考点07 实数综合化简（含数轴）（压轴） 考点30分式规律探究（压轴） 考点08 平方根估算与探究规律（压轴） 考点31解分式方程标准步骤计算（基础） 考点09 不等式基本性质判断（基础） 考点32已知增根，求方程中参数的值（中档） 考点10 解一元一次不等式（基础） 考点33分式方程无解，求参数范围（中档） 考点11 解一元一次不等式组（基础） 考点34分式方程解的限定条件求参数（中档） 考点12 根据不等式（组）解集求参数范围（中档） 考点35分式方程实际应用题（期末必考大题） 考点13 求不等式（组）整数解（中档） 考点36相交线基础概念（基础） 考点14 不等式与方程结合（中档） 考点37三线八角识别（基础） 考点15 一元一次不等式实际应用（压轴） 考点38平行线的判定（基础） 考点16 不等式组无解/有解/整数解（压轴） 考点39平行线的性质（基础） 考点17 幂的运算（必考基础） 考点40平移基础（基础） 考点18 单×单、单×多、多×多项式（基础） 考点41平行线性质 + 判定综合推理（中档） 考点19 乘法公式直接应用（基础） 考点42折线型平行线角度计算（中档） 考点20 乘法公式灵活变形（中档） 考点43平移相关计算（中档） 考点21 整式化简求值（中档） 考点44根据平行线判定与性质证明（压轴） 考点22 提公因式法分解因式（基础） 考点45多拐点平行线角度探究（压轴） 考点23 公式法分解因式（中档） 考点01 平方根、算术平方根、立方根辨析（基础）（共4小题） 1．(23-24七下·安徽铜陵铜官区·期末)若，，则（    ） A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 2．(24-25七下·安徽淮南大通区等5地·期末)下列说法中，正确的是（   ） A．9的立方根是3 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的立方根是2 【答案】C 【详解】A、9的立方根是3，错误， 9的立方根应为，故本选项不符合题意； B、的算术平方根是，错误，算术平方根是非负数，的平方根为，故本选项不符合题意； C、的平方根是，正确，故本选项符合题意； D、的立方根是2，错误，正确立方根应为，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．(24-25七下·安徽安庆宿松县·期末)下列说法中，错误的是（   ） A．8的立方根是 B．0的算术平方根是0 C．平方根是 D．立方根等于的实数是 【答案】A 【详解】解：A、8的立方根是2，原说法错误，故此选项符合题意； B、0的算术平方根是0，原说法正确，故此选项不符合题意； C、，9的平方根是，原说法正确，故此选项不符合题意； D、立方根等于的实数是，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．(24-25七下·安徽池州·期末)下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．9的立方根是3 C．是的算术平方根 D．16的平方根是4 【答案】A 【详解】解：A．，故是的立方根，选项A正确； B．，因此的立方根不是，故选项B错误，不符合题意； C．，其算术平方根为，而非，故选项C错误，不符合题意； D．的平方根为，而选项仅提到，遗漏负根，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 考点02 实数分类（基础）（共3小题） 5．下列实数中，无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是有限小数，是有理数； B．是有限小数，是有理数； C．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； D．是分数，是有理数． 6．(24-25七下·安徽合肥四十六中南校区·期末)下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意； B．，是分数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； D．，是正整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：A． 7．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)实数、、、中属于分数的是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：、是无理数，是分数、是整数． 故选：C． 考点03 实数简单计算（基础）（共3小题） 8．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)计算： 【答案】1 【详解】解： ． 9．(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)计算：． 【答案】 【详解】解： ． 10．(24-25七下·安徽淮南寿县·期末)计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 考点04 利用非负数性质求值（中档）（共3小题） 11．(23-24七下·安徽淮南谢家集区等3地·期末)若式子，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，，解得：，， ∴， 故选：． 12．(23-24七下·安徽池州贵池区·期末)若、为实数，且，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 13．(23-24七下·安徽安庆怀宁县·期末)已知，则 的值是_______． 【答案】 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 考点05 实数比较大小（中档）（共5小题） 14．(24-25七下·安徽安庆外国语学校·期末)下列各数中，最大的数是（   ） A．π B．3.14 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， 又∵ ∴ ∴最大的数为π， 故选：A． 15．(24-25七下·安徽阜阳·期末)在实数，，0，中，最小的实数是______． 【答案】 【详解】解：， 最小的数是： 故答案为： 16．(23-24七下·安徽滁州凤阳县·期末)比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【详解】， ， ， ， ． 故答案为：< 17．(22-23七下·安徽合肥瑶海区·期末)若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______．    【答案】 【详解】解：，，， 能被如图所示的墨迹覆盖的数是， 故答案为：． 18．(23-24七下·安徽六安霍邱县·期末)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． ，，，，， 【答案】数轴见解析， 【详解】解：，，， 在数轴上表示各数如下， ． 考点06 估算无理数范围（中档）（共3小题） 19．(24-25七下·安徽铜陵铜官/·期末)若，则估计的值所在的范围是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：A． 20．(22-23七下·安徽淮南凤台县·期末)若，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴ ∴； 故选C． 21．(24-25七下·安徽安庆宿松县·期末)司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具，如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为，若介于两个连续整数n和之间，则n的值是_____． 【答案】4 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故答案为4． 考点07 实数综合化简（含数轴）（压轴）（共3小题） 22．(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)如图，数轴上点A，B表示的数分别是和2，点C表示的数为x．已知点C在数轴的负半轴上，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等． (1)请求出数x的值． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是和2， ∴， 由已知得， ∵点C在数轴的负半轴上， ∴； （2）解：∵， ∴． 23．(24-25七下·安徽蚌埠龙子湖区蚌埠第九中学·期末)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是________． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． （2）解：∵ ∴， ∴ ． （3）解：∵与互为相反数 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 即的平方根是． 24．(23-24七上·安徽安庆太湖县·期末)如图，在数轴上点表示数，点表示数，且，满足． (1)求、两点之间的距离； (2)点在点的右侧，点在点的左侧，为14个单位长度，为8个单位长度，求点与点之间的距离； (3)在（2）的条件下，动点以3个单位长度每秒从点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度每秒的速度从点出发沿负方向运动，则它们几秒钟相遇？相遇时点表示的数是多少？ 【答案】(1)、两点之间的距离为 (2)点与点之间的距离为 (3)、两点3.6秒时相遇，相遇时点表示的数为 【详解】（1）解：由题意可得：，， 则，， 解得：，， 、两点之间的距离为：， 故答案为：、两点之间的距离为， （2）点表示的数为：， 点表示的数为：， 点与点之间的距离为， 故答案为：点与点之间的距离为， （3）设运动时间为秒，根据题意可得：，解得：（秒）， 相遇时点所走的路程为：，， 故答案为：、两点3.6秒时相遇，相遇时点表示的数为． 考点08 平方根估算与探究规律（压轴）（共4小题） 25．(23-24七下·安徽合肥高新区·期末)已知实数a的平方根为的整数部分为b． (1)求a，b的值； (2)若的小数部分为c，求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵实数a的平方根为，， ∴， 解得， ∴， 即， ∵的整数部分为b， ∴； （2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分， ∴， ∴， ∴的立方根为． 26．(23-24七下·安徽淮北·期末)无理数是无限不循环小数，由整数部分和小数部分构成，例如的整数部分是1，小数部分是．若规定无理数的整数部分记为，小数部分记为， 例如：，．请根据上面规定解答以下两题． (1)___________；___________． (2)已知，求的值． 【答案】(1)3； (2)或 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：3；； （2）∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴或． 27．(24-25七下·安徽安庆太湖县·期末)请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记作（即），如，3叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：________，________，________． (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？ (3)由（2）猜想：_________（，）． (4)根据（3）计算： ①； ②． 【答案】(1)2，6，12 (2) (3) (4)①；② 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：2，6，12； （2）解：由（）的结果可得，； （3）解：由（）猜想：， 故答案为：； （4）解：①； ②． 28．(23-24七下·安徽黄山·期末)观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【答案】(1)①4；②100 (2) (3) 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 考点09 不等式基本性质判断（基础）（共4小题） 29．(24-25七下·安徽合肥四十六中南校区·期末)已知，下列不等式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知， 两边同时加上2得，则A不符合题意， 两边同时乘以2得，则B不符合题意， 两边同时除以得，则C不符合题意， 两边同时乘以2再同时减去1得，则D符合题意， 故选：D． 30．(24-25七下·安徽阜阳颍上县·)若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若， 两边同时乘以得，则A不符合题意， 两边同时乘以得，则B不符合题意， 两边同时减去得，则C符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：C． 31．(24-25七下·安徽滁州全椒县·期末)1．若，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，分析各选项： 选项A： 不等式两边同时减去2，方向不变，故，A错误． 选项B： 两边同乘负数，方向改变，原式变为，B错误． 选项C： 由得，C错误． 选项D： 两边同乘负数，方向改变，原式变为，D正确． 故选：D． 32．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)已知非负实数，，，且，则下列结论正确的是(    ) A． B． C．的最小值是 D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴，故A错误； ∵ ∴ ∴ ∴，故B正确； ∵， ∴的最小值是，故C错误， ∵ ∴ 又∵ ∴，故D错误； 故选：B． 考点10 解一元一次不等式（基础）（共4小题） 33．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)解不等式：． 【答案】 【详解】解：不等式两边同时乘以6，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 即不等式的解集为． 34．(24-25七下·安徽芜湖区·期末)解不等式：． 【答案】 【详解】解：去分母，得，， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得． 35．(24-25七下·安徽芜湖第二十七中学·期末)解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同时除以，得． 36．(23-24七下·安徽合肥蜀山区·期末)解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【详解】 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下： 考点11 解一元一次不等式组（基础）（共5小题） 37．解不等式组：； 【答案】 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集是． 38．(24-25七下·安徽安庆桐城·期末)解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集是． 39．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)解不等式组： 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 40．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【答案】，数轴见解析 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 因此不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 41．(23-24七下·安徽合肥巢湖·期末)解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【详解】解：， 解不等式①：展开得， 移项合并得 ， 解得， 解不等式②：去分母得， 去括号， 移项、合并同类项得， 解得， 所以不等式组的解集是． 在数轴上可表示为： 考点12 根据不等式（组）解集求参数范围（中档）（共5小题） 42．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：D． 43．(22-23七下·安徽合肥第四十二中学·期中)已知关于的不等式的解集如图所示，则的值等于______ 【答案】 【详解】解：由数轴得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 44．(23-24七下·安徽亳州涡阳县·期末)关于x的不等式组的解集是，则______． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 45．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． 不等式组的解集为， ． 故答案为：． 46．(22-23七下·安徽亳州蒙城县·期末)已知关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 故答案为：． 考点13 求不等式（组）整数解（中档）（共4小题） 47．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)解不等式组，并写出此不等式组的所有整数解． 【答案】，此不等式组的所有整数解有1，2 【详解】解：， 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴此不等式组的所有整数解有1，2． 48．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)求关于的一元一次不等式组的整数解 【答案】，， 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解为， ∴不等式组的整数解为，，． 49．(24-25七下·安徽淮北淮北五校·期末)解不等式组，并求出不等式组的非负整数解． 【答案】；非负整数解：0，1，2，3 【详解】解： 解， 解 ， ∴不等式组的解集为， 则非负整数解：0，1，2，3 50．(24-25七下·安徽安庆外国语学校·期末)先化简，再求值：，其中a是一元—次不等式组的整数解． 【答案】，取，原式 【详解】解： ， 对于， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集是：， ∴整数为1，2，3， 且， ∴， 原式． 考点14 不等式与方程结合（中档）（共3小题） 51．(24-25七下·安徽阜阳·期末)已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x，y互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：， ①②得：， 解得：， 把代入②，得， ， ，y互为相反数， ， 解得； （2）解：， 方程组的解满足， ， ， 52．(23-24七下·安徽淮南凤台县·期末)关于x，y的方程组，其中． （1）若x，y的值互为相反数，求a的值； （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）a＝－2；（2）1≤y≤4 【详解】（1）解： ①＋②得：2x＋2y＝2a＋4 ∴x＋y＝a＋2 ∵x，y的值互为相反数 ∴x＋y＝0 ∴a＋2＝0 ∴a＝－2 （2）解：由题得 解得 ∵， ∴ 解得1≤y≤4． 53．(23-24七下·安徽淮南凤台县·期末)已知关于x、y的方程组的解是非负数． (1)求方程组的解（用含k的代数式表示）； (2)求k的取值范围； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ①+②，得：， 解得， 将代入②，得：， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵方程组的解是非负数， ∴， 解不等式③，得：， 解不等式④，得：， 则不等式组的解集为； （3）解：∵， ∴，， 则 ． 考点15 一元一次不等式实际应用（压轴）（共7小题） 54．(22-23七下·安徽巢湖·期末)某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金980元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1380元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校最多能够提供资金4060元，请问有几种购买方案供这个学校选择． 【答案】(1)甲：180元，乙：220元 (2)有两种：①甲种书柜9个，乙种书柜11个；②甲种书柜10个，乙种书柜10个 【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元， 由题意得，解得， 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为220元． （2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（）个； 由题意得：，解得：， ∵m取整数， ∴m可以取的值为9，10， ∴学校的购买方案有以下两种： 方案一：甲种书柜9个，乙种书柜11个， 方案二：甲种书柜10个，乙种书柜10个． 55．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)为了抓住大别山文化艺术节的商机，某商店决定购进、两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品1件，种纪念品1件，需要150元；若购进种纪念品1件，种纪念品2件，需要250元． (1)求购进、两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于6800元，但不超过6950元，那么该商店共有哪几种进货方案？ 【答案】(1)购进种纪念品每件需50元，购进种纪念品每件需100元 (2)该商店有4种进货方案： 方案一：购买A种纪念品61件，购买B种纪念品39件； 方案二：购买A种纪念品62件，购买B种纪念品38件； 方案三：购买A种纪念品63件，购买B种纪念品37件； 方案四：购买A种纪念品64件，购买B种纪念品36件． 【详解】（1）解：设购进种纪念品每件需x元，购进两种纪念品每件需y元， 由题意得：， 解得：； 答：购进种纪念品每件需50元，购进种纪念品每件需100元． （2）解：设购买A种纪念品m件，则购买B种纪念品件， 由题意得：， 解得：； 由于m取正整数，则m取61，62，63，64， 对应地有4种进货方案： 方案一：购买A种纪念品61件，购买B种纪念品39件； 方案二：购买A种纪念品62件，购买B种纪念品38件； 方案三：购买A种纪念品63件，购买B种纪念品37件； 方案四：购买A种纪念品64件，购买B种纪念品36件． 56．(24-25七下·安徽铜陵枞阳县·期末)为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元，则有哪几种购买方案？哪一种购买方案更省钱？ 【答案】(1)购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元 (2)有三种购买方案，①购买跳绳26根，毽子28个；②购买跳绳27根，毽子27个；③购买跳绳28根，毽子26个；购买跳绳26根，毽子28个更省钱 【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元， 由题意得：， 解得：， 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元； （2）解：购买跳绳m根，则购买毽子个， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，27，28， 有三种购买方案： ①购买跳绳26根，毽子28个，费用为：元； ②购买跳绳27根，毽子27个，费用为：元； ③购买跳绳28根，毽子26个，费用为：元； ， 方案①更省钱：购买跳绳26根，毽子28个． 57．(24-25七下·安徽芜湖南陵县·期末)【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】任务1：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元；任务2：有三种销售方案：方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件；方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件；方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件； 任务3：销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为34020元 【详解】解：任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元， 由题意得， 解得 答：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元； 任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒， 由题意得， 解得． 因为为整数，所以．故有三种销售方案： 方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件； 方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件； 方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件． 任务3：方案1获利：（元）； 方案2获利：（元）； 方案3获利：（元）． 因为，所以销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为元． 58．【观察与思考】 场景1：某奶茶店有一个收银台，每2分钟可以服务一位顾客，店庆活动时，已有4位顾客在排队．收银台开始工作后，每4分钟来一位新顾客．分析问题，完成表格．（单位：分钟） 收银台开始工作前已有4顾客，，，在排队等候，若把，，，到达时间看作0分钟，，，…表示收银台开始工作后到达的“新顾客”． 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 4 8 … 服务开始时间 0 2 4 6 8 10 … 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 … (1)表中第______位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 场景2：若店庆活动时已有6位顾客排队，其他条件不变（每2分钟服务一人，“新顾客”每4分钟来一位）． 顾客 … 到达时间 0 0 0 0 0 0 4 8 … ▲ 服务开始时间 0 2 4 ６ 8 10 12 14 … ▲ ▲ 服务结束时间 2 4 6 8 10 12 14 16 … ▲ (2)表中第______位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客． 【发现与表达】 (3)发现1：“新顾客”服务结束的时间______“新顾客”服务开始时间（填“>”“<”或“=”）． (4)发现2：若______，则当“新顾客”到达时无排队现象．（填“≥”“≤”或“=”） (5)结论：如果服务窗口办理业务的速度为每a分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每b分钟到达一位（）．服务窗口开始服务前已经有m位顾客在等待，假设从第n位“新顾客”开始不需要排队，当______时，排队现象消失（直接写出a，b，m与n的关系）． 【答案】(1)3 (2)5 (3) (4) (5) 59．(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)某商店准备采购甲、乙两种玩具共360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件． (1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元？ (2)若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？ (3)在（2）的采购方案中，哪种方案该商店在销售完这360件玩具可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲种玩具的进价是90元/件，乙种玩具的进价是70元/件 (2)该商店共有5种采购方案 (3)当甲种玩具购进80件，乙种玩具购进280件时利润最大，最大利润是8800元． 【详解】（1）解：设甲种玩具的进价是x元/件，乙种玩具的进价是y元/件， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种玩具的进价是90元/件，乙种玩具的进价是70元/件； （2）解：设购进m件甲种玩具，则购进件乙种玩具， 根据题意得： 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为76，77，78，79，80， ∴共有5种采购方案． 答：该商店共有5种采购方案； （3）解：∵甲种玩具每件利润是． 乙种玩具每件利润为（元）， ∴甲种玩具每件的销售利润大于乙种玩具每件的销售利润， ∴当甲种玩具购进80件时，销售利润最大． 最大利润为， 答：当甲种玩具购进80件，乙种玩具购进280件时利润最大，最大利润是8800元． 60．(24-25七下·安徽黄山·期末)【问题背景】 在“双碳”目标引领下，新能源汽车产业发展驶入快车道．某小区物业发现当前的充电桩的数量已无法满足业主的需求，“一桩难求”现象日益突出．为破解这一难题，物业部门计划利用地下停车场闲置区域和地面公共空间新建地下和地上两类充电桩． 【信息分析】 物业经理经过市场调研发现如下信息： 地下充电桩数量(单位：个) 地上充电桩数量(单位：个) 总金额(单位：万元) （1）该小区新建一个地下充电桩和一个地上充电桩各需多少万元？ （2）若小区计划拨款万元资金全部用于新建充电桩，若设地下充电桩新建个，则地上充电桩新建 个(请用含的代数式表示)； 【任务驱动】 （3）若在（2）的条件下，且已知地下和地上每个充电桩的占地面积分别为平方米和 平方米，小区物业考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求地下和地上充电桩的总占地面积不得超过平方米，且地上充电桩的数量大于个，问共有哪几种建造方案？请给出总占地面积最少的方案． 【答案】（1）该小区新建一个地下充电桩为万元，一个地上充电桩为万元；（2）个；（3）①地下3个，地上8个，②地下4个，地上6个，③地下5个，地上4个； 地下5个，地上4个，总面积最小为平方米. 【详解】解：（1）设该小区新建一个地下充电桩为x万元，一个地上充电桩为y万元， 由题意得，， 解得， 答：该小区新建一个地下充电桩为万元，一个地上充电桩为万元； （2）小区计划拨款万元资金全部用于新建充电桩，设地下充电桩新建个，则地上充电桩新建个； （3）由题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种方案： ①地下3个，地上8个，总面积为平方米； ②地下4个，地上6个，总面积为平方米； ③地下5个，地上4个，总面积为平方米； ∴地下5个，地上4个，总面积最小为平方米. 考点16 不等式组无解/有解/整数解（压轴）（共8小题） 61．(24-25七下·安徽黄山·期末)若关于的不等式组无解，则需要满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：解不等式得：， 又∵关于x的不等式组无解， ∴， 故选：D． 62．(24-25七下·安徽淮北部分学校·期末)若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是_________________． 【答案】 【详解】解： 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴． 故答案为：． 63．(23-24七下·安徽合肥锦绣中学·月考)已知关于的不等式组有两个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：， 由①得； 由②得； 关于的不等式组有两个整数解， 在数轴上表示出不等式组解集，如图所示： ，解得， 故答案为：． 64．(22-23七下·安徽黄山·期末)如果关于x的不等式组恰有4个整数解，则m的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：， 解得：， 则不等式组的解集是：， ∵不等式组有4个整数解， ∴． 故答案为：． 65．(24-25七下·安徽铜陵铜官/·期末)若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】解：对不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵原不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 66．(24-25七下·安徽淮南高新技术开发区·期末)若关于的不等式组的解集中仅有2个整数解，则的整数解之和为__________． 【答案】14 【详解】解： ， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴， ∵不等式组的解集中仅有2个整数解， ∴， ∴， 解得， ∵取整数， ∴， ∴的整数解之和为． 故答案为：14． 67．(24-25七下·安徽芜湖第二十七中学·期末)若关于x的不等式组的整数解的和为9，则k的取值范围是____________． 【答案】或 【详解】解：由不等式组，得， ∵不等式组的整数解的和为9 ∴不等式组的整数解为或， 当不等式组的整数解为时，， ∴； 当不等式组的整数解为时，， ∴． 综上所述，k的取值范围为或． 68．(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)数学课上，老师写下题目：解一元一次不等式组． 其中需要同学们在“□”中填写数字． （1）小明填入数字后得到该不等式组的解集为，则小明填写的数是______； （2）当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字a的取值范围是______． 【答案】 6 【详解】解：（1）设小明填写的数字为a， 则 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该不等式组的解集为，而不等式组的解集为， ∴，解得， ∴小明填写的数字为6． （2）由（1）得： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该一元一次不等式组无解， ∴， 解得， ∴当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字的取值范围小于等于． 考点17 幂的运算（必考基础）（共4小题） 69．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算正确； C．，原计算错误； D．，原计算错误． 70．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意；      C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 71．(24-25七下·安徽六安金安区六安皋城中学·期末)若，，，则的值是（   ） A．24 B．19 C．18 D．16 【答案】D 【详解】解：． 故选：D． 72．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)中国人民自古以来具有自强不息的精神，经过科学家的不懈努力，中国光刻机取得了显著进展．上海微电子研制出能够生产的光刻机，已知，那么用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 故选：A． 考点18 单×单、单×多、多×多项式（基础）（共5小题） 73．(23-24七下·安徽滁州凤阳县·期末)下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、，A选项错误，不符合题意； B、，B选项错误，不符合题意； C、，C选项错误，不符合题意； D、，D选项正确，符合题意； 故选：D 74．(23-24七下·安徽六安轻工中学·期末)若则代数式的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：， ， 故选：B． 75．(24-25七下·安徽芜湖第十一中学·期末)5．要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵多项式不含x的二次项， ∴， ∴， 故选：B． 76．(24-25七下·安徽合肥·期末)若，则的值分别为（    ） A．7， B．1， C．， D．7，12 【答案】B 【详解】解：左边展开： ， ∵右边为， ∴，． 因此，和的值分别为1和， 故选：B． 77．(24-25七下·安徽合肥蜀山区·期末)计算： 【答案】 【详解】解： ． 考点19 乘法公式直接应用（基础）（共4小题） 78．(24-25七下·安徽滁州凤阳县·期末)计算：． 【答案】 【详解】解： ． 79．(24-25七下·安徽安庆宿松县·期末)化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 80．(23-24七下·安徽淮北·期末)化简：． 【答案】 【详解】原式 ． 81．(24-25七下·安徽安庆外国语学校·期末)计算：． 【答案】 【详解】解： ． 考点20 乘法公式灵活变形（中档）（共3小题） 82．(24-25七下·安徽安庆外国语学校·期末)若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：B． 83．(24-25七下·安徽六安霍邱县·期末)已知，则___________． 【答案】21 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为：21． 84．(24-25七下·安徽蚌埠龙子湖区蚌埠第九中学·期末)若，则的值为 ______ ． 【答案】 【详解】解：， ． 故答案为：． 考点21 整式化简求值（中档）（共3小题） 85．(24-25七下·安徽芜湖第十一中学·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式 86．(24-25七下·安徽芜湖第十一中学·期末)先化简，再求值：，其中，． 【答案】，14 【详解】解： ∵， ∴原式． 87．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)先化简，再求值：，其中，． 【答案】；12 【详解】解： ． 当，时， 原式． 考点22 提公因式法分解因式（基础）（共3小题） 88．(23-24七下·安徽六安轻工中学·期末)因式分解：________． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 89．(24-25七下·安徽六安金安区六安皋城中学·期末)因式分解： ___________． 【答案】 【详解】解： 故答案为： 90．(24-25七下·安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学·期末)已知，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴等式两边同时乘以去分母，得， 移项，得． 对前两项和后两项分别提取公因式，得， 再提取公因式，得． ∴或， 即或． 当时， ． 当时， ，， 不合题意． 综上，的值为， 故答案为：． 考点23 公式法分解因式（中档）（共3小题） 91．(24-25七下·安徽合肥·期末)下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解：A．：第一项为，第三项为，中间项应为，但实际中间项为，不符合完全平方公式； B．：仅有两项且均为负号，无法构成完全平方式的三项结构； C．：此为平方差形式，可用平方差公式分解，但不符合完全平方公式； D．：第一项为，第三项为，中间项为，与题目中的中间项一致，符号相同．因此可分解为，符合完全平方公式； 故选D． 92．(23-24七下·安徽合肥·期末)分解因式：______． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 93．(24-25七下·安徽安庆潜山·期末)分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 考点24 十字相乘法（沪科版七下重点）（共3小题） 94．(23-24七下·安徽安庆石化第一中学·期末)多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【详解】解：时，； 时，； 时，； 时，； 的取值有4个． 故选：． 95．(22-23七下·安徽安庆第四中学·期末)分解因式：__________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 96．(24-25七下·安徽六安金安区六安皋城中学·期末)阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)8或 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 考点25 因式分解综合题型（压轴）（共4小题） 97．(24-25七下·安徽安庆桐城·期末)对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解：． 98．(24-25七下·安徽滁州全椒县·期末)先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解：令， 则 ． 故答案为：； （2）因为，令，， 则，， 所以． 99．(24-25七下·安徽淮南寿县·期末)把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求的最小值． 解：当时，有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)已知：，求的最小值； (3)已知：，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解;原式; （2）解： 当时，取得最小值． （3）解： 即 又 ， 的平方根为． 100．(23-24七下·安徽合肥瑶海区·期末)【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 【答案】（1）第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；（2）；（3）乙先到达终点． 【详解】（1）第一个长方形的周长为：， 第二个长方形的周长为：， ∵ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长； （2）∵， ∴，， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴； （3）甲同学所需时间：， 设乙同学所需时间为x，则， 解得：， 即乙同学所需时间为， ∵ ， ∵，，， ∴， ∴， ∴乙先到达终点． 考点26分式的概念与有意义/值为0的条件（基础）（共4小题） 101．(23-24七下·安徽淮北·期末)下列四个代数式中，其中为分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：只有分母中含有未知数x， ∴为分式， 故选：D． 102．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)若分式的值为0，则的值为（   ） A．0 B．2 C．2或 D． 【答案】D 【详解】∵分式的值为0， ∴， ∴ 或 ． ∵分母为0，分式无意义， ∴，即 ∴． 故选：D． 103．(24-25七下·安徽淮南寿县·期末)当时，分式无意义，求的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，分母，即， 所以． 故答案为：． 104．若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 考点27分式基本性质（基础）（共4小题） 105．(24-25七下·安徽六安霍邱县·期末)下列各式从左边到右边变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 的整式，分式的值不变，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变， A选项中分子分母都乘以，分式的值不变，原变形正确，符合题意， B选项中分子分母除以整式不一致，原变形不正确，不符合题意， C选项分子分母同时加2不符合分式基本性质，原变形不正确，不符合题意， D选项分子分母同时乘以整式不一致，原变形不正确，不符合题意． 故选：A． 106．(24-25七下·安徽合肥蜀山区·期末)下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：通分得左边为，右边为，显然不相等，故A不成立； 选项B：拆分分式得左边为，与右边不符，故B不成立； 选项C：左边平方后等于右边，但原式仅在或且不为0时成立，故C不恒成立； 选项D：分子因式分解为，约分后为（当时分式有意义），故D在分式有意义时恒成立； 故选：D． 107．(24-25七下·安徽合肥四十六中南校区·期末)若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【详解】解：∵代数式中的a与b都扩大2倍， ∴， ∴这个代数式的值扩大2倍． 故选：B． 108．(24-25七下·安徽蚌埠第五中学、田家炳中学·期末)若把分式中的和都变为原来的倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的倍 B．不变 C．变为原来的 D．变为原来的倍 【答案】C 【详解】解：∵， ∴把分式中的和都变为原来的倍，分式的值变为原来的， 故选：． 考点28分式化简（约分、最简分式判断）（基础）（共2小题） 109．(24-25七下·安徽亳州·期末)下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不是最简分式，本选项不符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、，不是最简分式，本选项不符合题意； D、，为最简分式，本选项符合题意； 故选：D． 110．(22-23七下·安徽蚌埠蚌山区·期末)下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴不是最简分式， 故项不符合题意； ∵， ∴不是最简分式， 故项不符合题意； ∵不能再约分化简， ∴是最简分式， 故项符合题意， ∵， ∴不是最简分式， 故项不符合题意， 故选． 考点29分式化简求值（中档）（共3小题） 111．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 112．(24-25七下·安徽安庆大观区第四中学·期末)先化简，再从，0，1中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【详解】解： ， ∵，，， ∴且， ∴当时，原式． 113．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)化简求值：，其中是满足不等式组的整数解． 【答案】，时，原式 【详解】解：原式 ； 解， 解不等式得， 解不等式得， 则不等式组的解集为， ∵x是满足不等式组的整数解， 或． ， ， 当时，原式． 考点30分式规律探究（压轴）（共3小题） 114．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)分子为1的分数叫做单位分数，如．任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，， (1)根据对上述式子的观察，你会发现，其中，则___________，___________． (2)写出你猜想的第n个等式：___________；（用含有n的等式表示） (3)请说明（2）中等式成立的道理． 【答案】(1)8，56 (2) (3)见解析 【详解】（1）解：，，，且， ， 故答案为：8，56； （2），，， 观察可知等式后第一项分式的分母等于等号左侧分式分母，最后一项的分母是等号左侧分式分母和等号右侧第一项分式分母的乘积， ； （3） ． 115．(24-25七下·安徽芜湖第十一中学·期末)观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式∶ ； (2)写出你猜想的第 n个等式(用含 n 的等式表示)，并证明． 【答案】(1) (2)第n个等式为，见解析 【详解】（1）解：观察各等式可得，第个等式为； 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原等式成立． 116．(24-25七下·安徽六安·期末)观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：第个等式：； （3）解：原式 考点31解分式方程标准步骤计算（基础）（共3小题） 117．(24-25七下·安徽滁州天长·期末)解方程：． 【答案】无解 【详解】解：， 方程两边同乘，得 ， 化简，得， 解得， 检验：时，， ∴不是该分式方程的解， ∴原分式方程无解． 118．(24-25七下·安徽亳州·期末)解方程：． 【答案】 【详解】解：去分母，得， 整理得 ． 经检验，当时， 是原方程的解． 119．(24-25七下·安徽安庆大观区第四中学·期末)解关于x的方程：，其中m为常数． 【答案】当时，方程无解；当时，方程的解为 【详解】解：去分母得， 移项并合并同类项得， 当，即时，方程无解； 当，即时，方程的解为； 综上所述，当时，方程无解；当时，方程的解为． 考点32已知增根，求方程中参数的值（中档）（共3小题） 120．(23-24七下·安徽滁州凤阳县·期末)若关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 【答案】D 【详解】∵关于x的分式方程有增根， ∴最简公分母， ∴增根为， 将分式方程去分母得， 把代入方程得， 解得． 故选：D 121．(22-23七下·安徽合肥庐阳中学·期末)若关于的方程有增根，则的值是_________． 【答案】 【详解】解：在方程两边同时乘以，得： ， 去括号，得： ， 移项，合并同类项得： ， ∴， ∵关于的方程有增根， ∴， ∴． 故答案为：． 122．(24-25七下·安徽淮南高新技术开发区·期末)已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为？ (2)当取何值时，此方程会产生增根？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将代入分式方程， 可得 ， 解得； （2）解：当时，分式方程有增根，且增根为， 去分母得， 将代入整式方程得， 即， 所以当时，此方程会产生增根． 考点33分式方程无解，求参数范围（中档）（共3小题） 123．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)已知关于的方程 （1）若，则方程的解是___________． （2）若方程无解，则a的值是___________． 【答案】 1或2 【详解】解：（1）原方程去分母得：， 整理得， 若， 则， 解得：， 经检验，是该方程的解， 故答案为：； （2）由（1）得， 则， 当，即时， 无解， 那么原方程无解，符合题意， 当，即时， 若原方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，a的值为1或2， 故答案为：1或2． 124．(23-24七下·安徽六安叶集区十校·)已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，则的值为________； （2）若分式方程无解，则的值为________． 【答案】 或 【详解】解：（1）分式方程的根是， ， 解得， 的值为； （2）①去分母得：， 当时，方程无解， ， ②当分式方程有增根， 或， 当时，， 当时，， ， 的值为； ， 若分式方程无解，的值为或． 125．(23-24七下·安徽合肥肥西县·期末)已知关于的分式方程． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)m的值为或1.5 (2)m的值为或或1.5 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得 ， 整理得， ∵原分式方程有增根， ∴， 解得：或， 当时，； 当时，； 综上，m的值为或1.5． （2）解：当时，该整式方程无解，则原分式方程也无解，此时； 当时，要使原方程无解，由（2）得：或， 综上，m的值为或或1.5． 考点34分式方程解的限定条件求参数（中档）（共3小题） 126．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：， 方程两边都乘以，得：， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：C． 127．(24-25七下·安徽池州青阳县·期末)已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为______． 【答案】 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 解方程，得， ∵方程的解为正整数，， ∴或或， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为和， ∴所有满足条件的整数的积为， 故答案为：． 128．(24-25七下·安徽合肥合肥新站高新技术产业开发区合肥三十中联考·期末)已知关于的分式方程． （1）当________时，该方程的解等于4； （2）当该方程的解是正数时，则的取值范围是________． 【答案】 0 且 【详解】解：（1）将代入分式方程，得到， 解得； （2）方程两边同乘去分母得， 解得， 因为方程的解是正数， 所以，解得， 又因为分母不能为0，即，所以，解得， 综上，的取值范围是且． 故答案为：0；且． 考点35分式方程实际应用题（期末必考大题）（共4小题） 129．(24-25七下·安徽淮南寿县·期末)寿阳建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ (2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为980万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由． 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需18个月，乙队单独完成这项工程需6个月 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加100万元，理由见解析 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需个月， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时． 答：甲队单独完成这项工程需18个月，乙队单独完成这项工程需6个月． （2）解：工程预算的施工费用不够用．理由如图： 设甲、乙两个工程队合作需要y个月， 由题意得，， 解得， ∴施工费用为（万元）， ， 工程预算的施工费用不够用， 需追加（万元）． 答：工程预算的施工费用不够用，需追加100万元． 130．(24-25七下·安徽阜阳颍上县·)学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一些运动器材．经过市场调查得知一副乒乓球拍和一副羽毛球拍共130元，用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)现从某商家购买两种球拍，总数为25副（两种都要购买），某种球拍超过12副时，则该球拍打八折，当总费用不超过1460元，通过计算说明有多少种购买方案？ 【答案】(1)乒乓球拍单价为50元，则羽毛球拍单价为80元 (2)共有14种方案 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价是元，则羽毛球拍的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 当时，（元）， 答：乒乓球拍单价为50元，则羽毛球拍单价为80元； （2）解：设乒乓球拍有m副，则羽毛球拍有副， 根据题意，得： 当时， 解得 ， 又∵， ∴，即； 当时，， 解得 ， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴； ∴（种）， 答：共有种方案． 131．(24-25七下·安徽阜阳颍上县·)某公司生产、两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的倍，公司若投入万元生产种设备，万元生产种设备，则可生产两种设备共台，请解答下列问题： (1)、两种设备每台的成本分别是多少万元？ (2)、两种设备每台的售价分别是万元、万元，且该公司生产两种设备各30台，现公司决定对两种设备优惠出售，种设备按原来售价折出售，种设备在原来售价的基础上优惠，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？ 【答案】(1)、两种设备每台的成本分别是万元和万元 (2)该公司共获利为万元 【详解】（1）解：设种设备每台成本为万元，则种设备每台设备成本为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：、两种设备每台的成本分别是万元和万元． （2）由题意知：种设备共有台，种设备台， 种设备获利为：（万元）， 种设备获利为：（万元）， 该公司共获利为（万元）， 答：该公司共获利为万元． 132．(24-25七下·安徽合肥包河区·期末)跳绳是一项高效且易行的运动，能带来多重健康益处：增强心肺功能，促进血液循环，提升身体协调性．某商店计划购进，两款跳绳，款的进价为元/根，款的进价为元/根 (1)若商店计划用不超过元的价格购进，两款跳绳共根，则商店至少购进款跳绳多少根? (2)甲、乙两名同学进行跳绳训练，甲计划跳个，乙计划跳个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因跳绳打结耽搁了秒钟，最后甲比乙提前秒完成跳绳训练，问甲平均每秒跳绳多少个？ 【答案】(1)商店至少购进根款跳绳； (2)甲平均每秒跳绳个． 【详解】（1）解：设该商店购进根款跳绳，则购进根款跳绳， 根据题意可得， 解得， 为正整数， ． 答：商店至少购进根款跳绳． （2）解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳个， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲平均每秒跳绳个． 考点36相交线基础概念（基础）（共3小题） 133．如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以． 134．(23-24七下·安徽安庆石化第一中学·期末)如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， ∴线段的最小值是. 故选：C． 135．(23-24七下·安徽宿州灵璧县·期末)如图，直线a，b相交于点O，若，则___________． 【答案】/36度 【详解】解：，， ， 与互为邻补角， ， 故答案为：． 考点37三线八角识别（基础）（共3小题） 136．(24-25七下·安徽宿州泗县·期末)如图，和的位置关系是（  ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】B 【详解】解：和都在直线a、b上方，在第三条直线的右侧，因此和的位置关系是同位角． 故选：B． 137．(22-23七下·安徽宣城·期末)如图，直线，被直线所截，则的内错角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据内错角的定义可得， 故选：D． 138．(24-25七下·安徽合肥肥西县·期末)如图，与的位置关系是______．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 【答案】内错角 【详解】解：由图可知：与的位置关系是内错角； 故答案为：内错角． 考点38平行线的判定（基础）（共3小题） 139．(24-25七下·安徽芜湖第十一中学·期末)如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 【答案】B 【详解】解：， ； ， ； ， ； ， ； 综上所述，能判定的有②③， 故选：B． 140．(24-25七下·安徽六安轻工中学·期末)如图，直线、都与直线相交，给出下列条件：；；；．其中能判断的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：与是直线、被直线所截形成的同位角， ， 根据同位角相等，两直线平行， 可得：， 故符合题意； 与是直线、被直线所截形成的内错角， ， 根据内错角相等，两直线平行， 可得：， 故符合题意； 根据对顶角相等， 可得：， ， ， 和是直线、被直线所截形成的同旁内角， 根据同旁内角互补，两直线平行， 可得：， ，可证， 故符合题意； 根据对顶角相等， 可得：， 和是直线、被直线所截形成的同位角， 当时， 根据同位角相等，两直线平行， 可得：， 即时，， 故不符合题意； 综上所述，其中能判断的条件是． 故选：D． 141．(24-25七下·安徽淮南高新技术开发区·期末)如图，写出一个使的条件：__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：， (同位角相等，两直线平行)． 故答案为： （答案不唯一）． 考点39平行线的性质（基础）（共3小题） 142．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)如图，四边形中， 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 143．(24-25七下·安徽淮南高新技术开发区·期末)如图，若，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.∵， ∴ ∵， ∴， 该选项错误，不符合题意； B.由A选项得，，该选项正确，符合题意； C.由，无法得出，该选项错误，不符合题意； D.无法得到 ，所以，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 144．(23-24七下·安徽宿州埇桥区教育集团·期末)如图，，，，则的度数等于______． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 考点40平移基础（基础）（共3小题） 145．(24-25七下·安徽安庆桐城·期末)祥云，寓意祥瑞之云气，表达了吉祥、喜庆、幸福的愿望以及对生命的美好向往．下列选项中可以看作是左面祥云图案平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、能沿某一直线方向移动得到，符合题意； B、不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； C、不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； D、不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意． 146．(24-25七下·安徽合肥合肥新站高新技术产业开发区合肥三十中联考·期末)6．下列运动属于平移的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．放飞风筝过程中，风筝的形状和方向会发生变化，不属于平移，不符合题意； B．拉出抽屉，抽屉沿着一定方向做相同距离的移动，属于平移，符合题意； C．转动方向盘，方向盘是绕着中心做旋转运动，不属于平移，不符合题意； D．荡秋千，秋千做的是圆弧摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意． 故选B． 147．(24-25七下·安徽合肥第四十二中学湖畔分校·期末)如图，在方格纸中，有两条线段，．利用方格纸完成以下操作： (1)将线段向右平移得到线段，点、点的对应点分别是点、点； (2)过点作的平行线； (3)过点作的垂线，与交于点． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）如图，直线即为所求． （3）如图，直线即为所求． 考点41平行线性质 + 判定综合推理（中档）（共3小题） 148．推理填空： 如图，，，．请将求的过程填写完整． 解：（已知）， （________），又（已知）， （________）， ________（________）， （已知）， ________． 【答案】解：（已知）， ，又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， ． 【详解】解：（已知）， ，又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行），（已知）， ． 149．已知：如图，，，垂足分别为D，F，．试说明：平分． 解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以____________（___________）． 所以____________（两直线平行，内错角相等）， ____________（___________）． 因为（已知）， 所以____________（___________）． 所以平分（角平分线的定义）． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；；；；；两直线平行，同位角相等；；；等量代换． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以平分（角平分线的定义）． 150．(24-25七下·安徽芜湖南陵县·期末)如图，，，D、E分别在线段、上，、分别与交于点M、N，若，求证：．请补写解答过程和括号内相应的依据． 证明：（________）， （已知）． （等量代换）． （________，________）． （________，________）． ，（已知）， ∴______（__________） ________（内错角相等，两直线平行）． （________，________）． （________）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；垂直的定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换 【详解】证明：（对顶角相等）， （已知）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． ，（已知）， ∴（垂直的定义） （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 考点42平移相关计算（中档）（共4小题） 151．(23-24七下·安徽亳州利辛县·期末)如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，，阴影部分的面积为，则平移距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由平移可得：，， ， ， ， ， ， 即， ，即平移距离为， 故选：B． 152．(24-25七下·安徽安庆潜山·期末)如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【答案】D 【详解】解：种植鲜花的面积为 故选：D 153．(24-25七下·安徽淮北淮北五校·期末)如图，在中，．把沿着直线的方向平移2.5cm后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④四边形的周长为17cm．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到，连接， ∴，故①正确； ，故②正确； ，根据平移得，则，故③正确； ∵，沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到， ∴四边形周长为，故④正确； 故选：D． 154．(24-25七下·安徽合肥·期末)在中，，将沿着射线方向平移得到，连接． （1）如图，若平分，则________． （2）若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则________． 【答案】 或或 【详解】解（1）：，将沿着射线BC方向平移得到， ，， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：第一种情况：如图，当点在上时， 设， 由平移的性质可知：， ， 当时，则， ，，， ， 解得：， ； 当时， 则， 即 ， ，，， ， 解得：， ， 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ，， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ∴ 当时，由图可知，，故不存在这种情况； 故答案为：或或． 考点43折线型平行线角度计算（中档）（共3小题） 155．(24-25七下·安徽芜湖第十一中学·期末)如图，，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1）_______°； （2）若，则 ________°(用含x的式子表示)． 【答案】 40 【详解】解：（1）∵平分，， ∴． 故答案为：． （2）如图，过点E作． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∴， 故答案为：． 156．(24-25七下·安徽淮南大通区等5地·期末)如图，已知，于点，点在直线上，且位于直线的右侧． (1)若，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图1，过点作，     ， ， ．     ， ．     ，， ， ． （2）解：如图2，过点作，过点作，     ． ， ． ，， ， ． ， ．     根据（1）知，，， ， ． 157．(23-24七下·安徽滁州凤阳县·期末)如图，，点A为直线上一定点，B为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点D，使得，设（为锐角）． (1)求的值； (2)当点B在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值． 【答案】(1)90° (2)30° 【详解】（1）解：如图，过点D作，则． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：若平分，也恰好平分， 则有， 所以，． ∵， ∴， ∴． 由（1）得， 则． ∵， ∴， 解得． 考点44根据平行线判定与性质证明（压轴）（共2小题） 158．(24-25七下·安徽合肥合肥新站高新技术产业开发区合肥三十中联考·期末)已知线段，点，，在同一条直线上，．      (1)如图1，若，试说明； (2)如图2，若，，则的度数为________． (3)如图3，若，试说明． 【详解】（1）证明：∵， ， ，， ， ， ， ； （2）解：∵， ， 又， ，即． ， ，即， ，， ， ， ； （3）解：∵， ， 又， ． ， ， 即， ， ． 159．(24-25七下·安徽芜湖无为·期末)如图1，已知点B和点C分别是AF和DE上的点，，， (1)求证：； (2)如图2，连接AC，已知，（m为正数）． ①当时，，求的度数； ②若，求的度数（用含m的代数式表示）． 【详解】（1）证明：， ， ． 又， ， ． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由（1）已证， ． ， ， ， ， ， ， ， 由（1）已证， ． 考点45多拐点平行线角度探究（压轴）（共5小题） 160．(24-25七下·安徽合肥庐江实验中学·期末)一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． (1)如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； (2)如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； (3)如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当时，，请你直接写出除外，其他所有可能的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：过点G作，如图， 依题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点D作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：或或或， ①如图，当时， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵， ∴； ③如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ④如图，当时，设与交于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，其他所有可能的度数为或或或． 161．(24-25七下·安徽蚌埠第五中学、田家炳中学·期末)【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作，   ∴_____，______， 又∵° ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）；；；；；（2）；（3） 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；         （3），   理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 162．(23-24七下·安徽安庆桐城·期末)如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，． (1)探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：． (2)问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点F作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：． 理由：如图2，过点F作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：如图3，过点F作，过点P作， 则，． ∵， ∴，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵的平分线和的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． 163．(24-25七下·安徽阜阳·期末)已知点P为直线，之间的一点，且． (1)如图1，连接，，若，求的度数； (2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点． ①如图2，连接，，，求的度数； ②如图3，连接，，，若，，，求的度数． 【答案】(1)； (2)①；②． 【详解】（1）如图1，作， ， ， ，， ， 即， ， ； （2）①如图2，过P作，过Q作， ， ， ， ， ， 三式相加，可得； ②如图3，过点P作，过点Q作， ， ， ， ， 同理， ， ． 164．(23-24七下·安徽六安轻工中学·期末)如图1， 已知直线直线， 点E在上， 点H在上， 点F在之间，连接． (1)若， 求的度数． (2)如图2， 平分，交于点G， 且， 求度数 (3)如图3，平分， 交的延长线于点M ，则 ； ． 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）， ， 平分， ， ， ，， ， ； （3）如图，过点F作， 则， ， ， ， ∴， 即， ， ， ； 过点M作． ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $