精品解析：宁夏石嘴山市平罗中学2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试题

平罗中学2025-2026学年度第二学期第三次月考 高一数学 满分：150分 考试时长：120分 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 为了了解某年级同学每天参加体育锻炼的时间，比较恰当地收集数据的方法是（ ） A. 查阅资料 B. 问卷调查 C. 做试验 D. 以上均不对 【答案】B 【解析】 【分析】 首先明确收集数据的几种方法：查资料、做实验和做调查；接下来根据人数的多少以及调查的目的进行选择即可. 【详解】问卷调查能达到目的，比较适合. 故选：B 【点睛】本题考查了收集数据、获取数据的方法，关键是熟记收集数据的几种方法，属于基础题. 2. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 【答案】C 【解析】 【分析】首先明确上四分位数即第75百分位数，再根据个数据的第百分位数的求法求解即可. 【详解】已知样本数据共有10个，上四分位数即第75百分位数，由， 该样本数据是从小到大排列的，故样本数据的上四分位数为第8个数据7. 故选：C 3. 已知向量的夹角为60°，，则（    ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，展开运算可求解. 【详解】. 故选：D. 4. 已知某地区有中学生9000人，其人数情况和近视情况分别如图1和图2所示，则下列说法正确的是（ ） A. 该地区高中生近视的人数是1800 B. 该地区初中生近视的人数是3600 C. 该地区初中生近视的人数低于高中生近视的人数 D. 该地区中学生近视的人数占总人数的45% 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形图计算初中生和高中生的人数，再根据条形图，计算高中生和初中生的近视人数，再分别判断选项. 【详解】由图可知该地区高中生近视的人数是，初中生近视的人数是，则该地区中学生近视的人数占总人数的比例为，故A正确，B，C，D错误. 故选：A 5. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥体积可得圆锥的高，进而可得圆锥母线长，根据扇形面积公式计算即可求解. 【详解】设圆锥的高为，母线长为， 因为圆锥的底面半径为，其体积为， 所以，解得， 所以，故圆锥的侧面积为. 故选：D 6. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则＝（ ） A. 3 B. C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】从图中读出向量模长和夹角，按照数量积运算公式求得结果. 【详解】由图知，，两向量的夹角为45°， 则 故选：C 7. 已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判断C，举反例判断A，B，D即可. 【详解】对于A，若，，则可能会相交也可能平行，故A错误， 对于B，若，，则可能会相交或平行，故B错误， 对于C，由线面垂直的性质得若，，则，故C正确， 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C 8. 已知四棱锥的底面是矩形，平面，若直线与平面，平面和平面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件中的垂直关系结合线面角定义，确定直线与平面，平面和平面所成的角，求出各角正弦、余弦的表达式，逐项验证求解即可. 【详解】 如图所示，设，，， 因为平面，因为平面，所以， 为直角三角形， 所以直线与平面所成角为，即， 因为为矩形，所以为直角三角形， 所以， 在中，， 所以，， 因为为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 为直角三角形， 所以直线与平面所成角为，即， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，， 因为为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以 为直角三角形， 所以直线与平面所成角为，即， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以，， 对于A， ，A错误； 对于B， ，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D， ，D正确. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的众数<平均数<中位数 C. 图（2）的众数<中位数<平均数 D. 图（3）的中位数平均数众数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，平均数中位数众数，A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D错误. 故选：AC 10. 已知，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的运算得，即可判断A的正误，利用共轭复数的定义即可判断B的正误，利用复数的几何意义，即可判断C和D的正误. 【详解】因为，所以选项A错误， 又，所以选项B正确， 对于选项C，因为，则，所以C正确， 对于选项D，在复平面内对应的点为，在第一象限，所以D错误， 故选：BC. 11. 已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成的角的余弦值为 C. 与平面所成的角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：取AC的中点F，连接PF,BF，证明出面，即可得到.对于B、C：先证明出，，.可以以P为原点，为xyz轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解；对于D：把三棱锥还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球.即可求解. 【详解】对于A： 在三棱锥，，是边长为2的正三角形，取AC的中点F，连接PF,BF，则. 又，所以面，所以.故A正确. 对于B：因为，，,所以面，所以，. 在三棱锥，，是边长为2的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥，所以. 所以. 可以以P为原点，为xyz轴正方向建立空间直角坐标系. 则，，，，. 所以,. 设异面直线与所成的角为，则. 即异面直线与所成的角的余弦值为.故B错误； 对于C：，. 设平面ABC的一个法向量为，则,不妨设x=1，则. 设与平面所成的角为，则. 即与平面所成的角的正弦值为.故C正确. 对于D：把三棱锥还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球. 设其半径为R，由正方体的外接球满足,所以. 所以球的表面积为.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知向量，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 13. 从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如表所示，则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多__________人． 生活能否自理 男 女 能 178 278 不能 23 21 【答案】 60 【解析】 【详解】由抽样统计表格可知，抽取的500位老人中，生活不能自理的男性有23人，女性有21人， 因此样本中生活不能自理的男性比女性多人. 本次抽样的总体容量为15000，样本容量为500，因此抽样比为， 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为人. 14. 已知边长为的菱形ABCD中 沿对角线BD折成二面角的大小为的四面体，则四面体的外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据四面体外接球的性质，确定球心位置，解三角形求出球半径即可得解. 【详解】取的中点，连接，如图， 因为菱形ABCD中 所以为正三角形，且， 所以为二面角的平面角，故， 又平面，所以平面， 由平面，故平面平面. 所以四面体的外接球的球心在平面上， 在上取点，使，则是的外心，过点作垂直于，过点E作垂直于. 设与交于点，连接，则，则为四面体的外接球的球心，如图， 所以垂直平分， 因为为正三角形，且边长为， 所以，故， 又，所以，， 在直角三角形中，， 即球的半径， 故四面体的外接球的表面积为. 四、解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校两个班级准备参加全市“三农”农业、农村和农民科普大赛，每班各自随机选出10名学生，测验“三农”科普成绩满分10分以评估对“三农”的了解程度，测验成绩如下单位：分： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 乙 9 6 （1）分别计算两个样本的平均值和方差； （2）根据计算结果估计哪个班的成绩更稳定？假如两个班级的“三农”科普成绩处于全市班级的中等偏上水平，该校为了获得更好名次，选择哪个班级参赛？并说明理由． 【答案】（1） 甲班样本平均值为，方差为；乙班样本平均值为，方差为. （2） 甲班成绩更稳定；应选择乙班参赛，理由如下： 甲乙两班平均成绩相同，整体均处于中等偏上水平； 乙班成绩波动更大，存在9分、8.4分等高分数，最高成绩高于甲班的最高成绩，冲击更高名次的可能性更大，因此选择乙班参赛. 【解析】 【分析】（1）利用平均数、样本方差的定义公式，分别代入两班的成绩计算即可； （2）依据方差越小数据波动越小的性质判断稳定性，结合竞赛按高分排名的规则，比较两班高分分布确定参赛班级. 【小问1详解】 设样本平均值为，样本方差为，样本容量， ① 对于甲班样本： ，  ； ② 对于乙班样本： ，  . 【小问2详解】 因为​，方差越小成绩波动越小，因此甲班成绩更稳定； 选择乙班参赛，理由略. 16. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且． （1）求； （2）若（，），求的值. 【答案】（1）14；（2）. 【解析】 【分析】分别以边，所在的直线为轴，轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量坐标的线性运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【详解】解：如图，分别以边，所在的直线为轴，轴， 点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，，. （1）∵，， ∴. （2）∵，，， 由，得， ∴解得 ∴. 【点睛】本题考查了向量坐标的线性运算、向量数量积的坐标运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 17. 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； （2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； （3）已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. （附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】（1）平均数为，众数为. （2）. （3）平均数为，方差为. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解. （2）依题意可知题目所求是第分位数，先判断第分位数落在哪个区间再求解即可； （3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 【小问1详解】 一至六组的频率分别为， 平均数. 由图可知，众数为. 以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分. 【小问2详解】 前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 第分位数落在第5组,设为x，则，解得. “防溺水达人”的成绩至少为分. 【小问3详解】 )的频率为，)的频率为， 所以的频率与的频率之比为 的频率与的频率之比为 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得 ，解得， 所以内的平均成绩为，方差为. 18. 如图，在直角梯形中， 且现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使 M为的中点.   （1）是否存在上一点使得平面 平面，若存在，请求出此点的位置并加以证明，若不存在，请说明理由； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）存在，为的中点， 证明：取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点， 所以，且． 由已知，，所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面，所以平面． 因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. 因为平面， 所以平面 平面. （2）证明：在正方形中，， 因为平面， 所以平面. 平面. 在直角梯形中，，. 取的中点，连接，则四边形为正方形，所以， 所以， 在中，， 所以，故， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，根据中位线的性质及线面平行、面面平行的判定定理证明即可； （2）证明出和，利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）过点作的垂线交于点，证明平面，再根据几何关系求即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在直角梯形中，，，可得，． 由(2)知，平面平面，且为交线， 过点作的垂线交于点，则平面 所以点到平面的距离等于线段的长度 在直角三角形中，， 所以， 又是的中点，所以点到平面的距离等于． 19. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量运算可得，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由题及余弦定理可得，然后由（1）结合可得答案； （3）解法一：设，，然后在，中利用正弦定理可得 ，然后由三角函数性质可得答案；解法二：由题，又可得，然后由正弦定理边角互化可得，据此可得答案. 【小问1详解】 且 ，即. . 又，则，结合，； 【小问2详解】 而 为角的角平分线 . 即，； 【小问3详解】 设，则； 设，则. 在中即 在中 即， 则. 又，，而， ， 由和差化积公式可得. 则. ，； 解法二：， ， . ． . ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第二学期第三次月考 高一数学 满分：150分 考试时长：120分 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 为了了解某年级同学每天参加体育锻炼的时间，比较恰当地收集数据的方法是（ ） A. 查阅资料 B. 问卷调查 C. 做试验 D. 以上均不对 2. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 3. 已知向量的夹角为60°，，则（    ） A. 3 B. C. 4 D. 4. 已知某地区有中学生9000人，其人数情况和近视情况分别如图1和图2所示，则下列说法正确的是（ ） A. 该地区高中生近视的人数是1800 B. 该地区初中生近视的人数是3600 C. 该地区初中生近视的人数低于高中生近视的人数 D. 该地区中学生近视的人数占总人数的45% 5. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则＝（ ） A. 3 B. C. 6 D. 12 7. 已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 已知四棱锥的底面是矩形，平面，若直线与平面，平面和平面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的众数<平均数<中位数 C. 图（2）的众数<中位数<平均数 D. 图（3）的中位数平均数众数 10. 已知，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 11. 已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成的角的余弦值为 C. 与平面所成的角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知向量，若，则_________． 13. 从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如表所示，则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多__________人． 生活能否自理 男 女 能 178 278 不能 23 21 14. 已知边长为的菱形ABCD中 沿对角线BD折成二面角的大小为的四面体，则四面体的外接球的表面积为__________. 四、解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校两个班级准备参加全市“三农”农业、农村和农民科普大赛，每班各自随机选出10名学生，测验“三农”科普成绩满分10分以评估对“三农”的了解程度，测验成绩如下单位：分： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 乙 9 6 （1）分别计算两个样本的平均值和方差； （2）根据计算结果估计哪个班的成绩更稳定？假如两个班级的“三农”科普成绩处于全市班级的中等偏上水平，该校为了获得更好名次，选择哪个班级参赛？并说明理由． 16. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且． （1）求； （2）若（，），求的值. 17. 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； （2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； （3）已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. （附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 18. 如图，在直角梯形中， 且现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使 M为的中点.   （1）是否存在上一点使得平面 平面，若存在，请求出此点的位置并加以证明，若不存在，请说明理由； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 19. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $