甘肃省民乐县第一中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

民乐一中2025-2026高二年级3月月考试卷 数学答案 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分.） 1. 已知点关于轴的对称点为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中对称点的性质求解即可. 【详解】因为点关于轴的对称点为， 所以，故C正确. 故选：C 2. 已知函数，则 （ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】对求导，将代入，即可求出答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得：. 故选：B. 3. 已知随机变量的分布列为，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分布列的性质求出的值，利用互斥事件概率的加法公式得，据此计算即得答案. 【详解】由，则，解得， 则. 故选：B 4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为，，则恰有一人能成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件表示甲成功破译密码，事件表示乙成功破译密码， 事件表示恰有一人能成功破译密码， 则. 故选：A 5. 已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】记“其中一人是男生”，“另一人也是男生”， 则， 故选：C 6. 已知，，，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到方程组，解得即可． 【详解】因为，，，且共面， 则存在实数满足，即， 所以，解得． 故选：B 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 是函数的极小值点 B. 是函数的极大值点 C. 函数在上单调递增 D. 函数在处的切线斜率小于零 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择. 【详解】由图象得时，，时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，即选项A、B错误，C正确； 对选项D：显然，故D错误. 故选：C． 8. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分.） 9. 已知空间向量，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解A，根据垂直的坐标关系即可求解B，根据平行满足的坐标关系即可求解C，根据夹角公式即可求解D. 【详解】A：，A错误； B：由知，，解得，B正确； C：由知，，解得，C错误； D：若，，则，D正确. 故选：BD 10. 若函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求导，得到，进而得到函数解析式及导函数解析式，代入求值，得到答案. 【详解】A选项，由题意得，令， 解得，A错误； BCD选项，， 所以，BC正确，D错误. 故选：BC 11. 在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则的最大值为 D. 满足的点的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，设点，其中、，利用空间向量法可判断BC选项；根据可得出、的关系式，确定点的轨迹，并求其长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于， 因为四边形是边长为的正方形，故， 因此为定值，A对； 对于B选项，取的中点，的中点，连接． 以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、． 设，其中、，则，， ， 因为，所以， 所以，不存在点，使得，B错； 对于C选项，，， 所以，即， 因为，所以， 故当时，的最大值为，C错； 对于D选项，，， 由得，即， 又因为、，所以、， 所以点的轨迹为平面内的线段， 即图中的线段，由图知， 故满足的点的轨迹长度为，D正确． 故选：AD. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 故答案为： 13. 已知，，，点，若平面ABC，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用线面垂直得线线垂直，即，结合坐标运算求解即可 【详解】因为，，，，所以，，， 因为平面ABC，平面ABC， 所以 所以点的坐标为． 故答案为： 14. 为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式公式直接求解即可. 【详解】设A：抽到一名学生是甲班的，B：抽到一名女生， 则，，， 所以由全概率公式可知，． 故答案为： 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15．(13分)设函数f(x)＝x＋1－ln x. (1)求f(x)的单调区间； (2)若对任意的x>0，都有f(x)－a≥0成立，求实数a的取值范围． 16. (15分)为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【小问1详解】 甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. 【小问2详解】 乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . 【小问3详解】 丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 17. (15分)如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； （3）首先证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 又， 所以点到平面的距离， 即直线到平面的距离为. 18. (17分)如图，在正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，E是棱上的动点（不与B、重合），连接BD． （1）证明：． （2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ABC夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合正三棱柱的结构特征推理得证. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角向量法列式求出坐标，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在正三棱柱中，取中点，连接，则， 由D为棱的中点，得，而平面，则平面， 又平面，于是，由平面， 得平面，而平面，因此，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 平面平面，则平面与平面的一个法向量均为， 由直线与平面所成角的正弦值为， 得，解得， ，而，设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面与平面ABC夹角的余弦值为. 19. (17分)已知函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：. 【答案】（1）答案见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导可得，分和两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性； （2）构建，，根据单调性以及零点存在性定理分析的零点和符号，进而可得的单调性和最值，结合零点代换分析证明. 【小问1详解】 由题意可得：的定义域为，， 当时，则在上恒成立， 可知在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 构建， 则， 由可知， 构建， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 且， 可知在上存在唯一零点， 当，则，即； 当，则，即； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因，则，， 可得， 即，所以. 第15页/共15页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 民乐一中2025-2026高二年级月考试卷 数学试题 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分.） 1. 已知点关于轴的对称点为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则 （ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知随机变量的分布列为，则等于(　　) A. B. C. D. 4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为，，则恰有一人能成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 是函数的极小值点 B. 是函数的极大值点 C. 函数在上单调递增 D. 函数在处的切线斜率小于零 8. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分.） 9. 已知空间向量，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 10. 若函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则的最大值为 D. 满足的点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 13. 已知，，，点，若平面ABC，则点的坐标为______． 14. 为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人数之比为，其中甲班女生占，乙班女生占，则学校恰好抽到一名女生的概率为______． 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15．(13分)设函数f(x)＝x＋1－ln x. (1)求f(x)的单调区间； (2)若对任意的x>0，都有f(x)－a≥0成立，求实数a的取值范围． 16. (15分)为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 17. (15分)如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）求直线到平面的距离. 18. (17分)如图，在正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，E是棱上的动点（不与B、重合），连接BD． （1）证明：． （2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ABC夹角的余弦值. 19. (17分)已知函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：. 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $