云南省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟考试卷（二）

**基本信息** 2025-2026学年云南省高一期末数学模拟卷，覆盖必修一及必修二至统计内容，通过函数、几何、统计等核心知识分层设计，如解答题15题统计分析、19题指数增长应用，考查数学思维与应用能力，适配期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、不等式、三角函数|基础概念辨析，如第1题集合运算| |多项选择|3/18|向量、立体几何、函数单调性|多维度能力考查，如第10题线面关系判断| |填空题|3/15|函数最值、三角恒等变换、创新函数|思维灵活性，如第14题函数存在性问题| |解答题|5/77|统计分析、立体几何证明与计算、向量、解三角形、指数函数应用|综合应用，如15题频率分布直方图考查数据分析，19题指数增长体现数学建模|

2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（二） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算 【详解】由，得，所以. 因此. 2．若复数z满足，则z在复平面所对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的坐标表示 【详解】， 因此复数对应的点坐标为， 这个点在第二象限，故选择B选项. 3．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式不等式 【分析】根据分式不等式的解法求解. 【详解】由题意：，则，化简得： 等价于，解得： 所以不等式的解集为. 4．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】结合题意由三角函数的对称性得到，再结合正弦函数的周期性和最值求解即可． 【详解】如图， 由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形和矩形的面积之和， 又，所以， 因为函数图象向左平移个单位长度得到的图象，所以 ， 所以 ，即，故， 由图象可得，所以，则， 又 ，所以 ，则， 又，所以． 5．已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积； 【详解】已知平面，平面， 因此, 又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. 6．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量 【分析】在中和中，根据向量三角形加法法则建立等量关系即可表示出. 【详解】解：由向量三角形加法法则可知，在中，， 在中，，又为的中点，为的中点， 所以，，因此， 又因为，所以. 7．已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 8．已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用 【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知解析式可求解. 【详解】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【知识点】坐标计算向量的模、求投影向量、数量积的坐标表示 【分析】由数量积是否为0验算A，由向量加法验算B，由向量减法、模的计算公式验算C，由投影向量的定义验算D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD. 10．如图，在四棱锥中，分别是，，的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面与平面的交线记为，则直线 D．三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 【答案】BC 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、线面平行的性质 【分析】利用线面平行的判定推理判断AB；利用线面平行的判定性质推理判断C；利用锥体积体公式求出体积比判断D. 【详解】对于A，由题知相交，平面， 平面，所以与平面相交，故A错误； 对于B，如图，连接，因为分别是，的中点，所以，， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为，因为平面， 平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，故C正确； 对于D，因为分别是的中点， 所以，，所以， 所以，故D错误. 11．已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．不等式的解集为 D．令，则方程在上有个解，且 【答案】ABD 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正切（型）函数的对称中心、解正切不等式、由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】根据单调递增区间求出最小正周期，再利用周期公式求出，判断选项A；利用正切函数对称中心的性质判断选项B；利用正切函数的单调性判断选项C；根据的性质和图像，结合已知条件，判断选项D． 【详解】选项A：函数其中一个单调递增区间为， 该函数的最小正周期，依题意，，则，故A正确； 选项B：因正切函数的对称中心满足，解得， 当时，，即是对称中心，故B正确； 选项C：，即，， 解得，故C错误； 选项D：因函数和的图象均关于对称， 如图，两函数图象共个交点且两两关于对称，   ． 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的最小值为____. 【答案】4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 13．已知，，则______. 【答案】1 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用和差角的正弦公式及同角三角函数关系列式计算得解. 【详解】由，得， 又因为，可得，所以， 所以， 则. 14．设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意的，的值为或；（2）关于的方程无实数解，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据值域求参数的值或者范围 【分析】根据条件（1）可知或，结合条件（2）可得的范围，并分析函数的构成，即可确定的范围． 【详解】根据条件（1）知当时，的值为0或，故； 当时，的值为1或，故； 又根据条件（2），关于的方程无实数解，所以，且． 由条件（1）可知函数的图象是由函数和函数的图象分段拼接而成的， 若，只需取，则无实数解，符合条件（2）； 若，只需取，则无实数解，符合条件（2）； 若，只需取，则无实数解，符合条件（2）， 故的取值范围是． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某校高一年级学生参加了“同心筑梦，爱我中华”知识竞赛，学生知识竞赛成绩均在内（单位：分），现从这些学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，按照，…，分成4组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计全体参赛学生的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)规定成绩较高的前20%的学生获奖，请根据频率分布直方图估计获奖学生的最低分数线（保留到整数）； (3)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的成绩之差的绝对值大于20的概率． 【答案】(1)，平均分为 (2) (3) 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用 【分析】（1）由频率和为可求出的值，再用加权平均公式即可求出平均分； （2）分析频率分布，内通过线性插值即可求出最低分数线； （3）依题意可得，根据分层抽样在选取4人；在选取2人，再根据列举法可得从这6人中选取2人的方法共有15种，其中2人的成绩之差的绝对值大于20的方法有8种，进而即可求出其概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得， 用样本估计总体，估计全体参赛学生的平均分为： ． （2）由频率分布直方图易知： 的频率为， 的频率为， 所以获奖学生最低分数线落在内，不妨设为， 则，解得， 所以获奖学生最低分数线为． （3）由图可知成绩在与的频率之比为， 则根据分层抽样在选取4人，记为，，，； 在选取2人，记为，． 所以从这6人中选取2人的所有选取方法：，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 记“这2人成绩之差的绝对值大于20”为事件，则事件M所包含的基本事件有：，，，，，，，，共8种． 故所求概率为． 16．如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)因为圆O直径，则， 又，，平面， 则平面，结合平面，则平面平面； (2) 【知识点】证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）通过证明平面，结合题设可完成证明； （2）取中点为，连接DF，再作，由题可得为二面角平面角，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）取中点为，连接，因是正三角形，则， 又平面平面．平面平面，平面， 则平面，结合平面，可得. 如图，作，因，平面，则平面， 结合平面，可得，从而可得为二面角平面角. 因正三角形边长为2，则.因，则, 作，则，注意到，为AC中点，从而. 又易得，则. 17．已知两个单位向量与的夹角为，设，. (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. 【详解】（1）由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； （2）因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 18．在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． (1)若为的外接圆，求的半径； (2)求锐角周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）先由正弦定理对已知条件角化边，再应用余弦定理求角，进而可求解； （2）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【详解】（1）由正弦定理原式可化为：， 整理得：， 即， 由余弦定理，代入得， 因为是锐角三角形，故， 由正弦定理可得， 所以的半径为； （2）由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． 19．指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间的平均变化率随的增大而增大.已知实数、，满足. (1)比较和的大小； (2)当时， （i）证明：； （ii）判断的符号. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【知识点】作差法比较代数式的大小、比较对数式的大小、判断指数函数的单调性 【分析】（1）由题意得出，分、两种情况讨论，结合对数函数的单调性得出，即可得出和的大小； （2）（i）由已知可得， 方法一：讨论与的大小，结合对数函数的单调性分析即可； 方法二：设，则，分析可知函数在上为增函数，再构造函数，分析该函数的单调性，结合零点存在定理可知在存在唯一的零点，可得出，即可得出，即可证得结论成立； 方法三：等式两边除以可得，即，构造，分析函数在上的单调性，可得出，由（1）可知、，进而得出； （ii）由题意得出，只需比较与、的大小，构造函数，则，利用零点存在定理可得出，再由指数函数在区间上的平均变化率，随的增大而增大，可得出，化简得出关于的不等式，解得，即可得出结论. 【详解】（1）由题意得：，，则，所以， 当时，则在定义域内单调递减，解得，所以； 当时，则在定义域内单调递增，解得，所以. 综上所述，，即，即. （2）（i）当时，则， （方法一）①假设，则，即， 由，且，所以，则， 所以，与已知矛盾，故假设不成立； ②假设，则，即， 由，且＞0，所以，则， 所以，与已知矛盾，假设不成立； ③当，则，可得，符合题意； 由①②③可得：. （方法二）设，则是的零点， 对、，且，因为在单调递增， 则，，， 可得，，即， 故在单调递增，所以函数有唯一的零点， 设，对、，且， 因为都在单调递增，则，， 可得，即，故在单调递增， 且，， 故函数零点存在性定理知在存在唯一的零点， 则满足，即，可得，即， 故，即， 所以的零点即为的零点，所以，即. （方法三）等式两边除以可得， 变形得：， 构造，对、，且， 因为、都在单调递增，则，， 可得，即， 故在上单调递增，且， 由（1）可知：当时，则，所以，，所以. （ii）， 由（1）可知，故只需比较与、的大小， 设，对、，且， 因为、都在单调递增，则，， 可得，即，故在单调递增， 因为，且，即，所以， 由（i）得，则，故； 由指数函数在区间上的平均变化率，随的增大而增大， 所以指数函数在区间上的平均变化率小于在区间上的平均变化率， 即，化简得，所以， 解得或（舍去）， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高一期末模拟考试卷（二） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则 （    ） A． B． C． D． 2．若复数z满足，则z在复平面所对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 5．已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 7．已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 10．如图，在四棱锥中，分别是，，的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面与平面的交线记为，则直线 D．三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 11．已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（    ） A． B．点是函数的一个对称中心 C．不等式的解集为 D．令，则方程在上有个解，且 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的最小值为____. 13．已知，，则______. 14．设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：（1）对任意的，的值为或；（2）关于的方程无实数解，则的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某校高一年级学生参加了“同心筑梦，爱我中华”知识竞赛，学生知识竞赛成绩均在内（单位：分），现从这些学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，按照，…，分成4组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计全体参赛学生的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)规定成绩较高的前20%的学生获奖，请根据频率分布直方图估计获奖学生的最低分数线（保留到整数）； (3)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的成绩之差的绝对值大于20的概率． 16．如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． 17．已知两个单位向量与的夹角为，设，. (1)求最小值； (2)若与的夹角为钝角，求的取值范围. 18．在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． (1)若为的外接圆，求的半径； (2)求锐角周长的取值范围． 19．指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间的平均变化率随的增大而增大.已知实数、，满足. (1)比较和的大小； (2)当时， （i）证明：； （ii）判断的符号. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $