精品解析：2026年山西阳泉市盂县多校联考中考考前模拟数学试题

2026年山西阳泉市盂县多校联考中考考前模拟数学试题 全卷满分120分 考试时间120分钟 注意事项： 本试卷共两部分，满分120分，考试时间120分钟．答案全部在答题卡上完成。 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 中国传统纹样是中华传统文化的重要符号，源于古人对自然与生活的感悟，历经千年发展，形成“图必有意，意必吉祥”的特色，寄托着富贵、平安、长寿等美好祝愿，彰显民族审美与文化底蕴．下列纹样图案中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. 巳巳如意纹 B. 方胜纹 C. 葫芦纹 D. 缠枝纹 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠后能够互相重合的图形，进行解答，即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的乘除法法则逐一判断选项. 【详解】解：对选项A，合并同类项时系数相加，字母和指数不变，∵，∴A错误. 对选项B，根据完全平方公式，∵，∴B错误. 对选项C，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∵，∴C正确. 对选项D，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∵，∴D错误. 4. 为深入贯彻落实《山西省生态环境保护条例》，积极稳妥地推进碳达峰山西行动，山西省持续推动绿色低碳转型发展．将“绿”“色”“低”“碳”“发”“展”这六个字分别写在某个正方体的表面，如图所示是该正方体的一种表面展开图，则在该正方体中，与“绿”字所在面相对面上的汉字是（ ） A. 低 B. 碳 C. 发 D. 展 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的展开图进行判断即可． 【详解】解：由正方体的展开图可知“绿”字所在面相对的面上的汉字是“低”． 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集; 【详解】解： 解不等式①，不等式两边同乘得 ， 移项合并得 ， ∴ ； 解不等式②，移项合并得 ， ∴ ； 故不等式组的解集为; 6. 一种可调节座椅靠背的户外折叠椅的侧面几何示意图如图所示，扶手与坐垫平行．若靠背与坐垫的夹角为，与座椅腿的夹角为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的和差求出，再结合平行线性质求解，即可解题． 【详解】解：为，为， ， ， ． 7. 如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的切线的定义得出，由直角三角形两个锐角互余可得出，最后由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是的切线，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8. 小王在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的水平距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 … 100 125 200 … 镜片与光斑的水平距离 … 1 0.8 0.5 … 若按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的水平距离为，则这副老花镜的度数为（ ） A. 75度 B. 150度 C. 250度 D. 275度 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格数据找出老花镜度数和镜片与光斑距离的关系，计算可得二者乘积为定值，成反比例关系，代入计算即可得到度数． 【详解】由表格已知数据计算得： ∵ ，，， ∴ 可得与满足关系， 当时，代入得， ∴ 这副老花镜的度数为250度． 9. 把一副去掉大小王的扑克牌洗匀后背面朝上，从中随机摸一张牌，记下花色（黑桃、红桃、梅花、方块）后放回，洗匀后再随机摸一张牌，则摸到两张牌花色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记四种花色黑桃、红桃、梅花、方块分别为，根据题意画出树状图求解，即可解题． 【详解】解：记四种花色黑桃、红桃、梅花、方块分别为， 根据题意画树状图如下： 由树状图可知共有种情况，其中摸到两次花色相同的情况有种， ∴摸到两张牌花色相同的概率为． 10. 在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线互相垂直，则线段与一定满足的关系为( ) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理与特殊四边形的判定，涉及的知识点是三角形中位线平行且等于第三边的一半、矩形的判定与性质，解题方法是利用中位线定理证明四边形为矩形，再逐一判断即可． 【详解】解：如图所示： 连接四边形的对角线， 根据三角形中位线定理，且，且， 且， 四边形是平行四边形， 同理，且， ， ， 平行四边形是矩形， ， 即线段与互相平分且相等， 故选：B． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：2______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出的取值范围是解题关键． 利用的取值范围进而比较得出即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 12. 忻州五台山台蘑种植基地种植100公顷台蘑，原计划每公顷收获台蘑，后因暴雨使总产量减产，则最终收获台蘑的总质量为________kg．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求出原计划的台蘑总产量，再根据减产比例得到实际总产量占原计划的比例，化简代数式得到最终结果． 【详解】解：由题意可得，原计划收获台蘑的总产量为， 因为总产量减产，所以实际总产量为原计划总产量的， 计算最终收获台蘑的总质量：． 13. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得：， 故答案为：． 14. 如图是某公园围墙上的窗户，它是两个同心圆的一部分，其几何示意图如图2所示，，，，窗户能透光（阴影部分）的面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据窗户能透光（阴影部分）的面积等于两扇形面积之差计算即可． 【详解】解：由图可知：窗户能透光（阴影部分）的面积为． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接交边于点．若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，则由三线合一得到，然后证明，则设，则，再由求解即可． 【详解】解：过点作于点 ∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得，（舍）， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 当，时， 原式． 17. 我国拥有全世界最大的电动汽车市场，新能源充电桩覆盖范围广，场景适配足．电动汽车在某次充电时，充电桩显示电价为0.5元，服务费为0.4元，该电动汽车开始充电时显示剩余电量为．若本次充电支付费用为45元，求充电完成后电动汽车显示的剩余电量． 【答案】 【解析】 【分析】设充电完成后电动汽车显示的剩余电量为，根据题意列一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：设充电完成后电动汽车显示的剩余电量为． 根据题意，得． 解得． 答：充电完成后电动汽车显示的剩余电量为． 18. 随着智能家居市场的蓬勃发展，线上购买智能家居产品的消费者日益增多．为了解线上客户对售后安装服务的满意度，提升线上客户售后安装服务质量，某智能家居门店随机抽取500名线上购买并接受过售后安装服务的用户开展问卷调查．调查问卷如下： 某智能家居售后安装服务满意度调查 1．您对本门店售后安装服务的整体评价是（ ）（单选） A．优秀 B．一般 C．差评 如果您对本门店售后安装服务的整体评价为“一般”或“差评”，请回答第2个问题： 2．您认为本门店售后安装服务最需要改进的地方是（ ）（单选） A．安装技术 B．上门时效 C．服务态度 D．问题反馈处理 该门店线上运营负责人将这500份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图． （1）如果将整体评价中优秀、一般、差评分别赋分为5分、3分、1分，则该门店此次调查中整体评价分数的中位数是_________分，平均数是__________分． （2）在此次调查中，认为该门店需要在上门时效上进行改进的人数有多少？ （3）请你根据此次调查结果，对该门店针对线上客户的售后安装服务提出一条合理的建议． 【答案】（1）5，4.6 （2）26 （3）答案不唯一，如：①该门店需要加强对安装人员的培训，提升安装技术水平；②该门店需要优化上门安装流程，提高上门时效；③该门店需要改善售后安装服务态度等．（答一条即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和加权平均数的定义求解即可； （2）先求出需要改进服务的是评价为“一般”和“差评”的人数，再通过扇形统计图求出B的占比，然后乘以占比即可； （3）可结合扇形统计图进行分析即可． 【小问1详解】 解：500个数据，则中位数是第250，251个数据的平均数，而优秀人数有420人，若将数据从高到低排列，则第250，251个数据都是5分，故中位数为5分， 平均数为：（分）； 【小问2详解】 解：回答第2个问题的人数为， 选B（即上门时效）的人数为． 【小问3详解】 略 19. 阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 在几何学习中，我们常通过图形变化来构造特殊图形，从而解决问题，下列是一道经典例题的探究过程． 例题：如图1，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接．求证：． 证明思路：如图1，过点作，使，连接，．证得，，在与中，利用勾股定理即可得证． 变式：如图2，当点在的延长线上时，连接，其他条件不变．求证：． 证明：…… 任务： （1）将变式的证明过程补充完整． （2）如图3，在中，，，是内一点，连接，，，且．若，，则的长为__________． （3）如图4，在中，．在内求作一点，连接，，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）解：如图，过点作，使，连接，，则． 是等腰直角三角形，且． ． ，， ． ， ． 又，， ． ，． ． ． ． （2）2 （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）过点作，使，连接，，则，则有，然后通过证明，则有，进而根据勾股定理可进行求证； （2）过点作，使，连接，，则，则有，，然后通过证明，则，，进而根据勾股定理进行求解即可； （3）先作线段的垂直平分线，然后再以中点为圆心，长为半径画弧，交线段的垂直平分线于一点，进而以这点为圆心作经过B、C两点的圆，则点P在与相交部分上任意一点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，使，连接，，则， 是等腰直角三角形，且． ，． ， ． 又，， ． ，． ， ，即． ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，设过B、C两点的圆心为O，连接， 由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数为， ∴优弧的度数为， ∴． 20. 飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． （1）你所选用的测量工具是__________；（填序号） （2）请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） （3）根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 【答案】（1）①③ （2）测量示意图如解图所示． 测量数据：标杆，标杆影长； （3） 【解析】 【分析】（1）选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）根据题意，测量数据：标杆，标杆影长； （3）证明，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ，即， ． 答：飞云楼的高度为．（答案不唯一） 21. 木屑飞舞，造物万千．古建筑模型制作技艺，俗称“扎小样”，是一种传统的手工技艺，它以木材为原料，采用榫卯结构搭建．某网店销售古建筑榫卯积木，已知鹳雀楼模型的单价是黄鹤楼模型单价的，用192元购买鹳雀楼模型的数量比黄鹤楼模型少1个． （1）求黄鹤楼模型和鹳雀楼模型的单价． （2）某校社团决定购进这两种模型共50个，其中鹳雀楼模型不少于10个，请问怎么购买费用最少? 【答案】（1）黄鹤楼模型的单价是48元，鹳雀楼模型的单价是64元 （2）当购进鹳雀楼模型10个，黄鹤楼模型40个时，购买费用最少 【解析】 【分析】（1）设黄鹤楼模型的单价是元，则鹳雀楼模型的单价是元，根据“用192元购买鹳雀楼模型的数量比黄鹤楼模型少1个”列出关于x的方程，解方程并检验，再把x值代入求解即可． （2）设购进鹳雀楼模型个，总费用为元，则购进黄鹤楼模型个，根据题意得到y关于m的一次函数关系式并判断增减性，再根据m的取值范围得出当取最小值10 时，购买费用最少可解答此问． 【小问1详解】 解：设黄鹤楼模型的单价是元，则鹳雀楼模型的单价是元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意． ． 答：黄鹤楼模型的单价是48元，鹳雀楼模型的单价是64元． 【小问2详解】 解：设购进鹳雀楼模型个，总费用为元，则购进黄鹤楼模型个． 根据题意，得． ， 值随值的增大而增大． 又，且为整数， 取最小值10 时，购买费用最少． ． 答：当购进鹳雀楼模型10个，黄鹤楼模型40个时，购买费用最少． 22. 综合与实践 问题情境： 数学小组的同学在透明的玻璃容器中装入水，当容器水平放置时，从外面用视图的方法得到如图1所示的图形（阴影部分为玻璃壁）． 观察测量： 同学们经测量发现该容器口是一个以点为圆心，直径为的圆，容器最大深度，且通过观察可将该容器内壁曲线近似看作抛物线的一部分，是该抛物线的顶点且在线段上． 数学建模： （1）在图1中以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． ①在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的表达式； ②当液面离杯口的距离为时，求的长度． （2）将玻璃容器缓缓倾斜倒出部分水，从外面用视图的方法得到如图2所示的图形．当所在的直线与水平桌面之间的夹角为时停止，此时将筷子从点处垂直于容器口浸入水中，求筷子被浸湿的长度．（提示：以所在的直线为轴，过点垂直于所在的直线为轴建立平面直角坐标系） 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①以所在的直线为轴，过点垂直于所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为，把代入，即可求解；②由题意求出点，的纵坐标，代入抛物线的解析式中，求出的值，即可得到的长度； （2）以所在的直线为轴，过点垂直于所在的直线为轴建立平面直角坐标系，记坐标原点为，与交于点，延长交轴于点，则四边形是矩形，筷子被浸湿的长度为，利用解得． 【小问1详解】 解：①建立的平面直角坐标系如图所示： 根据题意，得，垂直平分，， ， ， 抛物线的顶点， 设抛物线的表达式为． 把代入，得．解得， 抛物线的表达式为． ②，液面离杯口的距离为， 点，的纵坐标为， 把代入，得．解得，， ，， ． 【小问2详解】 如图，以所在的直线为轴，过点垂直于所在的直线为轴建立平面直角坐标系，记坐标原点为，与交于点，延长交轴于点，则四边形是矩形，筷子被浸湿的长度为． ，，，， ，， ， 在中，， ， 答：浸湿筷子的长度为． 23. 综合与探究，根据题意回答下列各题 问题情境： 如图1，，，，，固定不动，将的直角顶点放在边的中点处，与边交于点，与边交于点，并将绕点旋转，在旋转的过程中，交点，始终在，边上． （1）如图2，在旋转的过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）在旋转的过程中，四边形的面积是否会发生改变？若不变，请求出它的值；若改变，请求出它的范围． 深入探究： （3）在旋转的过程中，当与的任一边平行时，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形． 理由如下：，分别是，边的中点， 是的中位线，． ，． ，． ． ， 四边形是矩形． 又， 四边形是正方形． （2）不变，面积为 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线，求出，根据矩形的判定和性质，得到四边形是矩形，再根据，利用正方形的判定，即可； （2）过点分别作于点，于点，同理（1），得四边形是正方形，求出正方形的面积，根据全等三角形的判定和性质，可知，最后根据，即可； （3）分类讨论：①如图，当时，过点作于点，交边于点，则；②如图，当时，连接，过点作于点，则，，；③当时，交点，均不在，边上，灵活利用解直角三角形，勾股定理，进行解答，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：不变． 如图，过点分别作于点，于点， ∴． 同理（1），得四边形是正方形． ，． ，． ． ， ． ． ． 四边形的面积不变，面积为． 【小问3详解】 解：分以下三种情况讨论： ①如图，当时，过点作于点，交边于点，则． ，， ． ． ， ． 为边的中点， ． ． ， ． ． ． ②如图，当时，连接，过点作于点，则，，． ． ， ． ． 设，则． ， ．解得． ． ． ③当时，交点，均不在，边上，该情况与题意不符． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山西阳泉市盂县多校联考中考考前模拟数学试题 全卷满分120分 考试时间120分钟 注意事项： 本试卷共两部分，满分120分，考试时间120分钟．答案全部在答题卡上完成。 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 6 2. 中国传统纹样是中华传统文化的重要符号，源于古人对自然与生活的感悟，历经千年发展，形成“图必有意，意必吉祥”的特色，寄托着富贵、平安、长寿等美好祝愿，彰显民族审美与文化底蕴．下列纹样图案中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. 巳巳如意纹 B. 方胜纹 C. 葫芦纹 D. 缠枝纹 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为深入贯彻落实《山西省生态环境保护条例》，积极稳妥地推进碳达峰山西行动，山西省持续推动绿色低碳转型发展．将“绿”“色”“低”“碳”“发”“展”这六个字分别写在某个正方体的表面，如图所示是该正方体的一种表面展开图，则在该正方体中，与“绿”字所在面相对面上的汉字是（ ） A. 低 B. 碳 C. 发 D. 展 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 一种可调节座椅靠背的户外折叠椅的侧面几何示意图如图所示，扶手与坐垫平行．若靠背与坐垫的夹角为，与座椅腿的夹角为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 小王在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的水平距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 … 100 125 200 … 镜片与光斑的水平距离 … 1 0.8 0.5 … 若按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的水平距离为，则这副老花镜的度数为（ ） A. 75度 B. 150度 C. 250度 D. 275度 9. 把一副去掉大小王的扑克牌洗匀后背面朝上，从中随机摸一张牌，记下花色（黑桃、红桃、梅花、方块）后放回，洗匀后再随机摸一张牌，则摸到两张牌花色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线互相垂直，则线段与一定满足的关系为( ) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：2______．（填“”、“”或“”） 12. 忻州五台山台蘑种植基地种植100公顷台蘑，原计划每公顷收获台蘑，后因暴雨使总产量减产，则最终收获台蘑的总质量为________kg．（用含的代数式表示） 13. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______. 14. 如图是某公园围墙上的窗户，它是两个同心圆的一部分，其几何示意图如图2所示，，，，窗户能透光（阴影部分）的面积为________．（结果保留） 15. 如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接交边于点．若，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 我国拥有全世界最大的电动汽车市场，新能源充电桩覆盖范围广，场景适配足．电动汽车在某次充电时，充电桩显示电价为0.5元，服务费为0.4元，该电动汽车开始充电时显示剩余电量为．若本次充电支付费用为45元，求充电完成后电动汽车显示的剩余电量． 18. 随着智能家居市场的蓬勃发展，线上购买智能家居产品的消费者日益增多．为了解线上客户对售后安装服务的满意度，提升线上客户售后安装服务质量，某智能家居门店随机抽取500名线上购买并接受过售后安装服务的用户开展问卷调查．调查问卷如下： 某智能家居售后安装服务满意度调查 1．您对本门店售后安装服务的整体评价是（ ）（单选） A．优秀 B．一般 C．差评 如果您对本门店售后安装服务的整体评价为“一般”或“差评”，请回答第2个问题： 2．您认为本门店售后安装服务最需要改进的地方是（ ）（单选） A．安装技术 B．上门时效 C．服务态度 D．问题反馈处理 该门店线上运营负责人将这500份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图． （1）如果将整体评价中优秀、一般、差评分别赋分为5分、3分、1分，则该门店此次调查中整体评价分数的中位数是_________分，平均数是__________分． （2）在此次调查中，认为该门店需要在上门时效上进行改进的人数有多少？ （3）请你根据此次调查结果，对该门店针对线上客户的售后安装服务提出一条合理的建议． 19. 阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 在几何学习中，我们常通过图形变化来构造特殊图形，从而解决问题，下列是一道经典例题的探究过程． 例题：如图1，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接．求证：． 证明思路：如图1，过点作，使，连接，．证得，，在与中，利用勾股定理即可得证． 变式：如图2，当点在的延长线上时，连接，其他条件不变．求证：． 证明：…… 任务： （1）将变式的证明过程补充完整． （2）如图3，在中，，，是内一点，连接，，，且．若，，则的长为__________． （3）如图4，在中，．在内求作一点，连接，，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 20. 飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． （1）你所选用的测量工具是__________；（填序号） （2）请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） （3）根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 21. 木屑飞舞，造物万千．古建筑模型制作技艺，俗称“扎小样”，是一种传统的手工技艺，它以木材为原料，采用榫卯结构搭建．某网店销售古建筑榫卯积木，已知鹳雀楼模型的单价是黄鹤楼模型单价的，用192元购买鹳雀楼模型的数量比黄鹤楼模型少1个． （1）求黄鹤楼模型和鹳雀楼模型的单价． （2）某校社团决定购进这两种模型共50个，其中鹳雀楼模型不少于10个，请问怎么购买费用最少? 22. 综合与实践 问题情境： 数学小组的同学在透明的玻璃容器中装入水，当容器水平放置时，从外面用视图的方法得到如图1所示的图形（阴影部分为玻璃壁）． 观察测量： 同学们经测量发现该容器口是一个以点为圆心，直径为的圆，容器最大深度，且通过观察可将该容器内壁曲线近似看作抛物线的一部分，是该抛物线的顶点且在线段上． 数学建模： （1）在图1中以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． ①在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的表达式； ②当液面离杯口的距离为时，求的长度． （2）将玻璃容器缓缓倾斜倒出部分水，从外面用视图的方法得到如图2所示的图形．当所在的直线与水平桌面之间的夹角为时停止，此时将筷子从点处垂直于容器口浸入水中，求筷子被浸湿的长度．（提示：以所在的直线为轴，过点垂直于所在的直线为轴建立平面直角坐标系） 23. 综合与探究，根据题意回答下列各题 问题情境： 如图1，，，，，固定不动，将的直角顶点放在边的中点处，与边交于点，与边交于点，并将绕点旋转，在旋转的过程中，交点，始终在，边上． （1）如图2，在旋转的过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）在旋转的过程中，四边形的面积是否会发生改变？若不变，请求出它的值；若改变，请求出它的范围． 深入探究： （3）在旋转的过程中，当与的任一边平行时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $