课后作业42　等比数列-2027年高三数学（通用版）一轮复习

**基本信息** 聚焦等比数列核心知识，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到创新应用的递进，培养运算能力、推理意识与模型应用素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等比中项、公比计算、前n项和公式|单选1-4题直接考查定义与公式，填空11题结合等差性质，夯实运算基础| |能力提升|充要条件判断、前n项和性质、综合递推|单选5-8题涉及Sₙ片段等比性，多选9-10题融合等比与等差，提升逻辑推理| |综合应用|高考真题改编、新定义应用|解答13题源自全国甲卷，14题引入“k-比分数列”，培养创新意识与问题解决能力|

课后作业(四十二)　等比数列 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分 一、单项选择题 1．已知等比数列{an}中，a3＝3，a7＝27，则a5＝ (　　) A．15 B．9 C．－9 D．±9 2．(2025·山东滨州二模)设{an}为等比数列，且a2＋a3＝3，a3＋a4＝6，则a7＋a8＝ (　　) A．12 B．24 C．48 D．96 3．设Sn为等比数列的前n项和，已知S3＝a4－2，S2＝a3－2，则公比q＝ (　　) A．2 B．－2 C． 4．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)记等比数列的前n项和为Sn，若S8＝8，S12＝26，则S4＝ (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．(2025·豫湘名校联考)在等比数列{an}中，记其前n项和为Sn，已知a3＝－a2＋2a1，则的值为 (　　) A．2 B．17 C．2或8 D．2或17 6．已知数列为等比数列，m，t，p，s均为正整数，设甲：amat＝apas；乙：m＋t＝p＋s，则 (　　) A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 7．数列{an}中，a1＝2，am+n＝aman，若ak+1＋ak+2＋…＋ak+10＝215－25，则k＝ (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 8．(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an+1＝2Sn＋2，则a4的值为 (　　) A．3 B．18 C．54 D．152 二、多项选择题 9．设等比数列的前n项和为Sn，且Sn＝2n+1＋a(a为常数)，则 (　　) A．a＝－1 B．的公比为2 C．an＝2n D．S9＝1 023 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且an+1＝3an＋2n，则 (　　) A．数列{an＋2n}是等比数列 B．数列是等比数列 C．an＝2×3n－2n+1 D．Sn＝2(3n－2n) 三、填空题 11．(2025·广东揭阳三模)已知正项等比数列{an}满足a1＝1，6a1，a3，4a2成等差数列，则其公比为___________． 12．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n-1a2n+1，则an＝___________，Tn＝___________． 四、解答题 13．(13分)(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1－3． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和． 14．(15分)对于各项均不为零的数列{cn}，我们定义：数列为数列{cn}的“k－比分数列”．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，且{an}的“1－比分数列”与{bn}的“2－比分数列”是同一个数列． (1)若{bn}是公比为2的等比数列，求数列{an}的前n项和Sn； (2)若{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式． 课后作业(四十二) 1．B　[设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a5＝a3q2＝3q2>0，由等比中项的性质可得＝a3a7＝3×27＝81，故a5＝9．故选B．] 2．D 3．A　[由已知，S3＝a4－2，S2＝a3－2，两式相减得， S3－S2＝a3＝a4－a3，即a4＝2a3，故q＝＝2．故选A．] 4．B　[因为数列为等比数列，且公比q≠－1，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则＝S4·， 即＝S4·，解得S4＝32或S4＝2． 设等比数列的公比为q，则q≠1， ＝1＋q4>1，则S8>S4>0，得S4＝2．故选B．] 5．D 6．B　[设数列的公比为q，首项为a1， 若m＋t＝p＋s，则qm+t-2＝qp+s-2，即amat＝apas，满足必要性；当q＝1时，对任意正整数m，t，p，s均有amat＝apas，不满足充分性，所以甲是乙的必要不充分条件．故选B．] 7．C　[∵a1＝2，am+n＝aman，令m＝1，则an+1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n-1＝2n． 又∵ak+1＋ak+2＋…＋ak+10＝215－25， ∴＝215－25， 即2k+1(210－1)＝25×(210－1)， ∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4．故选C．] 8．C　[因为{an}为等比数列，an+1＝2Sn＋2， 所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2， a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a1＋6， 由等比数列的性质可得，＝a1 ·a3 ， 即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a1， 所以a1＝2或a1＝－1(舍)， 所以a2＝6，设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝3，则a4＝a1·q3＝2×33＝54． 故选C．] 9．BC　[因为Sn＝2n+1＋a，所以a1＝4＋a，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8． 因为{an}是等比数列，所以＝a1a3，即42＝8(4＋a)，解得a＝－2，则A错误； 等比数列{an}的公比q＝＝2，则B正确； 因为a1＝2，q＝2，所以an＝a1qn-1＝2n，则C正确； 因为a＝－2，所以Sn＝2n+1－2，所以S9＝210－2＝1 022，则D错误．故选BC．] 10．ABD　[由题意得an+1＋2n+1＝3an＋2n＋2n+1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)， 又a1＋2＝4≠0，＝3，故数列{an＋2n}是以4为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2n＝4×3n-1，an＝4×3n-1－2n，Sn＝＝2(3n－2n)，故A正确，C错误，D正确； ＋1＝＋1＝， 又因为＋1＝2≠0，故数列是以2为首项，为公比的等比数列，B正确．故选ABD．] 11．3　[设{an}的公比为q(q>0)， 又因为6a1，a3，4a2成等差数列， 所以2a3＝6a1＋4a2，可得q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍去)．] 12．　[由题意得a1＝1－a1，故a1＝． 当n≥2时，由得an＝Sn－Sn-1＝－an＋an-1， 则， 故数列{an}是以为公比的等比数列， 故数列{an}的通项公式为an＝． 由等比数列的性质可得a1a3＝，a3a5＝，…，a2n-1a2n+1＝， 所以数列{a2n-1a2n+1}是以为公比的等比数列， 则Tn＝＋…＋．] 13．解：(1)因为2Sn＝3an+1－3，故当n≥2时，2Sn-1＝3an－3， 所以2an＝3an+1－3an(n≥2)，即5an＝3an+1，故等比数列{an}的公比q＝， 故2a1＝3a2－3＝3a1×－3＝5a1－3，故a1＝1，故an＝． (2)由等比数列的前n项和公式得Sn＝． 设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn＝n＝n－． 14．解：(1)由题意知，因为b1＝1，且{bn}是公比为2的等比数列，所以＝4．因为a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝×(4n－1)． (2)因为b1＝1，且{bn}是公差为2的等差数列，所以bn＝2n－1，所以，又a1＝1，所以an＝×(4n2－1)． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $