6.5 数列求和 练习-2027届高三数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦数列求和核心方法，通过分层题型构建“递推转化-方法选择-综合应用”逻辑链，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|3题（如第1、3题）|分组求和、等差等比公式叠加|从基本定义推导求和公式，建立项与和的关系| |递推关系转化|4题（如第2、4题）|构造新数列（等差/等比）、裂项相消|通过递推式变形实现未知到已知的转化，培养推理意识| |综合求和应用|5题（如第11、12题）|错位相减、分类讨论求和|整合函数性质与数列知识，提升复杂情境下的运算能力|

6.5　数 列 求 和 一、 单选题 1 [2025苏州期中]在数列{an}中，an＋an＋1＝2n，则数列{an}的前24项和S24的值为(　　) A. 144 B. 312 C. 288 D. 156 2 [2025泰州靖江期中]设数列{an}的前n项之积为Tn，若an＋2Tn＝1(n∈N*)，则a2 024的值为(　　) A. B. C. D. 3 [2026北京八十中模拟]已知数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列．设cn＝abn，Tn＝c1＋c2＋…＋cn(n∈N*)，则当Tn<2 026时，n的最大值是(　　) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4 [2025天一中学月考]已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，n∈N*.记数列的前n项和为Tn.若对任意的n∈N*，都有k>Tn，则实数k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、多选题 5 [2026保定蠡县中学开学考试]已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝2an－anan＋1，则下列说法中正确的是(　　) A. 是等比数列 B. an＝ C. 数列的前n项和为n＋－ D. 数列的前n项和为－ 6 设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－1，bn＝log2an＋1，则下列结论中正确的是(　　) A. 数列{an}是等比数列 B. an＝(－2)n-1 C. a＋a＋a＋…＋a＝ D. {an＋bn}的前n项和为Tn＝2n－1＋ 7 [2025南京二模]已知在数列{an}中，a3＝，an－an＋1＝－3an＋1an，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列结论中正确的是(　　) A. a1＝ B. an＝ C. an≥a7 D. S10＜0 三、 填空题 8 [2025镇江期中]定义在R上的函数g(x)满足y＝g(2x＋1)－2是奇函数，则g(x)图象的对称中心为________；若an＝g＋g＋g＋…＋g(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________． 9 [2025南京五中期中]已知数列{an}中，a1＝1，a3＝6，且an＝an－1＋λn(n≥2)，则数列的前n项和为________． 10 [2025安阳二模]记[x]表示不超过x的最大整数．若正项数列{an}满足a＋2·an－3n＝0，bn＝，则数列{bn}的前101项和为________． 四、 解答题 11 [2026南京二十九中开学考试]已知正项数列{an}的前n项之积为Tn，且＝1－. (1) 求证：数列{Tn}是等差数列； (2) 设bn＝(－1)n，求数列{bn}的前2n项和S2n. 12 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝an＋1－2. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 令bn＝log2an.从①cn＝bn·an；②cn＝；③cn＝(－1)n·b这三个条件中任选一个，求数列{cn}的前n项和Tn. 6．5　数 列 求 和 1. C　解析：因为an＋an＋1＝2n，所以S24＝a1＋a2＋a3＋…＋a24＝2＋6＋10＋…＋46＝＝288. 2. C　解析：因为an＋2Tn＝1(n∈N*)，所以a1＋2T1＝1，即a1＋2a1＝1，解得a1＝.又＋2Tn＝1(n≥2，n∈N*)，显然Tn≠0，所以－＝2(n≥2，n∈N*)，则数列是首项为＝＝3，公差为2的等差数列，所以＝2n＋1，即Tn＝，故a2 024＝＝＝. 3. B　解析：由题意，得an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，bn＝2n-1.由cn＝abn，得cn＝2bn－1＝2n－1，所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(21＋22＋23＋24＋…＋2n)－n＝－n＝2n+1－n－2.当Tn<2 026时，2n+1－n－2<2 026，即2n+1<2 028＋n，当n＝9时，210＝1 024<2 037，当n＝10时，211＝2 048>2 038，所以n的最大值是9. 4. A　解析：因为a1＝2，an＋1＝3an＋2，n∈N*，所以an＋1＋1＝3(an＋1).又a1＋1＝3≠0，所以数列{an＋1}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＋1＝3×3n-1＝3n，即an＝3n－1，所以＝＝(－)，则Tn＝(－＋－＋…＋－)＝(－)＝－<，且当x趋近于＋∞时，Tn趋近于，所以k≥，即实数k的取值范围为[，＋∞). 5. BD　解析：由an＋1＝2an－anan＋1，得＝－1，所以＝×＋，所以－1＝.又－1＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以－1＝×＝，所以an＝，故B正确；＋1＝＋2＝，＝＝≠常数，故A错误；数列的前n项和为＋＋…＋＝＋＋…＋＋n＝＋n＝－＋n，故C错误；记数列的前n项和为Sn.因为＝＝－，所以Sn＝－＋－＋…＋－＝－，故D正确．故选BD. 6. ACD　解析：由Sn＝2an－1，得当n＝1时，a1＝1.对于A，B，因为Sn－Sn－1＝an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n-1，故A正确，B错误；对于C，易得数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a＋a＋a＋…＋a＝＝＝，故C正确；对于D，因为bn＝log2an＋1＝n，所以an＋bn＝2n-1＋n，所以Tn＝＋＝2n－1＋，故D正确．故选ACD. 7. ABD　解析：由an－an＋1＝－3anan＋1，得－＝－3，则数列是以－3为公差的等差数列．又＝＋2×(－3)，a3＝，所以＝14，解得a1＝，故A正确；易得＝＋(－3)(n－1)＝17－3n，所以an＝，故B正确；对于an＝，a1，a2，a3，a4，a5为正，且依次递增；a6，a7，…，an为负，且依次递增，所以an≥a6，故C错误；S10＝a1＋a2＋…＋a10＝＋＋＋＋－1－－－－<＋＋＋＋－－－－－＝0，故D正确．故选ABD. 8. (1，2)　an＝4n＋2　解析：由题意，得y＝g(2x＋1)－2的图象关于点(0，0)对称，则g(－2x＋1)－2＋g(2x＋1)－2＝0，所以g(1－2x)＋g(1＋2x)＝4，则g(x)的图象关于点(1，2)对称．又因为an＝g＋g＋…＋g，an＝g＋g＋…＋g，相加得2an＝4(2n＋1)，所以an＝4n＋2. 9. 　解析：由题意，得a2＝a1＋2λ＝1＋2λ，a3＝a2＋3λ＝1＋5λ＝6，解得λ＝1，所以an－an－1＝n(n≥2)，可得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，累加，得an－a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，则＝＝2，所以数列的前n项和为Tn＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)＝. 10. 10 101　解析：由a＋2·an－3n＝0，得(an＋3)(an－)＝0.又{an}为正项数列，所以an＝，则＝＋＋＋…＋，当i≥2时，＝<＝2(－)，所以<1＋2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(－1)＋1＝2n－1.又对于i∈N*，都有＝>＝2(－)，所以>2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(－1)>2(－1)＝2n－2，所以2n－2<<2n－1，故当n≥2时，bn＝[]＝2n－2.又b1＝1，所以{bn}的前101项和为b1＋b2＋…＋b101＝1＋＝10 101. 11. (1) 由题意，得Tn＝a1a2…an， 当n≥2时，Tn－1＝a1a2…an－1， 所以＝an. 又＝1－，所以＝1－(n≥2)， 可得Tn－1＝Tn－3，即Tn－Tn－1＝3. 当n＝1时，T1＝a1，所以＝1－，解得T1＝4， 所以数列{Tn}是以4为首项，3为公差的等差数列． (2) 由(1)，得Tn＝4＋(n－1)×3＝3n＋1， 则bn＝(－1)n·＝(－1)n·＝(－1)n·， 所以S2n＝－＋－＋…－＋＝－＋＝－＝－. 12. (1) 因为Sn＝an＋1－2， 所以Sn－1＝an－2(n≥2)， 两式相减，得an＋1＝2an(n≥2). 当n＝1时，S1＝a2－2＝a1＝2，解得a2＝4， 所以a2＝2a1成立， 所以an＋1＝2an(n∈N*). 因为a1＝2≠0，所以＝2(n∈N*)， 所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＝2n. (2) 由(1)可知bn＝log2an＝log22n＝n. 若选①：cn＝bn·an＝n·2n， 所以Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1， 两式相减，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2， 所以Tn＝(n－1)·2n+1＋2. 若选②：cn＝＝＝＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋＝＝. 若选③：cn＝(－1)n·b＝(－1)n·n2， 当n为偶数时，Tn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(n－1)2＋n2]＝1＋2＋…＋n＝； 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－cn＋1＝－(n＋1)2＝－. 综上，Tn＝(－1)n·. 学科网（北京）股份有限公司 $