云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 高二月考数学试卷注重基础与能力梯度，解答题涵盖解三角形、文旅统计分析、抛物线探究、立体几何翻折及导数综合，体现数学思维与应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、向量、三角、圆锥曲线|基础概念辨析| |多选|3/18|圆方程、数列、双曲线|多维度知识整合| |填空|3/15|导数几何意义、球截面、概率传输|抽象问题转化| |解答|5/77|解三角形、统计（频率分布/独立性检验）、抛物线、立体几何翻折、导数|文旅情境（数学语言）、翻折问题（空间观念）、导数论证（逻辑推理）|

绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年下学期高二月考三 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为 A． B． C． D． 3．计算的结果为 A． B． C． D． 4．双曲线与椭圆有相同的焦点,它的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 5． 已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为 A． B． C． D． 6． 某高校外语系有名志愿者，其中有名男生，名女生，现从中选人参加某项测试赛的翻译工作，若要求这人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有 A．种 B．种 C．种 D．种 7．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数及其导数的定义域均为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知表示圆，则下列结论正确的是 A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆的面积为 10．已知数列中，，，，其前项和为，则 A． B． C． D． 11．已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有 A．渐近线方程为 B．渐近线方程为 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的导函数为，且满足，则等于 ． 13．已知平面平面，球与直线相切于点，平面与平面分别截球所得截面圆的半径为，若二面角的大小为，则球的半径为 ． 14．在信道内传输，信号，信号的传输相互独立发送时，收到的概率为，收到的概率为，发送时，收到的概率为，收到的概率为若第一个人发送信号和给第二个人，第二个人将接收到的信号发送给第三个人，依次类推，则第六个人收到的信号为和的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 中，． （1）求角； （2）若角为锐角，是边上的一点，，，求的面积． 16．（15分） 某市市文旅局随机选择名青年游客对云南省旅游出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值并估计该评分的上四分位数； （2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人进行单独交流，求选取的人中评分等级为良好的人数的分布列和数学期望； （3）为进一步了解不同年龄段游客对云南省出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为名．请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关． 附：，． 17．（15分） 已知抛物线，抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为． （1）求抛物线的方程及其准线方程； （2）过的直线交抛物线于不同的两点，，交直线于点，直线交直线于点是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 如图，在四边形中，，，为的中点，点在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面所成的二面角的正弦值． 19．（17分） 已知函数． （1）求函数的单调区间． （2）设函数的零点为，曲线在处的切线为，求证：． （3）当时，，，，求证：． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年下学期高二月考三 数学试题评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C D C A C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD ABD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解： ， ，，又或； 因为角为锐角，则， 中，由余弦定理，得，即， 解得或舍， ． 16．（15分） 解：由频率分布直方图可知，，解得 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分的上四分位数位于区间中， 所以上四分位数为： 评分在与两组的频率分别为，， 所以内抽取人数为， 内抽取人数为， 故人中评分等级为良好的有人， 由题意可知，的可取值为，，， ，，， 所以的分布列为： 所以数学期望 青年游客评分等级良好的有人，所以老年游客评分等级良好的有人，由上可得如下列联表， 青年游客 老年游客 总计 评分等级良好 评分等级非良好 总计 零假设游客的评分等级是否良好与年龄段无关， 由表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为游客的评分等级良好与年龄段青年或中老年无关． 17．（15分） 由题意及抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为，准线方程为． 假设存在满足题意的直线显然直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，，． 联立消去，得． 由，解得， 所以斜率的范围为且． 由根与系数的关系得，． 解法一：易知，所以直线的方程为， 又，所以，所以． 因为，所以， 易得，所以， 即，即， 化简，得，即， 即 关键点所以，整理得，解得． 经检验，符合题意． 所以存在满足题意的直线，且直线的方程为或． 解法二：因为，所以，所以，整理得，即，整理得，解得． 经检验，符合题意． 所以存在满足题意的直线，且直线的方程为或． 18．（17分） 证明：如图，过作交于，连接G． 因为，，，所以四边形为矩形，四边形为矩形，所以，，所以，所以，所以四边形为平行四边形．所以，又平面，平面，所以平面． 因为，平面，平面，所以平面． 又，平面，，所以平面平面． 因为平面，所以平面F． 解：因为，，所以由二面角的定义可知，即为平面与平面所成的二面角，所以，同理． 又，所以为等边三角形． 过作交于． 因为，，，，平面，所以平面，又平面，所以H．又，，，平面，所以平面． 因此以为坐标原点，直线、直线、过点且平行于的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 令，则 设平面的法向量为，则 令，则 所以，， 所以，，即平面与平面所成二面角的正弦值为． 19．（17分） 解：第一步：求导 ，则， 第二步：根据导数符号判定单调区间 当时，在上单调递增 当时，，在上单调递减． 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 第一步：求零点与切线方程 由，解得，即， 因为，所以， 所以切线方程为． 第二步：构造辅助函数并求最值，证得结果 设， 则， 当时，，单调递增 当时，，单调递减． 所以，所以． 第一步：利用单调性、最值排除不可能的情况，确定 由可知． 若，则，，不符合题意． 所以 若，则． 若，，因为在上单调递减， 所以，所以． 综上所述，． 第二步：构造辅助函数，将不等式转化为单调性问题，并证明单调性，得结果 因为，所以要证， 即证， 即证，即证， 设， 则． 解法一设，则， 在上单调递增， 当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 当时，，在上单调递减 当时，，在上单调递增． 所以． 因为，所以，又， 所以当且仅当时第一个等号成立， 所以，即，所以在上单调递增， 又，所以，所以． 解法二设，， 因为在上单调递增，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增， 又，所以，所以． 数学试题评分参考第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $