29.3.1弧长和扇形面积 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的核心知识，涵盖圆周角定义、定理及推论，弧长与扇形面积公式，弓形面积计算等。通过问题链引导学生从圆的周长、面积旧知过渡到弧长、扇形面积新知，构建连贯的学习支架。 其亮点在于注重数学思维与数学语言的培养，通过推导弧长公式的问题链发展推理意识，结合管道展直长度等实例强化模型意识。题型分层递进，课堂小结系统梳理公式及割补法等方法，助力学生提升逻辑推理与应用能力，也为教师提供系统教学资源。

新人教版9年级上册 精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 29.3.1弧长和扇形面积 第29章 圆 29.2.3 圆周角（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。 两大必备条件（缺一不可）： ① 角的顶点在圆上；② 角的两条边均与圆相交。 圆心角与圆周角对比：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。 2. 圆周角定理（本节核心必考） 定理内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 几何语言： 若弧AB所对的圆心角为$$\angle AOB$$，圆周角为$$\angle ACB$$， 则：$$\boldsymbol{\angle ACB=\dfrac12\angle AOB}$$。 3. 圆周角定理三大推论（中考高频） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，相同的弧对应的所有圆周角度数相等。 推论2：直径所对的圆周角是直角（90°）。 几何结论：若AB为直径，则圆上任意一点C，都有$$\angle ACB=90^\circ$$。 推论3：90°的圆周角所对的弦是直径。 可用于判定直径、确定圆心位置。 4. 圆内接四边形性质（重点拓展） 四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形。 核心性质：圆内接四边形的对角互补。 即：对角之和为180°，可直接用于角度计算与证明。 5. 核心规律总结 1. 同弧所对圆心角唯一，圆周角有无数个，但度数全部相等； 2. 弧越大，对应的圆心角、圆周角越大； 3. 半圆对应圆周角90°，整圆对应圆周角180°。 二、基础必考题型练习 （一）选择题 1. 下列角属于圆周角的是（） A. 顶点在圆心，两边交圆 B. 顶点在圆上，两边交圆 C. 顶点在圆内 D. 顶点在圆外 2. 一条弧所对的圆心角是80°，则它所对的圆周角为（） A. 40° B. 80° C. 160° D. 90° 3. 直径所对的圆周角的度数是（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 180° 4. 圆内接四边形的一组对角和为（） A. 90° B. 180° C. 360° D. 不确定 （二）填空题 5. 圆周角的顶点在________，两边与圆相交。 6. 一条弧所对的圆周角是圆心角的________。 7. 同弧所对的圆周角________。 8. 90°的圆周角所对的弦是________。 （三）解答题 9. 已知：在⊙O中，弧AB所对的圆心角$$\angle AOB=100^\circ$$，求弧AB所对的圆周角的度数。 10. 已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求证：$$\angle ACB=90^\circ$$。 11. 已知圆内接四边形ABCD中，$$\angle A=70^\circ$$，求$$\angle C$$的度数。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：B 解析：圆周角定义：顶点在圆上，两边与圆相交；顶点在圆心的是圆心角。 2. 答案：A 解析：圆周角等于对应圆心角的一半，$$80^\circ\div2=40^\circ$$。 3. 答案：C 解析：直径所对的圆周角为直角，度数为90°。 4. 答案：B 解析：圆内接四边形对角互补，和为180°。 5. 答案：圆上 6. 答案：一半 7. 答案：相等 8. 答案：直径 9. 解析： 根据圆周角定理：圆周角$$= \dfrac12\times100^\circ=50^\circ$$$$\angle ACB=\dfrac12\times180^\circ=90^\circ$$$$\angle ACB=90^\circ$$$$\angle A+\angle C=180^\circ$$$$\angle A=70^\circ$$$$\angle C=180^\circ-70^\circ=110^\circ$$$$\angle C=110^\circ$$$$圆周角是圆心角的一半$$$$同一条弧$$ 能推导弧长和扇形面积的计算公式. 知道公式中字母的含义，并能正确运用这些公式进行相关计算. 问题1 半径为R的圆，周长是多少？ O R 问题2 （1）360°的圆心角所对的弧长是多少？ （2）1°的圆心角所对的弧长是多少？ （3）n°的圆心角所对的弧长是多少？ 探究新知 弧长计算公式及相关的计算 知识点 1 弧长 ＝ ·2πR ＝ 弧长 ＝ ·2πR ＝ 弧长 ＝ ·2πR ＝ 弧长＝ ·2πR ＝ 问题3 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?弧长是多少？ O R 180° O R 90° O R 45° O R n° 探究新知 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 注意 算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____. 弧长公式 探究新知 5 例 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm) 解：由弧长公式，可得弧AB的长 因此所要求的展直长度l≈2×700+1570＝2 970（mm）. 答：管道的展直长度约为2 970mm． 700mm 700mm R＝900mm ( 100 ° A C B D O 700mm 弧长公式的应用 素养考点 探究新知 6 解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°. 解得 n≈90°. 因此，滑轮旋转的角度约为90°. 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r＝10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14）？ 巩固练习 · O A 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 探究新知 扇形面积计算公式及相关的计算 知识点 2 下列图形是扇形吗？ 判一判 √ × × × √ 探究新知 问题1 半径为R的圆，面积是多少？ O R 问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢? 问题2 （1）360°的圆心角所对扇形的面积是多少？ （2）1°的圆心角所对扇形的面积是多少？ （3）n°的圆心角所对扇形的面积是多少？ 探究新知 S=πR2 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形的 面积 O R 180° O R 90° O R 45° O R n° 探究新知 πR2 πR2 πR2 πR2 扇形面积公式 半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 注意 探究新知 S扇形＝πR2 12 大小不变时，对应的扇形面积与 有关， 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大. 圆心角 半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关. O ● A B D C E O ● A B C D 问题 扇形的面积与哪些因素有关？ 探究新知 问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 :扇形的面积公式与什么公式类似？ A B O O 探究新知 S扇形＝ l＝ S扇形＝＝·lR S扇形lR 14 例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长（精确到0.01cm2和0.01cm）. O R 60° 解：∵n＝60，r＝10cm， ∴扇形的面积为 扇形的周长为 探究新知 扇形面积公式的应用 素养考点 1 15 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m.求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）. （1） O . B A C 讨论：（1）截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 阴影部分. 探究新知 求阴影部分的面积 素养考点 2 O. B A C D （2） O. B A C D （3） （2）水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C. （3）要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积＝扇形OAB的面积－ △OAB的面积. 探究新知 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C，连接AC. ∵ OD＝OC- DC，OC＝0.6，DC＝0.3， ∴ OD＝0.3. ∴ OD＝DC. 又 ∵AD ⊥OC， ∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC. 　从而 ∠AOD＝60˚，∠AOB＝120˚. O. B A C D （3） 探究新知 　　则有水部分的面积 S＝S扇形OAB - SΔOAB ⌒ O O 弓形的面积＝扇形的面积±三角形的面积 S弓形＝S扇形-S三角形 S弓形＝S扇形+S三角形 弓形的面积公式 探究新知 知识点1 弧长公式 1. 若扇形的半径为6，弧长为 ，则 所对圆心角的度数为( ) D A. B. C. D. 中考考法 20 2. 如图，北京市某 处位于北纬 （即 ），东经 ，三沙 市海域某处位于北纬 C A. B. C. D. （即），东经 . 设地球的半径约为 ，则 在东经 所在经线圈上的点和点 之间的劣弧长约为 ( ) 中考考法 21 （第3题） 3.如图，在中， ， ，，将绕点 逆 时针旋转到的位置，点 的对应点 首次落在斜边上，则点 的运动路径 的长为_____ . 中考考法 22 知识点2 扇形面积公式 （第4题） 4. 如图，以点 为圆心的两个同心圆中， 点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是，.若 ，则扇 形的面积与扇形的面积 的大小 关系为( ) A A. B. C. D. 不能确定 中考考法 23 5.[2025成都] 如图，的半径为1，，，是 上的三 个点.若四边形为平行四边形，连接 ，则图中阴影部 分的面积为__. （第5题） 中考考法 24 【点拨】如图，连接，则 . 四边形为平行四边形， ， , ， 为等边三角 形，， 阴影部分的面积 . 中考考法 25 6.如图，中， ， ，将 绕点顺时针旋转 得到 ，则图中阴影部分 面积为__.（结果保留 ） （第6题） 中考考法 26 （第6题） 【点拨】 ， ， .由图可知：阴 影部分的面积扇形的面积 的面积-扇形的面积的面积. 绕点 顺 时针旋转 后得到，的面积 的面 积， 阴影部分的面积扇形的面积-扇形 的面积 . 中考考法 27 本题运用等面积变换法求图形面积， 在等面积转化中可根据全等三角形 （或等底等高）面积相等进行转化，从而将 不易直接求得的图形面积转化成与其面积相 等的易求的图形面积. （第6题） . . 中考考法 28 （第7题） 7. 如图①，在正方形 内，以点 为圆心，长为半径画弧，点 从 圆弧的端点出发，沿向点 运动， 过点作于点.设点 运动的 时间为，，图②是点 以每 C A. 3 B. 9 C. D. 秒的速度运动时，随 变化的关系图象，则图①中阴影部 分的面积为 ( ) 中考考法 29 （第7题） 【点拨】由图象可得,当 时， ， ，此时,重合，, 重合. 的长为，即 . 阴影部分的面积为 . 中考考法 30 （第8题） 8. 如图，在平行四边形 中， ，以为直径的恰好经过点 ， 交于点，当点为 的中点时，下列结 论错误的是( ) B A. 平分 B. C. D. 的长为 中考考法 31 弧长 计算公式： 扇形 定义 公式 阴影部分面积求法：整体思想 弓形 公式 S弓形＝S扇形-S三角形 S弓形＝S扇形+S三角形 割补法 课堂小结 S扇形lR $