精品解析：2026年宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第五中学2026年中考第二次模拟 数学试题

2025-2026学年度第二学期 青铜峡市第五中学第二次学业质量测评 九年级数学试卷（120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，四个选项中，只有一项正确．） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项中的图形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意； B选项中的图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C选项中的图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D选项中的图形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意. 2. 每到初夏时节，校园里木棉絮如雪花般漫天飞舞，经测算，木棉飞絮的直径约为，该数据0.000023用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的数的科学记数法表示，一般形式为，其中，将0.000023的小数点向右移动5位得到2.3，因为，所以得． 【详解】解：将0.000023的小数点向右移动5位得到2.3， ∴． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式计算并判断． 【详解】解：A、，本选项错误； B、，本选项错误； C、，本选项正确； D、，本选项错误． 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴的应用，根据数轴上的位置判断其正负性和绝对值大小，再逐一分析． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、由于，，则，选项正确，符合题意； C、由于 ，则，选项错误，不符合题意； D、由于 ，，则，选项错误，不符合题意． 5. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程． 【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为， 由题意得： ， 故选：A． 6. 如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作□ ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若□ABCD面积为6，则k的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. -6 【答案】C 【解析】 【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD//x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以平行四边形ABCD的面积=矩形ADOE的面积，根据反比例函数k的几何意义得到矩形ADOE的面积=|−k|，则|−k|=6，利用反比例函数图象得到k=6． 【详解】解：作AE⊥BC于E，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//x轴，∴四边形ADOE为矩形， ∴，而 =|−k|， ∴|−k|=6， ∴-k=-6， ∴k=6． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 7. 如图，以的顶点为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于 ，两点；再分别以点 ，为圆心大于长度的一半为半径作弧，两弧交于点，连接 ．若， ，，那么点到的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形的外角性质和解直角三角形，过作于点，由题意可得 平分，则 ，由可得，通过三角形外角性质得，通过三角函数求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点， 由作图可知， 平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是， 故选：． 8. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点 作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则的面积是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线的性质得，根据即可求解． 【详解】解：∵点、分别是 的中点， ∴， 由题意可得：， ∴． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：由二次根式的定义，在实数范围内，被开方数必须非负，即， 解得 . 故答案为： ． 10. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用有理数乘方、特殊角的三角函数值、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 11. 某校数学社团同时开展“数独”“数学接龙”和“几何拼图”三项智力游戏活动，开开和心心各随机参加一项，两人恰好选择同一项活动的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及两人恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：把“数独”“数学接龙”和“几何拼图”分别记为A、B、C， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两人恰好选择同一项活动的有3种情况， ∴两人恰好选择同一项活动的概率为：． 故答案为：． 12. 已知函数 与函数的图象交点如图所示，则方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象与二元一次方程组的关系，求方程组的解，就是求两方程所表示的两一次函数图象交点的坐标，从而得出答案． 【详解】解：函数与函数的交点坐标是， 方程组的解为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是熟悉交点坐标就是方程组的解． 13. 如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为_____（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体以及圆锥体积的计算公式和勾股定理，根据三视图准确判断几何体的形状并提取出底面半径和高的数据是解题的关键． 【详解】解：由图可知：底面直径为 ， 所以底面半径， 母线长， 则利用勾股定理： ， ， ， 则 ， ， ， ． 14. 如图，是的直径， 是的弦．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先由是的直径推出，再由等弧所对的圆周角相等，推出，求即可． 【详解】解： 为的直径， ∵， ， ． 15. 一名外卖骑手从配送站O点出发，按固定路线送餐；每骑行400米后向左转30°，重复这个操作，直到回到配送站O点后结束行程．则这名骑手从出发到结束，一共骑行________米． 【答案】4800 【解析】 【分析】根据题意得到这名骑手所走的路线形成正多边形，且外角都是 ，进而求出边数即可解答 【详解】解：由题意，这名骑手所走的路线形成正多边形，外角都是 ， ∵该正多边形的外角和为 ， ∴边数为， ∴总路程为（米）． 16. 手臂机器人能够在高温、高压、有毒等恶劣环境下工作，因此在工业制造中被广泛应用．如图，这是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，其工作时某个时刻，，求点到工作台的距离______米．（结果精确到 米，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点 作于点，过点 作于点 ，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，在和中分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作于点，过点 作于点 ，过点作交的延长线于点， 则四边形是矩形，， 米，， ， 在中，， （米）， ， ， 在中，，， （米）， （米）， ， 点到工作台的距离和点到工作台的距离相等． 答：点到工作台的距离为6.1米． 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共计36分） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：． 所以，该不等式组的解集为． 18. 以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以________， 得① 去括号，得② 解得③ 检验：当时，…④ 所以，原分式方程的解为⋯⑤ （1）该同学的解法从第________步开始出现错误；（填序号） （2）第①步的横线上，应填写的最简公分母是________； （3）写出原分式方程正确的解答过程； 【答案】（1）① （2） （3）正确解答过程： 整理： 两边同乘： 去括号 移项合并， 解得 检验：时， 所以，原分式方程的解为： 【解析】 【小问1详解】 解：该同学的解法从第①步开始出现错误； 【小问2详解】 解：第①步的横线上，应填写的最简公分母是； 【小问3详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，，按要求作图． （1）将向左平移6个单位，再向下平移1个单位得到； （2）画出绕原点旋转 后得到的； （3）请用无刻度的直尺在上取一点M，使 ．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点M即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）取格点J，连接交于点M，点M即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从A，B两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对A，B两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分（满分10分） A：5，6，6，8，8，8，8，9，9，10 B：6，6，6，6，7，8，9，9，10，10 b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 8 7.0 7.5 B 7.7 7.5 6.9 p 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________，________；（填“>”或“<”） （2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，并说明理由； 【答案】（1），6，7， （2）我认为小罗应该选择A， 理由如下：从语言交互能力得分来看，A和B的平均数一样，但是A的中位数和众数均高于B；从数据分析能力得分来看，A的平均数高于B；且A的中位数也大于B；（理由合理即可）． 【解析】 【分析】（1）计算出A组语言交互能力得分平均数，可得m的值；根据语言交互能力得分出现次数最多的是众数即可求得B组的众数；把A组数据分析能力得分按高低排列，中间两个得分7分与8分的平均数即为p的值，根据两组数据分析能力得分折线统计图可确定方差的大小； （2）分别从语言交互能力得分、从数据分析能力得分的平均数、中位数与众数进行比较即可进行选择． 【小问1详解】 解：； B组中6出现的次数最多，故； B组数据分析能力得分按高低排列为：，，，， ， ，，，，， 中间两个得分为：7分与7分，则： 由两组数据分析能力得分折线统计图知， ． ， ∴A组得分的波动程度大于B组得分的波动程度，即； 【小问2详解】 略 21. 为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套．已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元． （1）求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价； （2）商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折．根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的．应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）每副羽毛球拍单价为80元，每根跳绳单价为15元 （2）购买20副羽毛球拍，40根跳绳时总费用最少，最少费用为1880元 【解析】 【分析】（1）设每副羽毛球拍单价为元，每根跳绳单价为 元，根据题干给出的两种购买总价列出二元一次方程组，求解得到单价； （2）设购买羽毛球拍 副，总费用为元，根据优惠规则列出总费用的一次函数解析式，再结合数量限制得到自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求出最小总费用和对应的购买方案． 【小问1详解】 解：设每副羽毛球拍单价为元，每根跳绳单价为 元， 根据题意得 解得 答∶每副羽毛球拍单价为80元，每根跳绳单价为15元； 【小问2详解】 解：设购买羽毛球拍 副，总费用为元，则购买跳绳根． 根据优惠规则可得 ∵羽毛球拍数量不少于跳绳数量的， ∴ 解得 随 的增大而增大 当 取最小值 时，取得最小值，此时（元），（根） 答∶购买20副羽毛球拍，40根跳绳时总费用最少，最少费用是1880元． 22. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，， ，E为AD的中点，连接BE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分 ， ，求AC的长． 【答案】（1） 证明：，E为AD的中点， ， ， ∴四边形BCDE是平行四边形， ， ， ， ∴四边形BCDE是菱形． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形BCDE是平行四边形，再证明一组邻边相等即可； （2）连接AC，根据平行线的性质及等角对等边证明AB=1，AD=2，可知，再根据菱形的性质即可得出是含 的特殊三角形，最后根据勾股定理即可求AC的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接AC． ，AC平分 ， ， ， ， ， ， 四边形BCDE是菱形 ， 在 中，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理等，解题的关键是连接AC构造 ． 四、解答题（本题共4小题，第23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图， 与相切于点，直径的延长线交 于点，连接，． （1）求证：； （2）若， ，求的半径． 【答案】（1） 解：连接， 是的切线， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的性质，解直角三角形等，能够灵活使用定理公式解三角形是解题的关键． （1）连接，由 是的切线，是的直径可推得 ，即可证明结论； （2）先解直角三角形得，由题意可以证得， ，从而得，计算得 ， ，根据 即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 24. 在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接 ， 的面积为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）当时，求x的取值范围． （3）若C为线段上的一个动点，当最小时，求C点坐标． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，数形结合思想，轴对称最值问题，三角形的面积等问题，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式． （1）根据待定系数法可求出直线的解析式，根据的面积可得出点P的坐标，代入反比例函数解析式可得出反比例函数的解析式． （2）联立一次函数和反比例函数的解析式，可得出点K的坐标，结合图象可直接得出x的取值范围． （3）作点P关于x轴的对称点，连接，线段与x轴的交点即为点C，求出直线的解析式，令，可得出点C的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， ∵ 的面积为， ∴， ∴， ∵点P在一次函数图象上， ∴令，解得 ， ∴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 令，解得或 ， ∴， 由图象可知，当时，x的取值范围为：或． 【小问3详解】 如图，作点P关于x轴的对称点，连接，线段与x轴的交点即为点C， ∵， ∴， ∵， 设直线的解析式为 , 则：，解得：， ∴直线的解析式为：， 令，解得， ∴当最小时，C点坐标为． 25. 【情境导入】 周末，小深和同学们到某体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点 在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在 处．技术人员以 为原点，水平向右为轴，竖直向上为 轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到 的水平距离（米）与水流的高度 （米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … 2 2 … 【探究任务】 （1）根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． （2）若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶 处看，树底 和树顶的视觉效果对称（即 ），请求出此时树顶的坐标． 【答案】（1）， （2）①这棵小树的最大可能高度是；②点坐标为 【解析】 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案； ②过 作于点 ，连接，设，则，，点的横坐标为 ，点N的纵坐标为，根据得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：①设直线的解析式为， 将代入 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， 则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，过 作于点 ，连接， 设，则，，点的横坐标为 ，点N的纵坐标为 ∵ ， ∴ 为中点，即 ∴， 解得或 （舍去）， ∴， ∴点坐标为． 26. 【发现问题】 （1）如图1，已知 和均为等边三角形，D在上，E在 上，易得线段和 的数量关系是 ． （2）将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线 交于点F． ①判断线段和 的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是 ． 【探究拓展】 （3）如图3，若 和均为等腰直角三角形，， ，，直线和直线 交于点F，直接写出的度数和线段、 间的数量关系． 【答案】（1） （2）① ，证明见解析；② （3）， 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得线段和 的数量关系； （2）①利用等边三角形的性质可以证明，从而得到线段和 的数量关系； ②在①的基础上可得，运用三角形内角和定理可求出的度数； （3）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，可以求出，运用等量代换可以求出 ，则．根据相似三角形的性质与三角形内角和定理，可以得出的度数和线段、 间的数量关系． 【小问1详解】 解：∵ 和均为等边三角形， ∴ ， ， ∴ ； 【小问2详解】 ①结论： ， 证明：∵ 和均为等边三角形， ∴ ， ，， ∵，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ； ②由①可知， ， ∴， ∵ 为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵ ， ， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 同理，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴，即，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握好常考的全等三角形与相似三角形的模型是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期 青铜峡市第五中学第二次学业质量测评 九年级数学试卷（120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，四个选项中，只有一项正确．） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 每到初夏时节，校园里木棉絮如雪花般漫天飞舞，经测算，木棉飞絮的直径约为，该数据0.000023用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为 ，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作□ ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若□ABCD面积为6，则k的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. -6 7. 如图，以的顶点为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于 ，两点；再分别以点 ，为圆心大于长度的一半为半径作弧，两弧交于点 ，连接 ．若， ，，那么点 到的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取、的中点 、 ，连接，过点作，垂足为 ，将分割后拼接成矩形．若，，则的面积是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是___________ 10. 计算：________． 11. 某校数学社团同时开展“数独”“数学接龙”和“几何拼图”三项智力游戏活动，开开和心心各随机参加一项，两人恰好选择同一项活动的概率为_____． 12. 已知函数 与函数的图象交点如图所示，则方程组的解是______． 13. 如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为_____（结果保留）． 14. 如图，是 的直径， 是 的弦．若，则________． 15. 一名外卖骑手从配送站O点出发，按固定路线送餐；每骑行400米后向左转30°，重复这个操作，直到回到配送站O点后结束行程．则这名骑手从出发到结束，一共骑行________米． 16. 手臂机器人能够在高温、高压、有毒等恶劣环境下工作，因此在工业制造中被广泛应用．如图，这是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，其工作时某个时刻，，求点到工作台 的距离______米．（结果精确到 米，参考数据：，，） 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共计36分） 17. 解不等式组：． 18. 以下是某同学解方程的过程． 解：方程两边同乘以________， 得① 去括号，得② 解得③ 检验：当时，…④ 所以，原分式方程的解为⋯⑤ （1）该同学的解法从第________步开始出现错误；（填序号） （2）第①步的横线上，应填写的最简公分母是________； （3）写出原分式方程正确的解答过程； 19. 如图，在平面直角坐标系正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，，按要求作图． （1）将向左平移6个单位，再向下平移1个单位得到； （2）画出绕原点旋转 后得到的； （3）请用无刻度的直尺在上取一点M，使 ．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从A，B两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对A，B两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分（满分10分） A：5，6，6，8，8，8，8，9，9，10 B：6，6，6，6，7，8，9，9，10，10 b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 8 7.0 7.5 B 7.7 7.5 6.9 p 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________，________；（填“>”或“<”） （2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，并说明理由； 21. 为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套．已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元． （1）求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价； （2）商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折．根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的．应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 22. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，， ，E为AD的中点，连接BE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分 ， ，求AC的长． 四、解答题（本题共4小题，第23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图， 与 相切于点，直径的延长线交 于点 ，连接，． （1）求证：； （2）若， ，求 的半径． 24. 在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接 ， 的面积为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）当时，求x的取值范围． （3）若C为线段上的一个动点，当最小时，求C点坐标． 25. 【情境导入】 周末，小深和同学们到某体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点 在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为 轴，竖直向上为 轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离 （米）与水流的高度 （米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … 2 2 … 【探究任务】 （1）根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． （2）若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底 和树顶的视觉效果对称（即 ），请求出此时树顶的坐标． 26. 【发现问题】 （1）如图1，已知 和均为等边三角形，D在上，E在 上，易得线段和 的数量关系是 ． （2）将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线 交于点F． ①判断线段和 的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是 ． 【探究拓展】 （3）如图3，若 和均为等腰直角三角形，， ，，直线和直线 交于点F，直接写出的度数和线段、 间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $