4.3.3 等比数列的前n项和课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和，涵盖公式推导（错位相减法等）、性质应用及求和方法，从等比数列定义与通项公式切入，通过基础到拔高分层练习构建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于注重逻辑推理（公式推导分类讨论）、数学运算（性质简化计算）与数学建模（生态投入等实际问题），融入《九章算术》等数学文化，含思维导图和高考真题。学生能提升探究能力，教师可实现一体化教学，提高课堂效率。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第四章 数列 本节理解等比数列前 n 项和公式推导思路，掌握公式并能简单应用；体会错位相减法，提升逻辑推理能力；感悟分类讨论思想，培养数学探究意识。 4.3.3 等比数列的前𝒏 项和 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括132张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 等比数列的前 项和公式 1 等比数列的前 项和公式 设等比数列的首项为，公比为，前项和为 ,则 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 4 知识剖析 （1）等比数列前项和公式分与 两种情况，因此当公比未知时， 要对公比进行分类讨论. 时，公式与是等价的，利用 可以 实现它们之间的相互转化. （3）对于等比数列的，，，， 五个相关量，知道其中任意三个量， 都可以利用方程求出其余两个量. 5 2 等比数列前 项和公式的推导 设为等比数列，首项为，公比为，前项和为 . （错位相减法） （详见教材第162页） （定义法） 由等比数列的定义，得 .根据等比 定理的推广，得，故 . 故 （恒等变形法） 由,得 . 故 6 学思用·典例详解 例1-1 [多选题]数列1,,, ,, 的前项和 可能为( ) ABD A. B. C. D.1 【解析】利用分类讨论的思想，分别对,,且 进行分析. 当时，数列为1,0,0, ,0， ，前项和 ; 当时，数列为1,1,1, ,1, ,前项和 ; 当且时，数列为等比数列，且首项,公比，所以前 项和 . 7 例1-2 若等比数列满足，，则其前项和 ( ) A A. B. C. D. 【解析】设等比数列的公比为 ， ， ， ， 解得 ， ，解得 . 则数列的前项和 . 8 例1-3 设为等比数列的前项和,,则 ____. 10 【解析】设的公比为,由,得.因为 ，所以 ,则,故 . 9 释疑惑 重难拓展 知识点2 等比数列前 项和公式的函数特性 1 等比数列前项和公式与其公比 的关系 10 的取值 前项和 图示 因为，所以 点是直线 上的一系列点，图略 ，它可以变形 为 ， 设 ，则上式可写成 的形式 点是一个指数型函数 图 象上的一系列点.如等比数列：1,2,4, 的前 项和为 ，图象如图4.3.3-1 _________________________ 图4.3.3-1 11 发散探讨 如果数列的前项和为 ，那么这 个数列一定是等比数列吗？ 一定.理由如下：由于，则当时， ；当 时， ，而当 时也符合该式. 故数列的通项公式为 ，并且 （常数），则数列是等比数列，其首项为 ， 公比为.由上可知，“数列是等比数列 ” 可作为判定非常数列 是等比数列的一个依据.#1.1.2 12 2 等比数列前项和公式与其通项 的关系 在等比数列前项和的公式中，我们有 .若 令，，（显然，，均不为0，， ），则 或.这表明，如果数列 是公比不为1的等比数列，则 可看成是或 的一次函数. 于是我们得到：已知是的前项和，对于或 ， 当且仅当，，时， 是等比数列. 13 知识剖析 当或时，数列 还是等比 数列吗？ 对于，，则，从而，， ， ， ，所以.此时数列 不是等比数列. 对于，，两式相减可得 ， 则.又，所以，因此数列 从第二项开始才是等比 数列. 14 学思用·典例详解 例2-4 等比数列的前项和为，点在函数 的图象上，则 ____. 【解析】 点在函数的图象上， . 由，比较可得 . 15 例2-5 如果等比数列的前项和为，则实数 ___. 1 【解析】 根据“数列 是等比数 列”，可得 . 当时，.当 时， .由为等比数列知，当 时， ，则 . 16 例2-6 已知数列的前项和为，且，则数列 的通项公式为 _ ___________. 【解析】 由题意可得，所以 ，两式相 减得 ， 即 . 由，得，故数列是以为首项， 为公比的等比数列，所 以 . 17 由题意可得 ， 所以, ， 于是, ， 从而 . 因为 , 所以 为等比数列， 由 18 得 所以,所以 . 知识点3 等比数列前 项和的性质 设等比数列的前项和为，公比为，则利用等比数列的通项公式及前 项 和公式可推得等比数列的前 项和具有以下性质. （1）当时，；当时， . （2） . （3）若项数为，则（与分别是偶数项的和与奇数项的和） ；若 项数为，则 （4）当时，,,, 仍为等比数列，（当 ,且 为大于1的奇数时，,,, 仍为等比数列）公比为 . . . . . 20 知识延伸 若是公比为 的等比数列，则： （1）前项积 ； （2）连续项的积仍为等比数列，即，，， 是等比数列，公比为 . 21 学思用·典例详解 例3-7 等比数列共有项，其和为 ，且奇数项的和比偶数项的和大80，则 公比 ___. 2 【解析】由题意得 公比 . 22 例3-8 设等比数列的前项和为，已知，，则 等于 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为，，成等比数列（ 注意此处并不是,, 成等比数 列），即8，， 成等比数列， 所以，即 . . . 23 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 与等比数列的前 项和有关的基本量的计算 例9（1）在数列中，，，为的前项和.若 ，则 ___. 6 【解析】 在数列中，， ， 数列 是首项为2，公比为2 的等比数列. ， ，即，解得 . 24 （2）［教材改编P169 T9］已知正项等比数列的前项和为， ， ，，则 ___. 6 【解析】，， ， 由可得 , 解得，则 又，，解得 ． 25 例10 数列是各项为正数的等比数列，它的前项和为80，前项和为 ，且 前项中数值最大的项为54.求其首项及公比 . 26 【解析】设等比数列的前项和为，则，，而 ， 则，于是 ①，（在求等比数列的前 项和时，首先要考虑公 比是否为1，只有时,才可以使用公式 ） ②. ，得，即，又，所以.由条件知 ，所以 等比数列 是递增数列. 所以，所以（整体思想的应用），即 ，故 ③. 由①得，即 ④. 联立③④解得， . 故与 的值分别为2和3. . . . . 27 求解等比数列前 项和基本量的步骤及注意点 1.基本步骤：设出基本量，，构建方程（组），利用方程思想求出基本量， . 2.注意点：在使用等比数列前项和公式时，要先确定公比 的取值，当无法确定时， 务必对 是否为1分类讨论. 28 【学会了吗丨变式题】 1.设正项等比数列的前项和为，且，则数列 的公比为 ( ) B A.4 B.2 C.1 D. 【解析】设正项等比数列的公比为，且,可得 ，则有 ,可得 ,即为 ,解得 . 29 题型2 等比数列的前 项和性质的应用 1 片段和 母题 致经典·母题探究 母题探源 等比数列片段和性质的应用 对于公比为的等比数列，设前项和为.当时，其片段和, , , 是公比为 的等比数列.对于与等比数列片段和有关的问题，利用该性 质可以简化运算，快速求解. 30 例11 已知在等比数列中，，，则 ____. 70 【解析】设等比数列的公比为，，, . 由等比数列的前项和公式，得 得，故 . . 由性质（4）得，， 仍成等比数列，则 ，即，得 . 31 由性质（2）得，即， ， . 运用性质（1）得 ， 即， . 又， . 32 子题 各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则 等于 ( ) C A.16 B.26 C.30 D.80 33 【解析】设等比数列的公比为，且注意到，所以 . 由已知有 ①， ②， ，得，即，变形得 . 由于数列各项均为正数，所以，，所以，即 . 故 ， 所以 . 34 ， 这个式子表示出了，，之间的关系，要求只需求得 即可. 由于，所以 ，注意到 ，所以，所以 . 35 易得,根据性质（4）知，，， 成等比 数列.由得， ， 设，则2，，成等比数列，故 ，解得 ， 由，，成等比数列，可得，解得 . （特殊值法） 取，则， ，即 ，注意到，所以，从而 . 36 名师点评 相比较而言，方法2保持了方法1的一般性，省去了由开方求出 ， 再消去的麻烦，并且在此过程中运用了公式 ，简化 了计算. 37 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·陕西师范大学附属中学月考)设等比数列的前项和为，若 ，则 ( ) B A.2 B. C. D.3 38 【解析】 设数列的公比为，所以 ， ，于是，即 ，所以 .于是 . 由，得 . 设数列的公比为，由题意知 ， 所以,, 也成等比数列， 所以，解得，所以 . 39 2 奇、偶项之和 例12 一个项数为偶数的等比数列 ，各项之和为偶数项之和的4倍，且前3项之积 为64，则该数列的通项公式为_ _______________. 【解析】设该数列的公比为，奇数项之和、偶数项之和分别记为， ，由题意 知，即 . 该数列的项数为偶数， .（此处直接应用了等比数列前 项和的性质： 若项数为，则 ） 又，，即 . 故所求通项公式为 . . . 40 题型3 等差、等比数列的综合 例13 已知是等比数列的前项和，，， 成等差数列，且 . （1）求数列 的通项公式； 【解析】设等比数列的公比为 . 由题意得 即解得 故数列的通项公式为 . . . 41 （2）是否存在正整数，使得?若存在，求出符合条件的所有 的集合； 若不存在，说明理由. 【解析】由（1）有 . 若存在，使得，则 ， 即.（有负号，注意讨论指数 的奇偶） 当为偶数时， ，上式不成立； 当为奇数时， ， 即，则.（熟记2的 次幂，解题快人一步） 综上，存在符合条件的正整数，且的集合为，， . . . . . 42 （1） （2） 43 解决等差数列与等比数列的综合问题（即双数列问题）的关键在于用好它们的有关 知识，理顺两个数列间的关系.注意运用等差数列与等比数列的基本量来表示数列中 的所有项，还应注意等差数列与等比数列之间的相互转化. 44 【学会了吗丨变式题】 3.设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且，， 成等差数列. （1）求数列 的公比； 【答案】设数列的公比为,由条件得 ，即 . 由,得,解得或（舍去），故 ，即数列 的公比为 . 45 （2）证明：对任意，，， 成等差数列. 【答案】 对任意, , 所以对任意,,, 成等差数列. 对任意, , , , 因此，对任意,,, 成等差数列. 46 题型4 数列求和的方法 1 分组求和法 母题 致经典·母题探究 母题探源 分组求和法求解 型数列求和问题 教材第163页【例3】对我们展示了针对一个等差数列与一个等比数列对应项的和的 问题，利用分组求和解决该问题的情况，我们在此以例题继续探讨该类型问题的解 决方法. 47 例14 ［教材改编P169 T4］设是公比为正数的等比数列，， . （1）求 的通项公式； 【解析】设为等比数列的公比，则由， 得 ，即，解得 . 所以的通项公式为 （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和 【解析】 . 48 子题 已知等差数列的前项和为,且, , （1）求数列 的通项公式； 【解析】设等差数列的公差为 , 由题意，得解得 . 49 （2）设,求数列的前项和 . 【解析】 , . 50 分组求和法求解型数列的前 项和的基本步骤 分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成 的形式的数列求和问题， 其中数列与 是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列.基本的解题步骤 为： （1）准确拆分，根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和; （2）分组求和，分别求出各个数列的和; （3）得出结论，对拆分后每个数列的和进行求和，解决原数列的求和问题. 51 【学会了吗丨变式题】 4.已知数列的首项,通项,,为常数，且,, 成 等差数列，求： （1）, 的值； 【答案】由，得，又, ，且 ，所以,解得， . （2）数列的前项和 . 【答案】由（1）知 ，所以 . 52 2 错位相减法 母题 致经典·母题探究 母题探源 错位相减法求数列的前 项和 错位相减法是一种重要的数列求和方法，教材第162页等比数列前 项和公式的推导 用的就是错位相减法.当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时，可使 用此法求数列的前 项和.#1.1 53 设数列为等差数列，公差为；数列为等比数列，公比为 ；数列 的前项和为.则 的求解步骤如下. （1）列出和式 . （2）两边同乘以公比 . （3）两式相减（错位相减）并求和： . （4）两边同除以即得数列的前项和 . （【小结论】若，则其前项和 , 其中, ）#1.1.1.5 54 例15 已知数列的前项和为，且是与2的等差中项．数列中， ， 点在直线 上． （1）求和 的值； 【解析】因为是与2的等差中项，所以 . 当时，得，即，解得 ； 当时，得，即，解得 . 55 （2）求数列， 的通项公式； 【解析】由得 ， 将两式相减得 ， 即，所以 ， 因为，所以，所以 ， 所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以 . 数列中， . 由点在直线上，得 ， 所以数列 是首项为2，公差为2的等差数列， 所以 . 56 （3）设，求数列的前项和 【解析】 ， 所以 ， ， 两式相减得 （【易错】注意不要遗漏 该项） ， 所以 . . . 57 （1） （2） （3） 58 子题 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知 ， ，， . （1）求数列， 的通项公式； 【解析】由题意有 即解得或 故或 59 （2）当时，记，求数列的前项和 . 【解析】由，知，，故 ，于是 ①， 可得 ， 故 . 60 错位相减法求和的适用情况和注意点 一般地，若数列为等差数列，为等比数列且公比为，求 的前 项和时，常用“乘公比，错位减”的方法求和，即错位相减法.在写出与 的表 达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出 的表达式. 在运用错位相减法求数列前项和时要注意四点：①乘数（式）的选择；②对 的讨 论；③两式相减后各项间呈现的规律；④可构成数列的项的项数. 61 【学会了吗丨变式题】 5.已知各项均为正数的等差数列的前项和为，若，且， ， 成等比数列. （1）求 的通项公式； 【答案】设各项均为正数的等差数列的公差为,则 . ，即，， . 又，，成等比数列， ，即 ，解得或 （舍去）， ，故的通项公式为 . 62 （2）记，的前项和为，求 . 【答案】 ， ①. 得， ②. 得， , . 63 3 并项求和法 例16 已知是公比为的等比数列，前项和为,且,, , . （1）求 的通项公式; 【解析】由已知得 , 解得或 （舍去）， 又，则，解得 ， 故 . 64 （2）若对任意的,是和的等差中项,求数列的前 项和 . 【解析】由题意知， ， 所以数列是首项为 ，公差为1的等差数列， 又 , 故 . 65 名师点评 在一个数列的前 项和中，可两项（或多项）结合求解，则称之为并项求 和.形如，可采用两项合并法求解.例如， . 66 题型5 等比数列的前 项和的实际应用 例17 新考法 数学建模(2026·湖北省蕲春县第一高级中学测试)从社会效益和经济效 益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业.根据规划，本年度投 入800万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元， 由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . （1）设年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为 万元，写出 , 的表达式； 思路点拨 由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列，利用等比数 列的前项和公式易得与 ； 67 【解析】第一年投入为800万元， 第二年投入为万元， ， 第年投入为 万元， 各年投入金额依次构成以800为首项， 为公比的等比数列， 所以 . 第一年旅游业收入为400万元， 第二年旅游业收入为万元, ， 第年旅游业收入为 万元， 68 各年旅游业收入依次构成以400为首项, 为公比的等比数列， 所以 . （2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 思路点拨 建立与 的不等关系，解不等式即得. 【解析】设经过 年旅游业的总收入才能超过总投入， 则 , 即 ， 化简得 . 设，代入上式并整理得 , 解得或 （舍去）, 即,由此得, . 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入. 70 构建等比数列模型解决实际应用问题的步骤 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时，则考虑构建等比数列模型.其解题步 骤为： （1）由题意构建等比数列模型（有时需要从特殊情况入手，归纳总结出一般规律， 进而构建等比数列模型）； （2）确定其首项与公比,分清是求第项，还是求前项和 ； （3）利用等比数列的通项公式及前 项和公式求解； （4）经过检验得出实际问题的答案. 71 新考法 数学文化 1 指向等比数列的首项 例18 (2026·天津市宝坻区第一中学月考)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食 人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之， 问各出几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗 粟，羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只 有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中， 牛主人应赔偿( ) D A.斗粟 B.斗粟 C.斗粟 D. 斗粟 72 【解析】设牛主人赔偿斗粟，马主人赔偿斗粟，羊主人赔偿 斗粟，由题意可知 ，，是公比为的等比数列，，则，解得 ， 所以牛的主人应赔偿 斗粟. 73 2 指向等比数列的公比 例19 《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的 意思，通常称递减的比例为“衰分比”.现有38石粮食，按甲、乙、丙的顺序进行“衰 分”，已知甲分得18石粮食，则“衰分比”为( ) A A. B. C. D. 【解析】设“衰分比”为 （“衰分比”即为等比数列的公比），则 ，解得或 （舍去）. . . 74 3 指向等比数列的通项 例20 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.” 其大意为:“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路 程为前一天的一半，走了六天后到达目的地，求每天走的路程.”在这个问题中，此 人第五天走的路程为 ( ) C A.3里 B.6里 C.12里 D.24里 【解析】记每天走的路程里数构成数列，可知是公比为 的等比数列，由 ，得，解得，则 ，故此人 第五天走的路程为12里. 75 数学文化欣赏 《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，明 代数学家程大位著.程大位少年时代就喜爱数学，20岁左右随父经商，有感于筹算方 法的不便，决心编撰一部简明实用的数学书以助世人之用.《算法统宗》列有595个 应用题的数字计算，都不用筹算方法，而是用珠算演算.评述了珠算规则，完善了珠 算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变.《算法统宗》对我国民 间普及珠算和数学知识起到了很大的作用. 76 4 指向等比数列的前 项和 例21 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题:“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一 尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为: “今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天 打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的 .问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，为前 天两只老鼠 打洞长度之和，则 _ ______________尺. 77 【解析】由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列， 前天打洞长度之和为，小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项， 为公 比的等比数列，前天打洞长度之和为 ，所以 . 78 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 等比数列的前 项和在高考中，选择题、填空题或解答题各种形式都会出现，难度中 等，以等比数列前 项和为内蕴方程考查基本量之间的关系、性质. 核心素养：逻辑推理（等比数列前项和与通项 的关系）、数学运算 （等比数列前 项和内蕴方程的求解）. 79 考向1 方程视角下的等比数列前 项和 例22（1）[多选题](2025· 全国二卷)记为等比数列的前项和，为 的公 比，，若, ，则( ) AD A. B. C. D. 80 【解析】对于A，由题意得 结合，解得 故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，， ，则 ，故D正确. 故选 . 81 （2）(2023·全国甲卷)记为等比数列的前项和．若，则 的公比 为____. 【解析】由，可知数列的公比,所以 ， 即，即，所以 . 82 （3）(2023·全国甲卷)设等比数列的各项均为正数，前项和为,若 ， ，则 ( ) C A. B. C.15 D.40 【解析】 若该数列的公比，代入中，有 ，不 成立，所以.由，化简得,所以 （舍） 或,由于此数列各项均为正数，所以，所以 . 由已知得 ,整理得 ,由于此数列各项均为正数，所以 ，所以 . 83 例23 (2024·全国甲卷)已知等比数列的前项和为，且 . （1）求 的通项公式； 【解析】因为,故 ， 所以，即 ， 故等比数列的公比为 ， 故，故 ， 故 . 84 （2）求数列的前 项和. 【解析】因为 , 所以[ . 设数列的前项和为,则 . 85 考向2 等比数列前 项和性质的应用 例24 (2025· 全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为 68，则该等比数列的公比为___. 2 86 【解析】 设该等比数列为，是其前项和，则, ， 设的公比为 ， 当时，，即，则 ，显然不成立，舍去； 当时，则, ， 两式相除得，即 ， 则，所以 ， 所以该等比数列的公比为2. （等比数列前项和性质法） 设等比数列为，其公比为,前项和为 , 因为等比数列的各项均为正数，所以，因为, ，所以 ，因为，，， 成等比数列，且公比为 ，所以 ，又,所以 . 87 命题探源 本题既可以视为考查等比数列的基本量的运算，也可以视为考查等比 数列前 项和的性质，是项数具体化的体现，高考试题有过多次类似考 查，反映出高考命题“题库化”的特点. 素养探源 素养 考查途径 数学运算 构建方程求出首项和公比的值或关系式，进而求解. 88 变式探源 (2023· 新课标Ⅱ卷)记为等比数列的前项和，若,,则 ( ) C A.120 B.85 C. D. 89 【解析】 设等比数列的公比为，由题意易知 ，则 化简整理得 所以 . 易知，，，， 为等比数列，所以 ,解得或.当 时，由 ，解得；当时，结合 得 化简可得，不成立，舍去.所以 . 90 考向3 与等比数列相关的求和 1 错位相减法 例25 (2024·全国甲卷)记为数列的前项和，且 ． （1）求 的通项公式； 【解析】当时，，解得 ． 当时， ， ， 即 ， 而，故，故 ， 数列是以4为首项， 为公比的等比数列， . 91 （2）设，求数列的前项和 ． 【解析】 , , 故 , ， . 92 （1） （2） 93 例26 (2023·全国甲卷)记为数列的前项和，已知， . （1）求 的通项公式； 【解析】第1步：赋值法计算 当时，，即，所以 . 第2步：依题意由写出 的对应等式 当时，由，得 ， 94 第3步：将与的对应等式作差，得到与 的关系式 两式相减得 , 即 ， 第4步：确定时， 成立 当时，可得 ， 第5步：累乘法计算通项公式 故当时，，则……，整理得 ， 因为，所以 . 第6步：检验并得结论 当，时，均满足上式，所以 . 95 （2）求数列{}的前项和 . 【解析】第1步： 写出 的具体表达式 令 ， 第2步：利用错位相减法计算数列的前 项和 则 ①， ②， 由得 ， 第3步：得结论 即 ． 96 2 分组求和法 例27 (天津高考题)设是等差数列，是等比数列.已知， ， ， . （1）求和 的通项公式. 【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为 . 依题意得解得 故， . 所以的通项公式为，的通项公式为 . 97 （2）设数列满足，其中 . （i）求数列 的通项公式； 【解析】 , 所以数列的通项公式为 . 98 （ii）求 . 【解析】 . 99 高考新题型专练 1.新考法 学科综合[多选题]提丢斯·波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的 几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏 林天文台的台长波得归纳成了一个经验公式来表示，即数列， ，1， ，，，10， 表示的是太阳系第 颗行星与太阳的平均距离 （以天文单位．为单位）．现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列 ， 可以发现数列 从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是( ) BCD A.数列的通项公式为 B.数列的第2 023项为 C.数列的前项和 D.数列的前项和 100 【解析】数列各项乘10再减4得到数列 ，3，6，12，24，48，96，192， ， 故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以 故选项A错 误； 由题意知，所以 ，故 选项B正确； 当时， ， 当 时， 101 ，当时， 也适合上式， 所以 ，故选项C正确； 因为所以当时， ， 当时， ①， 则 ②， 所以 可得， ， 所以，又当时， 也适合上式，所以 ，故选项D正确．故选 ． 2.新考法 机构不良 在,,,, 成等比数列这三 个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解. 已知数列中,,,公差不等于0的等差数列 满足____，____， 求数列{}的前项和 . 104 【答案】因为,,所以 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 . 选①②时，设数列的公差为,因为,所以 , 因为,所以当时，,可得,,所以 ,所 以,所以 . （ⅰ）, 所以 （ⅱ）, 105 （ⅰ）,得 , 所以 . 选②③时，设数列的公差为，因为,所以,即 . 因为,，成等比数列，所以,即 ,化简得 ,因为,所以,从而,所以,所以 . （ⅲ）, （ⅳ）, 106 （ⅲ）（ⅳ），得 , 所以 . 选①③时，设数列的公差为 , 因为,所以当时，,所以 . 又,,成等比数列，所以,即 ,化简得 ，因为,所以,与 矛盾，从而无解，所以等差数列 不存在，故不合题意. 107 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间:25分钟 1.已知数列的前项和，则此数列奇数项的前 项和等于( ) C A. B. C. D. 【解析】，， ， ， . 又， 数列 是以1为首项，2为公比的等比数列， ，，， ，是以1为首项，4为公比的等比数列，设其前项和为 ， 则 . 108 2.某市从2026年1月起向全市投放，两种型号的健身器材．已知1月投放 型健身 器材300台，型健身器材64台，计划2月起，型健身器材每月的投放量均为台， 型健身器材每月的投放量比上一月多，若6月底该市， 两种健身器材投放总 量不少于2 000台，则 的最小值为( ) D A.243 B.172 C.122 D.74 【解析】设型健身器材这6个月投放量构成数列，则是以64为首项， 为公 比的等比数列， 其前6项和 ， ，解得 ，故选D． 109 3.(2026·北京市第五十五中学调研)如果是公比为的等比数列,为其前 项和,那 么“”是“数列 为递增或递减数列”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】等比数列的首项为,公比为 , ①当且时,,故数列是递减数列,当 且时, , 故数列是递增数列,所以“”能推出“数列 为递增或递减数列”. ②当为递增数列时,,故且,当 为递减 数列时, , 故且.故“”是“数列 为递增或递减数列”的充要条件.故选C. 110 4.(全国甲卷)记为等比数列的前项和.若，,则 ( ) A A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】 因为,，且易知公比，所以由等比数列的前 项 和公式， 得 两式相除，（技巧点拨：与等比数列有关的方程组，求解时通常利用两式相除，达 到消元、降次的目的） 得，所以或所以 ． 111 易知,, 构成等比数列，由等比中项得 ，即，所以 ． 112 5.［多选题］ 在公比为整数的等比数列中，是数列的前 项和，若 ， ，则下列说法正确的是( ) ABC A. B.数列 是等比数列 C. D.数列{ 是公差为2的等差数列 【解析】，，且公比 为整数， ，，， ，故A正确； ， ，故C正确； ，故数列 是等比数列，故B正确； 易知,，故数列{是公差为 的等差数列，故D 错误．故选 . 113 6.已知是等比数列的前项和，若存在，满足， ，则 数列 的公比为___. 2 【解析】设数列的公比为, 当时，，与题中条件矛盾，故 . , . ,,, . 114 7.在等比数列中，若，，则公比 ____， _ ________. 【解析】设等比数列的公比为，则，代入数据解得 ，所以 . 等比数列的公比为，则 ，所以 . 115 8.设是首项为1的等比数列，数列满足.已知，， 成等差数列. （1）求和 的通项公式； 【答案】设的公比为，则 . 因为，，成等差数列，所以，解得 ， 故， . 116 （2）记和分别为和的前项和.证明： . 【答案】由（1）知 ， ， ②， 得 ， 即 ， 整理得 ， 则 ， 故 . 117 B 综合练丨高考模拟 建议时间:35分钟 9.新考法 数学文化 (2026·贵州省贵阳市期中)数学家也有许多美丽的错误，如法国 数学家费马于1640年提出了 是质数的猜想，直到1732年才 被善于计算的大数学家欧拉算出 不是质数．现设 ，表示数列的前项和．若 ，则 ( ) B A.5 B.6 C.7 D.8 118 【解析】因为 ，所以 ，所以 是首项为1，公 比为2的等比数列，所以 ． 因为,所以，解得 . 119 10.设为等比数列的前项之积，且，，则当最大时， 的值 为( ) A A.4 B.6 C.8 D.10 120 【解析】设数列的公比为，等比数列中，， ，则由 可得 ． 为等比数列的前 项之积， ， 求的最大值，故只需考虑为偶数,,,即当 为偶 数时 的情况， ，由可得 ， . 当最大时， 的值为4． . . 121 11.作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角 形的内切圆．如此下去，则前 个内切圆的面积和为( ) B A. B. C. D. 【解析】设第个正三角形的内切圆的面积为 ，从第2个正三角形开始每一个正三 角形的边长是前一个的 ，则每一个正三角形的内切圆的半径也是前一个正三角形内 切圆半径的，其面积为前一个正三角形内切圆面积的，则数列是公比为 的等 比数列，第1个正三角形的边长为3，其内切圆的半径，其面积 ， 则前个内切圆的面积和 . 122 12.［多选题］ 如图4.3.3-1所示，已知点是平行四边形的边 的中点， 为边上的一列点，连接交于点，点 满足 ，其中数列是首项为1的正项数列， 是数 列的前 项和，则下列结论正确的是( ) AB 图4.3.3-1 A. B.数列 是等比数列 C. D. 123 【解析】为的中点， ， . 又，，三点共线， . 又 ， 化简可得 ， ， 数列是首项为 ,公比为2的等比数列． ，， ， ． 故选 ． 124 13.在等比数列中，，， ，则 的值为___. 2 【解析】，， . 125 14.(2025·天津节选)已知数列是等差数列，是等比数列， , , ． （1）求， 的通项公式； 【答案】设数列的公差为，数列公比为 ， 则由题得解得 所以, . 126 （2）， ，有 ,, ,, ,求证： 对任意实数，均有 . 127 【答案】由（1）知或 ， ， 当 时， 设 ， 所以 ， 所以 ， 所以，为 中的最大元素， 此时 恒成 立， 所以对任意实数，均有 . 128 15.新考法 结构不良 在,}为等差数列，其中,, 成等比 数列， 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题 中，然后解答补充完整的题目. 已知数列中， ,____. （1）求数列 的通项公式； （2）设,为数列的前项和，求证： . 129 【答案】若选条件①. （1）易知,, . 又, 数列{ }是以1为首项，3为公差的等差数列， , . （2）由（1）可知， , , 故 . 130 若选条件②. （1）设数列{}的公差为,则,, . ,, 成等比数列， ，解得或 . 当时,,此时,, 不能构成等比数列，不合题意， ,, . （2）由（1）可知， , , 故 . 131 若选条件③. （1）由 知， 当时， , ，得 , ,当时，也适合上式， . （2）由（1）可知， , , 故 . 132 $