第十章 概率 期末专题训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以概率核心概念为统领，通过六类题型构建"概念辨析-模型计算-性质应用-综合迁移"的递进式训练体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |事件的表示与运算|3题|结合具体情境判断互斥、对立关系|从集合角度理解事件关系，奠定概率基础| |古典概型|3题|含数字游戏、抽样模型等经典情境|通过等可能结果培养数学建模能力| |概率的基本性质|4题|互斥、对立事件概率公式应用|深化概率加法公式的逻辑推理| |相互独立事件|2题|结合骰子抛掷等场景判断独立性|建立事件独立性的数学表达| |频率估计概率|2题|含频率分布表与分层抽样|发展数据观念与统计推理| |综合应用|2题|多轮试验、频率分布直方图分析|提升复杂情境下的数学应用能力| |历年真题|6题|涵盖选择、填空、解答题|对接高考命题趋势，强化实战能力|

期末复习专题二 第十章概率 题型一 事件的表示与运算 1．从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（    ） A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 2．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标}，C={恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）某小组有3名男生和2名女生，任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（    ） A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； B．“至少有1名男生”与“全是男生”； C．“至少有1名男生”与“全是女生”； D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 题型二 古典概型的概率计算 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（    ） A． B． C． D． 5．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________． 6．从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 题型三 概率的基本性质 7．已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 9．（▲▲▲）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______． 10．设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 相互独立事件的判断 11．若则事件与事件的关系是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立 12．（多选题）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件，“点数小于5”记为事件，“点数大于5”记为事件．下列说法正确的是（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 题型五 频率估计概率 13．在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48，则“反面朝上”的频率为（    ） A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 14．为了进一步推动体育强国和健康中国的建设，国家体育总局办公厅印发了《2025年群众体育工作要点》，为了解某地高中学生体育锻炼时长，从该地区28000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长的频率分布表，如下： 分组 合计 频数 120 160 155 35 30 500 频率 0.24 0．31 0.06 1 (1)求和的值； (2)估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）； (3)从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率． 题型六 概率的综合应用 15．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 16．一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求的值； (2)（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间； （ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 【历年真题】 1．从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是 ． 2．（多选）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件“第一次出现奇数点”，事件“两次点数之积为偶数”，事件“两次点数之和为5”，则（    ） A．事件是必然事件 B．事件与事件是互斥事件 C．事件包含事件 D．事件与事件是相互独立事件 3．（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 “第一次的点数不大于3 ”， “第二次的点数不小于4 ”， “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（      ） A．事件发生的概率 B．事件与事件相互独立 C．事件 发生的概率 D．事件与事件对立 4．已知A，B为样本空间中两个随机事件，其中，，则（ ） A． 事件与互斥 B． C． 事件与相互独立 D． 5．某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图． (1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0．1）； (2)现从技术参数位于区间，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至多1件”，事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至少1件”，求事件的概率． 6．为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质量指标值．经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示． 质量指标值 频数 20 30 30 10 10 （1）求频率分布直方图中值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）； （2）现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题二 第十章概率解析 题型一 事件的表示与运算 1．从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（    ） A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 【答案】D 【解析】这个试验的样本空间为， 则和互斥且对立，和互斥且但不对立．故选：D. 2．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标}，C={恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.故选：B 3．（多选）某小组有3名男生和2名女生，任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（    ） A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； B．“至少有1名男生”与“全是男生”； C．“至少有1名男生”与“全是女生”； D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 【答案】AC 【解析】对于A，在所选2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”， 它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，A正确； 对于B，“至少有1名男生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 对于C，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 它与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件，C正确； 对于D，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 而“至少有1名女生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”两种结果， 它们可能同时发生，所以不是互斥事件，D错误. 故选：AC 题型二 古典概型的概率计算 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 5．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________． 【答案】 【解析】由题设，所有可能的有序数对共有个， 而的情况有 ，共有16个， 所以任意找两人玩这个游戏，他们“心有灵犀”的概率为. 6．从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 题型三 概率的基本性质 7．已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由与互为对立，则， 又与互斥，则.故选：B. 8．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ． 9． （▲▲▲）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______． 【答案】 【解析】由概率的性质知， 因此， . 10．设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于， 若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是.故选：A. 题型四 相互独立事件的判断 11．若则事件与事件的关系是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立 【答案】C 12．（多选题）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件，“点数小于5”记为事件，“点数大于5”记为事件．下列说法正确的是（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 【答案】AC 题型五 频率估计概率 13．在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48，则“反面朝上”的频率为（    ） A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 【答案】D 【解析】由题意可得反面朝上的频数为52，所以其频率为.故选：D 14．为了进一步推动体育强国和健康中国的建设，国家体育总局办公厅印发了《2025年群众体育工作要点》，为了解某地高中学生体育锻炼时长，从该地区28000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长的频率分布表，如下： 分组 合计 频数 120 160 155 35 30 500 频率 0.24 0．31 0.06 1 (1)求和的值； (2)估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）； (3)从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率． 【答案】(1)；；(2)0.9小时；(3) 【解析】（1）根据频率分布表，结合频率的计算，得，； （2）根据样本平均数公式可得 ， 所以估计该地区高中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时； （3）两组频率之比为，共抽取7人， 由分层抽样可知：组抽取3人，组抽取4人， 设组的3人分别为，，，组的4人分别为，，，， 从7人中随机抽取2人的所有基本事件有： ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，共21个， 其中两人来自不同组的基本事件有： ，，，，，，， ，，，，共12个， 所以两人来自不同组的概率. 题型六 概率的综合应用 15．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件， ，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件， 根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 . 16．一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求的值； (2)（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间； （ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）；（ⅱ） (3) 【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为， 所以，解得， 又前两组的频率之和为，则，解得． （2）（ⅰ）因为位于区间的频率为， 位于区间的频率为， 所以中位数所在的分组区间为；（学生直接写答案即可） （ⅱ）平均数为． （3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e． 考虑从这5人中选出2人的试验，其样本空间可记为，则， 记事件为“选出的两人来自不同组”，则，从而， 因此，． 【历年真题】 1．从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是 ． 【答案】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、、共个结果； 满足两个数相差为2的有、共个结果； 所以两个数相差为2的概率； 故答案为： 2．（多选）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件“第一次出现奇数点”，事件“两次点数之积为偶数”，事件“两次点数之和为5”，则（    ） A．事件是必然事件 B．事件与事件是互斥事件 C．事件包含事件 D．事件与事件是相互独立事件 【答案】ACD 【分析】列出事件A，B，C，AC的基本事件，再利用事件的基本关系判断. 【详解】解：事件A的基本事件有：， 事件B的基本事件有： ， ，， 事件C的基本事件有： ， 事件AC的基本事件有： ， A.事件是必然事件，故正确； B.因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； C.因为，所以事件包含事件，故正确； D.因为，所以 ， 所以事件与事件是相互独立事件，故正确； 故选：ACD 3．（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 “第一次的点数不大于3 ”， “第二次的点数不小于4 ”， “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（      ） A．事件发生的概率 B．事件与事件相互独立 C．事件 发生的概率 D．事件与事件对立 【答案】ABC 【分析】列举所有的基本事件，由古典概型公式即可求解选项A，C，由相互独立事件的定义即可求解选项B，由对立事件的定义分析选项D. 【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，则有 ， ， ， ， ， ，共不同结果，即， 对于A，事件包含的样本点有种，故，故A正确； 对于B，事件包含的样本点有种，故， 事件包含的样本点有种，故， 因为，所以事件相互独立，故B正确； 对于C，事件包含的样本点有种，故，故C正确； 对于D，事件与事件有重复的样本点， 故事件与事件不对立，故D错误. 故选：ABC. 4．已知A，B为样本空间中两个随机事件，其中，，则（ ） A． 事件与互斥 B． C． 事件与相互独立 D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及相关性质，结合古典概型概率公式逐项分析即可. 【详解】A选项：由， 则有，所以， 即，故A不正确； B选项：因为，所以， 又， 所以，所以， 故B选项不正确； C选项：由，， ， 所以， 所以事件与相互独立故C正确； D选项：因为， , 所以，， 由事件与相互独立， 所以， 故D选项不正确， 故选：C. 5．某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图． (1)由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0．1）； (2)现从技术参数位于区间，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至多1件”，事件“这3件产品中技术参数位于区间内的产品至少1件”，求事件的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数和百分位数的计算法则计算即可； （2）先利用分层抽样确定各组的抽取产品数，然后列举试验的总的基本事件个数和事件包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知，样本技术参数的平均数 ， 因为前三组的频率之和为， 第四组的频率为，， 所以第75百分位数一定在第四组，设第75百分数为x，则， 解得，所以第75百分数约为. （2）采用分层抽样的方法， 从技术参数唯一区间，，三组的产品中抽取6件产品， 则从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为， 从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为， 从技术参数位于区间的产品应抽取件，记为， 从这6件产品中任选3件产品，样本空间 ，则， 事件包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件；二是在这三组分别抽取0件，2件， 1件；三是在这三组分别抽取1件，2件，0件. 则 ，， 所以. 6．为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质量指标值．经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示． 质量指标值 频数 20 30 30 10 10 （1）求频率分布直方图中值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）； （2）现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)0.4 【分析】（1）根据面积之和为1，求得，根据平均数的计算公式进行计算并比较大小即可得解； （2）应在中抽取件，记这三件产品为，在中抽取件，记这两件产品为，结合古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：， 乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：， 所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小； （2）从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品， 则应在中抽取件，记这三件产品为， 在中抽取件，记这两件产品为， 则再这5件产品中随机抽取2件进行分析， 抽到的组合可能为：，共10种可能， 这2件产品均来自同一组的可能情况为：，共4种可能， 故所求为. 学科网（北京）股份有限公司 $