精品解析：2026年河南平顶山市鲁山县第十二教研区中考考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用0.5毫米黑色水笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，在数轴上点表示的数可能是（　　） A. B. C. D. 2. 2026年春晚舞台上，国产人形机器人完成了精准的武术动作表演，引发广泛关注．相关统计显示，国内人形机器人头部企业合计订单金额已突破311亿元．数据“311亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，与相交于点，点在的延长线上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D，E分别在，上，且，，，则和面积的比值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某市中招体育考试采用“必考+选考”的模式，且选考项目包括素质类项目和运动健康技能类项目，其中素质类项目有1分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远，共4项．考生需从素质类项目中选考2项．若小红从中随机选择2项，则她同时选中50米跑和掷实心球的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是以点O为圆心，为直径的半圆的内接四边形，连接．若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，，动点P从点C出发，沿着运动至终点D，设点P运动的路程为x，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集为___________． 12. 某市6月份前十天每天的平均气温（单位：）如下：25，24，23，25，25，28，30，32，30，29，则这十天每天平均气温的众数为___________． 13. 如图，在中，，，以为直径作半圆O，分别交，于点D，E．若D是的中点，则的长为___________． 14. 如图，在边长为的正方形中，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好均落在上的点G处，再将沿折叠，点C落在上的点H处，，交于点M，则的长为___________． 15. 如图，和是有公共顶点的两个等腰直角三角形，，点P为射线和射线的交点，若，保持不动，将绕点A旋转一周，则在旋转过程中，线段的最大值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 据气象部门预测，2026年高温天气不仅强度升级，而且持续时间显著延长，部分地区甚至在10月份仍可能出现高温天气，很多商场从4月份就进入了空调的热卖期．如下是某商场根据甲、乙两种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量绘制成的折线统计图和统计分析表． 型号 平均数 中位数 众数 方差 甲 m 135 b 133.3 乙 n a 130 33.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a=___________，b=___________； （2）求甲、乙两种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量的平均数m，n； （3）若该商场2026年计划从甲、乙两种型号的空调中选择一种进行销售，请你结合上述图表帮助该商场分析应选择哪种型号的空调进行销售，并说明理由（一条即可）． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，将先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到． （1）请在图中画出．若将看成是由经过一次平移得到的，请直接写出平移的方向和距离． （2）设点关于x轴对称的点为点，若反比例函数的图象经过点，求反比例函数的表达式． 19. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，并直接写出线段，的数量关系；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，过点A作交直线于点D，连接，求证：四边形是菱形． 20. 如图，为的直径，切于点C，连接，过点A作切线的垂线，垂足为D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 21. 随着人工智能技术的发展，智能机器人的应用越来越广泛．智能机器人主要用于家庭助手、娱乐、安防、工业生产等方面．某公司为了提高生产效率，计划购买若干台某款智能机器人，现从甲、乙两个商场了解到该款智能机器人每台报价均为10万元，并且都有一定的优惠，优惠方案如下： 甲商场：第一台按原报价收费，其余每台优惠； 乙商场：每台优惠． 已知该公司最终只选择其中一家商场购买，且购买该款智能机器人台，用，分别表示在甲、乙商场购买所需支付的费用． （1）请分别求出，与之间的函数关系式； （2）如果你是负责此次采购智能机器人的工作人员，请通过计算说明选择哪家商场购买更优惠． 22. 为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求实心球运动路线所在抛物线的表达式； （2）若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； （3）小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 23. 综合与实践 定义：若一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”，并称这两个角的公共边为“底边”．如：在中，，则为以边为“底边”的“倍角三角形”． 【观察判断】 （1）已知为“倍角三角形”，且． ①如图1，若为的角平分线，则图中相等的线段为___________，相似三角形为___________； ②如图2，若的垂直平分线交边于点E，连接，则图中等腰三角形为___________．（注：全部写出来） 【问题解决】 （2）如图3，四边形为梯形，，，，，，小明同学想用这块板材裁出一个，使得点P在梯形的边上，且为以为“底边”的“倍角三角形”．小明在这块板材上的作法如下： ①作边的垂直平分线l交于点E； ②在直线l位于上方的部分截取，连接并延长，交于点P； ③连接，得． 若按上述作法，小明裁得的是否为以为“底边”的“倍角三角形”?请判断并给出证明． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若点P在梯形除边的其他边上时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用0.5毫米黑色水笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，在数轴上点表示的数可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据数轴得出点A表示的数比大且比小，进而可得答案． 【详解】解：由数轴可知数轴可知点A表示的数比大且比小， ∵， ∴点表示的数可能是． 故选C． 2. 2026年春晚舞台上，国产人形机器人完成了精准的武术动作表演，引发广泛关注．相关统计显示，国内人形机器人头部企业合计订单金额已突破311亿元．数据“311亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：311亿． 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看得到的图形即可得出，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，几何体的左视图为， 故选：D． 4. 如图1是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，与相交于点，点在的延长线上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形外角的性质求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】，， ． ， ． 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 6. 如图，在中，点D，E分别在，上，且，，，则和面积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：， ， ． 7. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ， 解得． 8. 某市中招体育考试采用“必考+选考”的模式，且选考项目包括素质类项目和运动健康技能类项目，其中素质类项目有1分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远，共4项．考生需从素质类项目中选考2项．若小红从中随机选择2项，则她同时选中50米跑和掷实心球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将1分钟跳绳、50米跑、掷实心球、立定跳远分别记为A，B，C，D．根据题意，画树状图如下： 由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中同时选中 50 米跑和掷实心球的结果有2种， 故所求概率为． 9. 如图，四边形是以点O为圆心，为直径的半圆的内接四边形，连接．若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点D作于点E，则．证明是等边三角形，得出，，，求出，再结合扇形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E， 则． 四边形为半圆O的内接四边形，， ． 又， ∴是等边三角形， ，， ，， ∵， ∴， ． 10. 如图1，在矩形中，，动点P从点C出发，沿着运动至终点D，设点P运动的路程为x，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由题图可知，当点P运动到点A时，，；此时，，设，，其中，则，，结合矩形的性质求出，即可得出结果． 【详解】解：由题图可知，当点P运动到点A时，，； ，． 设，，其中，则，， ，（不合题意的m，n值均已舍）， ． 四边形是矩形， ． 由题图可知． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为． 12. 某市6月份前十天每天的平均气温（单位：）如下：25，24，23，25，25，28，30，32，30，29，则这十天每天平均气温的众数为___________． 【答案】25 【解析】 【详解】解：在数据，，，，，，，，，中，出现次，出现次数最多，其余数据均出现不超过次，因此这组数据的众数为． 13. 如图，在中，，，以为直径作半圆O，分别交，于点D，E．若D是的中点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由圆周角定理得，求出，再由题意得出，从而可得，求出，最后由弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，． 为直径， ， ． D是的中点， ， ， ． ， ， ， 的长为． 14. 如图，在边长为的正方形中，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好均落在上的点G处，再将沿折叠，点C落在上的点H处，，交于点M，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形及折叠的性质得，，，，，求出，再解直角三角形，计算即可得出结果． 【详解】解：由正方形及折叠的性质得，，，，， ． ， ， ， ，， ， ， ， ． 15. 如图，和是有公共顶点的两个等腰直角三角形，，点P为射线和射线的交点，若，保持不动，将绕点A旋转一周，则在旋转过程中，线段的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到，因此得到，，故当当最大时，的值最大．由旋转的性质，得点E在以点A为圆心，半径为4的圆上．当与相切且在点A的右侧时，最大，此时的值最大，据此求解即可． 【详解】：， ∴， ． ，， ， ， ， ， ， 当最大时，的值最大． ， 由旋转的性质，得点E在以点A为圆心，半径为4的圆上． 当与相切且在点A的右侧时，最大，此时的值最大，， ． ∵在旋转过程中始终成立， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 即在旋转过程中，线段的最大值为． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值、算术平方根、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 据气象部门预测，2026年高温天气不仅强度升级，而且持续时间显著延长，部分地区甚至在10月份仍可能出现高温天气，很多商场从4月份就进入了空调的热卖期．如下是某商场根据甲、乙两种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量绘制成的折线统计图和统计分析表． 型号 平均数 中位数 众数 方差 甲 m 135 b 133.3 乙 n a 130 33.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a=___________，b=___________； （2）求甲、乙两种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量的平均数m，n； （3）若该商场2026年计划从甲、乙两种型号的空调中选择一种进行销售，请你结合上述图表帮助该商场分析应选择哪种型号的空调进行销售，并说明理由（一条即可）． 【答案】（1）130 140 （2）130 130 （3）建议该商场选择乙型号的空调进行销售． 理由：甲、乙两种型号空调销售量的平均数相同，但乙型号空调销售量的方差较小，销售量较稳定， 建议该商场选择乙型号的空调进行销售．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）从折线统计图中得出，甲、乙两种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量，先排序，再求中间两个数的平均数就是中位数，出现次数最多的就是众数； （2）把所有数据加起来再除以个数得到平均数； （3）根据平均数、方差、中位数、众数，从不同角度进行分析即可． 【小问1详解】 从折线统计图中看出，乙种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量分别是120，130，130，130，140，130， 将这些数据先排序：120，130，130，130，130，140， 则中位数为； 甲种型号空调2025年3~8月份在该商场的销售量分别是110，120，140，140，130，140， 则众数为； 【小问2详解】 由折线统计图可知，甲型号空调2025年3～8月份在该商场的销售量分别为110，120，140，140，130，140，乙型号空调2025年3～8月份在该商场的销售量分别为120，130，130，130，140，130， ， ． 【小问3详解】 略 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，将先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到． （1）请在图中画出．若将看成是由经过一次平移得到的，请直接写出平移的方向和距离． （2）设点关于x轴对称的点为点，若反比例函数的图象经过点，求反比例函数的表达式． 【答案】（1）如图，即为所求 平移方向是由点A到点（或由点到点或由点到点），平移距离是个单位长度 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质作图即可得出，再由图形并结合勾股定理计算即可得出平移的方向与距离； （2）先由平移的性质求出，再结合关于轴对称的点的特征得出，最后利用待定系数法计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：图略， 平移方向是由点A到点（或由点到点或由点到点），平移距离是个单位长度． 【小问2详解】 解：将点先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到点， ． 点与点关于轴对称， ． 将代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． 19. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，并直接写出线段，的数量关系；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，过点A作交直线于点D，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）解：如图，直线即为所求． ． （2）证明：如图． 直线是线段的垂直平分线， ，，． ， ，， ， ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图方法作图即可．由垂直平分线的性质得到，因此，根据可得，， 因此，从而，即可得出． （2）由垂直平分线的性质得到，，，证明，从而证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． ，理由如下： ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 20. 如图，为的直径，切于点C，连接，过点A作切线的垂线，垂足为D． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接． 切于点C， ． 又， ， ． ， ， ，即平分． （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可得，结合题意可得，由平行线的性质并结合等边对等角得出，即可得证； （2）连接，先证明，再解直角三角形即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 为的直径， ， 又， ， ． 在中，， ， ． 在中，， ， 的半径为． 21. 随着人工智能技术的发展，智能机器人的应用越来越广泛．智能机器人主要用于家庭助手、娱乐、安防、工业生产等方面．某公司为了提高生产效率，计划购买若干台某款智能机器人，现从甲、乙两个商场了解到该款智能机器人每台报价均为10万元，并且都有一定的优惠，优惠方案如下： 甲商场：第一台按原报价收费，其余每台优惠； 乙商场：每台优惠． 已知该公司最终只选择其中一家商场购买，且购买该款智能机器人台，用，分别表示在甲、乙商场购买所需支付的费用． （1）请分别求出，与之间的函数关系式； （2）如果你是负责此次采购智能机器人的工作人员，请通过计算说明选择哪家商场购买更优惠． 【答案】（1）， （2）当购买数量不低于1台且小于5台时，在乙商场购买更优惠；当购买数量为5台时，在甲、乙商场购买费用一样；当购买数量大于5台时，在甲商场购买更优惠 【解析】 【分析】（1）根据题干所给的优惠方式计算即可得出结果； （2）分三种情况：当，当，当，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得： ， ； 【小问2详解】 解：当，即时， 解得， ，此时在乙商场购买更优惠； 当，即时， 解得，此时在甲、乙商场购买费用一样； 当，即时， 解得，此时在甲商场购买更优惠． 综上，当购买数量不低于1台且小于5台时，在乙商场购买更优惠；当购买数量为5台时，在甲、乙商场购买费用一样；当购买数量大于5台时，在甲商场购买更优惠． 22. 为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是，距水平地面的高度是，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求实心球运动路线所在抛物线的表达式； （2）若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分； （3）小明投掷实心球时，有一位身高的同学正好闯入实心球场地且在线段上跑动，若闯入的同学是安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式． （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． （3）利用抛物线对称轴求出点关于对称轴对称点坐标，为了保证安全，即可求出横坐标范围， 【小问1详解】 解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知，抛物线的对称轴为直线， ， 点P关于抛物线对称轴对称的点的坐标为， ∵同学身高，为了保证安全，此时， 此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为． 23. 综合与实践 定义：若一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”，并称这两个角的公共边为“底边”．如：在中，，则为以边为“底边”的“倍角三角形”． 【观察判断】 （1）已知为“倍角三角形”，且． ①如图1，若为的角平分线，则图中相等的线段为___________，相似三角形为___________； ②如图2，若的垂直平分线交边于点E，连接，则图中等腰三角形为___________．（注：全部写出来） 【问题解决】 （2）如图3，四边形为梯形，，，，，，小明同学想用这块板材裁出一个，使得点P在梯形的边上，且为以为“底边”的“倍角三角形”．小明在这块板材上的作法如下： ①作边的垂直平分线l交于点E； ②在直线l位于上方的部分截取，连接并延长，交于点P； ③连接，得． 若按上述作法，小明裁得的是否为以为“底边”的“倍角三角形”?请判断并给出证明． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若点P在梯形除边的其他边上时，请直接写出的长． 【答案】（1）①，和；②和 （2）是以为“底边”的“倍角三角形” 证明：如图1，设直线l与的交点为N， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ，即， ， ，． 在中，由勾股定理，得， ， ． 连接，过点F作交的延长线于点K． ，即， ∴， 又，， 平分， ． 垂直平分线段， ， ， ， 小明裁得的是以为“底边”的“倍角三角形”． （3） 【解析】 【分析】（1）①由角平分线的定义并结合题意得出，由等角对等边可得，由三角形外角的定义及性质得出，再结合，即可得出；②由线段垂直平分线的性质可得，即为等腰三角形，，再结合三角形外角的定义及性质得出，从而可得为等腰三角形； （2）设直线l与的交点为N，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，求出，证明，求出，证明出，连接，过点F作交的延长线于点K．由等面积法证明出，从而可得平分，即，最后再证明出，即可得证； （3）分两种情况：①当点P在边上时，②当点P在边上时，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中相等的线段为， ∵， ∴， ∵， ∴， 即相似三角形为和； ②∵的垂直平分线交边于点E， ∴， ∴为等腰三角形，， ∵，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴等腰三角形为和； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①当点P在边上时， ∵， ∴， ∴， ∴在边上不存在满足要求的点P． ②当点P在边上时，如图2，作边的垂直平分线，分别交于点L，交于点R，作的平分线交于点O，连接并延长交于点P， 此时有， 即为以为“底边”的“倍角三角形”． 作边的垂直平分线交于点G，连接，则， ， ， ， ． 过点P作于点H，则． 设，则， ， ． 过点D作于点Q，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 即， ， 即的长为． 【点睛】相似三角形的对应边成比例；采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $