福建莆田第一中学2025-2026学年高一下学期期末质量练习数学试题

2025-2026学年高一数学期末质量练习卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在年小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.若(1-i)z=+3i,则z=（) A.2+i B.2+2i C.1+2i D.-1+2i 2.为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为样本，其中男生 20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为() A.600 B.480 C.400 D.360 3.在梯形ABCD中ABIICD,AB⊥AD,AB=2AD=2CD=2,以AD所在直线为旋转轴，其余各边 旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为() 5π C.5π D.7元 4.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.2， 则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为（·) A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9 5.如图，甲在M处观测到河对岸的某建筑物在北偏东15°方向，顶部P的仰角为30°，往正东方向前进150m 到达N处，测得该建筑物在北偏西45°方向.底部2和M,N在同一水平面内，则该建筑物的高P2为() A.50v2m B.503m C.150W2m D.150W6m 6.已知a,f,y是三个不重合的平面，a∩B=m,a∩y=n,则(，) A.若m/1n,则B//Y B.若m⊥n,则B⊥Y C.若a⊥B,a⊥y,则m/n D.若a⊥Y,B⊥y,则m⊥n 7.若=z-=k-,则4=() A.1 B.2 C.5 D.2 第1页/供4页 8向量G,6,ā澜足g·马=0=同-1（位-，a-马）=行，则问的最大值为() A.2 B.2+v6 2 Cv2+6 D.√后 二、多选题：本题共3小，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某学校开展消防安全知识培训，对甲、乙两班学员进行消防安全知识测试，绘削测试成缴的频率分布直方 图，如图所示：（) 小频率/组距 频率/组距 0.064 0.064… 0.040 0.040 0.032 0.032 0.024 0.02A 0.016 0.016 0.008 0.008 065707580859095100成绩/分 65707580859095100成绩/分 甲班 乙班 A.甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数 B.乙班成绩的平均数<乙班成绩的中位数 C.甲班成绩的平均数<乙班成绩的平均数 D.乙班成绩的中位数<甲班成绩的中位数 10.在梯形ABCD中，AD=2BC,D=2AB,瓜=2而，则（) A.DC=4B-1AD B.AB.BD=0 C.AC.CD=0 D.丽在C上的投影向量为AC 3 11.在长方体BCD-AB,CD,中，AB=AD=LA4=V2,动点P满足 BP=BC+4BB(2,μ∈[0，])，则() A.当九=0时，AC⊥DP B.当2=1时，AC与DP是异面直线 C,当μ=1时，三棱锥P-ABB,的外接球体积的最大值为 π D.当4=时，存在点P,使得DP1平面ACD, 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.向量a=(2,4),6=（-1,x),若a/6,则x= 13.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形，∠PDA=45°，则直线PB与AC 所成角的大小为 14.在△ABC中，AB=2AC,D为边BC的中点，∠A的平分线交BC于点E,若△ADE的面积为1， 第2页/共4页 则△ABC的面积为_一，DE的最小值为 四、解答想：本趣共5小趣，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.某厂为了趣升车橄激光衢达阳量的稳定性，对生产线进行升级改造、为了分析升级改造的效果，随机抽 取了12合车敏激光酣达进行检测，检测纳果如下： 序号i 6 7 8 9 10 11 12 探测距高式（单位：m) 146 151 七 152 149 153 150 144 150 I56 统计后得到样本平均数了=150，方差s2=9,5,x4,x∈(147,153) (1)升级改造后，若有65%的产品的探测距离在(（一5，元+S)内，则认为升级改造成功：若改造成功且 有95%的产品的探测距离在(-2s,x+2)内，则认为升级改造效果显著.根据样本数据，分析此次升级改 造的效果： (2)采用在(：-2s,+2s)内的数据作为新样本，求新样本的平均数x和方差32. 16.甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用x,(i=1,2,3)表示甲第i次的投篮结果，则(，x2,为3)表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表 示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由： (2)用计算机产生0一9之间的整数随机数，当出现随机数0~6时，表示“投进”，出现7,8,9时表示 “未投进”，以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 062049228933102734750783076276 910349114494995396521016065140 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 第3页/共4页 17.已知a,b,c分别为锐角三角形ABC三个内角A,B,C的对边，且asinC+V5 acosC=V5b. (1)求A: (2)已知a=√3，点O为△ABC的垂心，求△BOC的周长的最大值， 18.在三棱柱ABC-4BG中，侧面ACC4⊥平面ABC,CA⊥CB,CA=CB=2CC,=4,E,F分别为 AC、AB的中点. B (1)求证：AE//平面BCF; (2)若二面角A-BC-C,的大小为2红， 3 求证：BF与AC不垂直： (3)若os∠48 求AB与平面BCF所成角的正弦值的取值范围. 19.已知点O为坐标原点，将向量OA绕O逆时针旋转角a后得到向量OB. 1D若0=(2,2)，a=名求0丽的坐标 (2)若OA=（a,b),求OB的坐标（用a,b,a表示)： (3)若点M,N在抛物线y=x2-1(t∈R)上，且△OMMW为等边三角形，讨论aOW的个数 第4页供4页 2025-2026学年高一数学期末质量练习卷答案 1-5.DCBBA 6-8.DAB 9.BC 10.ACD I1.AcD2.21B.写 14.①.6 15.(1)依题意得5=3，(：-，F+5)=(147,153),(任-2s,元+2)=(144,156)， 夫有3个激据高在任-5+9)内，吕=67%>65%，所以有65%产品做深测距商在（任-+小为， 10 所以升级改造成功：共有10个数据落在（任-2，正+2）内，1283.3%<95%， 所以没有95%产品的探测距离在(：-25，元+25)内，所以升级改造成功，但效果不显著 (2)依题意，需别除数据x0=144,2=156, 因为样*平均燕50，方蓬=9，所以2》=50224-150=9， 12 所以5=180,265-150=-108 2 所以新样本的平均数一 -(0+x）1800-144+156=150' 10 10 新样本的方差为 -24-1505-6w-15of-ga-1soj]-0ae-36-6=号 16.(1)该试验的样本空间为 2={(11,1),(11,0),(1,0,1),(1.0,0）,(0,11),(0,10),(0,0,1),(0,0,0)},共有8个样本点， 样本点(1,1,1)的概率为0.7，样本点(0,0,0)的概率为0.33，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古 典概型 (2)产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件么的颜车为8-09，所以事件4的版率的估计恒为09 20 设事件B,=“甲第i次投进”，i=1,2,3,则A=BB2B+B,B2B3+B,B2B+BB,B, 因为P(B)=P(B)=P(9)=0.7,P(⑧)=P®)P®=0.3. 第1页/共8页 又因为每次投蓝绅果互不形响，所以B,B2与B相互独立，B,B2与B,相互独立，B,B2与B相互独立，B,B2 与B相互独立且BB2瓦，BB,B,BB,B,B,B,B,两两互斥， 所以P(④=P(BB,B+BB,B+B,B,8+B,B,B） =P(BB:B)+P(BB,B,)+P(BBB,+P(BB,B, =P(B)P(B)P⑧)+P(B)P(⑧)P(B+P(⑧P(a:)P(B3)+P(B)PBPB,) =0.7×0.7×0.3+0.7×0.3x0.7+0.3×0.7×0.7+0.7×0.7×0.7=0.784 所以事件A的概率的估计值和P(A)有差异原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异： ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. 17.(1)依题asinC+-V5 acosC=√56，由正弦定理a=b sinA sinB sinC' sinAsinC+3sinAcosC=sinB, 由A+B+C=元，得sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入得 sinAsinC+3sinAcosC=3sinAcosC+cosAsinC,sinAsinC=cosAsinC, 由血C*0,得血=5o4,得4=5，由4e0引海4= (2)解法一：如图，由O为锐角三角形ABC的垂心，有BO⊥AC,垂足为E,CO⊥AB,垂足为F,即 ∠AFO=∠AEO=S 2 艾 由4=子 四边形F0A内角和为2元，得∠FOB=2T=∠BOC 设BO=m,C0=n, 第2页/共8页 在a0c中，由余孩定理a3=m2+n2-2meco6径，得m2+n+mi=3,即0a+n-3=m, 由m+”≥mn,得mmsm+m,当且仅当m=n时，等号成立0m+2-3sm+m2,得0<m+n≤2 2 4 4 当m=n=1时，m+n的最大值为2，故△BOC周长的最大值为1+1+√5=2+√3 解法二：由O为锐角三角形ABC的垂心，有BO⊥AC,垂足为E,CO⊥AB,垂足为F,即 ∠AFO=∠AEO= 2 由A=骨四边形F0BA内角和为2m,得∠FOE=2=∠BOC 3 设∠0c8=0,0e(0写引则∠08c=骨-g, 3 OB OC BC 在△BOC中，由正弦定理sin0 sinZBOC=-V3 sin2元 2则oB=2sn8,0c=2sn(写-0 3 OB+OC=2sin0+2sin -si+c-sinc0+in2sin 因为9e0 ,故当日=亚时，(OB+OC)=2,故△B0C周长的最大值为2+V月. 6 18.(1) C B 取BC中点M,连接EM,FM, 在△ABC中，E,M分别是AC,BC的中点，所以EM∥AB,EM=二AB, 2 又F是AB的中点，所以4F∥AB,4F=AB,所以EM∥4F,EM=AF, 所以四边形AEMF为平行四边形，所以AE∥FM, 第3页/共8页 因为AE工平面BCF,FMC平面BCF,所以AE∥平面BCF. A1 (2) 假设BF⊥AC, 因为侧面ACCA⊥平面ABC,侧面ACCA∩平面ABC=AC,AC⊥CB, BCC平面ABC,所以BC⊥侧面ACCA, 因为AC,CCC侧面ACCA,所以BC⊥AC,BC⊥CC, 所以二面角A-BC-C,的平面角为∠ACG,所以∠ACC=2, 3， 又BC⊥侧面ACCA,所以BC⊥AC, 因为BF⊥AC,BC∩BF=B,BC,BFC平面BCF,所以AC⊥平面BCF. 因为FMC平面BCF,所以AC⊥FM, 由)奥45∥PM,所以4C上4E在平行圆边形4CGA中，4G=4CG=2∠4CC=行 所以AE=2,EC=2W3,所以AE2+EC=AC,所以EC⊥AE, 所以AC∥EC,与AC∩EC=C矛盾，所以BF与AC不垂直. (3)解法一： A 作AP⊥AC于点P,作PO⊥AB于点2，连接AQ, 由BC⊥侧面ACC,A,APC侧面ACC,A,得BC⊥AP, 又BC∩AC=C,BC,ACc平面ABC,所以AP⊥平面ABC 所以A,P⊥AB,又PQ⊥AB,APOPO=P, 第4页/共8页 所以AB⊥平面AP2,所以Ag⊥A2,在Rt△4P,Rt△AP2,R△MA2中， 005BAC=40 COSZAAC=AP ,cos∠4AB=4g 41 因为 40-是.所以co8∠44C-co8<BMC=6o6∠4B, PA=A但 因为∠BAC=45°，所以coS∠4AC=V2cos∠4AB, 又oAa号所以oa44c引 所似44Ce[后引所以4G(任]， 取AC中点G,所以FG∥B,C,所以FG∥BC,所以B,C,G,F四点共面， 连接EG,因为AE=EC=EG=2,所以AG⊥CG, 由(2)知BC⊥侧面ACC,A,所以平面BCGF⊥侧面ACC,A, 平面3CGF侧面ACCA=CG,AGC侧面ACC,A,所以AG⊥平面BCGF, 所以AB与平面BCF所成角为∠ABG, 在等腰△4G中，4G=2A4sim∠A4G=4sin∠4C, 2 2 由24G 得4G∈(22,25]， 施接BG,在△G中，8=4，所认血∠BG=侣径] 所以AB与平面BCF所成角正弦值的取值范围为 4 解法二： B 设点A到平面BCF的距离为d, 第5页/共8页 因为AB∥平面ABC,所以V4-Bcr=-Aac='Ac=',-Mc: 由(1)(2)知BC⊥侧面ACCA,AE∥FM,所以BC⊥FM, 因为M=4g=血4C,所ae=方8CM=446m≤4C-n4C， 2 2 2 2 4e-=x44c∠4C=x2x∠44C=4n∠4hc, 所以写8amd=eBc,即时844C.d=写4x∠4c,所以d=as4C 3 2 2 没B与平面8CT所成角为9，则si血日=d4cos∠44C :co6∠4AC 2 2 4B42 √2 作A1P⊥AC于点P,作PQ⊥AB于点Q,连接A1Q, 由BC⊥侧面ACCA,APC侧面ACCA,得BC⊥AP, 又BC∩AC=C,BC,ACc平面ABC,所以AP⊥平面ABC. 所以AP⊥AB,又P2⊥AB,AP∩PO=P,所以AB⊥平面AP2,所以AQ⊥A2, 在Rt△A4P,Rt△AP2,Rt△L42中， 4oas<8ac-票es48-g cos∠AAC= A 因防光是碧烈a∠4Cw∠aC=∠B, 因为∠BAC=45°，所以c0s∠AAC=V2c0S∠AAB, 又o4w0号所以o44Ce引 4c引u后引w停 第6页/供8页 1 所以AB与平面BCF所成角正弦值的取值范围为 19.(1) 设∠0A=月Be0.2m,已知42,2)，则lo=25,B=年， 因为逆时针旅装若，则O网=25，么08=B+a=牙+君 w-o删行引9马}6：E 4 sin∠xOB=sin 原引盟乌×5+返 =2×2+22 4 设Ba,m=l08l6os40B=25x6.2=5-1,n=1 sm0B=2N2x5+巨-5+1， 4 所以O丽=(N5-15+1). (2)设OA=r,有OA=(r0osB,sinB), 因为O丽由OA绕坐标原点O逆时针旋转角a后所得，所以O丽=r,OB=(rcos(B+a),rsi(B+a), 因为a=rcosB,b=sinB,所以rcos(B+a)=rcosBcosa-rsinBsina=acosa-bsina, rsin(B+a)=rsinBcosa+rcosBsina=asina+bcosa,OB=(acosa-bsina,asina+bcosa) @爱xk水0-0所，0叭，自@知遮时付美号信孕，受引 y=x2-1 要告告-9 即(V3x-y3x+35y+25)=0, 将y=x2-1代入，得(x2-V3x-3x2+V3x+2-3=0, 由y=x2一1，可知x确定，则y与之唯一确定， 所以讨论△ON的个数答价于讨论方程(*)中解（除去1=0时的非零解）的个数. 第7页/供8页 令3x2+5x+2-3t=0①，4=3(12-7)： 令x2-V3x-t=0②，△2=4t+3. 方@②得，x三3=二，所以1三时，方程0②有相同解。 6,s 12 6 当1<-3时，方程⊙②均无解，所以A0MW的个数为0： 4 三一时，方@无解，②收有一个解，所以40MW的个数无 当1=0时，方程①无解，②有一个非零解：x=√3，所以△OMW的个数为1： 当<1<0或0<t<3时，方程四无解，②有两个解，所以△0W的个数为2 当1=子时，方@收有-解x=-9,②有两解x。-点政=1 2,所以A0MW的个数为2： 6 6 6 当>时，方0.@均有两个解，且两方程不同解，所以60的个数为4 12 综上所述：当t<-3时，AOMW的个数为0：当1=-3或0时，A0My的个数为1： 4 当-3<1<0或0<t≤时，A0Mw的个数为2，当>7时，60Mw的个数为4 4 12 12 第8页/供8页